1 = 6 RUF = fC (Re)

TD Trainée de corps sphériques –ex sujet d’examen L3S5 - 2009-2010

LICENCE LPAI L3S5 2009-2010 Mécanique des Fluides

TD Trainée 3 Epreuve 2009

Allée de von Karman derrière un

cylindre-Image équipe ITD-IMFS Dany Huilier – 8 novembre 2009

Viscosité du lait

On veut mesurer la viscosité du lait. Des recherches sur le web donnent une viscosité dynamique du lait double de celle de l’eau. On utilise pour cela un viscosimètre, à chute de bille qui comporte un long tube de verre vertical, rempli de lait, et dans lequel on laisse tomber une bille sphérique. On mesure le temps nécessaire relatif au déplacement de la bille entre deux repères fixes A et B.

1. Faire le bilan des forces appliquées à la sphère (poids, poussée d'Archimède, force de frottement supposée Stokienne/à faible nombre de Reynolds) et les représenter sur un schéma.

Donner l'expression littérale de chacune de ces forces en fonction -de l'accélération de la pesanteur g;

-du coefficient de viscosité μ et de la masse volumique ρL du lait;

-du rayon R de la sphère, de sa masse volumique ρB et de sa vitesse U. ^B

2. Sachant que le mouvement vertical descendant de la sphère devient rapidement uniforme avant l'arrivée au repère A, établir la relation entre la durée t du parcours AB de longueur L et les grandeurs précédentes.

3. Le temps de chute de la bille entre A et B distants de L = 11 cm est t = 10 s. Calculer le coefficient de viscosité dynamique μ du lait.

4. Calculez enfin le nombre de Reynolds et reconsidérez l’hypothèse de Stokes, et proposez une démarche pour calculer la viscosité effective du lait en supposant que la vitesse de chute est atteinte dès le point A.

Indications : On écrit l’équilibre des forçes avec une traînée non Stokienne, on isole (calcule) le coefficient de traînée C_D, et la courbe

C

_D

= f (Re)

permet de cibler une valeur approximative du nombre de Reynolds, donc de la viscosité effective du lait. On utilise alors la loi de Schiller-Nauman pour affiner le nombre de Reynolds et la viscosité du lait.

Données:

- masse volumique du lait ρ_L = 1032 kg·m^–3 - masse volumique de la bille ρ_B = 1050 kg·m^{B –3} - rayon de la bille R = 1,0 mm

Rappels de cours :

Expression générale de la traînée d’une sphère :

D

D U AC

F ²

2 1

ρ

= , CD = f(Re) où Re = UD/ν est le nombre de Reynolds et A = πR²

A très faible nombre de Reynolds, en traînée dite de Stokes (1845, 1851), on montre que les forces de pression (à hauteur d’une contribution de 1/3) et de viscosité (2/3) induisent une traînée totale égale à :

RU

F

_D

= 6 πμ

, où μ est la viscosité dynamique du fluide, ce qui donne un coefficient de traînée de

Re

= 24 CD

Il existe ensuite des formules empiriques approchées qui donnent d'assez bons résultats, dont celle de Schiller-Naumann (1933) (attention, valable pour Re < 800)

1

TD Trainée de corps sphériques –ex sujet d’examen L3S5 - 2009-2010 )

Re 15 . 0 1 Re(

24 + _0.687

D = C

Solution :

L = U.t, soit U = 0.11/10 = 0.011 m/s

2

2

1C AU Vg

Vg _{L D L}

B

ρ ρ

ρ

= + , avec ³

6D V ₌

π

et ²

4D A₌

π

, D = 2R

Si la traînée est Stokienne,

ρ μ C

_D

DU 24 .

Re 24 =

= , soit :

UD Vg

UR Vg

Vg

_{L L}

B

ρ πμ ρ πμ

ρ = + 6 = + 3

011 . 0 9

) 10 )(

1032 1050

)(

81 . 9 ( 9

2 ).

( 18

4 ).

( 6

2 3 2

3

x U

R g

UR R g

UR Vg

Vg

_{L B L B L}

B

−

−

− =

− =

− =

= ρ ρ

π π ρ ρ π

ρ μ ρ

Pa. s 10 . 84 .

17

⁻⁴

μ = , soit une viscosité dynamique 1.78 fois de celle de l’eau.

57 . 10 11

. 62 . 19

) 1032 )(

10 )(

011 . 0 )(

2 (

Re 2

₄

3

=

=

=

⁻₋

μ ρ

_L

UR , nous ne sommes plus en régime de Stokes.

Plus généralement, avec la forme classique de la traînée, nous avons dans des conditions d’équilibre :

2

2

1C AU Vg

Vg _{L D L}

B

ρ ρ

ρ

= + , avec ³

6 D V ₌

π

et ²

4 D A₌

π

Soit en isolant le coefficient de traînée :

77 . 3 1032 1

1050 )

011 . 0 )(

3 (

10 2 )(

81 . 9 )(

4 1 ( 3

) 4 (

2

2 ) 3 2

2

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

− =

=

⁻

L B L

L B

D

U

gD AU

Vg C Vg

ρ ρ ρ

ρ ρ

La courbe classique donne un nombre de Reynolds de l’ordre de 10 à 12. On peut affiner avec la loi de Schiller-Nauman :

Re 10.5 11.5 11.25 11.3

Cd 4.01 3.763 3.82 3.81

Soit encore en prenant une valeur de l’ordre de Re = 11.5 :

s UD

_L

Pa

. 10 74 . 5 19

. 11

1032 ) 10 2 )(

011 . 0 ( Re

3 4

− −

=

=

= ρ

μ

,

Soit le double de la viscosité dynamique de l’eau. Re = 11.29, Vitesse limite U = 0.01094 m/s

2

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Evolution du coefficient de traînée d’une sphère ou d’un cylindre à surface lisse par unité de longueur en fonction du nombre de Reynolds (échelles logarithmiques) (Munson, Young &

Okiishi, page 582, 4th edition)

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