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Seismic site-response variability : from site-classification
to soil non-linear behaviour
Julie Regnier
To cite this version:
Julie Regnier. Seismic site-response variability : from site-classification to soil non-linear behaviour. Earth Sciences. Université Paris-Est, 2013. English. �NNT : 2013PEST1037�. �tel-00906072�
Docteur de l’Université Paris-Est
Spécialité: Sciences de l’Univers et Environnement par
Julie Regnier
Ecole Doctorale : SCIENCES, INGÉNIERIE ETENVIRONNEMENT
Variabilité de la réponse sismique: de la classification des
sites au comportement non-linéaire des sols.
Seismic site-response variability: From site-classification to soil
non-linear behaviour.
Thèse soutenue le 21 mai 2013 devant le jury composé de:
Philippe Gueguen Rapporteur
Fäh Donat Rapporteur
Françoise Courboulex Examinateur
Alain Pecker Examinateur
Fernando Lopez-Caballero Examinateur Jean-Francois Semblat Directeur de thèse Luis-Fabian Bonilla Directeur de thèse Etienne Bertrand Conseiller d’étude
CETE Méditérranée, Laboratoire de Nice, 56 Bd de Stalingrad 06359 Nice.
Résumé
La configuration géologique des couches de sol proches de la surface peut modifier forte-ment le mouveforte-ment sismique en surface (effets de site lithologiques). Ces effets de sites peuvent être évalués numériquement ou empiriquement. Ce travail s’inscrit dans la théma-tique de l’évaluation des effets de site lithologiques et de la variabilité de la réponse sismique des sites. Il se base principalement sur l’analyse d’enregistrements de séismes. Dans un pre-mier temps, nous avons étudié la variabilité de la réponse sismique par classe de sites et pour des mouvements sismiques faibles (variabilité sites), puis une partie de la variabilité inter-évènements en un site, due aux effets du comportement non-linéaire des sols. Enfin, nous avons inversé les courbes de réponse du site afin de préciser à quelles profondeurs le comportement du sol est non-linéaire.
La base de données accélérométriques KiK-net (Japon) est constituée de 688 forages instrumen-tés avec un capteur en surface et un autre en fond de puits. Cette configuration en réseau vertical permet de calculer en chacun des sites la courbe de réponse empirique du forage. Ce réseau a été choisi compte tenu du nombre important de sites instrumentés, du nombre de séismes enregistrés (plus de 46000 enregistrements ont été recueillis et analysés) et de l’existence de caractérisation géotechnique des sites (profils de vitesse de propagation des ondes de cisaille-ment et de compression). L’analyse de la variabilité de la réponse sismique par classe de site nous a permis de préciser les paramètres utiles afin d’améliorer l’évaluation des effets de site. En régime linéaire, il s’agit du gradient du profil de vitesse calculé jusqu’à 30 m (B30) ou 100 m
(B100) et de la fréquence de résonance fondamentale (f0). Ces paramètres pourraient être
util-isés afin de réduire la variabilité inter-sites du mouvement sismique en surface (i.e. variabilité dans les lois d’atténuation).
L’analyse de la variabilité inter-évènement associée au comportement non-linéaire des sols nous a fourni les paramètres pertinents pour l’analyse des sites en régime non-linéaire : B30,
l’amplification maximale (Apred) et la fréquence associée (fpred). Cette analyse a également
montré :
• que le PGA (Peak Ground Acceleration, accélération maximale du sol) est un paramètre pertinent pour l’étude des effets du comportement non-linéaire des sols sur la réponse des sites.
• que, quelque soit le site, le comportement non-linéaire des sols affecte la courbe de réponse du site à partir d’accélérations modérées (75 cm/s2en fond de puits).
• que la caractérisation non-linéaire d’un site, en vue de l’évaluation des effets de sites, pourrait être réduite à la caractérisation des couches de sol superficielles.
Cette dernière assertion peut avoir une influence importante pour la caractérisation non-linéaire des sites. Elle a été confirmée par l’inversion comparée des fonctions de transfert forage en régime linéaire et non-linéaire. Finalement, notre travail a également montré :
• que la profondeur à parti de laquelle le comportement non-linéaire des sols n’a plus d’influence sur la réponse du site dépend du site de l’intensité du mouvement sismique incident.
• que l’analyse de sensibilité de la colonne de sol ´nà priori˙z est un bon outil pour déter-miner la résolution de l’inversion compte tenu des informations disponibles ainsi que les paramètres du sol contrôlant les pics d’amplification.
• que l’utilisation conjointe de l’analyse de sensibilité et de la comparaison des fonctions de transfert, sans étape d’inversion, pouvait être suffisante pour évaluer les profondeurs où le sol peut avoir un comportement non-linéaire important.
Local geology can strongly affect seismic ground motion at the surface. These so-called site-effects can be evaluated either numerically by simulating the seismic wave propagation or em-pirically using earthquake recordings analyses or statistical correlations between site param-eters and site effects. This thesis concerns the improvement of site effect evaluation and the analysis of the variability of the seismic site response. This work is mainly based on the anal-ysis of earthquake recordings. First, we analysed the site response variability between sites for similar incident ground motion (weak motion) and then, the site response variability between events at one site caused by non-linear soil behaviour. Finally, we used an inversion method to find the depths where soil non-linear behaviour mostly occurs.
We analyzed various earthquake recordings from the KiK-net database in Japan (more than 46 000), which is composed of more than 688 surface/borehole instruments. The vertical array configuration allows the computation of the empirical site response in borehole condition. This database was chosen because of its large amount of instrumented sites located at sediments, its large amount of accelerometric data and the existence of characterisations of the shear and compressive wave velocity profiles down to the borehole depth.
The analysis of the seismic response variability per site classes indicated which parameters must be measured to improve the site-effect assessment. In the linear range, the parameters are the Vs profile gradient calculated down to 30 m (B30) or 100 m depth (B100) and the
fundamental resonance frequency of the site (f0). These additional parameters to Vs30 can
be used to reduce the surface motion variability between-sites (such as in GMPEs). Besides, the analysis of inter-event site response variability caused by non-linear soil behaviour leaded to the relevant parameters for the analysis of site effects due to strong earthquakes: B30, The
maximal amplification (Apred) and the associated frequency (fpred). This analysis showed as
well:
• that the PGA (Peak Ground Acceleration) is a relevant parameter for non-linear site effect assessment.
• that, whatever the site, non-linear soil behaviour affects the site response already for moderate solicitations (75 cm/s2at the down-hole station).
• that information on the non-linear soil behaviour of the superficial layers only is sufficient to fully assess the non-linear site response
This last conclusion may have a large impact for non-linear soil characterisation. It has been confirmed by inversion of linear and non-linear borehole site responses and comparison of the obtained Vs profiles. At the same time, the present work showed:
• that the depth from which non-linear soil behaviour has no influence on site response depends on the site and on the intensity of the seismic input motion.
• that careful attention needs to be taken when inverting data from vertical arrays. Sensitiv-ity analyses are a powerful tool to evaluate the resolution of the inversion considering the available information and the soil parameters that are well solved during the inversion. • That the combined use of sensitivity analysis with comparison of transfer function,
with-out inversion, could be enough to assess the depth where the non-linear soil behaviour mostly takes place.
Dans l’Egypte ancienne, Theuth, ancien dieu créa les sciences et l’écriture; il alla présenter ses inventions au roi de l’Egypte en soumettant non seulement ses recherches mais leurs utilités et possibles effets. Le Roi écouta attentivement et, pour chacune de ses découvertes critiqua constructivement le discours de Theuth. En ce qui concerne l’écriture le roi tint ces propos : "Les discours écrits sont immuables, ils gardent le silence et ne peuvent se défendre; ils ne font pas distinctions entre les lecteurs, ne s’adaptent pas et ne répondent qu’une chose toujours la même". Le mythe de Theuth (Platon, 1933). Le discours n’est donc rien sans son père. Après cette lecture, si des questions et critiques vous submergent, ne blâmez pas le discours mais allez voir l’auteur.
C’est après quelques années de réflexions, au cours desquelles j’ai réalisé mes premiers travaux de recherche, que j’ai débuté ce travail. Je commencerai mes remerciements, en saluant les personnes qui m’ont encouragée dans cette voie. Je pense tout particulièrement à Fabian Bonilla auprès de qui j’ai réalisé mon stage de Master, à Jean-François Semblat qui a accepté la direction de cette thèse et j’ajoute mes collègues de l’ERA Risque Sismique et du laboratoire de Nice à cette époque, Anne-Marie Duval (sans qui cette thèse n’aurait pas vu le jour), Etienne Bertrand, Michel Pernoud et Jean-Philippe Devic qui ont permis la réalisation de ce projet. J’insiste et je remercie profondément, Jean-François Semblat, Fabian Bonilla et Etienne Bertrand, d’avoir assuré la co-direction de cette thèse et de m’avoir conseillée judicieusement dans les labyrinthes que peuvent parfois prendre les réflexions de recherche. Un dédicace spéciale à mes collègues au quotidien, Nathalie Glinsky, Diégo Mercerat et Philippe Langlaude, pour leur écoute et leurs conseils. Je remercie également, l’ensemble de mes collègues du laboratoire de Nice, de leur bonne humeur et de leurs aides. Merci aussi à la direction du CETE Méditerranée ainsi qu’aux collègues de l’IFSTTAR qui m’ont accueilli les bras ouverts à Paris.
De nombreuses personnes m’ont conseillée et m’ont transmis certaines de leurs connaissances. Je re-mercie Fernando Lopez-Caballero et Céline Gélis pour leur collaboration pendant le projet RAP (Réseau Accélérométrique Permanent) sur la variabilité des paramètres du sol et l’influence sur la réponse des sites. Je remercie Héloïse Cadet, avec qui j’ai étroitement collaboré sur les corrélations canoniques. Je remer-cie Aurore Laurendeau, Pierre-Yves Bard et Fabrice Cotton avec qui j’ai travaillé sur la base de données japonaise KiK-net. De ce travail de thèse sont nées de nombreuses collaborations qui vont se poursuivre dans des projets de recherche, je remercie la "Prenolin team" de la confiance qu’elle me porte (Alain Pecker, Pierre-Yves Bard, Fabrice Hollender, Fabian Bonilla et Etienne Bertrand).
Amis des quatre coins de la France et d’ailleurs, je vous remercie d’être ce que vous êtes, tout simple-ment. Je terminerai par remercier ma famille si attentive et dévouée. Leurs points de vue se sont révélés bien souvent de bonnes directions à suivre.
CONTEXTE
Le mouvement sismique ressenti en surface résulte de la combinaison des effets liés à la source sismique, au milieu de propagation et à l’amplification locale des ondes sismiques par la géologie de surface (effets de site lithologiques) ou la topographie (effets de site topographiques). Les effets de site lithologiques sont la conséquence du piégeage des ondes sismiques dans les couches de sol mou situées près de la surface et reposant sur un substratum rocheux plus rigide (Bard & Bouchon, 1985; Kramer, 1996). Localement, au cours d’un séisme, une grande partie de la variabilité du mouvement sismique (d’un site à un autre) est directement imputable aux effets de site (e.g. Riepl et al., 1998). L’observation de données sismologiques a mis en avant les amplifications très impor-tantes résultant de ces effets de site. L’un des exemples les plus parlant est le séisme de Mexico en 1985 pour lequel des accélérations du sol ont dépassé les accélérations enregistrées sur la zone épicentrale à plus de 350 km. C’est pourquoi il est nécessaire de prendre en compte ces effets de site dans l’évaluation de l’aléa sismique. De plus, dans les relations empiriques de prédiction du mouvement sismique (GMPEs 2), la variabilité est définie par l’écart-type (σ
GM P E) a une
influence très importante lors de l’évaluation probabiliste de l’aléa sismique. Cette variabilité est divisée en deux termes: variabilité inter-évènements et inter-sites. La première définit la variabilité du mouvement sismique en surface d’un évènement à un autre (ayant un couple magnitude/distance épicentrale équivalent). La seconde concerne la variabilité du mouvement sismique en surface entre les sites pour un même événement. Cette variabilité est intimement liée aux effets de site (Al Atik et al., 2010; Rodriguez-Marek et al., 2011). Ainsi, une évaluation robuste des effets de site est nécessaire pour la gestion et la prévention du risque sismique ou lors de l’établissement des équations prédictives du mouvement sismique tenant compte des conditions de site (e.g., Cotton et al., 2006; Douglas, 2006; Douglas et al., 2009).
Les effets de site peuvent être évalués de différentes manières: empiriquement, via l’analyse d’enregistrements de séismes (englobant des méthodes spécifique à un site ou à une classe de
2GMPEs: Ground Motion Prediction Equations
site) ou numériquement à l’aide de modèles numériques intégrant des comportements simples ou plus complexes du sol ainsi qu’une géométrie de site 1D, 2D ou 3D. L’utilisation des méth-odes empiriques est limitée à une étude ponctuelle et dans des pays à faible sismicité, aux enreg-istrements de séismes faibles mais ne nécessite pas de connaissance préalable des paramètres du site. L’observation du mouvement sismique et plus précisément de la réponse des sites a montré qu’en un site donné, même pour des séismes ayant un couple magnitude/distance équivalent, la courbe de réponse des sites (courbe d’amplification dans le domaine fréquentiel), bien qu’ayant une allure similaire, est variable d’un séisme à un autre. Ainsi, la réponse sismique empirique des sites doit être mesurée en utilisant un nombre significatif d’enregistrements. En outre, la courbe d’amplification peut-être très modifiée lorsque l’on considère des séismes ayant induit au sein des matériaux des déformations fortes et donc un comportement non-linéaire.
Les méthodes numériques, selon leur complexité, requièrent une connaissance précise de la géométrie et des paramètres géotechniques du sol. Toutefois, la description géotechnique détaillée du site est bien souvent limitée ou évaluée avec une incertitude importante (liée à des erreurs de mesures et à la variabilité spatiale des paramètres du sol).
Pour pallier à ces limitations, des méthodes intermédiaires, basées sur des corrélations entre les paramètres du sol et du séisme et la réponse du site empirique sont attrayantes. Ainsi, dans les réglementations parasismiques européennes (EC8) et américaines (NERPH), les effets de site sont pris en compte via le paramètre Vs30 (Vitesse moyenne de propagation des ondes de cisaillement sur les 30 premiers mètres). Ces méthodes intermédiaires sont applicables sur une large échelle (commune, départements...). Certains auteurs ont même proposé des corrélations entre la pente du relief et Vs30ou directement les effets de site à des échelles régionales (Wald & Allen, 2007; Allen
& Wald, 2009). Néanmoins, ces méthodes ne sont pas suffisamment site-spécifiques et peuvent résulter en une évaluation très grossière des effets de site.
Cette thèse s’inscrit globalement dans la thématique de l’amélioration de l’évaluation des effets de site. Afin de réaliser une évaluation pertinente de ces effets, il est nécessaire de calculer non seulement l’amplification moyenne du site mais aussi la variabilité associée. L’objectif principal de ce travail est de comprendre et de quantifier la variabilité de la réponse des sites en suivant la même décomposition que proposée dans les GMPEs, i.e. inter-sites et inter-évènements. Les évènements sismiques faibles à moyens, bien qu’induisant dans les matériaux et les structures des déformations faibles, ont un taux de récurrence très élevé et doivent par conséquent être pris en compte. D’un autre coté, les évènements sismiques forts, bien que rares, doivent également être considérés compte tenu de leur potentiel destructeur. C’est pourquoi, dans cette étude nous avons considéré à la fois le comportement linéaire (dans le cas de séisme faibles) et non-linéaire (dans le cas de séismes forts) des sols.
La thèse est organisée en trois parties. Dans la première partie, les notions fondamentales sur
la variabilité de la réponse sismique empirique des sites sont présentés et, dans la dernière partie, l’inversion de données de forage est réalisée afin de caractériser l’évolution des propriétés élastiques des matériaux lors de séismes forts.
Dans la suite de ce résumé étendu nous allons présenter chacune des parties en détaillant plus précisément les parties 2 et 3 qui constituent les principaux résultats de la thèse.
PREMIÈRE PARTIE: PRÉSENTATION DES NOTIONS FONDAMENTALES ET DE LA BASE DE DONNÉES ACCÉLÉROMÉTRIQUES
Le premier chapitre de la première partie consiste en une description de la propagation des ondes sis-miques dans un milieu stratifié, unidimensionnel et idéalisé (homogène, isotrope et visco-élastique) sous faibles déformations afin d’introduire le calcul de la réponse sismique des sites 1-D linéaire. La formule analytique de la fonction de transfert forage (rapport du champ d’onde sismique en surface par le champ d’onde sismique total à la station en fond de puits) pour le cas d’un site mono-couche a été définie et analysée. Si la station en fond de puits est située à l’interface entre les sédiments et le substratum sismique, la fonction de transfert forage est indépendante des propriétés du substratum. Par ailleurs, des sites ayant un rapport Vs (des sédiments) sur l’épaisseur des sédiments similaires, conduisent à des fonctions de transfert forage identiques. Ces deux remarques ont des implications très importantes concernant l’inversion des fonctions de transfert forage empiriques.
Le logiciel utilisé dans ce travail pour le calcul de la réponse numérique sismique des sites linéaire 1-D a été amélioré afin de minimiser l’écart entre les observations et les simulations. La particularité et l’inconvénient majeur des enregistrements de séismes en forage réside dans le fait que la station en fond de puits n’enregistre pas seulement les ondes incidentes mais aussi les ondes descendantes issues des réflexions multiples sur les différentes interfaces entre les couches de sol et la surface libre. Si la station en fond de puits se trouve juste au niveau de l’interface entre les sédiments et le substratum (dans le cas d’une configuration de site très simple) les fréquences de résonance correspondent à celles de la fonction de transfert du site classique (site sur référence en surface) mais si elle est située juste au-dessus ou en dessous de cette interface des pics de pseudo-résonance, provenant de l’interférence destructive entre les ondes incidentes et descendantes, seront présents dans la fonction de transfert forage et masqueront les fréquences de résonance du site. Par ailleurs, la comparaison entre les observations et les calculs numérique a montré que l’amplitude de ces pics n’est pas correctement calculée. Ainsi, au logiciel initial nous avons ajouté les mêmes traitements que ceux réalisés sur les données empiriques (même lissage) et même pas d’échantillonnage en fréquence ainsi que l’implémentation de l’atténuation dépendant de la fréquence. L’étude de sensibilité de la réponse sismique des sites aux paramètres d’entrée
sur des cas synthétiques a montré que les fréquences des pics de résonance étaient principalement contrôlés par la vitesse et l’épaisseur des couches sédimentaires et que les amplitudes associées dépendaient fortement du paramètre de lissage et de l’atténuation, laissant peu d’influence à la densité des matériaux.
Le second chapitre de cette partie est consacré à la présentation de la base de données ac-célérométriques utilisée dans cette étude. Nous avons choisi la base de données acac-célérométriques japonaise KiK-net. Elle est composée de 688 sites ayant des capteurs tridimensionnels en surface et en fond de puits, ce qui permet de calculer, en chacun des sites, les fonctions de transfert forage empiriques. De nombreux enregistrements sont disponibles allant de faibles accélérations à de très fortes. En chacun des sites où un profil de vitesse (S et P) était disponible, nous avons calculé la courbe de réponse du site forage pour plus de 46 000 enregistrements. Nous avons caractérisé la réponse linéaire en calculant la moyenne et la limite de confiance à 95 % de la courbe de réponse du site (BFSR95
lin) ainsi que le rapport spectral des composantes horizontales par la composante
ver-ticale des enregistrements en surface (HV95
lin) pour les séismes ayant un PGA à la station en fond
de puits inférieur à 10 cm/s2. Compte tenu de cette définition, les hypothèses suivantes sont la base
des travaux réalisés sur la base de données:
• (1) BFSR95
linest calculé en utilisant les enregistrements de séismes dont les PGA en fond de
puits sont faibles; le comportement non-linéaire ne devrait pas affecter la courbe de réponse et cette évaluation empirique peut être comparée au calcul numérique linéaire.
• (2) BFSR95lin est calculé en utilisant un nombre important d’enregistrements de séismes
provenant de diverses sources sismiques. Ainsi, la variabilité de la courbe de réponse con-tient déjà la variabilité qui pourrait être causée par une configuration complexe du site. Ainsi, l’écart entre BFSR95
linet BFSR calculé pour des séismes forts, peut-être associé au
comporte-ment non-linéaire des sols.
Finalement, nous avons défini les paramètres caractérisant le site, la courbe de réponse linéaire et le signal sismique incident, pertinents pour l’étude des effets de site. L’analyse de la distribution de ces paramètres sur l’ensemble de la base de données confirme que cette base est pertinente pour l’étude statistique des effets de sites et représentative d’une grande variabilité de configurations de sites. Par ailleurs, pour l’analyse du comportement non-linéaire des sols, plus de 50 sites ont enregistré au moins deux séismes dont le PGA en fond de puits est supérieur à 50 cm/s2.
La seconde partie est divisée en deux chapitres. Dans le premier chapitre, nous avons étudié la variabilité des profils de vitesse et de la courbe de réponse des sites linéaires par classe de sol (étude de la variabilité inter-sites). Dans le second chapitre, nous étudions la variabilité de la réponse sismique des sites en un site dû aux effets du comportement non-linéaire des sols (variabilité inter-évènements).
Vs30 est un paramètre standard permettant de classifier les sols selon leur réponse sismique.
Plus Vs30 est important plus le matériau est rigide et moins d’amplification est attendue.
Néan-moins, ce paramètre ne tient pas compte de la complexité du profil de vitesse des ondes de cisaille-ment en profondeur (au-delà de 30 m). Certains sites ayant des Vs30similaires peuvent avoir des
profils de vitesse très différents en profondeur et même sur les 30 premiers de sol. Dans ce chapitre nous proposons d’analyser l’influence du profil de vitesse en profondeur sur l’amplification du site linéaire. Hormis Vs30, nous proposons un paramètre supplémentaire caractérisant le site, i.e. le
gradient du profil de vitesse, calculé à partir du profil de Vs de la surface jusqu’à des profondeurs de 30 et 100 m (appelés B30et B100). Ce gradient caractérise l’évolution du profil de vitesse avec
la profondeur: un gradient faible est relatif à des profils de vitesse ayant une évolution faible avec la profondeur alors qu’un gradient fort caractérise des sites ayant un contraste d’impédance marqué dans les couches de sol proches de la surface. En outre, la fréquence de résonance fondamentale du site (f0) a également été utilisée. Des études antérieures (Cadet, Bard, Duval, et al., 2012; Luzi
et al., 2011) ont montré qu’il s’agissait d’un paramètre pertinent pour l’évaluation des effets de site qui, de surcroit, est calculé à partir de la courbe de réponse du site et donc issue d’une source d’information indépendante du profil de vitesse.
Les hypothèses majeures de l’analyse réalisée dans ce chapitre sont: (1) la courbe de réponse du site n’est pas affectée par les effets non-linéaires. (2) La réponse des sites n’est pas affectée significativement par des effets de configuration du site complexes (effets 2-D ou 3-D). Afin de sat-isfaire les hypothèses précédentes, nous calculons la courbe moyenne de la réponse du site linéaire en utilisant les enregistrements de séismes pour lesquels l’accélération maximale (PGA) à la station située en fond de puits soit inférieure à 10 cm/s2. En outre, parmi les 668 sites pour lesquels un
profil de Vs était disponible, 351 sites ont été sélectionnés compte tenu de la proximité de la réponse sismique du site empirique avec la réponse numérique 1-D linéaire.
Nous avons analysé la variabilité des profils de Vs et des courbes de réponse du site empirique linéaire selon le Vs30, le gradient et la fréquence de résonance fondamentale. Nous avons constaté
que le gradient calculé jusqu’à 30 m (B30) permet de séparer, pour une gamme de Vs30 donné,
les sites ayant des contrastes d’impédances forts près de la surface. Il permet également de mieux caractériser la réponse des sites, qu’en utilisant uniquement Vs30. Le gradient calculé à partir du
profil de Vs jusqu’à des profondeurs plus importantes de 100 m (B100) et la fréquence de résonance
fondamentale (f0) permettent de séparer les sites, ayant une gamme de Vs30 similaire, en trois
types: sites sédimentaire profonds, sites moyens et sites ayant un fort contraste d’impédance près de la surface. Les courbes de réponse du site sont significativement différentes pour ces trois groupes de sites indiquant que le profil de vitesse en profondeur a une influence certaine sur la réponse du site. L’utilisation combinée de Vs30, du gradient et de la fréquence de résonance fondamentale du
site permet d’améliorer la classification des sites en mettant en avant l’influence du profil de vitesse en profondeur sur la courbe de réponse du site.
Dans le second chapitre de cette partie, nous analysons la variabilité de la réponse sismique des sites, d’un évènement à un autre, en un site. Nous nous intéressons aux effets du comportement non-linéaire des sols sur la réponse des sites. L’hypothèse majeure de ce chapitre est de considérer que la variabilité de la réponse du site imputable à la complexité géométrique du site et aux effets de sources sismiques est entièrement contenue dans la caractérisation linéaire de la réponse du site. Ainsi, les modifications, entre la courbe de réponse du site calculée à partir d’enregistrements de séismes forts par rapport à la caractérisation linéaire, sont causées par le comportement non-linéaire du sol. Afin de décrire les effets du comportement non-non-linéaire sur la réponse du site par événements, nous proposons le pourcentage de modifications de la courbe de réponse par rapport à la caractérisation linéaire (PNLev, Pourcentage de NonLinéarité) et le décalage de la fréquence
des pics d’amplification (Shev). Ces paramètres sont utilisés afin d’estimer la probabilité que la
courbe de réponse non-linéaire soit significativement différente de la courbe de réponse linéaire. Nous avons constaté que, quel que soit le site considéré, cette probabilité est importante (> 20 %) même pour des niveaux d’accélération relativement faibles à la station en fond de puits (entre 30 et 75 cm/s2). Ce qui indique que les effets du comportement non-linéaire des sols doivent être pris en
compte même lors d’évaluations de la réponse sismique des sites pour des évènements modérés.
Par ailleurs, en 54 sites KIK-net ayant enregistré au moins deux séismes avec des accéléra-tions maximales importantes (PGA à la station en fond de puits > 50 cm/s2), nous avons défini
4 paramètres supplémentaires site-spécifiques qui caractérisent les effets du comportement non-linéaire des sols sur la réponse du site: (1) un PGA seuil site-spécifique (PGAth), PGA à partir
duquel le PNLevest supérieur à 10%, (2) un PNL site-spécifique pour un PGA incident de 50 cm/s2
(PNLsite), (3) un décalage de la fréquence site-spécifique pour un PGA incident de 50 cm/s2(Shsite)
et (4) une fréquence de la réponse du site à partir de laquelle on observe une dé-amplification de la courbe de réponse non-linéaire par rapport à la courbe de réponse linéaire (fNL). Sur la ma-jorité des 54 sites ayant un comportement non-linéaire, nous avons observé que le comportement non-linéaire des sols augmentait le niveau de l’amplification pour des fréquences en-dessous de la fréquence fNL (compte tenu du décalage des fréquences des pics de résonance vers les basses fréquences). L’analyse des corrélations entre les paramètres non-linéaires site-spécifiques et les
• (1) fNl se trouve entre la fréquence de résonance fondamentale du site et la fréquence pré-dominante lorsque ces dernières sont différentes,
• (2) les sites ayant des contrastes d’impédance prés de la surface (gradient important) et les sites ayant des effets de sites marqués (Apred important) sont plus susceptibles d’avoir un
comportement non-linéaire important.
Ces observations semblent indiquer que les couches de sol associées à la fréquence de résonance fondamentale i.e les couches de sol ayant le contraste d’impédance le plus en profondeur, ont un comportement moins non-linéaire que les couches de sol superficielles associées à la fréquence de résonance prédominante. Ainsi, il semblerait que le comportement non-linéaire du sol affectant la courbe de réponse du site se produise majoritairement dans les couches près de la surface. Par ailleurs, nous avons également montré que fNL et le décalage de la fréquence site-spécifique (Shsite)
peuvent être obtenus de façon similaire sur les fonctions récepteurs en surface. Cette dernière remarque montre qu’une partie des résultats obtenus dans cette étude peut être étendue à d’autres bases de données ayant uniquement un capteur en surface.
TROISIÈME PARTIE: INVERSION DE LA RÉPONSE SISMIQUE DES SITES
Dans le chapitre précédent, nous avons montré que l’effet non-linéaire semble se produire princi-palement dans les couches de sol proches de la surface. Cette conclusion peut avoir de très fortes implications quant à la caractérisation non-linéaire d’un site. L’étape suivante est de déterminer plus précisément les profondeurs auxquelles cet effet non-linéaire prend majoritairement place et à partir desquelles son influence sur le calcul de la réponse non-linéaire n’est plus significative. Dans cette partie nous inversons les courbes de réponse forage afin de trouver les propriétés élastiques équiva-lentes lors de séismes forts. Les objectifs principaux de l’inversion sont d’obtenir les propriétés élas-tiques (profils de Vs et de Q) à partir de l’inversion des courbes de réponse linéaire et de comparer les résultats avec ceux obtenus lors de l’inversion de courbe de réponse non-linéaire. L’inversion est réalisée à l’aide d’un algorithme hybride entre une méthode de recuit simulé (Kirkpatrick et al., 1983; Cerny, 1985) et une méthode de Nelder-Mead (Nelder & Mead, 1965), connue sous le nom de "downhill simplex method". Le logiciel utilisé a été développé par Liu Pengcheng (Liu et al., 1995). L’intérêt de combiner ces deux approches est d’associer l’efficacité d’une méthode de recherche directe (Nelder-Mead) à la faculté de trouver le minimum global d’une fonction coût complexe d’une méthode stochastique (recuit simulé).
Nous avons sélectionné 4 sites KiK-net avec différents profils de vitesse pour appliquer notre approche. Tout d’abord nous avons réalisé une étude de sensibilité sur les profils de vitesse des
3A
predAmplification maximale et fpredfréquence d’amplification maximale
sites sélectionnés afin de déterminer l’influence de chacun des paramètres d’entrée sur la courbe de réponse et de déterminer quels paramètres pouvaient être contraints par l’inversion. L’inversion des BFSRlina mis en avant la difficulté d’interpréter les résultats même si des informations a priori fiable sur le profil de vitesse étaient disponibles. Cette difficulté peut s’expliquer d’une part, par le fait que les simulations numériques ne reproduisent pas correctement l’amplitude des pics de pseudo-résonance (malgré l’implémentation de l’atténuation dépendant de la fréquence) et d’autre part, par le fait que les sites sélectionnés n’ont peut-être pas tous une configuration 1-D, bien que le mode de résonance fondamentale soit en accord avec les résultats de la simulation numérique 1-D. Néanmoins, au site FKSH14, l’inversion de BFSRlina donné des résultats très cohérents avec
le profil de vitesse et le log géologique. Nous avons réalisé des inversions des courbes de réponse non-linéaires issues de 3 séismes enregistrés par cette station. Nous avons constaté que les couches superficielles étaient les plus affectées par les effets non-linéaires (couches situées au-dessus du plus fort contraste d’impédance du profil de vitesse). Néanmoins, durant le plus fort séisme, l’inversion a indiqué des modifications dans une couche de sol plus profonde. Cette observation indique que la nonlinéarité prend place principalement dans les couches de sol superficielles, conformément aux conclusions de la partie précédente, mais que, pour des mouvements sismiques plus forts, elle pourrait se produire également dans des couches plus profondes et avoir un impact sur la courbe de réponse. La profondeur à laquelle la nonlinéarité prend place et influence la courbe de réponse dépendrait non seulement du site mais aussi de l’amplitude de la sollicitation. Cette observation, limitée à l’étude d’un site, ne peut être généralisée. Elle est toutefois en accord avec les conclusions de la partie précédente, issues de l’analyse statistique sur 54 sites.
ANNEXES
En annexe, nous détaillons les effets des ondes descendantes lors du calcul de la réponse du site en considérant la station de référence en fond de puits. Compte tenu de l’effet des ondes descen-dantes, la courbe de réponse fond de puits n’apparait pas comme la meilleure donnée pour identifier la fréquence de résonance fondamentale du site. Alors, nous avons utilisé une méthode alterna-tive ne nécessitant pas de station de référence appelée H/V séisme qui est le rapport spectral des composantes horizontales sur verticale des enregistrements en surface.
PUBLICATIONS
Le travail présenté dans cette thèse a fait l’objet de trois publications (deux acceptées et une soumise) dans des revues scientifiques avec comité de lecture concernant la seconde partie de ce travail.
• L. F. Bonilla, K., Tsuda, N., Pulido, J., Régnier and A. Laurendeau. Nonlinear site response 14
• J. Régnier, H. Cadet, L.-F. Bonilla, E. Bertrand, J.-F. Semblat. Assessing nonlinear behavior of soils in seismic site response:
Statistical analysis on KiK-net strong motion data. Bulletin of Seismological Society of America, accepted in february 2013.
• J. Régnier, L.-F. Bonilla, E. Bertrand, J.-F. Semblat. Influence of the velocity profile at depth on the linear characterization of site effects: Tests on the KiK-net database, Bulletin of Seis-mological Society of America, submitted in january 2013.
Ce travail a été également présenté dans trois conférences internationales et trois nationales dont 4 avec actes de conférence:
• J. Régnier, L.-F. Bonilla, E. Bertrand, J.-F. Semblat. Vs30 : un paramètre pertinent pour décrire les effets de site ? Tests sur la base de données Kiknet. AFPS, Paris, 2011.
• J. Régnier, L.-F. Bonilla, E. Bertrand, J.-F. Semblat. Empirical evidence of nonlinear site response at several KiK-net stations. ESG4, Santa-Barbara, US, 2011.
• J. Régnier, L.-F. Bonilla A.M. Duval , .F. Semblat et E. Bertrand. Revisiting Vs30 as a proxy parameter for sit effects: a case of study using KiK-net data. 5ICGE (Chili), 2011.
• J. Régnier, L.-F. Bonilla, E. Bertrand, J.-F. Semblat. Empirical evidence of soil non-linear behavior effects on seismic site response, WCEE15, Lisbone, 2012.
GENERAL NOTATION
BFSR: Borehole Fourier Spectral Ratio (can be computed in this study numerically or empirically).
BFSRlin: Mean linear empirical BFSR.
BFSR95lin: 95% confidence limit of the linear empirical BFSR.
BFSRnum: Numerical linear BFSR.
BFSRref: referent BFSR (either BFSRlinor BFSRnum)
bkonno: Smoothing parameter.
Fc: Cost Function.
OFSRnum: Numerical linear Outcrop Fourier Spectral Ratio (calculated numerically only in this
study).
HVlin: Mean linear Horizontal to Vertical spectral ratio at the surface sensor.
σ: Stress matrix
ǫ: Strain matrix
u: Displacement vector
ur: Displacement wave-filed in the substratum
us: Displacement wave-filed in the sediment
k: Wave number.
SOIL PARAMETERS
B30: Gradient of the Vs profile down to 30 m depth
B100: Gradient of the Vs profile down to 100 m depth G, G0: Shear modulus
G1: Viscosity
Q: Quality factor
Th: Thickness of the soil layers Vs: Shear wave velocity
Vs30: Harmonic mean shear wave velocity
α: Parameters for the attenuation frequency dependent ρ: Density or volume mass
λ: First lame constants
LINEAR SITE RESPONSE PARAMETERS
f: Frequency vector.
f0: Fundamental resonance frequency
fpred: Predominant resonance frequency
Apred: Amplitude of BFSR at the predominant resonance frequency
INCIDENT MOTION PARAMETERS
arms: Acceleration root mean square CAV: Cumulative Absolute Velocity Dtri: Trifunac Duration
Ia: Arias intensity Fc: Central Frequency
PGA: Peak Ground Acceleration PGV: Peak Ground Velocity PGD: Peak Ground Displacement
PNLev: Percentage of NonLinearity per event
Shev: Shift of the predominant frequency per event
NONLINEAR PARAMETERS PER SITE
PGAth: Threshold PGA for nonlinearity
PNLsite: Percentage of NonLinearity site-specific
Shsite: Shift of the predominant frequency site-specific
fNL: Frequency of NonLinearity: Frequency from which the ratio between the linear and non-linear site response goes below 1.
Remerciements 5
Résumé étendu 7
Notation 17
General introduction 23
I Basic concepts and data processing 27
1 Linear wave propagation 29
1.1 Wave propagation in linear elastic and visco-elastic media . . . 31 1.2 Wave propagation in a linear visco-elastic layered model . . . 38 1.3 Borehole-site response and implication for inversion purposes . . . 46 1.4 Computational approach . . . 49 1.5 Sensitivity analysis . . . 52 2 KiK-net database: data-selection, signal processing and site-response calculations 63 2.1 Data selection and signal processing . . . 65 2.2 Empirical site-response calculations . . . 68 2.3 Computation of the empirical site response . . . 70 2.4 Definition of the soil and linear site-response proxy parameters . . . 72 2.5 Definition of the seismic motion intensity parameters . . . 77 2.6 Conclusions . . . 80
II Analysis of empirical seismic site response variability 83
3 Inter-site site-response variability 85
3.1 Introduction . . . 86 3.2 Selection of the KiK-net sites with 1-D site configuration . . . 87 3.3 Variability of the Vs profiles and site responses according to Vs30only . . . 89
3.4 On the use of additional parameters to Vs30 . . . 89
3.5 Illustration of three KiK-net sites . . . 92 3.6 Analyses of the Vs profile and BFSRempvariabilities of the 1-D selected sites . . . 94
3.7 Conclusion and discussion . . . 99
4 Inter-event site-response variability 101
4.1 Introduction . . . 103 4.2 Elements of soil non-linear behaviour . . . 105 4.3 Quantification of the non-linear effects . . . 112 4.4 Statistical analyses of the event/ site parameters . . . 127 4.5 Optimal parameters to assess soil non-linearity . . . 138 4.6 Conclusions . . . 141
III Inversion of the borehole transfer function 143
5 The simulated annealing downhill simplex hybrid global inverse algorithm 147 5.1 Simulated annealing . . . 148 5.2 Downhill simplex method . . . 150 5.3 The hybrid method . . . 151 5.4 Inversions on synthetic cases . . . 153
6 Inversion of empirical data 161
6.1 Introduction . . . 162 6.2 Description of the selected KiK-net sites . . . 162 6.3 Inversion of linear data . . . 174 6.4 Inversion of non-linear data . . . 185 6.5 discussion on the inversion of non-linear data . . . 190 6.6 Conclusion . . . 193 Conclusions . . . 196
Conclusion and perspectives 195
References 207
References . . . 207 A Earthquake locations at sites FKSH12, FKSH14, KSRH10 and MYGH04 221 B Illustration of the down-going wave effect on the numerical borehole site responses 227
C Picking the fundamental resonance frequency 231
C.1 Methodology . . . 231 C.2 Comparison of the f0 . . . 232
C.3 Conclusion and discussion . . . 237 D Characteristics of KiK-net sites that have recorded at least two earthquakes with PGAs
The Earth is in perpetual movement, which manifested itself through natural disasters including earthquakes, volcanic eruptions, landslides, droughts, floods, cyclones and fires representing the appearances of this phenomena that threaten the human population. The seismic risk is the com-bination of the seismic hazard and the vulnerability of the local infrastructure. Therefore, even for equivalent initial hazard levels, the impact of these natural disasters is heterogeneous, and will be greater in developing countries where the building stock is more vulnerable. For now, there is no consensus in the seismological community about reliable seismological precursors even for short-term earthquake occurrences. The only tool available for seismic risk mitigation is therefore prevention; i.e., the definition of a reliable seismic hazard map and the construction of structures that are adapted to this hazard.
The seismic motion recorded at the surface come from the seismic waves that are generated by a seismic source. These are modified according to the travel path from the source to the site and to the local site configuration, the so-called "site effects". These site effects are the consequence of seismic waves being trapped in soft subsurface material that overlies stiffer rock (Bard & Bouchon, 1985). It is widely recognised that site effects can dramatically increase the seismic motion at the soil surface. Consequently, a large part of the local variability of ground motion is associated to site effects. In ground-motion prediction equations (GMPEs), the variability is described by the stan-dard deviation (σGM P E), and this can have a great influence on the evaluation of the probabilistic
seismic hazard. The variability is divided into two main terms: the between-events variability; and the between-sites variability. The first of these describes the variability of the seismic ground motion at the surface between seismic events. The second describes the inter-site variability of the ground motion for a given couple-magnitude distance. This variability is intimately related to the site effects (Al Atik et al., 2010; Rodriguez-Marek et al., 2011). Consequently, robust evaluation of site effects is required for risk mitigation and urban planning, or when computing GMPEs at sites with different soil conditions (e.g., Cotton et al., 2006; Douglas, 2006; Douglas et al., 2009).
Site effects can be evaluated in different ways: empirically, using the analysis of earthquake recordings; or numerically, by simulating the wave propagation. The main advantage of the
empir-24 INTRODUCTION
ical method is that it does not require knowledge of the soil properties and the site configuration, although it is limited to local studies, and in areas of low seismicity, to the analysis of weak motion. Observations of site responses show that, in one site, even for similar magnitude and epicentral distance couple, although having a similar aspect, the site response curves may be variable from one event to another (in the frequency domain). Thus, empirical site response must be performed using a significant number of recordings. Besides, the site response may be very different when considering strong seismic motions that induce large deformations in the soil layers.
The simulations can integrate simple or more sophisticated soil behaviours and geometry, one-dimensional [1-D], 2-D or 3-D site configurations, (e.g. Semblat & Pecker, 2009). Depending on their sophistication, numerical methods require detailed geotechnical and geometrical data. The detailed geotechnical description of a site is often limited and has to be evaluated with uncertainties (linked to measurement errors or spatial variability).
To compensate for these limitations, it has been proposed to use intermediate solutions based on correlations between simplified soil and earthquake parameters with site effects or surface ground motion. Nowadays, the Vs30(harmonic mean shear-wave velocity in the first 30 m depth
of the soil) is widely used to classify the soils for regulation codes, such as with Eurocode 8 (EC8) and the National Earthquake Hazard Reduction Programme (NEHRP). In addition, ground motion simulations in California, USA, that take site effects into account involve amplification functions that are based on Vs30 and rock peak ground motion (Graves et al., 2008). In Europe, Cadet, Bard, Duval, et al. (2012) developed amplification functions that are based on Vs30 and the soil
fundamental frequency (f0). Such intermediate approaches can be applicable at large scales but are
not site-specific, and in some sites they may not provide accurate evaluations of site effects.
The present study is designed to provide improvements to site-effect evaluations. The basic idea of this study is to quantify and understand the sources of the seismic site response variabilities, both between sites and between events. Although small to medium strength earthquakes induce weak deformation in materials, they are the most common shaking that is felt by the infrastructure, and therefore they need to be taken into account for seismic hazard assessment. On the other hand, large earthquakes induce strong deformation, and although these are rare, they can have such a destructive potential that they absolutely need the be considered. This is why in this study we have considered both the linear and non-linear soil behaviour for site-effect assessment. The variability of the between-sites seismic site responses will be treated in the linear range (for weak motion only), and the between-events variability will concern the site response variability that is caused by the non-linear soil behaviour.
This thesis is organised as follows. In the first part, the fundamental concepts required for this work are defined and the database used is presented. The second part is mainly based on analyses of earthquake recordings, while the third part deals with inversions of site-response curves to find
the equivalent linear soil column that best-fits the empirical non-linear site response.
The first part of this thesis is divided into two chapters that essentially introduce the second and third parts. In the first chapter, we define the fundamental concepts of seismic wave propagation in elastic and visco-elastic media. To understand the numerical method used to compute the 1-D linear seismic site responses in the present study, we show the equations of propagation of the shear waves with vertical incidence in isotropic, homogeneous, layered, and visco-elastic media in the linear range (weak deformation). Then, we present the sensitivity analyses of the numerical method that were performed. The basic concepts presented in this first chapter represent the technical support for chapter one of the second part, which is concerned with observations of the between-sites seismic-site response variability in the linear range, and the third part, which deals with inversion techniques. The second chapter of the first part concerns the presentation of the KiK-net Japanese database (accelerometric and geotechnical) that was used, as well as the data selection and the treatments carried out to compute the empirical evaluation of the site responses in the second part.
The second part of this thesis concerns the analysis of the empirical data. It is divided into two chapters. The first deals with the analysis of the between-sites variability of the seismic-site response in the linear range. The relevancy of proxy parameters such as Vs30 is tested, and we
have defined additional parameters that can improve site classification. The hypothesis of this first analysis is that the non-linear soil behaviour and complex site configuration (2-D, 3-D) do not affect the seismic-site response variability. Hence, we have selected sites from the KiK-net database for which the 1-D site configuration assumption is valid, and we have used recordings of weak ground motion. The second chapter focusses on the analysis of between-events site-response variability caused by non-linear soil behaviour. The main scope of this chapter is to find the incident motion, soil, and linear site-response parameters that are the most correlated to the non-linear soil behaviour and to the effects on the site response.
In the third part, inversions of the site-response curves are performed, to find the equivalent linear soil column that best fits the non-linear site response. The scope of this third part is to find the depths where the non-linear soil behaviour mostly takes place. The first chapter of this third part describes the search techniques that are used, and the second chapter shows the application of the inversion method to the empirical data at four selected KiK-net sites.
Linear wave propagation
Sommaire
1.1 Wave propagation in linear elastic and visco-elastic media . . . 31 1.1.1 The elastic-wave propagation equation . . . 31 1.1.2 Solution of the elastic wave equation . . . 33 1.1.3 The visco-elastic wave equation . . . 33 1.1.3.1 Background on seismic waves attenuation . . . 33 1.1.3.2 Modelisation of waves attenuation . . . 34 1.1.4 Damping characteristics in the visco-elastic model (kelvin-Voigt type) . . 36 1.1.5 Non-viscous model type Kelvin-Voigt . . . 37 1.2 Wave propagation in a linear visco-elastic layered model . . . 38 1.2.1 Single-layer soil column response . . . 38 1.2.1.1 Wave propagation . . . 38 1.2.1.2 Transfer function . . . 39 1.2.2 Multi-layer soil column response . . . 40 1.2.3 Validity and limits of the present hypotheses . . . 44 1.3 Borehole-site response and implication for inversion purposes . . . 46 1.4 Computational approach . . . 49 1.4.1 Signal processing . . . 49 1.4.2 Frequency-dependent attenuation . . . 49 1.5 Sensitivity analysis . . . 52 1.5.1 Description of the method . . . 53 1.5.2 Application to synthetic cases . . . 57 1.5.3 Conclusions . . . 61
30
INTRODUCTION
Earthquakes start from a sudden and brutal rupture in the earth crust that generate seismic waves. These body waves propagate from the seismic source and reach the soil surface or the foundations of the man-made infrastructure, within which they can be further propagated. While propagating in a medium, the seismic waves are attenuated with the distance. The first source of attenuation is linked to the material in which the waves propagate (intrinsic and scattering attenuation) while the second is associated to geometrical effects (geometrical spreading).
In the general introduction, we underlined that the seismic ground motion at the surface is the convolution of the seismic waves generated during an earthquake by the path traveled between the seismic source to the site and by the shallowest soil layers configuration and geotechnical properties (lithological and topographic site effects). The present study deals with the evaluation of lithological site effects. The scope of this first chapter is to introduce the theoretical calculation of these site effects. In this chapter, the wave propagation formulation adopted assumes the following 4 main hypotheses: (1) the propagation of plane waves is in one-dimension (during the propagation, the wavefronts are infinite parallel planes) with (2) vertical incidence. (3) The medium is composed by homogeneous and isotropic soil layers. (4) The soil behavior is, linear elastic or linear visco-elastic. The soil non-linear behavior will be presented in the next chapter.
First, we introduce the equation for the propagation of shear waves with vertical incidence in isotropic, homogeneous, elastic and visco-elastic media. We discuss the damping implementation and the analytical formulation of the borehole site response for a mono-layer soil column with respect to inversion purposes. Then, we discuss the relevancy and limits of the hypothesis assumed in this study. Finally, we describe the computational approach used to compute the 1-D site response with sensitivity analysis on some synthetic cases.
1.1 WAVE PROPAGATION IN LINEAR ELASTIC AND VISCO-ELASTIC MEDIA
1.1.1 The elastic-wave propagation equation
To fully describe the wave propagation into a medium, we have to express the stress and strain tensors and displacement vector, which in three dimensions means that there are 15 unknowns to be found. Using the equation of motion (Equation 1.1), the stress-strain (Equation 1.2) and the strain-displacement (Equation 1.4) relationships means that there are 15 equations to solve in three dimensions. The equation of motion is :
div(σ) + ρb = ρ∂
2u
∂t2, (1.1)
where, σ is the stress tensor, ρ is the mass density, b is the body-force vector, and u is the displacement vector. For weak deformation, soils have linear and elastic behaviours, which means that in the stress (σ) - strain (ǫ) plane, the loading, unloading and re-loading paths are similar (Figure 1.8 (a)). Hooke’s law, which linearly links (σ) and (ǫ), illustrates this behaviour in isotropic medium:
σ = λ(trǫ)11 + 2Gǫ, (1.2)
where, ǫ is the strain tensor, λ and G are the Lamé’s constants (G being the shear modulus). The seismic body waves are composed of the compressive waves (P-waves) and the shear waves (S-waves) with P-wave propagation velocity greater than that of the S-waves. The P-waves, which stands for ’primary’ waves are also called the compressive waves, as suggested by their name, they move by compressing/dilating the material in the direction of propagation. The S-waves, or shear waves, move by shearing the material in a transverse plane to the direction of propagation (wave plane). Considering that more than 90% of the energy radiated from an earthquake is carried by the S-waves (Boatwright & Fletcher, 1984), we will consider only the propagation of S-waves. Also, for site-effect assessments ( for the shallows soil layers), the vertical incidence of the incident waves is a reasonable hypothesis, as mentioned in the Introduction. Thus, in the following, we only consider SH-wave propagation into a 1-D medium along the vertical direction. As illustrated in Figure 1.1, the direction of motion of the SH-waves is along the X-axis in the wave plane, which is transverse to the direction axis (Z-axis).
The displacement vector u is therefore only a function of Z in the X-direction. This can be written as:
32 1.1 Wave propagation in linear elastic and visco-elastic media
z
x
y
Direc*on of propaga*on Direc*on of mo*onFigure 1.1: Propagation of SH-waves in the Z-axis direction.
u= ux(z) 0 0 . (1.3)
The previous equations ( 1.1, 1.2, 1.4) can be simplified considering the previous hypothesis of 1-D SH-wave propagation, which for the strain-displacement relationship, gives:
ǫ= 1 2[grad u + (grad u) t] = 0 0 12∂ux ∂z 0 0 0 1 2∂u∂zx 0 0 . (1.4)
The trace of the strain tensor is zero, and Hooke’s law becomes:
σxz = 2Gǫxz. (1.5)
The equation of motion that links the stress to the displacement, considering that the body-forces are zero, becomes:
∂σxz
∂z = ρ ∂2u
x
∂t2 . (1.6)
Replacing σxz from Equation 1.5 into Equation 1.6, this gives the wave equation for elastic
linear soil behaviour given in Equation 1.7.
Vs2∂ 2u x ∂z2 = ∂2u x ∂t2 , (1.7) where, Vs = q G
velocity.
1.1.2 Solution of the elastic wave equation
The solution of Equation 1.7, is a combination of the waves propagating at a velocity Vs, in opposite directions. It can be expressed as:
f (z, ω) = eiωt(Aeikz + Be−ikz). (1.8)
For vertical incidence and considering the positive direction of z from the surface to the depth, the amplitude A is associated to the upward propagating waves and the amplitude B to the down-ward propagating waves. The coefficient k is inversely proportional to a length and is called the wave number. In the elastic case, k is the ratio between the angular frequency and it’s velocity:
k = ω
V s. (1.9)
1.1.3 The visco-elastic wave equation
1.1.3.1 Background on seismic waves attenuation
Even for weak deformation, soft materials show hysteresis behaviour in the stress-strain plane (see Figure 1.8 (b)) and dissipation of energy. While pure elastic materials restore 100% of the en-ergy due to deformation, viscoelastic or nonlinear materials do not restore 100% of the enen-ergy under deformation, but actually lose or dissipate some of this energy. The attenuation is usually divided in two terms i.e. the effective attenuation that is dependent on the material the wave propagate in and the geometrical attenuation that is associated to propitiation itself: when the body waves get further from the seismic point source, the wave plane become larger, the total energy being conserve in the whole wave plan, locally the amplitude of the waves is decreasing. The effective attenuation can be decomposed into:
Intrinsic attenuation : At a microscopic scale different process of energy dissipations have been proposed (e.g. Biot, 1956; Johnston et al., 1979; Leurer, 1997). The intrinsic attenuation can be associated to several individual mechanisms: In coarse grained soils, it is mostly caused by frictional losses between soil particles and fluid flow losses due to relative movements between the solid and the fluid phases. In fined grained soils, more complex phenomena take place mainly associated to electromagnetic interaction between water particles and macro-scopic solid particles.
Scattering attenuation : in heterogeneous materials, the scattering of the waves will also be a source of energy dissipation.
34 1.1 Wave propagation in linear elastic and visco-elastic media
The contribution of both scattering and intrinsic attenuation in the attenuation of short period S-Waves (0.08 - 0.1 s) has been widely discussed in the past (see e.g. Tselentis (1998) for an overview).
The attenuation can be represented by the quality factor (Q). Seismologists community used more commonly the quality factor, whereas geotechnical community usually use the damping ratio (ξ). Both factors are linked by the formula Q = 1/(2ξ) It is widely recognized in the seismology community that seismic waves attenuation (here S-waves) in the earth’s crust can be represented by the following equation:
A(r, f ) = A0e−πf r/(QefV s), (1.10)
where, A is the amplitude of the seismic waves, A0being the geometrical spreading factor, r is
the distance, f is the frequency, V s is the shear wave velocity and Qefis the effective quality factor
of S-waves . shortciteauthorDainty-1981 (1981) gives an expression of the effective quality factor as a function of the intrinsic (Q−1
in, inverse of the quality factor) that is frequency-independent and
scattering attenuation Q−1
sc that is frequency-dependent:
Q−1ef = Q−1in + Q−1sc . (1.11)
For site-effect assessment, considering that the wave propagation is mostly plane waves, the wave attenuation is mainly control by the intrinsic and scattering attenuation rather than by the geometrical attenuation. In the following sections, the damping characteristic that will be used is the quality factor, denoted as Q, but refers to the effective quality factor aforementioned.
1.1.3.2 Modelisation of waves attenuation
One way of modeling the dissipation of energy is to introduce viscous behaviour, which means that the dissipation depends on the velocity (or strain rate). It is important to recall that the atten-uation is caused by different internal mechanisms, and introducing viscosity in the soil behavior models explains only part of these phenomena. Different spring-Dashpot systems can be used to illustrate the viscous behaviour. The most common used are the Kelvin-Voigt and the Maxwell viscoelastic models, that are spring and dashpot in parallel or in series respectively (see (Ishihara, 1996)). The properties of a visco-elastic medium are as follow: (1) Hysteresis is observed in the stress-strain plane, (2) stress relaxation occurs: at constant strain, the stress decreases with time, (3) creep occurs: at constant stress, strain increases with time. The Kelvin-Voigt model is illustrated in Figure 1.2. The aforementioned Hooke’s law for 1-D propagation of SH-waves can then be re-written to add the viscous behaviour. The stress is the sum of an elastic part that is proportional to
the strain and a viscous part that is proportional to the strain rate: σxz = σxz1 + σxz2 = G0ǫxz+ G1 ∂ǫxz ∂t = G0 ∂ux ∂z + G1 ∂2ux ∂z∂t, (1.12)
where, G0is the shear modulus and G1is the viscosity of the material. For visco-elastic media
(Kelvin-Voigt model), the wave equation is described in Equation 1.13:
G
0G
1σ
xzε
xzσ
1 xzσ
2 xzFigure 1.2: Kelvin-Voigt rheological model.
G0 ∂2u x ∂z2 + G1 ∂3u x ∂z2∂t = ρ ∂2u x ∂t2 . (1.13)
While this expression is slightly more complicated than the elastic wave propagation, substitut-ing ux(z, ω) = Aeiω.te−ikz, we find a similar expression to the elastic wave propagation equation
such that: G∗∂ 2u x ∂z2 = ρ ∂2u x ∂t2 , (1.14)
where, the complex shear modulus being G∗ = G
0+ iωG1, and the wave number is therefore
complex and reads:
k∗= ω
p(G0+ iωG1)/ρ
(1.15)
The solution of the visco-elastic wave equation is similar to the elastic case. The difference between elastic and visco-elastic linear wave propagation is that in the first case, the wave number is real, while in the second case it is complex. Considering k∗ = k
R− ikI, the solution of the
36 1.1 Wave propagation in linear elastic and visco-elastic media
amplitude that is decreasing with the distance exponentially at a rate that depends on kI.
1.1.4 Damping characteristics in the visco-elastic model (kelvin-Voigt type) For an harmonic shear strain in the form of
ǫxz =
∂ux
∂z = ǫ0sin(ω.t), (1.16)
where, ω is the angular frequency 2πf and ǫ0 the maximal shear strain. Compared to the
elastic case, the stress and strain are no longer in phase. The shear stress will be:
σxz= G0ǫ0sin(ωt) + ωG1ǫ0cos(ωt). (1.17)
With this model, the stress-strain curve shown in Figure 1.8 (b) can be expected. We observe that the material shows hysteresis behaviour under cyclic loading, although the relation between σ and ǫ is linear. The damping characteristics can be represented by the quality factor (Q). Several definitions of Q, that lead to similar results, were proposed:
• In cyclic loading, Q is defined in equation 1.18 as initially proposed by Futterman in (1962).
Q = 2π W
∆W. (1.18)
It is defined as the ratio of the maximal energy that can be stored in a unit volume of a viscoelastic body (Equation 1.19), that could be represented in Figure 1.8 (b) by the grey triangle area:
W = 1
2G0ǫ
2
0, (1.19)
by the dissipated energy that is loss in one cycle (Equation 1.20), that is the area of the hysteresis loop in Figure 1.8 (b):
∆W = πG1ωǫ20. (1.20)
• O’Connell and Budiansky (1978) have proposed a standard definition of the quality factor of the S-waves described in terms of the complex shear moduli as:
Q = ℜ(G
∗)
where, G∗is the complex shear modulus, G∗ = G
0+ iωG1. Hence, it is clear that both way
of defining the quality factor lead to a similar result given in the following Equation (1.22):
Q = G0 ωG1
. (1.22)
As mentioned in Ishihara (1996) pages 22 to 28, such models introduce a quality factor that is dependent of the frequency (inversely proportional).
1.1.5 Non-viscous model type Kelvin-Voigt
The frequency-dependence of the damping parameter has been widely discussed. A large number of laboratory experiments have shown that the damping properties are practically independent on the frequency at least in the frequency range of seismic loading (0.1- 30 Hz) (e.g. Hardin & Drnevich, 1972; Shibuya et al., 1995; Lo-Presti et al., 1997). Campbell (2009) and Morozov (2008, 2009) discussed the frequency dependence of the scattering attenuation which can be explained because part of the geometrical attenuation is accounted in the scattering attenuation.
Therefore, alternative models such as non-viscous type Kelvin-Voigt have been introduced. In this model, a rate independent dashpot is introduced. Such models do not have a physical basis, in-deed viscous behavior should be rate dependent, but satisfy the laboratory observations. Although, this model overcomes the main shortcoming of the Kelvin-Voigt model it is important to recall that, with only one dashpot (one single relaxation time), this model is unable to simulate complex soil behavior phenomena. With analogy to the Kelvin-Voigt model, the Hooke’s law for a non-viscous model that satisfy the frequency independent damping characteristics is written as:
σxz = (G0+ iG1)
∂ux
∂z . (1.23)
This model is the one implemented in the method used in the present study. The damping characteristic, represented by the quality factor Q is given by:
Q = G0 G1
. (1.24)
The wave number, given in Equation 1.25 is still complex, but the denominator is independent of the frequency:
k∗= ω
p(G0+ iG1)/ρ
38 1.2 Wave propagation in a linear visco-elastic layered model
1.2 WAVE PROPAGATION IN A LINEAR VISCO-ELASTIC LAYERED MODEL
The propagation of waves in layered media involves the wave propagation into the layers and the propagation from one material into another. In the present study, we analyze the SH-wave propaga-tion with vertical incidence. First we present the 1-D seismic response of a single-layer soil column, then we extend these results to multi-layer soil column.
1.2.1 Single-layer soil column response
1.2.1.1 Wave propagation
Let us take the example of a single-layer of sediment lying over a semi-infinite bedrock, such as depicted in Figure 1.3.
Sediment
Vs
s, k
s, ρ
sUr
Us
2A
sA
rB
rz
0
H
A
sB
s0
z
rFigure 1.3: Single-layer soil model. Ur is the substratum wave-field withArthe amplitude of the
up-going wave filed in the substratum (incident wave field) andBris the amplitude of the
down-going wave filed in the substratum. Usis the sediment wave-field withAs, the amplitude of the
up-going wave filed in the sediment andBsthe amplitude of the down-going wave filed in the
sediment. H is the thickness of the sediment layer.
In the bedrock, the displacement field is given by a combination of up-going and down-going harmonic and monochromatic waves:
ur(z, ω) = eiωt(Areik ∗ rzr+ B re−ik ∗ rzr),
where, zr is a specific reference frame to the bedrock (in Figure 1.3 zr = 0 when z = H) and
Similarly, in the sediment layer, the displacement field is given by: us(z, ω) = eiωt(Aseik ∗ sz+ B se−ik ∗ sz).
To find the coefficients As, Bs, Ar and Br, let us write the boundary conditions: (1) at the
interface, there is continuity of both the displacement and the traction (i.e. the normal component of the stress tensor σxz as shown in Equation 1.5). Therefore, the displacement in the sediment and
the bedrock must be equal at the interface: ∀t ur(zr= 0, t) = us(z = H, t), this gives:
Ar+ Br = Aseik ∗ sH + B se−ik ∗ sH, (1.26)
Similarly, the traction in the sediment and the bedrock must be equal at the interface: σr(zr=
0, t) = σs(z = H, t), this gives: Ar− Br = k ∗ sGs k∗ rGr (Aseik ∗ sH + B se−ik ∗ sH), (1.27)
(2) The traction at the free surface is null: ∀t σs(z = 0, t) = 0. Using the wave-propagation
equation in a visco-elastic medium (1.13), this gives:
As= Bs. (1.28)
We define C∗ = k∗
sGs/kr∗Gras the complex impedance contrast. From the following
equa-tions, we can find Arand Bras a function of As:
Ar= 1 2As[(1 + C ∗)eik∗ sH + (1 − C∗)e−iks∗H], (1.29) Br= 1 2As[(1 − C ∗)eik∗ sH + (1 + C∗)e−iks∗H]. (1.30) 1.2.1.2 Transfer function
We can define different transfer functions depending on the location of the reference site: The outcrop site response is the ratio of the displacement wave field at the surface by twice the
incident wave field at z = H (or zr= 0):
T Fout= us(z = 0, t) ui r(zr= 0, t) = 2As Ar = 1 cos(k∗ sH) + iC∗sin(k∗sH) . (1.31)
The borehole-site response is the ratio of the wave field at the surface to the total wave field at the bottom of the soil column.
