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de la thèse
Chapitre
6
Mod´elisation d’ordre r´eduit
d’´ecoulements compressibles
Aperçu
1 Introduction . . . 113
1.1 Modèles réduits d’écoulements . . . 114
1.2 Modèles POD-Galerkin des équations de Navier-Stokes . . . 115
2 Projection de Galerkin . . . 115
2.1 Principe général . . . 115
2.2 Application à la modélisation de dimension réduite d’écoulements . . . 116
3 Ecoulements incompressibles . . . 117
3.1 Projection de Galerkin des équations de Navier-Stokes pour les écoulements incompressibles . . . 117
3.2 Traitement de la pression . . . 118
4 Ecoulements compressibles . . . 119
4.1 Dans la littérature . . . 119
4.2 Modèle “haute-fidélité” à approcher . . . 120
4.3 Choix d’une formulation quadratique . . . 121
4.4 Modèle POD-Galerkin d’écoulements compressibles . . . 122
5 Instabilité de von Kármán en écoulement transsonique . . . 123
5.1 Calcul de la base POD tronquée . . . 123
5.2 Modèle POD-Galerkin . . . 132
6 Stabilisation des modèles POD-Galerkin . . . 138
6.1 Instabilité physique ou structurale ? . . . 138
6.2 Améliorer la précision des modèles POD-Galerkin . . . 140
6.3 Procédure de calibration . . . 141
6.4 Calibration du modèle réduit d’écoulements transsoniques . . . 143
6.5 Prédiction aux temps longs . . . 148 7 Synthèse sur la modélisation d’ordre réduit d’écoulements compressibles . 148
1
Introduction
Ce chapitre est consacré à la modélisation d’ordre réduit pour la simulation d’écoulements compres-sibles instationnaires autour de surfaces portantes. D’une manière générale, la notion de modèle d’ordre faible se rapporte à une approximation d’un système physique complexe ou encore à une approximation d’un modèle plus détaillé de ce système physique. Dans le cadre de la présente étude, la méthodologie mise en œuvre permet de substituer aux équations de Navier-Stokes, un système d’Equations Différen-tielles Ordinaires (EDO) de petite dimension. Le modèle d’ordre réduit ou Reduced-Order Modelling (ROM) ainsi constitué doit assurer une prédiction fidèle au modèle physique complexe appelé modèle “Haute-Fidélité” (HF). Les grandes classes de modélisation d’ordre réduit répondent à des besoins très
variés et sont rapidement évoquées au § 1.1, l’accent étant ensuite mis sur la technique développée et utilisée dans cette thèse : la méthode POD-Galerkin (§ 1.2). La simplification d’un phénomène à ses mécanismes physiques fondamentaux a été une motivation importante pour le développement de ce type d’approches (Aubry et al.,1988;Deane et al.,1991, par exemple). Il apparaît par ailleurs que l’utilisation de modèles physiques simplifiés est incontournable dans de nombreux contextes où de multiples résolu-tions doivent être effectuées itérativement et/ou simultanément. Ainsi, pour la simulation numérique en interaction fluide-structure par exemple, Dowell & Hall (2001) mettent en relief la nécessité d’utiliser des ROM et le compromis inévitable entre fiabilité de la simulation et faisabilité pratique de celle-ci. De même, dans le contexte de l’optimisation, par exemple en conception optimale de forme (Le Gresley & Alonso, 2000), ou dans le domaine du contrôle des écoulements (Graham et al., 1999b), de nombreuses simulations successives sont mises en œuvre et des approches autorisant une réduction importante de la complexité numérique de ces résolutions sont nécessaires. L’objectif de la modélisation d’ordre faible est donc double. D’une part, elle peut contribuer à une analyse efficace de phénomènes physiques complexes. D’autre part, elle permet d’envisager l’intégration de simulations réalistes au sein de processus itératifs et multi-disciplinaires. Dans le cadre de cette thèse, ces deux aspects sont envisagés.
1.1
Modèles réduits d’écoulements
Selon l’application visée, deux classes générales de modèles d’ordre réduit d’écoulements peuvent être considérées. Une première catégorie correspond au cas où l’objectif n’est pas une description détaillée et locale des mécanismes physiques mais plutôt une approche “entrée-sortie” où, pour un jeu de paramètres donnés (par exemple la forme d’un profil d’aile), le modèle doit fournir une réponse (par exemple les co-efficients aérodynamiques). Dans ce cas, il n’est pas forcément nécessaire d’envisager une approximation de l’ensemble des quantités locales caractéristiques de l’écoulement. Dans le contexte de l’optimisation, le prototype de cette approche est la méthode couplant plan d’expériences et surface de réponse. Pour une série de jeux de paramètres donnés, des résolutions du modèle physique HF sont effectuées et les quantités globales à optimiser sont calculées en chacun de ces points. Un algorithme d’optimisation est ensuite mis en œuvre sur cette surface de réponse interpolée par une méthode convenable. Le modèle réduit est alors constitué par cette surface de réponse. De nombreuses approches peuvent être apparen-tées à cette méthodologie. Elles diffèrent selon la technique d’échantillonnage de l’espace des paramètres et le procédé d’interpolation utilisés. Pour construire ces modèles réduits, des approches telles que les réseaux de neurones ou le krigeage (Gratton, 2002; Gunes et al., 2006) sont adaptées et couramment utilisées. Afin de rendre plus robuste de telles approches en introduisant une variabilité des surfaces de réponses pour l’analyse d’incertitude, l’utilisation de bases de polynômes de chaos (Lucor et al., 2003) semble prometteuse. L’approche plan d’expériences/surface de réponse a été utilisée pour l’optimisation de forme en aérodynamique au cours d’une étude antérieure (Bourguet et al., 2007c) mais pas dans le cadre de cette thèse. La revue proposée ici n’est en aucun cas exhaustive.
Face à ces approches “entrée-sortie” ou “boite noire”, une seconde classe de modèles d’ordre réduit relève de l’approximation directe et locale du système physique complexe indépendamment de quantités globales d’intérêt qui pourront éventuellement être évaluées a posteriori. Dans la pratique, ce type d’approches est utilisé pour obtenir l’évolution des mêmes quantités physiques que l’approche complexe HF mais à un coût numérique inférieur. Là encore deux classes de méthodologies peuvent être distinguées. D’une part celles qui se fondent sur une approximation des données sans modèle physique a priori comme par exemple l’identification polynomiale (Perret et al., 2006). D’autre part, celles qui se fondent conjointement sur des données et le modèle physique “haute-fidélité” classiquement utilisé pour les modéliser, par exemple les équations de Navier-Stokes dans le cas des écoulements. Ces approches et en particulier les méthodes fondées sur la projection du système physique complexe, nécessitent généralement la définition d’un sous-espace de projection représentatif. Dans cette étude, ce sous-espace est déterminé par une base POD tronquée, mais comme cela a déjà été mentionné, de nombreuses bases sont envisageables (modes globaux, CVT,. . .). L’intérêt de ces approches par rapport aux méthodes “entrée-sortie” est qu’elles peuvent non seulement conduire à l’estimation de n’importe quelle grandeur globale (pour l’optimisation par exemple) mais aussi contribuer à une analyse physique détaillée des phénomènes physiques mis en jeu. Le coût numérique de ces approches est généralement supérieur à l’approche “boite noire”.
2. Projection de Galerkin
1.2
Modèles POD-Galerkin des équations de Navier-Stokes
La méthode de réduction de modèle développée et mise en œuvre dans la présente étude consiste en une projection de Galerkin des équations de Navier-Stokes pour les écoulements compressibles sur une base de dimension réduite issue d’une décomposition aux valeurs propres tronquée. Il s’agit d’une approche à la fois guidée par la physique (“physic-driven”) car les équations de Navier-Stokes sont consi-dérées, et dépendante des données (“data-driven”) puisque la base POD est définie à partir d’une série de réalisations de l’écoulement. Les équations de Navier-Stokes sont ici considérées dans leur formulation tridimensionnelle générale, instationnaire et non-linéaire. La méthodologie POD-Galerkin a été largement appliquée dans le contexte de la modélisation d’écoulements incompressibles simulés numériquement, dans le cas d’écoulements laminaires bidimensionnels (Deane et al., 1991; Galletti et al., 2004, par exemple) et tridimensionnels (Ma & Karniadakis,2002, par exemple), présentant un caractère périodique plus ou moins prononcé (Buffoni et al.,2006). Les investigations menées dans le cas d’écoulements compressibles sont plus rares (Vigo et al., 1998; Rowley et al., 2004) et seront détaillées par la suite. La plupart des applications de la méthode POD-Galerkin pour la modélisation d’écoulements sont fondées sur la POD spatio-temporelle. Certaines études ont montré l’intérêt d’une formulation POD spatio-fréquentielle dans le cas des équations d’Euler et de Navier-Stokes linéarisées (Hall et al.,2000;Thomas et al.,2003). Cette approche prometteuse, notamment en interaction fluide-structure, semble pouvoir être étendue au cas non-linéaire (Thomas et al., 2006). Cette méthodologie n’est pas utilisée dans le cadre de la présente étude.
Ce chapitre consacré à la modélisation POD-Galerkin des équations de Navier-Stokes est structuré comme suit. La méthodologie conduisant d’un système d’équations aux dérivées partielles à un système d’équations différentielles ordinaires par projection de Galerkin est en premier lieu décrite d’un point de vue général au §2. L’application de cette technique aux équations de Navier-Stokes sous l’hypothèse d’incompressibilité est brièvement abordée au § 3. Suite à cela, le cas compressible est envisagé et les difficultés liées au choix de la formulation des variables d’état sont détaillées (§4). En considérant une formulation d’état spécifique, un ROM des équations de Navier-Stokes compressibles est développé. Pour illustrer l’efficacité et les limitations de cette approche, un cas d’étude de référence correspondant à l’écoulement transsonique instationnaire autour d’une aile est détaillé au § 5. Enfin, pour faire face à l’instabilité structurale des systèmes dynamiques issus de l’approche POD-Galerkin, des stratégies de stabilisation sont proposées et évaluées au§6.
2
Projection de Galerkin
Dans cette section le principe de la projection de Galerkin est succinctement rappelé puis l’application au cas d’équations aux dérivées partielles est décrite dans la perspective de la modélisation de dimension réduite des équations de Navier-Stokes.
2.1
Principe général
Dans le cas général, le système physique complexe à approcher est un opérateur différentiel G tel que si v∈ H(Ω × [0, T ])d est solution de ce système alors1 :
G (v) = 0. (6.1)
L’approximation de v sur un sous-espace de dimension finie à n dimensions est notée ˆv telle que : v≈ ˆv =
n
X
i=1
aiΦi, (6.2)
où les modes Φiforment une base orthonormée de H(Ω)det les aisont les coefficients à déterminer. Dans
cette étude, la base {Φi} est obtenue par POD tronquée et n = Npod mais toute autre base peut être
considérée. Dans le cas général, ˆv n’est pas solution du problème physique (6.1) :
G (ˆv)6= 0. (6.3)
1De même qu’au chapitre précédent, l’espace fonctionnel considéré sera généralement L2(Ω × [0, T ])dsi v est un vecteur
La projection de Galerkin est un cas particulier de la méthode des résidus pondérés (Fletcher,1991) qui s’exprime dans le cas général comme :
(G (ˆv) , Ψi) = 0, (6.4)
où les Ψisont des fonctions de pondération. (·, ·) désigne un produit scalaire sur H(Ω)d. La projection de
Galerkin consiste à considérer comme fonctions de pondération les fonctions de bases du sous-espace de projection utilisées pour approcher v. Ainsi le problème physique (6.1) de dimension infinie est approché par le problème à n dimensions suivant :
G n X i=1 aiΦi ! , Φj ! = 0 pour j = 1, . . . , n. (6.5)
Il s’ensuit que le résidu G(ˆv) est orthogonal à l’espace de projection de dimension n vec{Φ1, . . . , Φn}.
Généralement, le problème (6.1) est associé à des conditions aux limites imposées à v. Afin que (6.5) assure une approximation correcte de ce problème, les conditions aux limites doivent être vérifiées implicitement via la base{Φi}.
2.2
Application à la modélisation de dimension réduite d’écoulements
Dans le cadre de la modélisation de dimension réduite des équations de Navier-Stokes, le problème à approcher est de la forme suivante, avec v∈ H(Ω × [0, T ])d :
v,t= F (v) sur Ω C (v) = 0 sur Γ v (x, 0) = v0(x) , (6.6)
où F et C sont des opérateurs différentiels. v0représente la condition initiale. En adoptant un relèvement
convenable, les conditions aux limites sur Γ peuvent généralement être transformées en conditions homo-gènes. La quantité v étant approchée par une décomposition aux valeurs propres séparable tronquée à Npoddimensions, la projection de Galerkin du système (6.6) sur cette base POD est, pour i = 1, . . . , Npod:
Npod P j=1 ˙ajΦj, Φi ! = F Npod P j=1 ajΦj ! , Φi ! Npod P j=1 aj(0) Φj, Φi ! = (v0, Φi) . (6.7)
Les modes POD sont orthonormés donc (6.7) est équivalent au système d’équations différentielles ordi-naires suivant, pour i = 1, . . . , Npod:
˙ai= F Npod P j=1 ajΦj ! , Φi ! ai(0) = (v0, Φi) . (6.8)
Ce système d’EDO constitue le modèle d’ordre réduit POD-Galerkin associé au modèle “haute-fidélité” (6.6). Les conditions aux limites imposées de manière explicite dans le modèle initial sont implicitement vérifiées par la base POD suite au relèvement.
Remarque : Afin d’assurer une véritable réduction de la complexité numérique du modèle HF, il est nécessaire que le second membre du système (6.8) puisse être évalué rapidement sans reconstruire le vecteur d’état approché ˆv à chaque pas d’intégration. Dans la suite, le flux F associé aux équations de Navier-Stokes sera polynômial et quadratique. Le second membre de (6.8) pourra alors être exprimé comme un polynôme quadratique et à coefficients constants, le produit scalaire spatial n’interviendra donc pas à chaque pas d’intégration du modèle réduit.
3. Ecoulements incompressibles
3
Ecoulements incompressibles
Le cas des équations de Navier-Stokes sous l’hypothèse d’incompressibilité a été largement étudié dans la littérature du point de vue de la modélisation d’ordre faible. Depuis les travaux pionniers de
Deane et al.(1991) concernant les écoulements bidimensionnels laminaires et périodiques dans un canal pulsé et autour d’un cylindre circulaire, un grand nombre de configurations physiques ont fait l’objet de modélisations de dimension réduite par la méthode POD-Galerkin. Concernant ce type d’écoulements laminaires à faibles nombres de Reynolds, plusieurs travaux (Cordier & Bergmann, 2002;Noack et al.,
2003, par exemple) montrent qu’une réduction de dimension conséquente peut être obtenue par cette technique. Les modèles réduits ainsi développés ont pu être intégrés avec succès au sein de boucles de contrôle optimal (Graham et al., 1999b; Bergmann et al., 2005). Cazemier et al. (1998) montrent que l’écoulement transitionnel bidimensionnel de cavité (Re = 22000) peut être simulé efficacement via un
ROM possédant 80 degrés de liberté. En ce qui concerne les écoulements instationnaires tridimensionnels,
Ma & Karniadakis (2002) prouvent l’efficacité de ce type de systèmes dynamiques pour une prédiction fidèle de la bifurcation donnant naissance à l’instabilité secondaire dans l’écoulement autour d’un cylindre circulaire.
Plus récemment, la méthodologie POD-Galerkin qui avait été jusqu’alors appliquée à des écoulements quasi-périodiques, a été évaluée dans des contextes tridimensionnels plus chaotiques comme l’écoulement transitionnel autour d’un cylindre à section carrée (Buffoni et al., 2006) (Re= 300). Bien que certaines
limitations liées à la représentativité de la base POD apparaissent clairement dans ce cas, l’approche s’avère efficace notamment grâce à l’introduction d’une procédure de calibration du ROM2. Des modèles
réduits d’écoulements incompressibles pleinement turbulents prédits par simulation aux grandes échelles ont également été proposés (Couplet et al.,2005, par exemple). Dans cette section, la méthodologie POD-Galerkin est décrite dans le cas des équations de Navier-Stokes incompressibles. Il est important de noter que même s’il est systématiquement fait référence à la base POD, d’autres bases peuvent être considérées et le passage des équations de Navier-Stokes au ROM via la projection de Galerkin est indépendant du choix de la base de projection.
3.1
Projection de Galerkin des équations de Navier-Stokes pour les
écoule-ments incompressibles
Dans le cas d’écoulements incompressibles, pour des fluides Newtoniens, le système physique à ap-procher est constitué des équations de Navier-Stokes incompressibles qui assurent la conservation de la masse et de la quantité de mouvement3:
(
∇· v = 0
v,t+ (v· ∇) v = −1ρ∇p + ν∆v.
(6.9)
v =t[u
1 u2 u3] désigne le vecteur vitesse, p la pression, ρ la masse volumique. ν = µ/ρ est la viscosité
cinématique du fluide, µ sa viscosité dynamique. Aux équations de Navier-Stokes incompressibles sont ajoutées des conditions aux limites qui seront supposées stationnaires dans cette présentation, ainsi qu’une condition initiale. Le vecteur d’état approché par POD est le vecteur vitesse. Afin que la POD tronquée de ce vecteur d’état satisfasse les conditions aux limites stationnaires mais non-homogènes en espace, la décomposition suivante est adoptée :
v = vref+ ∞ X i=1 aiΦi≈ ˆv = vref+ Npod X i=1 aiΦi soit ˆuj = uj ref+ Npod X i=1 aiΦ uj i pour j = 1, 2, 3. (6.10)
Dans la plupart des études rapportées dans la littérature, l’état stationnaire de référence vrefest le champ
moyen v. Ce choix est adopté dans la suite de cette présentation. Dans certains cas spécifiques, ce champ est un état stationnaire instable de l’écoulement (Galletti et al., 2004). Ce dernier choix a l’avantage, pour l’étude de la naissance et la croissance de l’instabilité associée à cet état, d’assurer que les points fixes du modèle réduit et du modèle HF sont les mêmes (Noack et al.,2003). Ce point sera abordé plus en détail au§2du chapitre 8.
2Ce point sera abordé en détail au §6, la calibration constituant un moyen efficace d’assurer la stabilité du ROM. 3La formulation vectorielle est adoptée dans cette section pour la construction du modèle POD-Galerkin incompressible,
La décomposition tronquée (6.10) assure que si v vérifie l’équation de continuité alors les modes POD la vérifient également ainsi que ˆv car :
∇· v = 0 et Φuj i = 1 λiT Z T 0 (uj− uj) aidt. (6.11)
La projection de Galerkin de l’équation de conservation de la quantité de mouvement s’écrit : (v,t, Φi) + ((v· ∇) v, Φi) =−
1 ρ∇p, Φi
+ (ν∆v, Φi) . (6.12)
Le produit scalaire spatial généralement considéré sur L2(Ω)3 dans la cas d’écoulements incompressibles
est : (a, b) = 3 X i=1 Z Ω aibidx. (6.13)
En intégrant par parties via les formules de Green, l’équation (6.12) se réécrit comme suit : (v,t, Φi) + ((v· ∇) v, Φi) = 1 ρ(p, ∇· Φi)− 1 ρ[pΦi]− ν ∇v, t(∇Φ i) + ν [(∇v) Φi] , (6.14)
avec [a] =RΓa· ndx où n est la normale extérieure à la frontière.
Puisque chaque mode POD vérifie l’équation de continuité, le terme (p, ∇· Φi) s’annule. Par contre,
le terme de frontière mettant en jeu la pression n’est pas nul dans le cas général et devrait donc être considéré. Ce terme peut s’annuler sur les frontières où la pression s’annule, dans le cas de conditions aux limites homogènes sur la vitesse ou encore si des conditions aux limites périodiques sont prescrites. Cependant, dans d’autres cas et particulièrement lorsque des conditions aux limites non-réflectives (Jin & Braza,1993) sont utilisées, ce terme ne s’annule pas. Dans la littérature, la contribution de la pression sur la frontière est généralement négligée (Bergmann et al.,2005, par exemple).Noack et al.(2005) rapportent son importance vis-à-vis de la stabilité et de la précision du modèle réduit obtenu, notamment pour l’étude de couches de mélange ; les effets de cette hypothèse semblent être moindres dans le cas d’écoulements autour d’obstacles.
En introduisant la décomposition aux valeurs propres tronquée (6.10) où le relèvement correspond au champ moyen, le modèle réduit POD-Galerkin pour les écoulements incompressibles est le suivant, pour i = 1, . . . , Npod: ˙ai= Ci+ Npod P j=1 Lijaj+ Npod P j=1 Npod P k=1 Qijkajak ai(0) = (v0− v, Φi) . (6.15)
Ce système d’EDO est polynômial quadratique et ses coefficients constants peuvent être calculés une fois pour toutes comme suit :
Ci = − ((v · ∇) v, Φi)− ν ∇v,t(∇Φi) + ν [(∇v) Φi]
Lij = − ((v · ∇) Φj, Φi)− ((Φj· ∇) v, Φi)− ν ∇Φj,t(∇Φi) + ν [(∇Φj) Φi]
Qijk = − ((Φj· ∇) Φk, Φi) . (6.16)
Les termes constants et linéaires apparaissent dans le ROM (6.15) en raison de la soustraction du champ moyen. Dans le cas où aucun relèvement n’est utilisé, le modèle réduit obtenu est un polynôme strictement quadratique.
3.2
Traitement de la pression
Dans la pratique, comme décrit dans la section précédente, le terme de pression est souvent négligé avant la projection de Galerkin. Outre les erreurs et l’instabilité liées à cette approximation, l’utilisation du modèle réduit (6.15) n’autorise pas de prédiction de la pression en tant que variable du système physique, contrairement au modèle HF qu’il représente. Ce point constitue une limitation forte de cette approche notamment dans la perspective d’une utilisation de ce ROM pour l’optimisation ou le contrôle.
4. Ecoulements compressibles
Pour obtenir une représentation de la pression à partir des coefficients temporels de la POD prédits par le ROM, une base de projection a priori pour la pression peut être construite comme suit :
Φpi = 1 λiT
Z T
0
(p− p) arefi dt, (6.17) où les coefficients temporels arefi sont issus de la projection de la base de données contenant des réalisations successives du vecteur vitesse sur les modes POD associés. Il faut alors noter que la base spatiale ainsi obtenue pour la pression n’est pas optimale (au sens de la POD) dans le cas général. Cette approche pose par ailleurs un problème de consistance dimensionnelle de la décomposition. Néanmoins, la pression peut alors être approchée comme suit :
p≈ p +
Npod
X
i=1
aiΦpi, (6.18)
où les coefficients temporels ai sont issus de l’intégration du ROM (6.15).
Par ailleurs, afin d’éviter de négliger le terme de pression dans le ROM, des approches fondées sur une approximation directe de (∇p, Φi) sont proposées parGalletti et al. (2004) etNoack et al. (2005),
en utilisant comme coefficents temporels, les coefficients ai de la POD du vecteur vitesse.
Dans le cadre de cette thèse, le système physique considéré est constitué des équations de Navier-Stokes pour les écoulements compressibles et par conséquent, le problème du choix d’une représentation a posteriori de la pression ne se pose pas, celle-ci étant résolue comme une variable d’état dans le ROM.
4
Ecoulements compressibles
La modélisation de dimension réduite d’écoulements compressibles a fait l’objet d’un nombre relati-vement restreint d’études. Les difficultés propres à ce contexte sont principalement :
– la définition de la POD dans le cas où les variables cinématiques et thermodynamiques sont couplées au sein du vecteur d’état,
– le choix de la formulation de ce vecteur d’état pour pouvoir obtenir un modèle réduit simple après projection de Galerkin.
Le premier point a déjà été abordé au chapitre 5 où il a été montré qu’une base POD couplant les contributions des différentes variables peut être définie à condition de considérer un produit scalaire consistant. Le second point est détaillé dans cette section.
Dans un premier temps, les différentes approches rencontrées dans la littérature sont rapidement présentées. Le système physique “haute-fidélité” est ensuite rappelé dans sa formulation initiale puis décrit dans une formulation autorisant une application efficace de la méthodologie POD-Galerkin.
4.1
Dans la littérature
La modélisation de dimension réduite d’écoulements compressibles instationnaires autour de surfaces portantes présente un intérêt certain dans le contexte aéronautique notamment pour la conception opti-male de forme mais aussi pour l’étude et la quantification, en interaction fluide-structure, de phénomènes aéro-élastiques tels que le flottement ou le tremblement. Dans ce cadre applicatif, des études ont, dans un premier temps, été menées sur la base des équations d’Euler et de Navier-Stokes linéarisées. Ainsi
Lucia & Beran (2003) proposent une méthodologie générale pour dériver une modélisation de dimen-sion réduite des équations d’Euler linéarisées par la méthode POD-Galerkin dans le cas instationnaire en utilisant la POD temporelle présentée au chapitre précédent. La POD dans le domaine fréquentiel a également été mise en œuvre pour étudier la réponse d’ailes ou de cascades de pales soumises à des excitations de faibles amplitudes dans le cas bidimensionnel (Hall et al., 2000; Epureanu et al., 2001) et tridimensionnel (Thomas et al.,2003) pour des écoulements transsoniques visqueux et non-visqueux. Enfin, dans le cas linéarisé, la balanced truncation calculée par POD peut conduire à des réductions de dimensions conséquentes tout en conservant une sensibilité réaliste du ROM vis-à-vis d’excitations extérieures (Willcox & Peraire, 2002). L’approche dite harmonic balance (Hall et al., 2002) ne se fonde pas sur la POD mais constitue également une approche de modélisation de dimension réduite utilisée avec succès dans ce contexte, dans le cas non-linéaire et instationnaire pour des écoulements strictement
périodiques (Thomas et al.,2006). Le lecteur pourra trouver une revue complète de ces différents travaux dans l’article de référence deLucia et al.(2004).
L’approche POD-Galerkin temporelle telle qu’elle a été présentée précédemment pour le cas des équa-tions de Navier-Stokes incompressibles a également été considérée dans le cas non-linéaire compressible. La méthode proposée par Rowley et al. (2004), valide pour les écoulements isentropiques, a déjà été évoquée. Elle conduit à la définition d’un produit scalaire énergétique se fondant sur le fait que, pour ce type d’écoulements, une seule variable thermodynamique (la célérité du son par exemple) peut être retenue. Le modèle réduit ainsi dérivé est, comme dans le cas incompressible, un système d’EDO poly-nômial quadratique. Cette approche conduit à une prédiction efficace de l’écoulement de cavité entraînée bidimensionnel (Rowley et al., 2004) et tridimensionnel (Gloerfelt, 2006).
L’approche POD-Galerkin appliquée à une formulation classique des équations de Navier-Stokes pour les écoulements compressibles incluant deux variables d’état thermodynamiques ne conduit pas à un sys-tème d’EDO simple. Pour cela, une formulation polynomiale des équations de Navier-Stokes compressibles est nécessaire. Une telle formulation a été proposée parVigo (1998) et utilisée pour la modélisation de dimension réduite d’écoulements bidimensionnels et périodiques à faibles nombres de Mach (Vigo et al.,
1998; Vigo, 2000). Cette formulation a également été mise en œuvre par Iollo et al. (2000) pour la si-mulation de l’écoulement faiblement compressible (M = 0.2) périodique autour d’un profil d’aile à forte incidence en régime laminaire ainsi que l’écoulement bidimensionnel turbulent (Re = 22000, M = 0.1)
autour d’un cylindre de section carrée, initialement simulé par approche statistique URANS. Dans le cadre des investigations fondées sur la formulation proposée parVigo (1998), le problème de la consis-tance dimensionnelle des produits scalaires spatiaux mis en jeu dans la POD n’est pas considéré.
Dans la présente étude, cette formulation modifiée du système des équations de Navier-Stokes est utilisée conjointement au produit scalaire multi-dimensionnel consistant présenté précédemment pour développer, dans le cas d’écoulements tridimensionnels compressibles, des modèles d’ordre réduit aptes à restituer de manière fiable les phénomènes physiques complexes prédits par le modèle HF.
4.2
Modèle “haute-fidélité” à approcher
Dans le système des équations de Navier-Stokes pour les écoulements compressibles, les équations re-latives aux variables cinématiques et thermodynamiques sont couplées. L’expression de ce modèle “haute-fidélité” en termes de variables conservatives tel qu’il a été présenté au chapitre3 est rappelée :
v,t+ Fα,α= Fvisα,α, (6.19) avec v = ρ ρu1 ρu2 ρu3 ρe , Fi= ρui ρuiu1+ pδ1i ρuiu2+ pδ2i ρuiu3+ pδ3i ρuie + pui , Fvisi = 0 τ1i τ2i τ3i τiαuα− qi . (6.20)
v est le vecteur d’état des variables conservatives, F et Fvis sont respectivement les flux advectifs et diffusifs. L’ensemble des quantités mises en jeu ont été définies précédemment (§2 du chapitre 3). En particulier, τij est le tenseur des contraintes visqueuses qui inclut la viscosité dynamique du fluide.
Celle-ci peut être exprimée comme une fonction de la température par la loi de Sutherland. qi désigne la ième
composante du flux de chaleur.
Au système d’équations (6.19) sont associées une condition initiale v0 et des conditions aux limites.
Comme cela a été présenté au chapitre3, les conditions utilisées dans cette étude sont généralement, soit homogènes (condition d’adhérence et de non-pénétration, gradients nuls, . . . ) soit stationnaires (paroi isotherme, conditions de Dirichlet en entrée du domaine, . . . ). Par conséquent, la base POD assure que ces conditions aux limites sont satisfaites de façon implicite si le champ moyen (ou tout autre champ de référence vérifiant ces conditions aux limites) est considéré comme relèvement.
Afin qu’un modèle réduit simple puisse être obtenu par projection de Galerkin de ce système d’équa-tions sur la base POD, il est préférable que le modèle HF puisse être écrit sous forme polynomiale par
4. Ecoulements compressibles
rapport aux variables d’état. Ce n’est pas le cas lorsque la formulation conservative est considérée. En effet, le flux advectif F1 par exemple, s’écrit comme suit en variables conservatives v =t[v1 . . . v5] :
F1= ρu1 ρu1u1+ p ρu1u2 ρu1u3 ρu1e + pu1 = v2 v2 2 v1 + (γ− 1) v5− v2 2+v32+v24 2v1 v2v3 v1 v2v4 v1 v2v5 v1 + v2 v1(γ− 1) v5− v2 2+v23+v42 2v1 . (6.21)
Ainsi, en introduisant la décomposition aux valeurs propres des variables conservatives, des fractions rationnelles apparaissent n’autorisant pas une projection de Galerkin simple comme dans le cas incom-pressible. Cette formulation peut néanmoins être utilisée mais le calcul du second membre du modèle réduit est alors coûteux numériquement puisque de nombreuses évaluations du produit scalaire spatial sont nécessaires à chaque mise à jour.
4.3
Choix d’une formulation quadratique
Dans le cadre de cette thèse, la formulation proposée parVigo et al.(1998) est utilisée et étendue au cas tridimensionnel. Cette formulation conduit à une expression quadratique des équations de Navier-Stokes compressibles. La description suivante du changement de variables conduisant à un système polynomial quadratique est fidèle à celle de Vigo et al. (1998). En vue d’un changement de variables, le système (6.19) peut-être écrit comme suit :
v,t+ Aαv,α= (Kαβv,β),α. (6.22)
Aiet Kijsont appelées respectivement matrices d’advection et de diffusion et sont telles que Fi,i= Aiv,i
et Fvisi = Kiαv,α. Un changement de variables de v à ˇv est effectué via la matrice jacobienne A0 :
ˇ v,t+ A−10 AαA0vˇ,α = A−10 (KαβA0vˇ,β),α, (6.23) ou encore : ˇ v,t+ A−10 AαA0vˇ,α= A−10 KαβA0vˇ,β,α− A−10 ,αKαβA0vˇ,β. (6.24)
Ainsi, le système exprimé en termes de variables modifiées peut s’écrire : ˇ v,t+ ˇAαvˇ,α= Kˇαβvˇ,β ,α− ˇGαvˇ,α, (6.25) avec ˇ Ai= A−10 AiA0, Kˇij = A−10 KijA0, et ˇGi = A−10 ,αKαiA0. (6.26)
Dans la suite pour plus de clarté, la formulation (6.23) est retenue sous la forme : ˇ v,t+ ˇFα= ˇF vis α , (6.27) avec ˇ Fi= A−10 Fi,i, et ˇF vis i = A −1 0 F vis i,i. (6.28)
La formulation tridimensionnelle conforme à celle proposée par Vigo et al. (1998) dans le cas bidi-mensionnel est : v = ρ ρu1 ρu2 ρu3 ρe → ˇv = 1/ρ u1 u2 u3 p . (6.29)
La matrice jacobienne associée à ce changement de variables est :
A0= −ρ2 0 0 0 0 −ρ2u 1 ρ 0 0 0 −ρ2u 2 0 ρ 0 0 −ρ2u 4 0 0 ρ 0 −ρ2 u2α
2 ρu1 ρu2 ρu3
1 γ−1 . (6.30)
L’inverse de cette matrice s’écrit : A−10 = −1 ρ2 0 0 0 0 −u1 ρ 1 ρ 0 0 0 −u2 ρ 0 1 ρ 0 0 −u3 ρ 0 0 1 ρ 0 (γ− 1)u2α 2 (1− γ) u1 (1− γ) u2 (1− γ) u3 γ− 1 . (6.31)
Les matrices d’advections pour le jeu de variables modifiées sont par exemple égales à :
ˇ Ai= ui −1ρδ1i −ρ1δ2i −ρ1δ3i 0 0 ui 0 0 1ρδ1i 0 0 ui 0 1ρδ2i 0 0 0 ui 1ρδ3i 0 γpδ1i γpδ2i γpδ3i ui . (6.32)
Les termes advectifs et diffusifs s’expriment comme suit :
ˇ Fi= ui 1 ρ ,i− ui,i 1 ρ uiu1,i+ 1 ρ p,iδ1i uiu2,i+ 1 ρ p,iδ2i uiu3,i+ 1 ρ p,iδ3i γpui,i+ uip,i et ˇFvisi = 0 1 ρ τ1i,i 1 ρ τ2i,i 1 ρ τ3i,i γµ Pr 1 ρp ,ii + (γ− 1) uα,iταi . (6.33)
Les termes advectifs ˇFi obtenus sont quadratiques vis-à-vis des variables modifiées ˇv. En supposant
que la viscosité du fluide est constante, les termes visqueux ˇFvisi sont également quadratiques. Il s’ensuit que le système des équations d’Euler exprimé en formulation modifiée est quadratique sans hypothèse particulière et que les équations de Navier-Stokes sont quadratiques sous l’hypothèse précédente. Cette approximation concernant la viscosité est adoptée dans la suite de cette étude pour la construction d’un modèle réduit POD-Galerkin quadratique. Les erreurs induites par cette hypothèse sont corrigées a posteriori par une procédure de calibration (§6).
4.4
Modèle POD-Galerkin d’écoulements compressibles
A partir de la formulation quadratique des équations de Navier-Stokes (6.27), un modèle d’ordre réduit est obtenu par la méthodologie POD-Galerkin. Le vecteur d’état modifié est approché par une décomposition aux valeurs propres séparable tronquée comme suit :
ˇ v≈ ˇv + Npod X i=1 aiΦi (6.34)
où ˇv correspond au champ moyen et Φi=t[Φ 1/ρ i Φ u1 i Φ u2 i Φ u3 i Φ p i].
Le produit scalaire dimensionnellement consistant présenté au chapitre précédent est utilisé pour déterminer la base POD et pour effectuer la projection de Galerkin du modèle HF, pour i = 1, . . . , Npod:
(ˇv,t, Φi) + ˇFα, Φi = ˇF vis
α , Φi
. (6.35)
En introduisant (6.34) dans (6.35), la projection de Galerkin sur les Npodpremiers modes conduit au
système d’EDO suivant, pour i = 1, . . . , Npod :
˙ai= Ci+ Npod P j=1 Lijaj+ Npod P j=1 Npod P k=1 Qijkajak ai(0) = ˇv0− ˇv, Φi . (6.36)
5. Instabilité de von Kármán en écoulement transsonique
Les coefficients constants de ce système polynomial quadratique sont calculés comme suit : Ci = (Fα11− A α 11, Φi) Lij = (Fα1(j+1)+ F α (j+1)1− A α 1(j+1)− A α (j+1)1, Φi) Qijk = (Fα(j+1)(k+1)− A α (j+1)(k+1), Φi), (6.37) avec Aijk= Φ?ui j Φ ?(1/ρ) k,i − Φ ?(1/ρ) j Φ ?ui k,i Φ?ui j Φ ?u1 k,i + Φ ?(1/ρ) j Φ ?p k,iδ1i Φ?ui j Φ ?u2 k,i + Φ ?(1/ρ) j Φ ?p k,iδ2i Φ?ui j Φ ?u3 k,i + Φ ?(1/ρ) j Φ ?p k,iδ3i γΦ?pj Φ?ui k,i + Φ ?ui j Φ ?p k,i et Fijk= 0 Φ?(1/ρ)j τ? 1ik,i Φ?(1/ρ)j τ? 2ik,i Φ?(1/ρ)j τ? 3ik,i γµ Pr(Φ ?p j Φ ?(1/ρ) k ),ii+ (γ− 1)Φ ?uα j,i ταik? . (6.38) De plus, τ? ijk= µ(Φ ?ui k,j + Φ ?uj k,i − 2/3Φ ?uα k,αδij) et Φ
?représente la base POD à N
podcomposantes enrichie
du terme de relèvement Φ?= [ˇv, Φ1, . . . , ΦNpod].
Le calcul des coefficients constants du modèle réduit nécessite Npod(1+Npod+Npod2 ) produits scalaires
spatiaux, ce qui peut représenter un coût numérique relativement conséquent notamment dans le cas tridimensionnel. Néanmoins, ces coefficients peuvent être évalués a priori et une fois pour toutes, ce qui permet de découpler la phase de construction du ROM de sa résolution. L’intégration temporelle du système d’EDO (6.36) est assurée par un schéma explicite de Runge-Kutta d’ordre 4 à pas de temps variable4. Le nombre de degrés de liberté du ROM étant faible (en général d’une à quelques dizaines),
son intégration est rapide, autorisant des gains de plusieurs ordres de grandeur en termes de temps de calcul par rapport à la résolution directe du modèle HF. Ce gain est quantifié dans la suite de cette étude sur des exemples concrets.
5
Instabilité de von Kármán en écoulement transsonique
Afin d’illustrer la mise en œuvre pratique de la méthodologie POD-Galerkin pour les écoulements compressibles et évaluer sa précision ainsi que ses limitations, un exemple de référence bidimensionnel est proposé dans cette section. La configuration considérée est l’écoulement transsonique autour d’un profil d’aile de type NACA0012 à incidence nulle, pour des nombres de Mach et Reynolds respectivement égaux à 0.85 et 5000. Comme décrit au chapitre 2 (§ 4), cet écoulement présente une instationnarité induite par des effets de compressibilité. En effet, un tel écoulement est stationnaire dans le cas incompressible. L’instationnarité en régime transsonique est ici associée à une instabilité de von Kármán se développant dans le sillage proche du profil en raison de l’élargissement des couches limites en aval des “poches” de sur-vitesse de part et d’autre de l’aile. Pour ce couple de nombres de Mach et Reynolds, les régions supersoniques observées sont stationnaires et symétriques. Sur la figure 6.1, ce phénomène est illustré par des champs instantanés du nombre de Mach local et du coefficient de pression défini par Cp =
(p− p∞)/(1/2ρu2∞). Les simulations “haute-fidélité” nécessaires à la construction de la base POD sont
issues du code ICARE/IMFT compressible (Bouhadji & Braza,2003a) décrit au chapitre 3. Les champs moyens associés aux variables mises en jeu dans la formulation modifiée (6.29) sont présentés sur la figure
6.2.
La première étape dans la construction d’un modèle réduit de cet écoulement compressible est la détermination de la base POD. Les différents produits scalaires décrits au chapitre précédent sont en premier lieu comparés du point de vue de leur efficacité pour la représentation de la base de données HF. Suite à cette évaluation, une base POD est extraite et le ROM correspondant est calculé. Enfin, la précision du modèle réduit pour la prédiction de cet écoulement instationnaire sur des horizons temporels courts est examinée.
5.1
Calcul de la base POD tronquée
La base de données HF est constituée de Nt réalisations successives de l’écoulement (les clichés ou
snapshots) collectées au cours d’une période de l’instabilité de von Kármán. Le stockage est effectué
Cp: -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 (d) Cp: -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 (c) Mach: 0.40 0.52 0.63 0.75 0.87 0.98 1.10 (a) Mach: 0.40 0.52 0.63 0.75 0.87 0.98 1.10 (b)
Fig. 6.1 – Champs instantanés de nombre de Mach ((a) et (c)) et de coefficient de pression ((b) et (d)) à deux instants successifs : ((a) et (b)) t = 0 (1er cliché) et ((c) et (d)) t = 1.3× 10−3s (50ème cliché).
Ecoulement autour d’un profil d’aile type NACA0012 à incidence nulle, M = 0.85 et Re= 5000.
lorsque l’écoulement a atteint son régime permanent périodique. Dans un premier temps Nt = 100
clichés successifs sont considérés soit un pas de temps de collecte égal à ∆t = 2.6× 10−5s. Pour le
type d’instationnarités périodiques considéré ici, ce nombre de clichés est classiquement utilisé dans la littérature (Deane et al., 1991; Galletti et al., 2004, par exemple). Comme cela sera présenté par la suite, cet échantillonnage permet une capture efficace de l’évolution temporelle des différentes quantités physiques mises en jeu5. Le domaine de calcul est discrétisé en N
x = 369× 89 points et dans le cas
bidimensionnel, le nombre de variables d’état est d = 4. D’une manière générale et quel que soit le produit scalaire adopté, l’approche snapshot POD est mise en œuvre car Nx Nt. En premier lieu, cet
exemple applicatif permet de justifier le choix d’une décomposition aux valeurs propres vectorielle qui sera adoptée dans la suite de cette étude.
POD scalaire ou vectorielle ?
Afin d’évaluer l’éventuel intérêt d’une POD propre à chaque variable, l’erreur relative de représentation associée à la fluctuation temporelle ˜vi de la variable vi en norme L2est définie comme suit6 :
Evi(N
pod) = k˜v
i− ˆ˜vik
k˜vik
. (6.39)
5Il a été vérifié dans cette étude que retenir 50 clichés, voire même 20, au lieu de 100 conduisait à une base POD similaire
comme dans le cas incompressible étudié parDeane et al.(1991) par exemple.
5. Instabilité de von Kármán en écoulement transsonique
u1: 100 129 159 188 218 247 277 306 336 365
(b)
p: 12 13 15 16 17 18 20 21 22 23
(d)
1/rho: 4.00E+03 4.63E+03 5.26E+03 5.89E+03 6.53E+03
(a)
u2: -65 -51 -38 -24 -10 3 17 31 44 58
(c)
Fig. 6.2 – Champs moyens associés aux variables du système physique “haute-fidélité”, (a) 1/ρ (m3/kg), (b) u1(m/s), (c) u2(m/s) et (d) p (Pa). Ecoulement autour d’un profil d’aile type NACA0012 à incidence
nulle, M = 0.85 et Re= 5000.
k · k est la norme induite par le produit scalaire sur L2(Ω) et ˆv˜
i désigne l’approximation de ˜vi sur une
base POD tronquée à Npod termes telle que :
vi− vi= ˜vi≈ ˆ˜vi = Npod X j=1 avi j Φ vi
j pour la POD scalaire, (6.40)
ou vi− vi= ˜vi≈ ˆ˜vi= Npod X j=1 ajΦvji (6.41)
pour la POD vectorielle nécessitant la définition d’un produit scalaire consistant7. L’erreur de
représen-tation est évaluée vis-à-vis de la prédiction des fluctuations temporelles des variables autour du champ moyen car celui-ci est supposé connu. Les erreurs d’approximation moyennes observées sur l’horizon temporel de collecte des clichés sont représentées sur la figure 6.3, pour chaque variable.
Il apparaît que les erreurs de représentation liées à la troncature de la base POD à 10 modes8 sont
faibles et que les différences observées entre les approches scalaire et vectorielle sont infimes. Ainsi la POD couplant les contributions des différentes variables assure une représentation aussi efficace que d bases POD distinctes. Cela peut s’expliquer par le fait que les coefficients temporels associés à chaque variable dans le cas scalaire présentent des allures très similaires. Dans la suite de cette étude, la POD vectorielle
7Le produit scalaire multi-dimensionnel consistant utilisé pour cette comparaison inclut une normalisation par la variance
globale comme défini au chapitre précédent (5.84).
E rr e u r re la ti v e m o y e n n e d e re p ré s e n ta ti o n (% ) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 POD vectorielle POD scalaire
p
1/ρ
u1
u2
(a)
D if fé re n c e e rr e u r P O D v e c to ri e ll e / s c a la ir e (% ) 0 0.0005 0.001 0.0015 0.0021/ρ
u1
u2
p
(b)
Fig. 6.3 – (a) Erreurs relatives moyennes de représentation Evi(Npod) des différentes variables par les
POD tronquées scalaire et vectorielle comprenant Npod= 10 modes. (b) Différence des erreurs relatives
moyennes des POD scalaire et vectorielle par variable.
sera généralement mise en œuvre évitant ainsi de multiplier inutilement par d le nombre d’inconnues dans le modèle réduit. Pour définir cette POD un produit scalaire consistant doit être considéré.
Produit scalaire multi-dimensionnel
Dans le cadre de l’étude des écoulements compressibles, deux produits scalaires multi-dimentionnels ont été proposés au chapitre5 pour définir une POD vectorielle consistante. Ces produits scalaires sont rappelés ci-dessous, pour deux états vI et vII :
vI, vII = d X i=1 Z Ω vIi (x) vIIi (x) σ2 i(x) + ε dx avec σi2(x) = 1 T Z T 0 (vi(x)− vi(x)) 2 dt, (6.42)
la variance statistique locale associée à vi, ou
vI, vII = d X i=1 1 σ2 i Z Ω vIi (x) vIIi (x)dx avec σi2= 1 T Z Ω Z T 0 (vi(x)− vi(x)) 2 dtdx, (6.43)
la variance statistique moyenne associée à vi.
Sur la figure6.4(a), les informations relatives propres aux premiers modes POD obtenus en utilisant les définitions (6.42) et (6.43) sont représentées. Sur ce graphique, l’information apparaît plus concentrée dans les premiers modes lorsque la définition locale (6.42) de la variance est prise en compte. Cependant, la contribution de chaque mode n’a de sens que pour le produit scalaire considéré et cette comparaison ne permet pas de conclure quant à l’efficacité respective des deux approches. Pour cela, les erreurs relatives de représentation sur les bases POD à 10 composantes obtenues par ces deux définitions sont reportées sur la figure6.4(b). Aucune différence notable n’apparaît entre les deux approches. Dans la suite de cette étude, la définition mettant en jeu la variance moyenne (6.43) sera utilisée car elle évite l’introduction de la constante arbitraire ε.
Modes POD spatiaux
Le produit scalaire multi-dimensionnel étant défini, l’approche snapshot POD conduit au calcul d’une matrice de corrélations temporelles groupant les contributions des différentes variables. Cette matrice, représentée sur la figure6.5, illustre le caractère fortement périodique (et statistiquement stationnaire) de cet écoulement.
5. Instabilité de von Kármán en écoulement transsonique Mode In fo rm a ti o n re la ti v e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 Variance globale Variance locale (a) E rr e u r re la ti v e m o y e n n e d e re p ré s e n ta ti o n (% ) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 Variance globale Variance locale
p
1/ρ
u1
u2
(b)Fig. 6.4 – (a) Contributions relatives de chaque mode POD à la capture de l’information contenue dans la base de données. (b) Erreurs relatives moyennes de représentation Evi
(Npod) des différentes variables
par les POD vectorielles incluant une normalisation par la variance locale ou globale (Npod= 10).
Temps (s) T e m p s (s ) 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 Corrélation 1.0 0.8 0.6 0.3 0.1 -0.1 -0.3 -0.6 -0.8 -1.0
Fig. 6.5 – Matrice des corrélations temporelles normalisées.
Comme présenté précédemment, le spectre de cette matrice de corrélation permet d’évaluer la contri-bution de chaque mode POD pour la capture de l’information statistique contenue dans la base de don-nées initiale. Les valeurs propres normalisées par l’information statistique totale de la base de dondon-nées : λi/P
Nt
j=1λjsont représentées sur la figure6.6ainsi que l’information cumulée I(Npod) =P
Npod
i=1 λi/P
Nt
i=1λi
des bases POD comprenant les Npodpremiers modes9.
L’efficacité de la décomposition aux valeurs propres se traduit par l’accumulation de l’information statistique dans les premiers modes. Ainsi, la première paire de modes représente plus de 85% de l’inertie de la base de données et 10 modes suffisent à capturer environ 99.99% de l’information. Ces résultats sont en accord avec les études rapportées dans la littérature pour des écoulements bidimentionnels dans le contexte incompressible (Bergmann et al.,2005, par exemple). Le groupement par paires des modes d’un point de vue énergétique s’explique par leur structure spatiale, elle-même liée à la forme des coefficients
9Le produit scalaire (6.43) implique quePNt
Mode
In
fo
rm
a
ti
o
n
re
la
ti
v
e
In
fo
rm
a
ti
o
n
re
la
ti
v
e
c
u
m
u
lé
e
(%
)
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 40 50 60 70 80 90 100 Information relativeInformation relative cumulée
Base POD tronquée
10 modes - 99.99%
Fig. 6.6 – Contribution relative de chaque mode POD à l’extraction de l’information statistique de la base de données (axe de gauche - traits pleins) et information statistique cumulée de la base POD tronquée en fonction du nombre de modes (axe de droite - traits pointillés).
temporels de la POD comme cela est décrit dans la section suivante.
Les huit premiers modes POD spatiaux associés à la composante verticale de la vitesse et à la pression sont représentés sur les figures6.7et6.810. La topologie de ces modes est liée à la structure “antisymétri-que” de l’écoulement gouverné par l’instabilité de von Kármán. En particulier, les paires de modes POD sont successivement antisymétriques et symétriques par rapport à la ligne de coupure du sillage (axe x1).
Cette structuration des modes a été rapportée parCordier & Bergmann (2002) et Noack et al. (2003) dans le cas de l’écoulement laminaire en aval d’un cylindre circulaire également gouverné par l’instabilité de von Kármán. Il est rappelé que les modes issus de la décomposition aux valeurs propres ne peuvent pas être considérés comme des structures cohérentes ou tourbillons en tant que tels. Néanmoins, il appa-raît clairement que les deux premiers modes représentent les mêmes topologies déphasées dans l’espace. Ainsi, la somme de ces deux modes pondérés par les coefficients temporels pourra assurer une bonne ap-proximation des tourbillons alternés constituant l’allée de von Kármán. Cette constatation est à l’origine du “least-order model” proposé par Noack et al. (2003). Dans ce modèle réduit de l’instabilité de von Kármán, seuls les deux premiers modes de la POD sont retenus. Les modes POD suivants correspondent simplement à une correction ou un complément des deux premiers pour une meilleure représentation des données. La base POD ainsi dérivée est utilisée pour définir le sous-espace de faible dimension sur lequel le modèle HF va être projeté. Enfin, du point de vue de l’analyse physique, les modes POD peuvent ap-porter des informations quant aux corrélations spatiales entre les différentes régions du domaine d’étude. Ce point sera abordé plus en détail par la suite, dans le cas où plusieurs modes d’instabilité cohabitent. Coefficients temporels
Les coefficients temporels associés aux modes POD spatiaux précédemment décrits correspondent aux fonctions propres de la matrice des corrélations temporelles. Du point de vue de l’approche POD directe, ils peuvent être obtenus par projection des clichés sur les modes POD spatiaux. Ils représentent les dynamiques des modes POD en assurant leur modulation temporelle. Les coefficients ai associés aux
huit premiers modes POD sont représentés en fonction du temps sur la figure 6.9. Comme les modes spatiaux, les ai sont groupés par paires de fréquence et d’amplitude comparables, les deux dynamiques
10Les modes considérés indépendamment les uns des autres n’ayant pas de sens physique propre, les représentations
5. Instabilité de von Kármán en écoulement transsonique
Mode 1 - u2
Mode 2 - u2
Mode 3 - u2
Mode 4 - u2
Mode 5 - u2
Mode 6 - u2
Mode 7 - u2
Mode 8 - u2
Fig. 6.7 – Premiers modes POD associés à la composante verticale de la vitesse. Les lignes pointillées représentent les valeurs négatives.
d’une même paire étant simplement déphasées. L’allure sinusoïdale de ces coefficients et le fait que leur fréquence temporelle augmente entre deux paires consécutives illustrent le lien entre la décomposition aux valeurs propres et la décomposition en série de Fourier. En effet, l’écoulement considéré étant périodique (en temps) et supposé (quasi-)stationnaire du point de vue statistique, les coefficients temporels de la POD correspondent à une décomposition harmonique sur les modes réels cos(2πkt/T ) et sin(2πkt/T ) avec k ≥ 1 et T la période de l’instabilité (Holmes et al., 1996). Ceci justifie le déphasage égal à π/2 observé au sein des paires de coefficients temporels et le déphasage spatial (ou translation) au sein des paires de modes POD.
Sur la figure 6.10, les coefficients temporels de la POD sont présentés sous forme de diagrammes de phase ou courbes de Lissajous, en fonction du premier mode. Cette représentation illustre le carac-tère quasi-périodique des signaux (les courbes sont fermées) ainsi que l’augmentation de la fréquence caractéristique observée d’une paire à l’autre.
Mode 2 - p
Mode 1 - p
Mode 3 - p
Mode 8 - p
Mode 7 - p
Mode 5 - p
Mode 6 - p
Mode 4 - p
Fig. 6.8 – Premiers modes POD associés à la pression. Les lignes pointillées représentent les valeurs négatives.
réduit qui doivent être prédites efficacement par le système d’EDO POD-Galerkin. Les figures précédentes représentent donc les coefficients de référence à simuler.
Troncature de la base POD
La troncature de la base POD se fonde sur un critère de représentation de la base de données originale. Le nombre de modes POD considérés dans cette étude est Npod= 10 ce qui représente I(Npod)≈ 99.99%
en termes d’information statistique retenue. Sur la figure6.11, l’erreur instantanée d’approximation est représentée pour différents nombres de modes. Cette erreur est définie comme suit :
ENvarpod(t) =
k˜v − ˆ˜vk
5. Instabilité de von Kármán en écoulement transsonique Temps (s) a 1 0.0000-2 0.0003 0.0005 0.0008 0.0010 0.0013 0.0015 0.0018 0.0020 0.0023 0.0025 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Temps (s) a 2 0.0000-2 0.0003 0.0005 0.0008 0.0010 0.0013 0.0015 0.0018 0.0020 0.0023 0.0025 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Temps (s) a 3 0.0000 0.0003 0.0005 0.0008 0.0010 0.0013 0.0015 0.0018 0.0020 0.0023 0.0025 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Temps (s) a 4 0.0000 0.0003 0.0005 0.0008 0.0010 0.0013 0.0015 0.0018 0.0020 0.0023 0.0025 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Temps (s) a 8 0.0000 0.0003 0.0005 0.0008 0.0010 0.0013 0.0015 0.0018 0.0020 0.0023 0.0025 -0.1 -0.075 -0.05 -0.025 0 0.025 0.05 0.075 0.1 Temps (s) a 7 0.0000 0.0003 0.0005 0.0008 0.0010 0.0013 0.0015 0.0018 0.0020 0.0023 0.0025 -0.1 -0.075 -0.05 -0.025 0 0.025 0.05 0.075 0.1 Temps (s) a 6 0.0000 0.0003 0.0005 0.0008 0.0010 0.0013 0.0015 0.0018 0.0020 0.0023 0.0025 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Temps (s) a 5 0.0000 0.0003 0.0005 0.0008 0.0010 0.0013 0.0015 0.0018 0.0020 0.0023 0.0025 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
Fig. 6.9 – Coefficients temporels associés aux premiers modes POD en fonction du temps.
où k · k est la norme induite par le produit scalaire consistant sur L2(Ω)4. Comme précédemment, le calcul de l’erreur de représentation porte uniquement sur les fluctuations temporelles, le champ moyen étant retranché de la base de données.
La figure6.11 illustre la diminution de l’erreur d’approximation lorsque le nombre de modes POD augmente. En considérant 10 modes cette erreur est de l’ordre de 1.1%. Etant donné le caractère quasi-stationnaire de l’énergie instantanée totale de la base de données et de l’erreur d’approximation dans le cas considéré, cette erreur peut par ailleurs être approchée comme suit :
Evar Npod≈ v u u u u u u t Nt P i=Npod+1 λi Nt P i=1 λi . (6.45)
a1 a 4 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 a1 a 6 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 a1 a 8 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 -0.1 -0.075 -0.05 -0.025 0 0.025 0.05 0.075 0.1 a1 a 7 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 -0.1 -0.075 -0.05 -0.025 0 0.025 0.05 0.075 0.1 a1 a 5 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 a1 a 3 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 a1 a 1 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 a1 a 2 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Fig. 6.10 – Coefficients temporels associés aux premiers modes POD en fonction du premier coefficient - courbes de Lissajous.
l’erreur de représentation n’est pas nécessairement le plus pertinent. En effet, pour des écoulements moins périodiques et organisés que la présente configuration, une certaine proportion de l’information statistique (au sens de la POD) peut être constituée d’évènements rares ou même chaotiques. Ainsi, une application aveugle du critère de troncature précédent conduit à retenir un grand nombre de modes POD pour capturer ces évènements alors qu’ils ne sont pas significatifs du point de vue de la dynamique globale de l’écoulement. Dans la pratique, un tel critère peut être utilisé comme indicateur mais un choix raisonné des modes POD retenus est inévitable dans le cas général.
5.2
Modèle POD-Galerkin
A partir des modes POD retenus et du champ moyen, les coefficients constants du modèle d’ordre réduit (6.37) peuvent être évalués. La condition initiale du système d’équations différentielles est obtenue
5. Instabilité de von Kármán en écoulement transsonique Temps (s) E rr e u r re la ti v e (% ) 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 10-1 100 101 20 modes 2 modes 4 modes 6 modes 8 modes 10 modes 12 modes 14 modes 16 modes 18 modes
Fig. 6.11 – Erreur instantanée de représentation des fluctuations temporelles de la base de données en fonction du temps et du nombre de modes POD considérés.
en projetant le premier cliché11 sur les N
pod premiers modes. Comme cela a déjà été mentionné, la
mé-thodologie POD-Galerkin autorise un découplage des phases de construction et d’intégration du ROM. Si l’intégration du système d’EDO à Npod dimensions est extrêmement rapide, le calcul des coefficients de
ce système peut en revanche être coûteux numériquement12, sans toutefois atteindre le coût de résolution
du modèle HF, y compris dans le cas tridimensionnel. Afin d’effectuer un “bilan” du coût de la méthode en termes de temps de calcul, un tableau comparatif est proposé dans l’annexeB.
Les coefficients temporels issus de l’intégration temporelle du modèle d’ordre réduit sont représentés sur les figures6.12et6.13en fonction du temps et dans l’espace des phases, respectivement. D’un point de vue qualitatif, il apparaît que les deux premières dynamiques qui véhiculent la majeure partie (≈ 85%) de l’information statistique sont bien prédites, qu’il s’agisse de leur amplitude ou de leur fréquence. Face à cela, les dynamiques temporelles des modes POD suivants sont nettement moins bien simulées. En particulier, d’importantes dérives en amplitude sont observées ainsi qu’une augmentation de la période temporelle. Alors que la dérive en amplitude des deux premiers coefficients se traduit par une amplifica-tion, les suivants ont plutôt tendance à s’atténuer. L’imprécision du modèle réduit ainsi mise en évidence a été largement étudiée dans la littérature. Elle peut avoir plusieurs origines qui seront décrites au §6. Une méthodologie permettant de corriger a posteriori cette “instabilité” sera également présentée.
Dans un premier temps, les performances du modèle réduit brut issu de la projection de Galerkin sur la base POD sont détaillées. En effet, malgré les limitations mentionnées précédemment, un tel ROM peut s’avérer convenable pour la prédiction de tendances générales à court terme, notamment dans la perspective d’une utilisation d’un tel modèle dans un processus de contrôle.
Prédiction des coefficients : analyse quantitative
Une analyse quantitative de l’efficacité du modèle réduit POD-Galerkin pour la prédiction des dyna-miques de référence est proposée dans cette section. L’erreur relative instantanée est représentée sur la figure6.14pour chaque mode retenu. Cette erreur est définie comme suit, pour i = 1, . . . , Npod :
Ei0(t) = |ai− a
rom
i |
|ai|
, (6.46)
11Auquel le champ moyen a été retranché. 12≈ N3
Temps (s) a 1 0.0000 0.0003 0.0005 0.0008 0.0010 0.0013 0.0015 0.0018 0.0020 0.0023 0.0025 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Temps (s) a 2 0.0000 0.0003 0.0005 0.0008 0.0010 0.0013 0.0015 0.0018 0.0020 0.0023 0.0025 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Temps (s) a 3 0.0000 0.0003 0.0005 0.0008 0.0010 0.0013 0.0015 0.0018 0.0020 0.0023 0.0025 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 Temps (s) a 4 0.0000 0.0003 0.0005 0.0008 0.0010 0.0013 0.0015 0.0018 0.0020 0.0023 0.0025 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 Temps (s) a 5 0.0000 0.0003 0.0005 0.0008 0.0010 0.0013 0.0015 0.0018 0.0020 0.0023 0.0025 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Temps (s) a 6 0.0000 0.0003 0.0005 0.0008 0.0010 0.0013 0.0015 0.0018 0.0020 0.0023 0.0025 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Temps (s) a 8 0.0000 0.0003 0.0005 0.0008 0.0010 0.0013 0.0015 0.0018 0.0020 0.0023 0.0025 -0.1 -0.075 -0.05 -0.025 0 0.025 0.05 0.075 0.1 Temps (s) a 7 0.0000 0.0003 0.0005 0.0008 0.0010 0.0013 0.0015 0.0018 0.0020 0.0023 0.0025 -0.1 -0.075 -0.05 -0.025 0 0.025 0.05 0.075 0.1
Fig. 6.12 – Coefficients temporels associés aux premiers modes POD en fonction du temps : prédiction par le ROM (lignes rouges) et référence ().
où les coefficients aromi sont issus de l’intégration du ROM. Ce diagramme montre que l’erreur de prédiction des deux premiers modes reste faible(< 10%) sur l’intervalle d’intégration. L’erreur associée aux modes suivants croît dès le début de l’intégration et peut atteindre, voire dépasser 100%. Les sauts observés correspondent à l’annulation des coefficients de référence.
Afin d’examiner la prédiction des coefficients propres à chaque mode POD, l’erreur relative en norme L2 est considérée : Ei2= s h(ai− aromi ) 2 i ha2 ii , (6.47)
oùh · i désigne l’opérateur de moyenne temporelle. Il apparaît sur la figure6.15(a) que l’erreur associée aux deux modes d’une même paire est sensiblement la même et que cette erreur croît quasi-linéairement d’une paire à l’autre. L’erreur relative instantanée pour la prédiction de l’ensemble des coefficients temporels
5. Instabilité de von Kármán en écoulement transsonique a1 a 1 -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 a1 a 8 -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 -0.1 -0.075 -0.05 -0.025 0 0.025 0.05 0.075 0.1 a1 a 7 -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 -0.1 -0.075 -0.05 -0.025 0 0.025 0.05 0.075 0.1 a1 a 6 -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 a1 a 5 -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 a1 a 3 -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 a1 a 4 -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 a1 a 2 -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Fig. 6.13 – Coefficients temporels associés aux premiers modes POD en fonction du premier coefficient : prédiction par le ROM (lignes rouges) et référence ().
définie par : EdynN pod(t) = v u u u u u u t Npod P i=1 (ai− aromi ) 2 Npod P i=1 a2 i , (6.48)
est représentée sur la figure6.15(b) en fonction du temps. Cette courbe montre que l’erreur de prédiction ne croît pas indéfiniment sur l’intervalle temporel contrairement à ce que pourrait laisser supposer la figure6.14.
L’énergie13 moyenne capturée par chaque mode POD sur l’horizon temporel des clichés ha2 ii est
représentée sur la figure 6.16. Cette figure peut être mise en parallèle du diagramme 6.15(a) et des
Temps (s) M o d e 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E0inst 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00
Fig. 6.14 – Erreur relative de prédiction instantanée par mode (6.46) en fonction du temps sur l’horizon temporel des clichés.
Mode E rr e u r re la ti v e d e p ré d ic ti o n L 2 (% ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 20 40 60 80 100 120 140 (a) Temps (s) E rr e u r re la ti v e in s ta n ta n é e (% ) 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0 10 20 30 40 (b)
Fig. 6.15 – (a) Erreur relative en norme L2 (6.47) par mode et (b) erreur relative instantanée globale (6.48) en fonction du temps.
courbes6.12: l’énergie capturée par la première paire de modes est surestimée alors que celle véhiculée par les modes suivants est sous-estimée.
Mode E n e rg ie m o y e n n e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10-3 10-2 10-1 100 Référence ROM
Fig. 6.16 – Energie moyenne associée à chaque mode POD : référence (POD) et prédiction par le ROM (échelle logarithmique).
