Une méthode de calcul des modes de vibrations non linéaires de structures

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Une méthode de calcul des modes de vibrations non

linéaires de structures

Remi Arquier

To cite this version:

Remi Arquier. Une méthode de calcul des modes de vibrations non linéaires de structures. Mécanique

[physics.med-ph]. Université de la Méditerranée - Aix-Marseille II, 2007. Français. �tel-00487857�

THÈSE

pourobtenir legradede

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ AIX-MARSEILLE II

Dis ipline : MÉCANIQUE

Option :SOLIDES

présentéeetsoutenue publiquement

par

Rémi Arquier

le30 mai2007

UNE MÉTHODE DE CALCUL DES

MODES DE VIBRATIONS NON

LINÉAIRES DE STRUCTURES

Dire teur et Codire teur de thèse :

Bruno Co helinetSergio Bellizzi

Jury

MrAntoine CHAIGNE Président MrDenis AUBRY Rapporteur MrClaude-Henri LAMARQUE Rapporteur MrSergio BELLIZZI Examinateur MrBruno COCHELIN Examinateur

THÈSE

pourobtenir legradede

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ AIX-MARSEILLE II

Dis ipline : MÉCANIQUE

Option :SOLIDES

présentéeetsoutenue publiquement

par

Rémi Arquier

le30 mai2007

UNE MÉTHODE DE CALCUL DES

MODES DE VIBRATIONS NON

LINÉAIRES DE STRUCTURES

Dire teur et Codire teur de thèse :

Bruno Co helinetSergio Bellizzi

Jury

MrAntoine CHAIGNE Président MrDenis AUBRY Rapporteur MrClaude-Henri LAMARQUE Rapporteur MrSergio BELLIZZI Examinateur MrBruno COCHELIN Examinateur

Je tiens à remer ier en premier lieu mes deux dire teurs de thèse Bruno Co helin etSergio

Bellizzipour m'avoir donné unsujet de thèse à lafoispertinent, intéressant et ambitieux,ainsi

queles moyens de leréaliser. Grâ eà vous, es quatreannées ont été l'o asionpour moi

d'a -quérir le sens de la démar he s ientique et des onnaissan es qui onstituent aujourd'hui un

bagagefondamental pourmesfutursprojets.Sa hezaussiquej'aiparti ulièrement appré ié"les

dis utionsdevanttableaublan "quenousavonspartagés,quiave dure uletdemanièreunpeu

surprenante, semblent avoirétéunedesmesprin ipalessour esdemotivation,ellesreprésentent

pourmoiundesaspe tslesplusattrayant delare her hes ientique.Jegardeennuntrèsbon

souvenirdes ongrèsenFran e,auMaro ,enGrè eetauPortugal.Mer id'avoireu onan een

moien me donnant l'opportunité dem'exprimer ave monanglaistrès approximatif devant des

"experts du non linéaire", e fût un peu stressant, mais formateur surtout. Bruno, mer i pour

ta disponibilité, ta bonne humeur toujours présente, etton indulgen e on ernant mes horaires

dé alées.

Mer i également auxmembres du jury,Mr Antoine Chaigne, président, Mr DenisAubry et

Mr Claude-Henry Lamarque, rapporteurs etGaetan Kers hen,examinateur, toutd'abord pour

avoir porté intintérêt à montravail puis pour vos appré iationssurle mémoire etvosquestions

lorsde lasoutenan e.

Ungrandmer ià l'UniversitédelaMéditerranée pourmabourseAMN sansquoirien

n'au-rait été fait. Je souhaite aussi remer ier le personnel administratif du LMA et elui de l'É ole

entrale de Marseille, ave une "spé ialedédi a e" à Dominique Bigliazzi,qui à toujours étélà

pour m'expliquer omment remplir tout esformulairesqui mesemblent siobs urs.

Mer i à Christophe Vergez pour la ollaboration sur MANLAB, ton enthousiasme fut très

motivant.

Un mer i général à toutes les personnes du plot 6 que j'ai toyé tout au long de ma thèse

etbiensûr à l'ensemblede l'équipe MN.Mer i àThierry,Jean etAdnane pour leur débats

en-amméssurlathermodynamique.Mer iàBouboupourtonaides ientiqueetpour tes onseils

avisés sur les autres domaines. Mer i à Fran k tout d'abord pour avoir été l'exemple à suivre

(!), mer i inniment pour ton mémoire. Hélène, mer i pour ta gentillesse, tes onseils pour le

monitorat etpour plein d'autres hoses.Mohamed pour ton ous ous, ne débronzepas trop en

belgique s'il te plaît, Jean Mar pour ta bonne humeur, Julie pour ta joie ommuni ative, ton

humour et pour les dis utions quotidiennes indispensables ave notre opine la ma hine à afé.

Stef, je ne sais omment te remer ier, notamment pour ton aide si pré ieuse ave latex, linux,

les ongs réseaux et imprimantes, que de temps gagné grâ e à toi! Mer i de m'avoir aidé en

gardant lesourirequand jerâlais devant les ma hines.Deux mots pour Romain:Lève toi.

Un très gros lin d'oeil à Denis et Josianne, ainsi qu'à l'équipe d'A tion Synthèse. Je suis

aussiparti ulièrement re onnaissantenversmesamisquiontsupportémamauvaisehumeurlors

desderniers jours,spé ialement Manu,Thomas, etNiokipourles derniersmois(pardon).Mer i

à ma famille, Miette, Mathieu, Floren e, Fadi, Guillaume, Ni ole, et mon Père pour m'avoir

Remer iements v

Introdu tion générale

I Manlab, un outilde ontinuation interra tif

Chapitre 1 Continuation de solutions de systèmes d'équations non linéaires

1.1 Contexte d'appli ation. . . 9

1.1.1 Formalisme en

U

. . . 9

1.1.2 Théorème desfon tions impli ites . . . 10

1.2 Méthodesde ontinuation . . . 11

1.2.1 Méthode de Newton-Raphson. . . 11

1.2.2 Méthode asymptotiquenumérique . . . 12

1.2.3 Comparaison . . . 13

1.3 Bran hessolutions etbifur ations . . . 14

1.3.1 Quasi-bifur ations . . . 14

1.3.2 Problème perturbé . . . 16

1.3.3 Méthode de bran hement . . . 16

Chapitre 2 Quelques apports autour de la méthode asymptotique numérique

2.1 Introdu tion . . . 21

2.2 Analysedu omportement de laMAN etpilotage. . . 21

2.2.1 Loindespointsde bifur ation . . . 21

2.2.2 Aproximité d'unpoint de bifur ation . . . 22

2.2.3 Propositionde pilotage . . . 23

2.2.4 Complément pour lespointsde quasi-bifur ation . . . 25

2.3 Con eption del'outil numérique . . . 26

2.3.1 Formulation etmiseen donnée . . . 27

2.3.2 Stru turation . . . 28

2.3.3 Intégration dubran hement par perturbation . . . 28

2.3.4 Intégration dusaut tangent . . . 29

2.3.5 Extentions aux systèmesréguliersquel onques (non rationnels) . . . 29

2.4 Bilandu hapitre. . . 31

Chapitre 3 Manlab à l'épreuve 3.1 Introdu tion . . . 35

3.2 Système àdeuxin onnues . . . 35

3.2.1 Miseen donnée. . . 35

3.2.2 Lan ement duprogramme . . . 36

3.3 Flambement de stru turesdis rétiséespar éléments nis . . . 38

3.3.1 Module duproblème destatique . . . 38

3.3.2 Module dumodèle élément nis . . . 39

3.3.3 Bibliothèque de fon tionsélémentaires DKT . . . 39

3.3.4 Cas d'étudedu ambement d'uneplaque . . . 40

3.4 Con lusion . . . 44

II Modes non linéaires 45 Chapitre 4 Vibrations et modes non linéaires 4.1 Introdu tion . . . 49

4.2 Systèmesdynamiques etvibrations non linéaires . . . 49

4.3 Casd'étude en mé anique . . . 50

4.4.2 Modes omplexes . . . 54

4.4.3 Aspe tgéométriqueetinvarian e . . . 56

4.4.4 Modesnormauxpour lessystèmes linéaires . . . 56

4.5 Généralitéssur le asnon linéaire . . . 58

4.5.1 Dénition desmodesnon linéaires . . . 59

4.5.2 Réponses etmodesnon linéaires . . . 60

4.5.3 Résonan es se ondairesetrésonan esinternes . . . 61

4.5.4 Quelquesméthodesde al uldesMNLs . . . 62

4.6 Solutions périodiquesde l'os illateur de Dung. . . 63

4.6.1 Réponselibre. . . 63

4.6.2 Réponsefor ée harmonique onservative . . . 65

4.6.3 Réponsefor ée harmonique non onservative . . . 67

4.7 Con lusion . . . 69

Chapitre5Orbitespériodiquesdesystèmesdynamiquesautonomeset onser-vatifs, formulation appliquéeà la mé anique 5.1 Introdu tion . . . 73

5.2 Famille d'orbites périodiquesetmodesnon linéaires . . . 75

5.3 Préliminaires . . . 77

5.3.1 Traje toires dansl'espa e desphases. . . 78

5.3.2 Normalisation temporelle . . . 78

5.3.3 Matri efondamentale . . . 79

5.3.4 Matri ede monodromie etstabilité . . . 80

5.4 Orbites périodiques desystèmes dynamiques autonomeset onservatifs . . . 82

5.4.1 Equation dephase . . . 83

5.4.2 Formulationà gradient d'énergie . . . 86

5.4.3 Formulationamortie . . . 92

5.5 Orbites périodiques desystèmes dynamiques non-autonomes . . . 94

5.6 Con lusion . . . 96

Chapitre 6 Une méthode de al ul des modes non linéaires: la méthode OP-MAN 6.1 Introdu tion . . . 99

6.2.2 Approximationdes stru turesmin es . . . 101

6.3 Dis rétisation spatiale . . . 103

6.4 Dis rétisation temporelle . . . 105

6.4.1 S héma de Newmark . . . 105

6.4.2 S héma de Simo . . . 106

6.4.3 Etude omparative et hoix . . . 106

6.4.4 Erreur depériodi ité etfréquen ede Shannon . . . 107

6.5 Formulation dis rètedu problèmedes orbitespériodiques . . . 109

6.5.1 Méthode detir . . . 109

6.5.2 Méthode simultanée . . . 110

6.5.3 Condensation desvitesses . . . 111

6.6 Continuation desorbites par laMAN (méthode OPMAN) . . . 113

6.6.1 Miseen forme quadratique . . . 114

6.6.2 Problèmeà l'ordre

p

. . . 114

6.6.3 Algorithmede al uldestermes desséries . . . 116

6.7 Implémentation . . . 117

6.7.1 Stru ture . . . 118

6.7.2 Niveau1:Manlab . . . 118

6.7.3 Niveau2:Classe MODELEEFOP . . . 119

6.8 Con lusion . . . 121

Chapitre 7 Expérimentations numériques ave la méthode OPMAN 7.1 Introdu tion . . . 125

7.2 Expérimentations numériques surune poutre . . . 125

7.2.1 Présentation delapoutre . . . 125

7.2.2 Réponselibre. . . 127

7.2.3 Analysepar parti ipation modale . . . 130

7.2.4 Dépendan eà ladis rétisation temporelle . . . 135

7.3 Interprétations . . . 137

7.3.1 Présentation dumodèle simplié . . . 137

7.3.2 Solutionspériodiquesdumodèle simplié . . . 140

7.4 Expérimentation numérique surune oquemin e . . . 145

7.4.1 Présentation dupanneau ave raidisseurs . . . 146

7.4.2 Réponselibre. . . 146

XI

Chapitre 8 Con lusion générale

Bibliographie 157

Table des gures 161

Annexe pour la bibliothèque EVEMATLABLIB 165

1 Introdu tion . . . 167

2 Inventaire des onstantes . . . 167

3 Inventaire desvariables . . . 167

4 Inventaire desfon tions . . . 168

4.1 Cal ul de lamatri ede omportement element DKT. . . 168

4.2 Cal ul desfor es internes element DKTnon lineaire . . . 168

4.3 Cal ul duse ond membre element DKTnon lineaire . . . 168

4.4 Cal ul duterme résiduel des ontraintes element DKTnon linéaire . . 168

Depuisledébutdesannées soixante,l'informatique etlare her he,notablement pousséspar les

besoins industriels, ont permis d'importantes avan ées dans ledomaine du al ul de vibrations

destru tures, sibienqu'aujourd'huilathéorielinéairedesvibrationsfondéeparRayleigh(1877)

semble être parfaitement maîtrisée et exploitée. On dispose en eet de te hniques robustes et

ables apables de traiter e a ement les problèmes de réponses for ées et d'analyse modale,

pourne iterquelesdeuxprin ipaux.Leslogi ielsdevibrationsdu ommer e,largementutilisés

dansl'industrie dutransportetdel'aéronautique, autorisent aujourd'huiletraitement de

stru -tures dénies ave plusieurs dizainesde milliers de degrés de liberté et ela sur desordinateurs

depuissan e moyenne.

Parallèlement, lebesoin in essant d'optimiser les stru turesa poussé les entreprisesaux limites

du domaine de validité du linéaire et don vers un intérêt roissant envers la modélisation non

linéaire, la dynamique et les vibrations n'é happant pas à ette tendan e. Les appli ations

vi-sées on ernentlamodélisationdephénomènestrèsdivers;loide omportementhyper-élastique,

plastique, stru tures omportant des dommages, des onta ts, du frottement (notamment dans

lesliaisonsentrepiè es),etbiensûrlamodélisationdesstru turesmin esdeplusenplusmin es

soumises à des eorts toujours plus importants. D'autres domaines sont aussi on ernés, on

pense notamment à l'étude dynamique des instruments de musiques, où les non linéarités sont

né essaires pour la reprodu tion de la ri hesse spe trale ainsi qu'aux vibrations de haînes de

molé ules présentant des for es d'intéra tions non linéaires. Dans tous les as, les te hniques

lassiques utilisées pour l'étude des vibrations, toutes fondées sur le prin ipe de superposition

linéaire,deviennent obsolètes ave esmodèles.Du point de vuedu her heur, il s'agit don de

trouver de nouveaux on epts et te hniques de al uls, adaptés au as non linéaire tout en se

passant du fameux prin ipede superposition etdeses impli ations.

La re her he a pourtant pré édé les besoinsindustriels dans ledomaine du non linéaire.

2

I

NTRODUCTION GÉNÉRALE

XIX

ème

(ave laloi de gravitation de Newton), inspirant les travaux ultérieursde Poin aré (1) , Lindstedt (2) ,Liapunov (3)

etprolongéspar euxdeKrylov,Bogoliubov,Hayashi(1864)(Hayashi

(1985)),etNayfeh(NayfehetMook(1979)).Cesderniersonttrèsgrandementparti ipéà

l'éla-borationdesthéoriesd'analysesdessystèmesdynamiquesmultidimensionnelsàfaiblenombrede

degrés de liberté.Cependant esthéories ont été appliquéesà dessystèmes à un seul degrés de

liberté,oulimitéàl'appro he"single-mode" (4)

,oùlaformedessolutionsestdonnéeparlaforme

d'undesmodeslinéaires(Szemplinska-Stupni ka (1990a)ouFertis (1995)).Ces appro hes

permettentl'observationde ertainseets ara téristiquesdesréponsesnonlinéaires:Lienentre

l'amplitude etlafréquen e, phénomènesde sautetrésonan esse ondaires. Cependant,ellesont

montré leurs limites, en o ultant notamment les phénomènes de ouplages entre les modes,

souvents apital pour les stru tures réelles. Rosenberg à proposé dans Rosenberg (1966) une

appro he originale, pour des systèmes à plusieurs degrés de liberté introduisant les notions de

vibration à l'unisson et de ligne modale dans l'espa e des ongurations (voir également

l'ou-vrage deVakakisetal.(1996) à esujet).Mêmesisaméthode estlimitéauxsystèmesàfor es

internes impaires, elle onstitue un pas important pour la dénition des modes non linéaires.

Par la suite, d'autres dénitions ette hniques de al uls ont vule jour, omme la méthode de

l'équilibrage harmonique, la méthode des é helles multiples, elle des perturbations, elle des

formesnormales (voirJezequel et Lamarque (1991)), ainsique laméthode phase-amplitude

(voir Bellizzi et Bou (2005)). En e qui on erne la dénition des modes, Shaw et Pierre

(1991-1994) ont exposé dans Shaw et Pierre (1993a) puis pour les systèmes ontinus dans

Shaw etPierre (1993b) une appro he généraleet modernequi s'appuie surle formalisme des

systèmes dynamiques.Les modesnon linéaires ysont dénis àl'aide de sous-espa es invariants

ourbésdedimension2del'espa edesphases.Ce adre,pluslargeque eluidéniparRosenberg,

permetd'in lure del'amortissement etn'est paslimité auxfor esimpaires. Il onstitue

mainte-nant une théorie a epté dans la ommunauté et peut servir de base aux méthodes de al uls

demodesnonlinéairesainsiquepourlesinvestigationsenmatièred'analysemodalenonlinéaire.

Dansledomainedesvibrationsnonlinéaires,ilestaujourd'huitrès ourantderésoudreles

équa-tionsquidénissentlesmodesaumoyend'uneméthodedeperturbationlimitéàquelquestermes

de séries asymptotiques que l'on al ule analytiquement ou numériquement. On sait pourtant

que esapproximations ont undomainedevaliditéassezfaible etqu'ellesnepermettent pasune

représentation orre tedes hangementderégimes(bifur ations).Lesméthodespurement

numé-riques (équilibrage harmonique ave ungrandnombred'harmoniques, méthodesde tir) tendent

à se développer rapidement ompte tenu des moyens de al ul disponibles a tuellement. Elles

permettent des'aran hirde ettehypothèsedefaiblenonlinéaritésisouvent invoquée dansles

arti lesdu domaine. L'étape suivante estd'appliquer es te hniquespurement numériquespour

des stru tures de géométries omplexes dis rétisés par éléments nis. On rejoint alors l'état de

l'arta tuel desvibrationslinéaires. Ilne s'agitpasd'unsimpleexer i e destyle,oud'untravail

simplement te hnique. Lepassage dequelquesdegrésdelibertéàun grandnombrede degrésde

(1).HenriPoin aréestl'auteurdumémoire"Surleproblèmedestrois orpsetleséquationsdeladynamique", iladé ouvertlephénomènedesensibilitéaux onditionsinitiales. Ilaamenéaussilanotion apitaledeportrait dephase.

(2).LaméthodedeLindstedt-Poin aréapermisuneavan éedanslarésolutions deséquationsdiérentiellesen donnantuneméthodepermettantl'éliminationdestermessé ulaires.Cetteméthodepermetnotammentd'obtenir lessolutionsappro héesdel'équationdeDung.

(3).Le théorème de Liapunov (1892), déni la stabilité (la stabilité de Liapunov) d'un système dynamique donnée.

3

liberté peut poser des problèmes et soulever de nouvelles interrogations, omme nous allons le

onstaterdans e mémoire.

Depuisquelquesannées, leLaboratoire de Mé anique etd'A oustique (LMA), en ollaboration

ave l'ENSTA,l'INSAde lyon,etl'ENTPE, ontforméungroupe nationalde re her he dédiéau

thèmedesvibrationsnonlinéaires. Lesaxes d'étudestraitéssontles suivants:1/Élaboration de

nouvellesméthodesde al ulsde modesnon linéaires;2/ Investigations surune méthodede

ré-du tiondemodèle baséesurlesmodesnonlinéaires;3/ Étude deréponsesfor éesdestru tures

ave une ex itation déterministe ou aléatoire - 4/ Analyse et ompréhension des phénomènes

de bifur ations de mode de vibrations. Au LMA, les appli ations on ernent notamment, les

stru turesmin es en non linéaire géométrique, l'étude desinstruments de musique ( larinette),

l'étudede systèmesà pompaged'énergie (le LMA disposed'undispositifexpérimental de

pom-pagea oustiquepassif),l'étudedesvibrationsd'assemblagesde ombustibles( ollaboration ave

leCEA Cadara he). Pour les stru tures min es, la on eption de odesde al ulde vibrations

pourl'obtentiondesmodesnonlinéairesetdesréponsesvibratoiresfor éesestunepréo upation

majeuredulaboratoire(unpremier odede al ulbasésurlaméthodedelabalan eharmonique

estprésenté danslemémoirede thèse Perignon(2004) etdeuxdispositifsexpérimentauxsont

opérationnels:lepremier étant unepoutremin e doublement en astrée etlese ond uneplaque

en astrées surses4 bords).

Letravailprésenté dans emémoires'ins ritdans e adre.Ilportesurl'étudeetle al ul

numé-riquede vibrationslibres et for ées de stru turesmin es en non linéaires géométrique.On vise

le al ul "exa t (5)

" des modes non linéaires d'une stru ture dis rétisée par éléments nis. Ces

modessont obtenus enee tuant la ontinuation de bran hesde solutions périodiques al ulées

aumoyen d'uneméthode d'intégration temporelle pasà pas. Dansle asde nosstru tures

mo-déliséespar éléments nis, les diagrammes de ontinuation présentent des réseaux de bran hes

omplexes, 'estpourquoiuneméthodede ontinuationadaptéàété hoisie:laMéthode

Asymp-totiqueNumérique(MAN),etunoutilde ontinuation"pilote"du odedevibrationàété onçu

andepar ourirleréseaudebran hee a ement(notammentàl'aided'uneinterfa egraphique

dédiéerendant le al ul intera tif). Il estimportant de mentionner que et outil a été onçu de

manière totalement indépendante du problème de vibration. Ainsi, il peut être utilisé, ave le

ode utilisateurapproprié, pourtraiter unelarge gamme deproblèmes nonné essairement issus

du domaine de la physique. La première partie de e manus rit est don onsa rée à et outil

ainsiqu'auxaspe ts théoriquesliées àla ontinuation desolutions desystèmes d'équations non

linéaires. Ces mêmes aspe ts, serviront ausside baseà la formulation saine du problème de

vi-brationsnonlinéaires,ainsiqu'àla on eptionrobustedu ode de al uldevibrationsprésentés

tousdeuxen se onde partie de e manus rit.

Le premier hapitre du manus rit aborde brièvement les notions relatives à la ontinuation de

bran hesde solutions,on rappellera notamment laméthode de ontinuation utilisé dans e

mé-moire (la MAN). Le se ond hapitre propose quelques apports autour de ette méthode,

per-mettant uneavan éedansle ontrlede son omportement auniveau despointsdebifur ations,

ils'agira ensuitede présenterl'outil de ontinuation pré ité intégrant de nouvelles

fon tionnali-tés de ontrle. Le troisième hapitre présente deux exemples d'appli ations utilisant l'outil de

ontinuation.C'estseulementauquatrième hapitre quel'onaborderaledomainedesvibrations

4

I

NTRODUCTION GÉNÉRALE

non linéaires. Il s'agira de rappeler quelquesnotions fondamentales appartenant au domaine en

s'attardantsurladénitiondesmodeslinéairesetnonlinéaires.Le inquième hapitre estàforte

onnotationthéorique. Onyprésentera uneformulation du problèmesdessolutions périodiques

de systèmes autonomes et onservatifs permettant la onstru tion des surfa es invariantes des

modes non linéaires. Dans le sixième hapitre, on présentera la forme numérique de ette

for-mulation en utilisant laméthode des éléments nis, une méthode de dis rétisation temporelle,

ainsiqu'uneméthode de al uld'orbites périodiquesnomméeméthode simultanée.Ennle

der-nier hapitre ontient les résultatsdesexpérimentations numériquesmenéessur deuxstru tures

Manlab, un outil de ontinuation

1

Continuation de solutions de

systèmes d'équations non

linéaires

C

e hapitre abordebrièvementlesnotions relatives àla ontinuationdebran hesdesolutions,on

rap-pelle notamment laméthode de ontinuation qui

estutiliséedans emémoire:laMéthodeAsymptotique

1.1 Contexte d'appli ation . . . 9

1.1.1 Formalismeen

U

. . . 9

1.1.2 Théorèmedesfon tionsimpli ites . . . 10

1.2 Méthodes de ontinuation . . . 11

1.2.1 MéthodedeNewton-Raphson . . . 11

1.2.2 Méthodeasymptotiquenumérique . . . 12

1.2.3 Comparaison. . . 13

1.3 Bran hes solutions etbifur ations . . . 14

1.3.1 Quasi-bifur ations. . . 14

1.3.2 Problèmeperturbé . . . 16

1.1. C

ONTEXTE D

’

APPLICATION

9

Introdu tion

Il s'agiti i d'obtenirles solutions desproblèmes pouvant semettre souslaforme suivante

R(U ,λ) = 0

(1.1)

où

U

est le ve teur des in onnues de

R

n

,

λ

le paramètre et

R

une fon tion de

R

n

_{× R → R}

n

omposéede

n

équationsnonlinéairesen

U

.Enmé anique,onpeut iterl'exemple lassiquedu problèmedeambementdestru turedis rétiséepar élémentsnisoùleve teur

R

représenteles équationsd'équilibre,

U

les dépla ements auxnoeudset

λ

leparamètre de harge. La représen-tation d'une proje tion des ourbes solutions dans le plan

U

i

,λ

(ou parfoisdans le plan

kUk,λ

se nomme diagramme de bifur ation. Dans le as d'un problème de ambement lassique, on

observeradans ediagramme unepremière ourbepartant dupoint d'équilibre,appeléebran he

fondamentale, puis d'autres ourbes oupant la première en des points nommés points de

bi-fur ation. Les bran hes issues des points de bifur ations sont nommées bran hes bifurquées et

orrespondent dansleproblèmedeambement auxdiversmodesdeambementde lastru ture.

Le al ulnumériquedesbran hesdesolutions

U

(λ)

de(1.1),nommé ontinuationde solu-tion,estnotammentbaséesurlestravauxthéoriquesdePoin aré(1881-1886),Klein(1882-1883),

Bernstein(1910),etKeller.LesouvragesSeydel(1994)etsurtoutAllgoweretGeorg(1990)

détaillent lespro édures permettantd'obtenirde façonnumérique essolutions.Deux méthodes

ressortent prin ipalement de es ouvrages, lafamille desméthodesPC (Prédi tion-Corre tion),

trèssouventbasées surl'algorithmede orre tiondeNewton-Raphson,et laméthodePL

(Pie e-wiseLinear),moinsrépandue,basée surune approximationlinéaire parmor eaux deséquations

de(1.1).LesméthodesPCsontgénéralementfa ilesàmettreenoeuvre,ainsilaplupartdes

pro-blèmes omportantdeséquationsnon-linéairestellesque(1.1)sontrésoluspar esméthodes,sous

réserve que lafon tion

R

soit susamment diérentiable pour le al ul du ja obien.Toutefois, es dernières sourent d'un manque de robustesse notamment lorsque les solutions présentent

denombreuxpointsdebifur ations. Inversement,laMéthodeAsymptotiqueNumérique(MAN),

basée surun al ulde séries entières à grand nombre de termes ave un al ul automatique et

adaptatif du domaine de validité onserve sarobustesse, e i au prix d'un développement

sup-plémentaire raisonnable.

Dans ette partie, on rappellera quelquesnotions relatives à la ontinuation de bran hes

desolutions, puis on rappellera laméthode de Newton-Raphsonainsi quelaMAN. Lesnotions

serontalorsutiliséesdansle hapitresuivant,pourlaprésentationd'uneméthodedebran hement

utilisant les avantages delaMAN etlasimpli ité duprin ipe de perturbation.

1.1 Contexte d'appli ation

1.1.1 Formalisme en

U

Dansle domaine dela ontinuation de bran hesde solutions de systèmesd'équations non

linéaires, il est outume d'utiliser la forme (1.1) page 9 qui sépare les variables du ve teur

U

etlavariable du paramètre

λ

. Cetteforme amène une é riture lisible etadaptée aux méthodes in rémentales en

λ

.Ave ette forme,l'ensemble de solution est usuellement paramétré ave le s alaire

λ

,on adon

10

C

HAPITRE

1. C

ONTINUATION DE SOLUTIONS DE SYSTÈMES D

’

ÉQUATIONS NON LINÉAIRES

.Pour éviter lesproblèmes depointslimites (voir par exemple Seydel (1994) pour leur

déni-tion),onpréfère utiliseri iune méthode de ontinuation ave une paramétrisationpar longueur

d'ar faisant intervenir

U

et

λ

.Dans e as,lesé ritures et al ulsnejustient plusvraiment la séparation entre les alaire

λ

et leve teur

U

. C'est pourquoinous utiliserons laforme suivante pourl'ensemble dumémoire

R(U ) = 0

(1.2)

ave leve teurrésidu appartenant à

R

n

et leve teur

U

appartenant à

R

n+1

.Ave ette forme,

les alaire deparamétrisation estnoté

a

etsera appeléparamètre de hemin de sortequel'on ai

U

= U (a)

.Etoninsisterasurlefaitqueleparamètre

λ

setrouvemaintenant parmisles

n + 1

omposantes du ve teur

U

aumême titre queles autresvariables.

1.1.2 Théorème des fon tions impli ites

Très souvent, les systèmes omportant une in onnue de plus qued'équations ( 'est le as

des systèmes de la forme (1.2)) dénissent une fon tion impli ite liant les variables du ve teur

U

entre elles, de façon à e que es dernières évoluent dansun sous ensemble unidimensionnel de

R

n+1

, on dit dans e as que la fon tion

R(U )

est submerssive. Pour un tel système, la tangente au voisinage d'unpoint solution est unique etsert de base de al ulà la majorité des

méthodesde ontinuation. Cependant, lessystèmes d'équations nonlinéaires peuvent présenter

desparti ularitésquienlèvent ette uni ité, equiestle asauniveau despointsdebifur ations

parexemple,oùplusieursbran hesdesolutionsse roisent.Lespointsdebifur ationsnesontpas

lesseullesparti ularitésdessystèmesnonlinéaires. Laformegénérale(1.2))permetparexemple

l'existen e d'espa e solution de dimension supérieure à 1 (surfa es solutions ou autre). Bien

entendu, les méthodes de ontinuations lassiques sont onçues pour ee tuer la ontinuation

de ourbes solutions unidimensionnelles et les parti ularités pré édemment itées leur posent

problème.

Lethéorèmedesfon tionsimpli itespermetdedénirun adredanslequellesméthodesde

ontinuations doiventopéreren dehorsdetoutes lesparti ularitéspré itées. Cethéorème utilise

les propriétés de surje tivité du systèmelinéaire sous-ja ent pour assurer lasubmerssivité de la

fon tionimpli ite

R(U ) = 0

auvoisinaged'unpointdonné.Cethéorèmeestrappelébrièvement idessousdansle asoùladimensionde

U

estd'unedimensionsupérieureàladimensionde

R

. Théorème 1

Silafon tion

R

: R

n+1

_{→ R}

n

estindéniment diérentiableetsi

U

0

est solutionde

R(U

0

) = 0

(1.3)

et side plus l'appli ation linéaire dematri e

∂R

∂U

(U

0

)

estsurje tive ( equi revient à direque la matri e

∂R

∂U

(U

0

)

estde rang

n

.), alors au voisinage du point

U

0

l'ensemblede solution de (1.3) est unsousespa e de dimension un.

❏

Ainsi,pour s'assurerquelesystèmed'équation dénisune bran hede solution, ilfaudravérier

1.2. M

ÉTHODES DE CONTINUATION

11

1.2 Méthodes de ontinuation

Lorsque le domaine de validité des méthodes de perturbations lassiques n'est pas

su-samment grand, les méthodes de ontinuations prennent le relais en onstruisant les ensembles

desolutions par mor eaux.Les méthodesde prédi tion- orre tion dé rivent etensemblede

so-lutionparunelistedepoints al ulésdemanièreséquentielle.Quandàlaméthodeasymptotique

numérique, elle- idé ouperales ourbessolutions enmor eauxappeléstronçons, ha undé rits

parune sérieentière aussi al ulés séquentiellement (voirplus loin).

Onrappellerai ileprin ipede laméthodedeNewton-Raphsonqui estlaplusutiliséedes

méthodesin rémentalesitérativesetonprésenterabrièvementensuitelaméthodeasymptotique

numérique pour nirsurune omparaison desdeuxméthodes.

1.2.1 Méthode de Newton-Raphson

Cetteméthode onsisteà her herunesu essiondepoints

U

j

solutionsde(1.3)etvériant

le ritèresuivant:

kR(U

j

)k 6 ǫ

nr

(1.4)

Le al ul se fait en deux étapes, une prédi tion puis une série de orre tions, l'ensemble étant

fon tion du paramètre de hemin, noté

a

,abs isse urviligne lelong de la ourbe. Le point

U

j

étant supposé onnu

(1)

,lepoint suivant estdonné par:

U

j+1

= U

j

+ ∆U

j

| {z }

prédi tion

+

k

X

i=1

∆

U

i

|

{z

}

k orre tions (1.5)

Onse ontente i i derappeler brièvement les étapesde al ul, sansentrerdansles détails.Pour

ela,onpourra onsulter par exemple Crisfield(1997a).La démar he estdon lasuivante:

 prédi tion:

On ee tueunpasde prédi tion,tangent àla ourbe qui onduità larésolution de:

∂R

∂U



U

j

∆U

j

= 0

(1.6)

Cesystèmeestsous-déterminé,onle omplètedon paruneéquationquidonnelalongueur

du pastangent:

k∆U

j

k = ∆a

(1.7)

ave

a

étant leparamètre de hemin (la ourbe estparamétrée par

a

).  orre tions:

Onee tue

k

orre tions,jusqu'à e quele ritère(1.4) soitvérié.Pour haqueitération, il s'agitde résoudrelesystème:

∂R

∂U



U

j

∆U

i

= −R(U

i

)

(1.8)

Ce système doit aussi être omplété, on peut par exemple hoisir des pas de orre tions

orthogonaux àla prédi tion,soit

∆U

j T

∆U

i

= 0

(1.9)

Anoterquelessystèmes(1.6)et(1.8)sontobtenusenselimitantauxdéveloppementsaupremier

12

C

HAPITRE

1. C

ONTINUATION DE SOLUTIONS DE SYSTÈMES D

’

ÉQUATIONS NON LINÉAIRES

{U}

k

U

j

U

j+1

∆U

j

∆U

j+1

∆U

j+2

prédi tions orre tions prédi tion orre tion point nal/initial

{U }

l

{U }

k

U

j

U

j+1

U

j+2

prédi tions orre tions prédi tion orre tion pointnal/initial

{U }

l

F

igure 1.1 

Prédiction et corrections pour les méthodes incrémentales-itératives (à gauche) - Calcul

des branches de solutions par la MAN (à droite)

1.2.2 Méthode asymptotique numérique

Onre her helessolutionsdusystème(1.2)sousformedesériesentièrestronquéesàl'ordre

N

en fon tion d'unparamètre de hemin

a

:

U

(a) = U

j

+

N

X

k=1

a

k

U

k

(1.10) ave

U

j

unpointsolution dedépart onnudéterminé parexemple paruneméthode lassiquede

orre tion (Newton-Raphson ouHomotopie).

L'introdu tion des développements(1.10) dans(1.2) onduit à:

R(U ) = R(U

j

) + aR

1

+ a

2

R

2

+ · · · = 0

(1.11) e i étant valable pour tout

a

,onobtient une sériedeproblèmes linéaires:

R

1

=

∂R

_∂U



U

j

U

1

= 0

. . .

R

p

=

∂R

_∂U



U

j

U

p

− F

nl

p

= 0

. . .

(1.12)

Ainsi, àl'ordre

p

,

R

p

= 0

est équivalent à:

∂R

∂U



U

j

U

p

= F

_p

nl

(1.13)

Les se onds membres

F

nl

p

dépendent ex lusivement des ordres pré édentset sont don entière-ment déterminésàl'ordre

p

.Le al ulde es"se ondsmembres"estlepoint ru ialdelaMAN. Commedansle asdeNewton-Raphson, essystèmessontsous-déterminés.Onajoutedon une

ondition qui provient de ladénition du paramètre de hemin

a

.Sipar exemple e paramètre de heminestégalàlapseudolongueurd'ar ,inspirée deladénitionduparamètredelongueur

d'ar lassique:

U

1

T

(U − U

0

) = a

(1.14)

alors la onditionà l'ordre

p

s'é rit

1.2. M

ÉTHODES DE CONTINUATION

13

Ainsiave l'équation (1.13) etl'équation (1.15) on peut déterminer les omposantes

U

p

du dé-veloppement (1.10) de manière séquentielle enpartant de l'ordre

1

jusqu'à l'ordre

N

.

Le domaine de validité

a

max

des solutions obtenues par les résolutions su essives des systèmes(1.12) est donné par la onditionpour

a ∈ [0,a

max

], kR(U(a)) − R(U

j

)k 6 ǫ

man

(1.16) où

ǫ

man

est un ritère de pré ision donné et

R(U

j

₎

le résidu initial. On a alors la propriété

suivante:

kR(U(a

max

)) − R(U

j

)k = ka

max

R

1

+ ... + a

max

n+1

R

n+1

+ ...k = ka

n+1

max

R

n+1

k

(1.17) Pour des séries (1.10) tronquées à l'ordre

n

, les

R

i

sont nuls pour

i = 1..n

(simple appli ation de(1.12)).Le termeprépondérantest

a

n+1

max

R

n+1

etonmontrefa ilement que

R

n+1

= F

nl

n+1

et don ,une bonne expressionde

a

max

estdonnée parl'équation

a

max

=

ǫ

man

kF

nl

N+1

k

!

1

N+1

(1.18)

Con rètement,on al ulelestermesdesséries(1.10)enrésolvant(1.12)puisonévalue

a

max

ave 1.18.Ensuite

U

(a

max

)

donne unnouveau pointdedépart noté

U

j+1

pour unnouveau al ulde

série.

A noterqu'ilexiste également une variantedelaMAN,permettant d'améliorer la

onver-gen e desséries. Il s'agit d'utiliser desapproximants de Padé, et don de rempla er les termes

desséries(1.10) par desfra tions rationnelles (voir par exempleCo helin etal. (1994)).

1.2.3 Comparaison

Les prin ipaux points forts de laMAN, relativement à Newton-Raphson, se résument en

troispoints:

 simpli ité d'utilisation etdu pilotage: e point onstitue leprin ipalavantagede laMAN.

Eneet,le hoixdelalongueurdupasestentièrementautomatiqueetadaptatif( ralentissement 

à proximité des points limites, augmentation du pas dans les zones linéaires), etse fait a

posteriori,ave le al uldudomainedevalidité

a

max

.Iln'estdon pasné essairedese pré-o uperdelalongueurdupas, ommeave Newton-Raphsonoùunpastroppetit ralentit

l'algorithme etun tropgrandlefaitdiverger.Finalement, dupoint devuede l'utilisateur,

il sut de xer l'ordre des séries,

N

(en pratique,

N

est hoisi entre 20 et 40, entre es deuxborneslavaleur hoisien'analementquepeud'inuen esurlaperforman eglobale

de l'algorithme), un ritère de onvergen e,

ǫ

qui sera hoisi en fon tion de la pré ision souhaitée. Conformément à (1.18),plus leseuilsera petit, plusles tronçons seront ourts,

plus letemps de al uld'unebran he sera long.

 une seule inversiondela matri e

K

t

(0)

parpasdeMAN,quandilenfaut

k + 1

( unepour la prédi tion plus

k

pour la orre tions) pour Newton-Raphson, e qui peut représenter un gainentemps de al ul onséquent siles tempsd'évaluationetd'inversion dematri es

tangentes sont longs. En fait, pour la MAN, l'essentiel de e temps est utilisé pour le

al ul des se onds membres

F

nl

14

C

HAPITRE

1. C

ONTINUATION DE SOLUTIONS DE SYSTÈMES D

’

ÉQUATIONS NON LINÉAIRES

 solutions analytiques desbran hesde solutions pluttquedesvaleurspon tuelles.Defait,

lesséries tronquéessont ri hesen informations,notammenten equi on erneles

bifur a-tions.

Onremarque également qu'une MAN àl'ordre 1 orrespond à unpasde prédi tion de

Newton-Raphson(voir terme

∆U

j

de (1.6)etleterme

U

1

de lapremière équationde(1.12)). Enfait la possibilité de prendre un grand nombre de termes dans les séries permetd'avoir une pré ision

importantesansavoir obligatoirement re oursà des orre tions.

1.3 Bran hes solutions et bifur ations

Une des parti ularités importantes des systèmes d'équations non linéaires réside dans la

multipli ité des bran hes solutions de leur ensemble de solution. Selon la nature du système

d'équation, le réseau de bran hes pourra avoir desformes plusou moins omplexes. On pourra

ren ontrer entreautres desbran hesfermées surellesmêmes, desbran hesreliées,desbran hes

isolées, ainsique desensembles desolutions de dimension supérieureà un.

Leslieuxoùlesbran hesdu réseause roisent sont nomméspointde bifur ation oupoints

singuliers, ils onstituent une ara téristique importantedessystèmesd'équationsnon linéaires.

Comme dit pré édemment, en es pointsla tangente n'est pasunique (2)

et lamatri e tangente

du système n'est pas de rang omplet (les hypothèses du théorème des fon tions impli ites

ne sont pas satisfaites en es points). Il s'en suit que les méthodes de ontinuations doivent

adopterunestratégieparti ulièrelorsdupassagede espoints.D'autrepart, espointsétantune

manifestation théorique d'unphénomène physique, ils font souvent l'objetd'études (i.e: points

de ambement destru tures)etpermettent une ara térisationdesbran hesqu'ilsinitient(i.e:

les modesde ambementsde lamême stru ture).

1.3.1 Quasi-bifur ations

Dans emémoire,ondistingueradeuxgrandtypedebifur ations:lespointsdebifur ations

exa tes et les quasi-bifur ations, illustrés tout deux dans la gure 1.2 page 15. Généralement,

les quasi-bifur ationssont des versions perturbéesdes bifur ationsexa tes. C'està dire que es

quasi-bifur ationssontlamanifestationd'unphénomène théoriqueperturbé par unautre

phéno-mène. D'une manière générale en mé anique, on ren ontrera les points de bifur ations exa tes

lors de la résolution de problèmes théoriques où la modélisation du phénomène ne tient pas

ompte des imperfe tions (3)

.Inversement, lors d'une étude expérimentale d'un système non

li-néaire (imparfait par essen e) ou lors d'une modélisation plus poussée du phénomène étudié

(modélisation des imperfe tions), les points de bifur ations exa ts se trouvent perturbés et

de-viennent des quasi-bifur ations. Un exemple typique d'illustration de es onsidérations est le

problème de ambement d'une stru ture parfaite et son homologue réel. Dans le as parfait,

la bran he prin ipale de ompression omporte plusieurs points de bifur ations exa ts, menant

de manière symétrique aux divers modes de ambement. Dans le as réel, à ause des défauts

de formes,la bran he de ompression omportera des quasi-bifur ations(asymétriques)menant

aussiauxmême modesdeambement. Ainsi,lamodélisationd'unproblèmedonné pourra

don-nerlieu aux deuxtypes de bifur ations,et esbifur ations semanifesteront de manière logique

et normaledansles diagrammes desolutions.

(2).Lenombredetangenteestégalaunombredebran hesse roisanten epoint.

1.3. B

RANCHES SOLUTIONS ET BIFURCATIONS

15

PSfragrepla ements

Bifur ationexa te Quasibifur ation

U

b

U

b

A A B B A B

F

igure 1.2 

Exemple de bifurcation exacte et quasi bifurcation. Lors d’un point de quasi bifurcation,

nous désignerons du même nom les branches de part et d’autre du point de quasi bifurcation, comme

le montre la figure de droite.

Ilestimportantdementionnerquelesimperfe tionstransformantlespointsdebifur ations

exa ts en points de quasi-bifur ations peuvent provenir aussi des approximations faites lors de

l'é riture des équations du problème qui ont pour eet de perturber les solutions exa tes. Par

exemple, et e sera le as dans la deuxième partie de e mémoire, l'utilisation d'une méthode

dedis rétisationspatiale (4)

oudedis rétisationtemporelledeséquationsauxdérivéespartielles,

peuvent ( e n'est pas toujours le as) modier le type des points de bifur ations initialement

présents dans lemodèle théorique. An de se rappro her des solutions exa tes, etdon obtenir

lesbonnesbifur ations,ilfaudraaugmenterlenombred'élémentsutiliséslorsdeladis rétisation.

Enn,uneautresour eimportantedeperturbationestl'erreurdueàl'impré isiondu al ul

numérique. En eet, la majorité des méthodes de al uls numériques utilisent des algorithmes

itératifsutilisant des seuils de pré isions:plus le seuil hoisiest faible, plus le al ul est pré is

maislong. Inversementplusleseuilestgrand,plusle al ulestrapidemaispluslesbran hesde

solutions al uléess'éloignentdesbran hesdesolutionsexa tes, equiapoureetdetransformer

les bifur ations exa tes en quasi-bifur ations. Cette fois i, an de se rappro her des solutions

exa tes(et don obtenir les bonstypesde bifur ations) ilfaudra hoisir leseuilde résolution le

plusfaible possible (au prix d'untemps de al ulpluslong).

Ainsi, le fait d'ajouter une perturbation dans les équations du problème exa t à pour

eet d'éloigner les bran hes solutions du problème perturbé par rapport à elles du problème

initial exa t. Comme dit pré édemment, et eet est visible surtout au niveau des points de

bifur ationsmaisilpeutl'êtreaussisurles ourbesellesmêmessilaperturbationestd'amplitude

16

C

HAPITRE

1. C

ONTINUATION DE SOLUTIONS DE SYSTÈMES D

’

ÉQUATIONS NON LINÉAIRES

1.3.2 Problème perturbé

Derrière lesnotions de bifur ationsexa tes etquasi-bifur ations,se trouve don lanotion

deproblèmeperturbe quiprovient dufaitquelesdiversesapproximations faiteslors del'é riture

duproblèmeexa t ainsique ellesapportéesparlesméthodesderésolutionsrendentleproblème

exa t ina essible, e qui nous ontraint d'étudierleproblème perturbé àlapla e.

Ondénirale problèmeperturbé ainsi

Définition 1

Soit

R(U ) = 0

le problèmeexa t et

f

p

une perturbation imposée onsidérée omme onstante, on noteraalors leproblème perturbe

R

p

(U ) = R(U ) − f

p

= 0

.

❏

ave le ve teur de perturbation

f

p

pouvant provenir de sour es diverses. En résumé deslignes qui pré èdent, ondistinguera lessour esde perturbationssuivantes:

1. Perturbations duesàl'impré ision de laméthode de résolution numérique (erreurde

réso-lution).

2. Perturbations ajoutées intentionnellement (voir plusloin).

Enpratique, laperturbation due à l'erreur de résolution estmaîtrisable à l'aide du hoix

approprié du seuil de pré ision de al ul. En e qui on erne la perturbation intentionnelle,

elle- iserviraà laméthodede bran hement.

1.3.3 Méthode de bran hement

Lorsde la phasede ontinuation, la ren ontre ave un point de bifur ation et le hoix de

la dire tion à prendre (aller tout droit, tourner à gau he ou à droite), se nomme bran hement.

Ondistingue deuxgrandes lasses deméthodesde bran hements,

 Les méthodes basées sur la théorie de la bifur ation.Ellesreposent surun al ulpré isdu

pointdebifur ationetdestangentesaupointdebifur ation.Onpeututiliserunefon tion

indi atri e s alaire dont le signe hange lors de la traversée de la bifur ation. On pourra

prendre par exemple

I(U ) = det(

∂R

∂U

)

etutiliseruneméthodedi hotomiquepourtrouverlepointdebifur ation.Unefoissituésur

e dernier,l'étude dunoyaude

∂R

∂U

donne lestangentes utilisées pour faire desprédi tions desbran hes bifurquées.

Une autreappro he onsiste à her herdire tement le point de bifur ation

P

(U ,V ) =

(

R(U ,λ) = 0

∂R

∂U

V

= 0

(1.19)

àl'aide d'unsystèmeaugmenté,où

V

estleve teur propre devaleur proprenulle.

 Les méthodes de perturbation. Celles- i onsistent à ajouterune perturbation dans le

1.4. B

ILAN DU CHAPITRE

17

Lesméthodesbaséessurlathéoriedelabifur ationsontgénéralement omplexesetné essitentun

développement important. Elles fournissent ependant des informations quantitatives et ables

(nombres debran hes se oupant aupoint de bifur ation,donnent expli itement les tangentes).

D'un autre oté, les méthodes de bran hement par perturbation sont extrêmement simples à

mettre en oeuvre mais sont peu ables lorsqu'elle sont utilisées ave la méthode de

Newton-Raphson. En eet, la phase prédi tion n'est pas adaptée à la ontinuation d'une zone de forte

ourbure, ommelemontrelagure1.3page17.Undesobje tifsde emémoireestderedé ouvrir

etteméthodedebran hement autraversdela on eptiond'unoutilàbasedeMAN,don plusà

l'aiseaupassagedesfortes ourbures.Onmontreradansle hapitresuivant omment ontrlerle

omportementdebran hementdelaMANave l'ajoutintentionneld'unve teurdeperturbation

alliéaux hoix appropriésdesseuils de résolution.

A

B

A

C

D

E

(a)

(b)

PSfragrepla ements Bif. Bif.

F

igure1.3

Passage d’une bifurcation par Raphson (a) et la MAN (b). La méthode de

Newton-Raphson présente le défaut important de sauter les points de bifurcation lorsque la longueur de pas

∆a

est trop grande par rapport au type de bifurcation (voir figure 1.3 page 17). En effet, il se peut que

celle-ci, en effectuant des pas trop grands par rapport à la courbure de la branche située près du point

de bifurcation ignore celui-ci en le sautant purement et simplement. La MAN par contre, en adaptant

sa longueur de pas, tournera systématiquement aux points de bifurcations même si la courbure de la

branche est importante.

1.4 Bilan du hapitre

On a présenté dans e hapitre un adre appli atif à travers une formulation en

U

et au travers des hypothèses du théorème des fon tions impli ites. Sauf indi ation ontraire, on

onviendra pour la suite du mémoire que les systèmes d'équations non linéaires étudiés

satis-feront les hypothèses du théorème. Dans les autres as (voir se onde partir du mémoire), on

vérieraexpli itementlasurje tivitédel'appli ation tangentedelafon tionrésidu duproblème

étudié.

Onarappeléet omparé ensuitedeuxméthodesde ontinuationdebran hesde solutions.

On hoisira pour la suite la méthode de ontinuation MAN pour son meilleur omportement

au niveau des points de bifur ations et on hoisira la méthode de Newton-Raphson lors de la

phasede orre tionpoursasimpli itédemiseenoeuvreetsonutilitépourlaphasededébogage.

2

Quelques apports autour de la

méthode asymptotique

numérique

C

e hapitre propose quelques apports autour de la MAN, qui permettent une avan ée dans le

ontrle de son omportement au niveau des

pointsdebifur ations.Onprésenteensuiteunoutilde

2.1 Introdu tion . . . 21

2.2 Analyse du omportementde laMAN etpilotage . . . 21

2.2.1 Loin despointsdebifur ation . . . 21

2.2.2 A proximitéd'unpointdebifur ation . . . 22

2.2.3 Propositiondepilotage . . . 23

2.2.4 Complémentpourlespointsdequasi-bifur ation . . . 25

2.3 Con eption de l'outil numérique . . . 26

2.3.1 Formulationetmiseendonnée . . . 27

2.3.2 Stru turation . . . 28

2.3.3 Intégrationdubran hementparperturbation . . . 28

2.3.4 Intégrationdusauttangent . . . 29

2.1. I

NTRODUCTION

21

2.1 Introdu tion

Le hapitre pré édent onsistait à rappeler quelquespropriétés importantes des systèmes

non linéairesainsi que les méthodes de ontinuations numériques permettant d'obtenir leur

so-lutions. On se xe maintenant pour obje tif de présenter le travail ee tué pendant la thèse,

relatifau ontrle dubran hement etàla on eptiond'unoutilde ontinuationàbasedeMAN.

Ils'agit de rendre intera tive laphasede al ulen ontrlant notamment le heminement de la

MAN à travers le hoix desdire tions de bran hements à haque points de bifur ations. L'idée

motri eestd'allierlasimpli itédu prin ipedebran hement parperturbationave larobustesse

de laMAN au servi ed'une interfa e graphique ontrlable à lasouris, e qui onstitue en soit

unepremière.

Les onnaissan esliéesau omportementdelaMANaupassagedespointsdebifur ations

n'étant pas omplètes,on s'essayeradansun premiertemps deles aner.Onprésentera

briève-mentensuite lespointsfortsde laphasede on eptionde l'outil de ontinuation,on s'attardera

notammentsurlesystèmedebran hement ainsiquesurunsystèmede sauttangentpermettant

de traverser les points de quasi-bifur ation. On n'ee tuera pas de des ription exhaustive des

fon tionalités de l'outil, ette des ription étant onsultable dans la do umentation utilisateur

Arquier (2004).

2.2 Analyse du omportement de la MAN et pilotage

L'obje tif de ette se tion est d'étudier le omportement de la MAN lors de la

ontinua-tion desbran hes et tout parti ulièrement aux passages despoints de bifur ations et de

quasi-bifur ations.Onsouhaitepouvoiraner les onnaissan esrelativesàl'évolutionde lanormedu

résiduetdelanormed'erreursurlessolutions elles-mêmeslorsdu al uldesbran hes

(augmen-tation des erreurs d'unpas de MAN au suivant). On souhaite aussiprédire, en vue de pouvoir

ontrler, le omportement de bran hement delaMAN au niveau d'unpoint debifur ation.

2.2.1 Loin des points de bifur ation

Il s'agit don dans un premier temps d'étudier l'évolution puis l'inuen e des erreurs de

résolution (norme du résidu) sur les résultats de al uls lors de la ontinuation d'une bran he

parla MAN,àlasuite d'une orre tion deNewton-Raphson etloind'une bifur ation.

Soit

U

0

lepoint obtenu aprèsune orre tion deNewton-Raphson, on a

kR(U

0

)k < ǫ

nr

.

(2.1)

Rappelons ensuitequed'un pasdeMAN àun autre ona

kR(U

j+1

) − R(U

j

)k < ǫ

man

(2.2)

ainsi, après plusieurs pas de la MAN, les erreurs dues aux impré isions de (2.1) et de (2.2)

s'a umulent. Ona don (1)

aprèsune orre tion deNewton-Raphson et

j

pasde MAN,

kR(U

j

)k < ǫ

nr

+ jǫ

man

(2.3)

e qui onstitue un premier résultat donnant une borne maximale sur la norme des résidus.

Notons que ette borne n'implique pasune roissan e linéaire en

jǫ

man

de la norme du résidu. (1).Soit

A,B

et

C

3ve teursde

R

n

22

C

HAPITRE

2. Q

UELQUES APPORTS AUTOUR DE LA MÉTHODE ASYMPTOTIQUE NUMÉRIQUE

En pratique, on onstate plutt une évolution roissante, puis une évolution stationnaire telle

que

kR(U

j

)k ≈ ǫ

nr

+ ˆ

kǫ

man

(2.4)

ave

ˆ

k

souvent pro he de lavaleur

10

.

2.2.2 A proximité d'un point de bifur ation

Plaçonsnousmaintenant auvoisinaged'unpointdebifur ation.L'obje tifestde

détermi-nerle omportementdelaMANaupassaged'unpointdebifur ationenfon tiondel'intensitéde

laperturbation (due àuneerreur derésolution ou ajoutéeintentionnellement) eten fon tiondu

seuilde résolution

ǫ

man

.Pour ela,nousreprenonslesystèmeàune équationetdeuxin onnues déjà exposédansBaguet etCo helin(2003),

R(U ) = R(x,y) = x(1 − y) = 0

dont l'ensemble de solution est onstitué des deux droites

x = 0

et

y = 1

qui s'interse tent au pointde bifur ation exa te

(0,1)

.

Plaçons nous maintenant dans le ontexte de al ul des pas de la MAN, en onsidérant

que le pas pré édent de al ul ( ou plus généralement une orre tion de Newton-Raphson ) ai

pla é le point de sortie au voisinage de l'origine, ou plus pré isément, au point

U

j

_{= (x}

j

_,y

j

₎

, ave

x

j

_{≈ 0}

et

y

j

_{≈ 0}

.En sortiede e pasde al ul, lerésidu sera don égalà

R(U

j

) = R(x

j

,y

j

) = x

j

_{(1 − y}

j

) = f

p

onnotera

f

p

lavaleurde

R(U

j

₎

.D'après(1.11)page12,onsaitquelerésidu

R(U

j

₎

quiestduà

l'impré isiondelavaleurdupasdesortie

U

j

est onservée arseullesrésidusd'ordresupérieurs

sont annulés (voiréquation(1.12) page12). Celarevientàdire quepour lepassuivant,laMAN

ne résout pasleproblèmeexa t maisleproblème perturbé

R

p

(x,y) = R(x,y) − R(U

j

) = x(1 − y) − f

p

= 0

(2.5) pré isonsque e iestvraimême sil'onnesetrouvepasauvoisinaged'unpointdeperturbation.

Intéressonsnousmaintenantàlasolutionduproblèmeperturbé(2.5)auvoisinagedupoint

d'origine quipeutseréé rire àl'aide d'unesérieentière ommeil suit

x =

f

p

1 − y

= f

p

(1 + y + y

2

_{+ y}

3

_{+ · · · ) = f}

p

X

p=0

y

p

La MAN utilisant une sérietronquée à l'ordre

N

,onlimitera de même notre série entière de la même manière

x

N

= f

p

N

X

i=0

y

i

en réinje tant ensuitel'expression de

x

N

dansle problèmeperturbé 2.5, onobtient

R

p

(x

N

,y) = f

p

(

P

N

_i=0

y

i

)(1 − y

i

) − f

p

= f

p

(1 − y

N

+1

) − f

p

2.2. A

NALYSE DU COMPORTEMENT DE LA

MAN

ET PILOTAGE

23

Enn, pour déterminer le domaine de validité de la série tronquée, on utilise le ritère (1.16)

page 13,soit dansnotre as

|R(x

N

,y) − R(U

j

)| = |R

p

(x

N

,y)| = | − f

p

y

N+1

| < ǫ

man

ona don

y

max

=

 ǫ

man

|f

p

|



1

N+1

Selonlavaleur du rapport

ǫ

man

|f

p

|

lepoint desortie du nouveau passetrouvera avant ouaprès le

point de bifur ation

 Cas

ǫ

man

|f

p

|

< 1

:le point de sortiesetrouvera avant lepoint de bifur ation.Dans e as, la

série"déte te"lepointdebifur ationets'arrêteavant.Lepassuivantseradon initiéjuste

avant lepoint de bifur ationetsera aussisolutiondu problèmeperturbé. Cenouveau pas

se stoppera alors une nouvelle fois avant labifur ation. Le s énariose répétera ainsipour

plusieurs pas de al uls, e qui entraînera le bran hement de la pro édure surla bran he

bifurquée (labran he tournera à droite ouà gau he dupoint debifur ation).

 Cas

ǫ

man

|f

p

|

> 1

: le point de sortie se trouvera après le point de bifur ation. Dans e as,

on peut dire que la série "ne voit" pas le point de bifur ation (elle passe au travers). Le

point suivant,quisera initiéaprèslepointde bifur ation, ontinueradansladire tiondes

y

positifsparallèlement à l'axedesordonnées. Ces énarioserépétera ainsipourplusieurs pasde al uls, e qui entraînera laMAN àtraverser lepointde bifur ation.

Remarque 1

Del'équation (2.4)page 22,onpeutdéduirequ'après unnombresusant depasdeMAN,on a

|f

p

| ≈ ǫ

nr

+ ˆ

kǫ

man

etdans es onditionsonaura

ǫ

man

|f

p

|

< 1

.Onsetrouveradansle asoùlapro édurede

ontinua-tion"tourne"au niveau d'unpointde bifur ation.Cetypede omportement orrespond à elui

delaMAN"basique"déte tantettournantpresquesystématiquementauxpointsdebifur ation.

❏

De es résultats on peut en tirer une méthode de ontrle du omportement de la MAN

auniveau d'unpoint de bifur ation en rappelant toutde même queles résultatsde ette étude

sont seulement basés sur etexemple à uneéquation et deuxin onnues.

2.2.3 Proposition de pilotage

Tourner au point de bifur ation:

Pour tourner à un point de bifur ation il faudra augmenter au maximum la norme de la

perturbation due au résidu de al ul. Pour ela on pourra simplement laisser la MAN dévier

de la bran he exa te en augmentant le résidu de al ul (faisant l'o e d'une perturbation),

e qui orrespond au omportement de la MAN "basique". Cependant, il faut remarquer que

ette déviation n'est pas garantie: Il sepeuttrès bien que la MAN reste pro he de la bran he

24

C

HAPITRE

2. Q

UELQUES APPORTS AUTOUR DE LA MÉTHODE ASYMPTOTIQUE NUMÉRIQUE

en hoisissantde plusunseuil

ǫ

man

petit,onpourragarantir lavaliditéde l'inéquation

ǫ

man

|f

p

|

< 1

etfor er laMANà tourner au point de bifur ation.

Traverser un point de bifur ation:

Pour traverser unpoint debifur ation ilfaudra,

1. diminuer au maximum la norme de laperturbation due au résidu de al ul. Pour ela on

pourra ee tuer une orre tion avant le passage du point de bifur ation pour annuler le

résidu de al ul(en hoisissantun seuilde orre tion

ǫ

nr

petit). 2. annulerune éventuelle perturbation intentionnelle,

3. hoisirun seuil

ǫ

man

grandan de garantir lavalidité de l'inéquation

ǫ

man

|f

p

|

> 1

Choisirle sens de bran hement:

On a vu pré édemment omment l'ajout d'une perturbation ombiné à une valeur bien

hoisie duseuil de al ul

ǫ

man

permettait de tourner au point de bifur ation. Pour alleren ore plus loindansle ontrle de la ontinuation par laMAN,les lignessuivantemontrent omment

hoisirlesens de bran hement (2)

.

Par une étude au premier ordre, on pourrait montrer que le fait de hanger le signe du

ve teur de perturbation à pour eet de "symétriser"lepoint perturbé par rapportà labran he

exa te(voirgure2.1 page24).

p<0

p>0

PSfragrepla ements Quasi bifur ation -Quasibifur ation + Bifur ationexa te

F

igure2.1

Le fait de changer le signe du vecteur de perturbation à pour effet de symétriser la branche

perturbée par rapport à la branche exacte

Ilest alors possible d'utiliser les énario suivant pourbifurquer dansune dire tion hoisie

(voir guregure2.2page 25)

1. Se trouvant surla bran he exa teavant une bifur ation,on ajouteune perturbation dans

2.2. A

NALYSE DU COMPORTEMENT DE LA

MAN

ET PILOTAGE

25

2. On lan eun algorithmede orre tion pour rejoindrelabran heperturbée.

3. Sil'on setrouve du"bon oté"on ontinue, sinonon hange lesignedelaperturbationet

on reprend aupoint 2.

4. On al uleune partie delabran heperturbée defaçon à traverser labifur ation.

5. On retirelaperturbation.

6. Onlan eànouveauunalgorithmede orre tionpourrejoindrelabran heexa tebifurquée

que l'onvoulait atteindre.

P=0

P=+c

P=+c

P=0

P=0

P=0

P=0

P=−c

P=−c

P=0

F

igure 2.2 

En combinant différentes phases de corrections, de calculs de branches et d’ajout de

perturbation, on arrive à choisir la direction de branchement au niveau d’un point de bifurcation.

Le s énariodebran hementpar perturbationquiestdé riti in'est pasnouveau etàdéjà

étéprésenté dansAllgoweretGeorg(1990).La nouveautérésidedansl'utilisation onjointe

de ette méthode de bran hement ave laMAN au lieu d'uneméthode de prédi tion- orre tion

lassique. Ce i à pour eet d'éliminer les problèmes de saut intempestifs (déjà présentés dans

la gure 1.3 page 17) et d'améliorer radi alement la robustesse de la pro édure en la rendant

réellement viable.

2.2.4 Complément pour les points de quasi-bifur ation

La perturbation dénissant l'aspe t du point de quasi-bifur ation est intrinsèque au

pro-blème etindépendante desseuilsetdesméthodesde résolution. Par onséquent, l'utilisateur de

la méthode de ontinuation n'aura au un moyen (3)

pour agir sur la "norme" et l'inuen e de

la perturbation. D'autre part, l'ajout d'une perturbation intentionnelle supplémentaire permet

rarement l'augmentation du rayon de ourbure des bran hes en es points et en ore moins sa

diminution(en vued'unetrès hypothétique transformation du point de quasi-bifur ation en un

point de bifur ationexa te).

respon-26

C

HAPITRE

2. Q

UELQUES APPORTS AUTOUR DE LA MÉTHODE ASYMPTOTIQUE NUMÉRIQUE

Lorsquelaperturbation intrinsèqueserasusammentimportante( 'estàdirelorsque que

lesrésidusde résolutionsont négligeablespar rapportàlaperturbation),la ourbesolution rée

par laquasi-bifur ationauraunrayon de ourbure important, equi neposeraalors au un

pro-blèmepourlaMAN quisuivrala ourbesolutionetbifurquera(tournera)sansau unedi ulté.

Pourallertoutdroitdans emême as,leseulmoyenserad'utiliseruneméthodedesauttangent.

Cette méthode,revient à ee tuer une prédi tion puis une orre tion de Newton-Raphson à la

diéren eprèsquelanormedupasdeprédi tiondevraêtre ontrléeanquelepointdedépart

etlepoint d'arrivéesoientsitués departetd'autre dupointde bifur ation.Laméthodedesaut

tangent, seraprésenté en détaildanslase tion suivante.

Lorsquelaperturbationintrinsèqueestfaible ( 'estàdire lorsquelesrésidusde résolution

sontdumêmeordreousupérieursàlanormedelaperturbation),despré autionssontàprendre.

Pour tourner,onpourrasoit résoudreles équationstrès pré isément ( hoisir

ǫ

man

très petit)au pris d'un patinage

(4)

de la MAN,soit onsidérer le point de quasi-bifur ation ommeun point

de bifur ation exa te et appliquer les méthodes dé rites pré édemment. Pour aller tout droit,

l'expérien e montreque lesauttangent est lasolutionlaplus viable.

2.3 Con eption de l'outil numérique

On a vu pré édemment omment le hoix des paramètres de ontinuation ombinés à

l'a tion ontrlée d'une perturbation permettaient de maîtriser le heminement du al ul des

bran hes solutions en tournant "à gau he" ou"à droite" oubien en allant toutdroit au niveau

de haque points de bifur ation. Ce i onstituait une première étape théorique dans l'obje tif

d'une on eption d'un outil numérique apable de al uler de manière intera tive les bran hes

de solutions d'unproblèmedonné.

La se onde étape onsistait à on evoir l'outil lui même et à intégrer ette méthode de

bran hement en son sein. Il s'agissait aussi, d'apporter à et outil les éléments rudimentaires

d'une base de données dans laquelle se trouvait une liste de bran hes déjà al ulées. L'a ès à

la base de données de bran hes, permet à l'utilisateur de se pla er (à l'aide de li s de souris

sur l'interfa e (voir gure 2.3 page 27) puis sur le graphique du diagramme) sur une bran he

pré édemment al ulée,de onsulter/visualiser/sauvegarder lesrésultats, ouderelan erdes

al- uls en séle tionnant desdire tions de bran hements diérentes de elles déjà hoisies de façon

à ompléter lediagramme de solutionde lamanièrevoulue.

Unpointimportant on ernaitlamiseendonnéeduproblèmeparl'utilisateur.Cettemise

endonnéeétaitdéjàfa ilitéeparlelangagedeprogrammation hoisi:l'environnementMatlab.En

eet,lelangagedel'environnementMatlabestunlangageinterprété (5)

equidonnel'opportunité

de dénir le problème utilisateur à l'aide de simples  hiers textes ontenant l'expression des

équations. Il restait ependant à dénir un adre dans lequel l'utilisateur aurait le moins de

travail à faire pour dénirson problème touten le on evant le plusouvertpossible de façon à

ne paslimiterlaportéed'utilisation.

Ledernierpoint fut laréda tiond'unedo umentation utilisateur (Arquier(2004)),

per-mettant l'utilisationdel'outil parunepersonnenoninitiée dire tement. Lesgrandes lignesdela

do umentation (40pages) sont dé rites idessous:

 Introdu tion

(4).Le"patinage"estle motutilisélorsquelaMAN ee tuedetrèspetits pas,lorsqu'elle setrouvetout près d'un point debifur ation, ou plusgénéralement lorsqu'elle se trouve surunezone ayant un très fortrayonde ourbure.

2.3. C

ONCEPTION DE L

’

OUTIL NUMÉRIQUE

27

F

igure 2.3

Interface utilisateur de Manlab.

 Prérequis

 Typede problèmes traités

 Installation  Démarrage rapide  Mise en donnée  Interfa e  A hage utilisateur  Éléments théoriques  Exemples

Dans ette se tion, on reviendra rapidement sur les points méritant le plus d'attention,

à savoir la formulation hoisie pour la mise en donnée du problème, la stru turation du ode,

l'intégrationdu bran hement par perturbation,etl'intégration du sauttangent.

2.3.1 Formulation et mise en donnée

L'algorithme derésolution delaMAN ontient notamment l'étapede al uldestermesde

séries. Selon la forme du système d'équation, l'é riture de l'algorithme de al ul de es termes

peutêtre très omplexe. Cependant, laformequadratique

R

= L0 + L(U ) + Q(U ,U )

(2.6)

ave

L0

un ve teur onstant,

L(U )

une forme linéaire,

Q(U ,U )

une forme bilinéaire, qui peut paraîtrerestri tiveaupremierabord,permetuneé rituresimpledesse ondsmembresde

l'équa-tion(1.13) page 12:

F

nl

_p

_{= −}

p−1

X

r=1

Q(U

r

,U

p−r

)

(2.7)