Interactions hydrodynamiques entre une sphère et une paroi texturée : approche, collision et rebond

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paroi texturée : approche, collision et rebond

Thibault Chastel

To cite this version:

Thibault Chastel. Interactions hydrodynamiques entre une sphère et une paroi texturée : approche,

collision et rebond. Mécanique des fluides [physics.class-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris

VI, 2015. Français. �NNT : 2015PA066509�. �tel-01317935�

DEL'UNIVERSITÉPIERREETMARIECURIE

Spé ialité:DynamiquedesFluides

É oledo torale: S ien esMé aniques,A oustique,Ele troniqueetRobotiquedeParis

réalisée

auLaboratoiredePhysiqueetMé aniquedesMilieuxHétérogènes

présentée par

ThibaultCHASTEL

pourobtenirlegradede:

DOCTEURDEL'UNIVERSITÉPIERREET MARIECURIE

Sujetdelathèse:

Intera tionshydrodynamiquesentreunesphèreet uneparoi

texturée:appro he, ollision etrebond

soutenuele17novembre2015

devant lejury omposéde:

M. MaximeNICOLAS Rapporteur

M. Frédéri RESTAGNO Rapporteur

M. PhilippeGONDRET Examinateur

M. ChristopheJOSSERAND Examinateur

Introdu tion 7

1 Etatdeslieux 11

1.1 Paramètresduproblème . . . 11

1.2 Intera tionhydrodynamiquesphère-paroiàpetitnombredeReynolds . . . 12

1.2.1 Surfa es lisses . . . 12

1.2.2 Inuen edelarugositédessurfa es . . . 16

1.3 Collision immergéed'unesphèreave une paroiànombrede Stokesmodéré. . . . 24

1.3.1 Transition derebond . . . 25

1.3.2 Nombre deStokesde transition . . . 28

1.3.3 Dynamiquederebond . . . 29

1.3.4 Con lusionsurl'inuen edesrugosités desurfa esurladynamique . . . . 32

1.4 Con lusionsurl'étatdeslieux . . . 33

2 Dispositifexpérimental 35 2.1 Montageexpérimental . . . 36

2.1.1 L'interférométrie pour lamesuredepetitsdépla ements . . . 36

2.1.2 Cellulesdemesures,uideetsphères . . . 39

2.1.3 Conversionopto-éle tronique eta quisition . . . 41

2.1.4 Traitement dusignal . . . 43

2.2 Validationdusystèmed'a quisitionhautefréquen e . . . 43

2.2.1 Appro hed'unesurfa elisseà

Re << 1

. . . 43

2.2.2 Appro hed'unesurfa elisseà

Re

modéré . . . 47

2.2.3 Con lusionsurlate hnique demesure . . . 48

2.3 Surfa esmi ro-texturéesoléophiles . . . 50

2.3.1 Mi ro-fabri ation . . . 50

2.3.2 Géométriedessurfa estexturées . . . 52

3 Appro hedesurfa es texturéesàpetitnombredeReynolds 55 3.1 Cara térisation expérimentalede ladynamiqueprèsd'unréseaude mi ro-piliers . 56 3.1.1 Courbestypiques . . . 56

3.1.2 Eetdelagéométrie duréseau demi ro-piliers . . . 58

3.2.1 Mesurede

s

ef f

. . . 63

3.2.2 Prédi tionthéorique de

s

ef f

. . . 66

3.2.3 Con lusion . . . 68

3.3 Modélisationdesrégions"pro he paroi"

(ii)

et

(iii)

:

h << L

. . . 69

3.3.1 Région

(ii)

:

b << h << L

. . . 69

3.3.2 Modélisationde larégion(iii) :

h ≤ b

. . . 72

3.3.3 Modèle ompletpour

h << L

. . . 73

3.3.4 Con lusion . . . 79

3.4 Con lusion. . . 80

4 Appro hedesurfa es texturéesànombredeReynoldsetdeStokesmodérés 83 4.1 Paramètres ara téristiquesduproblème . . . 84

4.2 Résultatsexpérimentaux . . . 85

4.2.1 Appro hed'unesurfa elisse . . . 85

4.2.2 Appro hed'unesurfa etexturée . . . 87

4.2.3 Con lusionsurlesrésultatsexpérimentaux . . . 90

4.3 Modélisation . . . 91

4.3.1 Formulationdumodèle. . . 91

4.3.2 Comparaisondumodèleave expérien es. . . 92

4.4 Con lusion:du ollageaurebond . . . 93

5 Collisionetmi ro-rebondsursurfa estexturées 97 5.1 Introdu tion . . . 97

5.2 Déte tion durebond . . . 98

5.3 Cara térisation desmi ro-rebonds. . . 99

5.3.1 Courbestypiques etmesuresdesparamètres ara téristiques . . . 99

5.3.2 Valeursde

V

i

,

V

r

,

δ

max

,

τ

c

etdu oe ientderestitution

V

r

/V

i

. . . 102

5.4 Modèlede onta t élastique:théoriedeHertzmodiée . . . 106

5.4.1 Modélisationde l'enfon ement

δ(t)

etdutempsde onta t

τ

c

. . . 106

5.4.2 Confrontation dumodèleave lesexpérien espour

δ(t)

,

δ

max

et

τ

c

. . . 109

5.5 Modélisationde

δ

max

ave dissipation . . . 111

5.6 Sour esde dissipationdel'énergie . . . 115

5.7 Con lusionetperspe tives . . . 116

Con lusion 119

AprèstroisannéespasséesaulaboratoiredePhysiqueetMé aniquedesMilieuxHétérogènes

del'ESPCI, jemedoisde remer ierpasmaldemonde...

Je ommen ebiensûrparAnne,unedire tri edethèsefantastiqueave quij'aipassé

d'ex- ellentsmoments.Je mesensvraiment han euxd'avoirétésousladire tiond'unepersonnequi

me orrespond autant humainement etdont le onta testsimple etnaturel. Samodestieest un

exemple pourmoi etjesuistrès erd'avoirétésondo torant.

Vient ensuitePhilippe Gondret, qui m'est venu en aidepour mes travaux surle rebond et

ave qui j'aipuavoir desdis ussions ri hesetvariées. Au-delà del'aspe t s ientique, 'estune

personneavenanteetsympathique.Bref,jeluidoisungrand mer i!

Jeremer ielesautresmembresdujuryd'avoira eptéd'assisteràmasoutenan e:àMaxime

Ni olasetFrédéri Restagno,quionta eptéd'êtrelesrapporteursde ettethèse,pourl'intérêt

qu'ilsont portéàmontravailetàleurs ommentairesenri hissants.

AChristopheJosserandetLaurentLa azequionttrouvéletempsdem'é outeretd'examiner

ette thèseave attention.

Je remer ie GillesTessier qui m'aé lairé, et 'estle asdeledire, surlesphotodiodes. J'ai

presqueréapprisàaimerl'éle tronique.

Mer iàtouslesutilisateursdelasalleblan he.Denombreuxdo torantsdulaboratoireMMN

ontprisletempsde medonnerdes onseilssurlami rofabri ation.

Je remer ie OlgaVinogradovapour touslesé hangess ientiques qu'ona puavoir. Je dois

avouerm'êtrebien assélatêtesursesnombreusespubli ations,mais en'étaitquedubonheur

(évidemment).

Mer i à Philippe Petitjeans, qui a beau oupsoutenu ma andidature lors de mon audition

pourlaboursedel'E oleDo torale.C'estagréabled'avoirundire teurdelaboratoireaussiprésent

eta essible.

Mer iàFredetClaudettepourleurbonnehumeuretleurpatien e.Jusqu'aubout,jen'aurai

jamaisréussiàremplir orre tement unordredemission...

Pour desraisons diversesetvariées, jesouhaiteabsolument remer ieretsaluerplus

desdo torantsetjeluisouhaitebonne han epourlasuite.

Je remer ie énormément Matthewet Vin ent, mes amis de bureau. J'ai vraiment eu de la

han e d'avoirdesgensaussiintéressants, drleset ultivéstouslesjoursàmes tés.Matthew,

jepensequ'onafaitunpasenavantsurlavieillerivalitéfran o-britannique.Mer ipourtes

or-re tionsd'anglaisettonaidepourmesproblèmesLaTeXouMatlab.Vin ent,jeviendrai haque

vendredi soirjusqu'àlandeta thèsejustepourteposerdesquestionsexistentielles.

Je salue haleureusement Ali,mon amarade degalère de troisièmeannéeet ave quije me

suis biené laté àSanFran is o.

Mer i aumaître desGeek,Jérémie, quim'a aidépour tellement de hoses.Il représente un

puitde onnaissan e qu'onnepeutqu'admirer.

Et puis les derniers arrivés :Eliott pour nosparties de tennis etles bons moments passés

ensemble.Charlespournosnombreuses"ballesneuves"etlespartiesdepingpong.Jen'oublierai

paslaformule3Pduvendredi!

Mer iàmesparentsetà mas÷urquim'onttoujours en ouragéetrassuréaubonmoment.

Mer i àNathalie pour toutsonsoutien, sagentillesse,sonattention et bienplus en ore.Je

suisleplusheureuxdesgarçonsdelaTerredel'avoiràmes tés.Jetâ heraid'êtreaussiprésent

qu'ellel'aétépoursoninternatde méde ine!

Jetiensennàremer iermesamispro hesqui,àleursfaçons,ontlargement ontribuéà ette

thèse.Envra :Léa,Céline,Mathinne,Nini,Élise,Fanny,Céline(ladeuxième!),Flore,Raphaëlle,

Laure,Hugues,Ni o,Étienne,Rémi,Pierre,Benoît,Marta,Laura,MarineetMarie.Leuramitié

estpré ieuseet onstitueunpuissantmoteur quim'aideàavan erdanslavie.

Les her heurs fontuntravaildi ile ettroppeuvalorisé.Je lesaitoujoursadmiré. Ils

mé-ritent toutnotre respe tpour e qu'ils apportent au monde haque jour. Très modestement, je

souhaiteleurdédier ette thèse.

Dans les suspensions on entrées etles milieux granulaires immergés, les parti ulessolides

interagissententreellesetave lesparoisduré ipientparl'intermédiaireduuide(intera tions

hy-drodynamiquesdetypelubri ation),oudire tementpar onta tsolide-solide.Lesmi ro-rugosités

de surfa e jouentun rle ru ial dans esintera tions. La modi ationde ladynamiqueglobale

d'un système ma ros opique qui peut résulter de la présen e de es rugosités, a fait l'objet de

nombreusesétudes.Parexemple,lesrugositéspeuventêtreresponsablesd'un hangementde

dis-tributionspatialedesparti ulesen isaillement,entraînantunemodi ationdespropriétés

rhéo-logiquesdelasuspension[1℄.

(a)

(b)

Figure1(a)Conta tentresphèresdediamètre

375 µm

immergéesdansl'eau[2℄(b)Suspension

departi ulesdediamètre

160 µm

dansunrhéomètredeCouette[1℄.

Pour omprendre esphénomènes,leproblèmeélémentairedel'intera tionhydrodynamique

entreunesphèreetuneparoiestuneétapeutile(Figure 2).Le rledesrugosités aétébeau oup

étudié,théoriquement,expérimentalement etnumériquement,dansle asderugosités aléatoires

oudetextures anisotropes.Lorsquel'é oulement estdominéparles for esvisqueuses, esétudes

montrent queles rugosités desurfa es(surlasphèreou surlaparoi), ont pour eetde diminuer

lafor edetraînéesurlasphèredanslarégionpro hedelaparoi.

Denombreusesétudesexpérimentales on ernentla ollisionimmergéedebillesave unplan

[5℄oudansl'airave unplanre ouvertd'unlmliquide[6℄[7℄.Selonquesoninertieestsusante

ounon,labillerebondit, oureste olléeauplan.Laprédi tionetle ontrlede e omportement

de " ollage-dé ollage" estune problématique importante pour les milieuxgranulaires immergés

et lessuspensions.Or,ilest onnuque eseuilde" apture"peutêtremodiéparlarugositédes

(a)

_(b)

Figure2(a)Surfa e ylindriquetexturées'appro hantd'unesurfa elissehydrophobedansde

l'huile[3℄(b)Sphèrelisseauvoisinaged'unesurfa e auxrugosités aléatoires[4℄

(a)

(b)

Figure3(a)rebondd'unesphère(9mmdediamètre)surunlmdesavonàunevitessed'impa t

V

i

= 2.6 m.s

−

1

(b)Mêmeexpérien eà

V

i

= 1.7 m.s

−

₁

(piégeagedelasphèreparlelmvisqueux).

Images extraitesde [7℄.

Cemémoireestune ontributionàl'étudedurledesrugositésdesurfa edanslesintera tions

de lubri ation etde onta t. Nousnouslimitons i i auxintera tions entre une parti ule solide

sphérique,etuneparoifrontalemi ro-texturée,dansunuidevisqueux.Lesmi ro-textures

utili-séessontdesréseauxdemi ro-piliers,etleuideimprègnetotalementlesmi ro-piliers.Cetypede

texturesafaitl'objetdenombreuxtravauxdansle ontextedessurfa essuper-hydrophobes,mais

aétépeuétudiédansle ashydrophile(étatWenzel).Lagéométriedesmi ro-piliersest ontrlée

enutilisantdeste hniquesdemi ro-fabri ation.Lesrugositésdesurfa edelasphèreontunetaille

très petitedevantlahauteur ara téristique desmi ro-piliers. Pour explorer ave une résolution

susantelarégion pro he delaparoi,les dépla ements dela sphèresont mesurés par

interféro-métrielaser.Nousnousintéressonsd'abordàladynamiquedelasphèrelorsqu'elles'appro hedes

mi ro-piliers àpetit nombrede Reynolds. Puis, l'étudeest étenduepour desnombres deStokes

modérés,àla ollisionetaurebonddelasphèresurlesmi ro-piliers.

Lapremièrepartiede emémoireprésenteunétatdes onnaissan es on ernantl'intera tion

hydrodynamique sphère-paroi, pendant l'appro he, la ollision et le rebond. Nous avons essayé

notamment de mettre en relief les résultats onnus surle rle desrugosités de paroi dans ette

intera tion.

Dansle hapitre2,nousdé rivonsledispositifd'interférométrieutilisépourmesurerlespetits

dépla ementsdelasphère.Late hniquedemi ro-fabri ationdessurfa estexturéesestexposéeà

Le hapitre 3présentelesrésultatsexpérimentauxobtenus pour ladynamiqued'unesphère

s'appro hantd'unréseaudemi ro-piliersàpetitsnombresdeReynolds.L'inuen edesparamètres

géométriquesdesréseauxdemi ro-piliers surladynamiqueestsystématiquement dis utée.

Plu-sieurs modèles hydrodynamiquessont utilisés pour dé rirelamodi ationde lafor ede traînée

surlasphère,selonl'é helle spatialed'observation.

Dans le hapitre 4, nousnous intéressons à la situation où l'inertie de la sphère n'est plus

négligeablemaisresteinsusantepourque elle- irebondisse.Ils'agitdeladynamiquede ollage

à nombredeStokesmodéré, endessousde latransitionderebond.Nousdé rivonslesdiérents

régimesobtenusparladynamique.Unemodélisationbaséesurlamodi ationdelafor edetraînée

obtenue au hapitre pré édentestproposée.

Ledernier hapitreprésentelesrésultatsobtenuslorsquelabillerebonditsurunréseaude

pi-liers.Lesmi ro-rebondssont ara térisés.Unmodèlede onta télastiqueestdéveloppéet onfronté

auxmesuresdedynamiqued'enfon ement delasphère danslespiliers.

Enn,une on lusiongénéralerésumel'apportde etravailparrapportauxétudesantérieures

Etatdeslieux

Contents

1.1 Paramètresduproblème . . . 11

1.2 Intera tionhydrodynamiquesphère-paroiàpetitnombredeReynolds 12 1.2.1 Surfa eslisses. . . 12

1.2.2 Inuen edelarugositédessurfa es . . . 16

1.3 Collisionimmergéed'unesphèreave uneparoiànombredeStokes modéré. . . 24

1.3.1 Transitionderebond . . . 25

1.3.2 NombredeStokesdetransition . . . 28

1.3.3 Dynamiquederebond . . . 29

1.3.4 Con lusionsurl'inuen edesrugositésdesurfa esurladynamique . . 32

1.4 Con lusionsur l'étatdeslieux . . . 33

Dans e hapitre,nousprésentonsunerevuedes onnaissan esthéoriquesetexpérimentales

on ernantl'intera tionhydrodynamiqueentreunesphèreetuneparoifrontale.Ceterme

"inter-a tion" omprend plusieurs phases :l'appro he de laparoi, le onta tave laparoietlerebond

éventuel qui suit la ollision. Au ours de es diérentes phases, la dynamiquede lasphère est

gouvernéepar desnombressansdimensionquisontdétaillés i-dessous.Le asdessurfa eslisses

permettradesituerle adregénéraldanslequels'insèrenotretravail.Laproblématiquespé ique

de la thèse sera abordée ave le as des surfa es présentant des irrégularités (rugosités, stries,

mi ro-textures...).Nouspourronsalorspré iserlesaxesdere her hequenousavons hoisi

d'ex-plorer.

1.1 Paramètresduproblème

Danstout etravail,nousnousintéressonsàunesphèrenon-Brownienne,derayon

a

,demasse

volumique

ρ

p

,enmouvementdansunuidevisqueuxNewtonienetin ompressible,dontlamasse

volumiqueest

ρ

f

etlavis ositédynamique

µ

.Endehorsdesfor eshydrodynamiques(etd'inertie),

seuleslesfor esdegravitésontprésentes( asdelasédimentation).Ladynamiquede ettesphère

Reynolds etde Stokes parti ulaires,

Re

et

St

,basés sur une vitesse ara téristique de lasphère

V

T

,sont dénisdelamanièresuivante:

Re

=

ρ

f

V

T

(2a)

µ

St

=

m

p

V

T

6 π µ a

2

(1.1)

Lavitesse ara téristique

V

T

estlavitesseterminale,vitesse onstanteatteinteparlasphère

lorsque elle sedépla e sous l'eet de lagravité dansle uide en l'absen e d'eet desparois. Le

nombredeReynoldspermetdequantierl'importan edesfor esd'inertieparrapportauxfor es

de vis osité dans l'é oulement autour de la sphère. Les for es de vis osité sont prépondérantes

lorsquelenombrede Reynoldsesttrèspetit,etl'é oulementduuideestalorsrégiparles

équa-tionsdeStokes,quiontlapropriétéd'êtrelinéairesetréversibles.Une ara téristiquetrès

impor-tantedel'hydrodynamiqueàpetitnombredeReynoldsestquelesintera tionshydrodynamiques

( 'està diretransmisespar leuide) sontàlongueportée, equisigniequelaperturbation

gé-nérée dansle uidepar le dépla ement dela sphère dé roîttrès lentement ave la distan eà la

sphère. Pour la même raison, la présen e de parois inuen e le mouvement de la sphère, en la

ralentissant.

Le nombrede Stokes quantie l'importan e de l'inertie de lasphère par rapportauxfor es

defreinagevisqueux.LorsquelenombredeStokesestgrand,lefreinage visqueuxestpeue a e

et lemouvement delasphère estgouverné parl'équilibre entrelesfor es de gravitéetlesfor es

d'inertie.Remarquons quelesdénitions i-dessus onduisent àlarelation

St = (ρ

p

/9ρ

f

)Re

.On verra quedansnosexpérien es,lerapportdesdensités

(ρ

p

/ρ

f

)

est del'ordrede 10,lesnombres

de

St

etde

Re

seront don dumême ordrede grandeur.

Ladistan esphère-paroi,notée

h

,estdénie omme ladistan eentrelepledelasphèreet

laparoi.Dansunepremière étape,onpourradé rireentièrement ladynamiqueen fon tiondela

distan esansdimensionobtenueendivisant

h

parlerayondelasphère,etnotée

ε = h/a

.Ensuite,

laprésen e derugosités ou de texturesde surfa e introduira deslongueurs ara téristiques

sup-plémentairestellesqueleurhauteur,espa ementet ...dontonverral'inuen esurladynamique

delasphère.

1.2 Intera tionhydrodynamiquesphère-paroiàpetitnombrede

Rey-nolds

1.2.1 Surfa eslisses

Nousrappelons i i les prin ipaux résultats théoriqueset expérimentaux on ernant

l'inter-a tion hydrodynamiqued'unesphère ave uneparoi frontale,lorsquelenombrede Reynoldsest

petit.Nousnouslimitonsau asoùl'inertiedelasphèreestnégligeable(nombredeStokespetit)

et dessurfa eslisses.

Coe ientdefrottement

A petit nombre de Reynolds, lafor e de traînée

F

t

sur la sphère est proportionnelle à son

par un oe ientdefrottement,sansdimension,noté

f

⊥

(ε)

.Onaalors :

F

t

(ε) = −6πµaV (ε)f

⊥

(ε)

(1.2)

I i,

f

⊥

ne dépend quede

ε

, 'est-à-dire, ladistan eàlaparoi adimensionaliséepar lerayon delasphère

a

.Troisrégionssontàdistinguer:trèsloindelaparoi,puislorsque

ε

estquel onque, et ennlarégion où

ε → 0

.

•

Casoùladistan esphère-paroiesttrèsgrande

Trèsloindelaparoi, lafor edetraînéesurunesphèreen translationà lavitesseVdansun

uideinni,aété al uléepar Stokes(1851):

F

Stokes

= −6πµaV

(1.3)

Cetterelation,appeléeloideStokes, orrespondàun oe ient defrottement égalà1.

•

Casoù

ε

estquel onque

Lorsquela distan esphère-paroiest nie, l'eet de laparoi estd'augmenter larésistan e à

l'avan ementdelasphère,etle oe ient

f

⊥

(ε)

estsupérieurà1.En1961,Maude[10℄etBrenner [11℄ont,indépendamment,utilisélate hniquedes oordonnéesbipolairespour al ulerlefa teur

defrottementsouslaformed'unesérievalablepourtout

ε

:

f

⊥

(ε) =

4

3

sinh α

∞

X

n=1

n(n + 1)

(2n − 1)(2n + 3)



2 sinh(2n + 1)α + (2n + 1) sinh(2α)

4 sinh

2

_{(n + (1/2))α − (2n + 1)}

2

_sinh

2

_α

− 1



(1.4) ave

α

=

cosh

−

₁

ε

.

Cetterelation illustre l'eet à longue portée de laparoi : pour

ε = 10

,la valeur de 1 n'est

pas atteinte (

f

⊥

≃ 1.11

). Cette orre tion à la for ede traînéea été vérié expérimentalement

par plusieurséquipes.Enparti ulier, Ambari etal [12℄ont élaboréunsystèmedelévitation

ma-gnétique danslequel unesphère estmaintenue en positionxe àl'intérieurd'un ylindre mobile

semi-nirempli d'huile.Les auteursont ensuitemesuréle hampmagnétique (dire tement relié

à lafor everti ale exer éesurlasphère) au furetà mesurequelaparoi du ylindre sedépla e.

L'a ord trouvé ave la théorieest ex ellent pour desvaleursde

ε

omprise entre0.019 et 1.15.

Plusré emment,Le oq[13℄,enutilisantlate hniqued'interférométrielaser,a onrmé erésultat

pour

ε ≤ 0.06

.

•

Casoù

ε → 0

PardéveloppementasymptotiquedelasolutiondeMaudeetBrenner,CoxetBrenner[14℄ont

proposéuneapproximationdel'équation(1.4)valablepourdesvaleursde

ε < 0.1

.Elles'exprime souslaforme:

r

h(t)

h

r

(r,t)

z

Figure 1.1Sphèreauvoisinaged'unesurfa elissequand

ε → 0

.

f

⊥

(ε) =

1

ε

+

1

5

ln

 1

ε



+ 0.9712

(1.5)

Cettesolution,beau oupplussimpled'utilisation, oïn ideà1

%

prèsave lasolutionexa te del'équation(1.4)pour

ε < 0.25

.Remarquonsquelepremiertermeestdominantpourdesfaibles valeursde

ε

,et oïn ideave lerésultat de lathéoriedelalubri ation, valide pour desvaleurs de

ε < 0.01

,etdont lerésultat estlafor edetraînéedite"deTaylor"[15℄:

F

T

(ε) = −6πµaV (ε)

1

ε

(1.6)

'estàdire,en termede oe ient defrottement :

f

⊥

(ε) =

1

ε

(1.7)

Il est important de remarquerquela for ede traînée de Taylor diverge lorsque

ε

tend vers

zero, 'est-à-dire qu'en théorie, le onta t sphère-paroine passe produire en un temps ni.En

pratique,la formulede Taylor, quia étéétablie pour le as de surfa eslisses,doit êtremodiée

lorsqueladistan esphère-paroidevientdel'ordredelahauteurdesrugositésdesurfa e.Cesont

esrugositésquirendent le onta tpossible.Cepointimportantseradétaillédansleparagraphe

suivant.

Coe ientdemobilité

Considéronsle asd'unesphèreenmouvementdetranslationdansunuidevisqueux(

Re <<

1

) sous l'eet des for es de gravité. Les seules for es extérieures exer ées sur la sphère sont le

poids,diminuédelapousséed'Ar himède,etlafor edetraînée.Enl'absen ed'inertiedelasphère

(

St << 1

),lasommede esfor esestnulle:

4

3

π(ρ

s

− ρ

f

)a

3

g

− 6πµaV (ε)f

⊥

(ε) = 0

(1.8)

Onobtient alorspour lavitessedelasphère:

V (ε)

V

St

=

1

f

⊥

(ε)

(1.9)

V

St

=

2

9

a

2

(ρ

s

− ρ

f

)

µ

g

(1.10)

et orrespond àlavitessede hutedelasphère enl'absen edeparois (enuideinni).

Ainsi,nousvoyonsquelavitessedelasphère,adimensionnéeparlavitessedeStokes,estégale

à l'inverse du oe ient de frottement. Dansune expérien e desédimentation oùlafor e surla

sphèreestimposée, 'estdon l'inversedu oe ientdefrottement,ou oe ientdemobilité,qui

estmesuré.Enparti ulier, danslarégiondelubri ation, où

ε < 0.01

,nousobtenons :

V (ε)

V

St

=

h

a

= ε

(1.11)

Danslarégion delubri ation, lavitessedelasphèreestdon proportionnelleàladistan e

àlaparoi.Cettevitessedé roitlinéairement jusqu'au onta tdelasphèreàlaparoi[13℄.

ε

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1/f

⊥

(ε

)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Taylor (lubrification)

Cox & Brenner

Maude & Brenner

0

0.005

0.01

0

0.005

0.01

Figure1.2Inversedu oe ient

f

⊥

(ε)

enfon tionde

ε

.SolutionsthéoriquesdeTaylor(1.11) , CoxetBrenner(1.5) etMaudeetBrenner(1.4) .

L'ensembledessolutionsthéoriquesdé rivantl'intera tionhydrodynamiquesphère-paroi(lisses),

sont résumées sous la forme d'un graphe donnant l'évolution de

1/f

⊥

(ε)

en fon tion de

ε

pour

0 ≤ ε ≤ 0.5

(Figure 1.2). La vitesse dela sphère,à tout instant, ne dépend quede la distan e

à la paroi.Deplus, ette ourbe peutêtre par ourue dans les deuxsens, 'est-à-direqu'elle est

lamêmepourle asoùlasphères'éloignedelaparoi(parréversibilité deséquationsdeStokes).

Danslasuitede etravail,nousprésenteronsun ertainnombrederésultatsexpérimentauxsous

1.2.2 Inuen edelarugositédessurfa es

L'équation 1.11 onduità unedé roissan e exponentiellede ladistan e

ε

ave letemps.En

pratique, onobserve quele onta t entrelasphère etlaparoi sefaiten un temps ni.Smart et

Leighton[16℄ontapportéune ontributionsigni ativeàl'étudedel'intera tionhydrodynamique

entreunesphèrerugueuse(non olloïdale)etunplanlisse.L'eetdesrugositésestmisenéviden e

enmesurantletempsdedéta hementpargravitédelasphèreinitialementen onta tave leplan

quasi-lisse en mi a.Lesrugosités de lasphère ont une hauteur ara téristique

ε

s

a

,de l'ordrede 10

−

₂

à10

−

₃

pluspetitequelerayondelasphère

a

.Certainesrugositéssont rééesarti iellement en ollant despetitessphèresen verresurlasurfa edelasphère(Figure1.3).

Figure1.3PhotosprisesparMi ros opeEle troniqueàBalayagepourunesphèreena rylique

dediamètre6350

µm

ave dessphères ollées(dediamètre140

µm

)àlasurfa e.Extraitede[17℄.

Pourdé rirel'eetdesrugosités,lafor edetraînéesurlasphèreestmodéliséeené rivantle

oe ient defrottement delamanièresuivante[16℄:

f

⊥

(ε) =

1

ε + ε

s

+ n

ε

2

s

ε

+ 1

(1.12)

Cetteexpressionestlasommedeplusieurs ontributionsàlafor edetraînée,qui ombinent

lesformeslimitesàgrandedistan e(loi deStokes)etàpetitedistan e(lubri ation).Cette

der-nière omprenddeuxtypesd'intera tiondelubri ationquifonttoutesdeuxintervenirlahauteur

desrugosités

ε

s

a

.D'abord, ladistan esphère-plan étant mesurée à partirde lahauteur des

ru-gosités, lafor e de lubri ationsphère-plan doit être al uléeà la distan e

ε

s

+ ε

,au lieu de

ε

. Ensuiteunnombre

n

derugosités(hémisphèresderayon

ε

s

a

) ontribuentàlafor edetraînéepar unefor edelubri ationentreunesphèrederayon

ε

s

a

etunplan(représentantlasphèredontle rayon

a

esttrèsgranddevant

ε

s

a

).Cemodèle,ena ordsatisfaisantave lesrésultats

expérimen-taux,s'appliqueau asdesphèresdont ladensitéd'élémentsrugueuxestfaible.Depluslaforme

hémisphériquedesrugosités n'est pasgénéralisableàdesrugosités de formequel onque.

Cepen-dant, emodèle ontientlesingrédientsphysiquesessentielspourdé rirel'inuen edesrugosités

surlafor edetraînée.

Expérien esave des surfa esrugueusesoutexturées

Grâ eau développement deste hniquesde mesures à petite é helle, toutes basées sur

rugosité surladynamique prèsd'une paroi, grâ eà une résolution susante(qui doit être

infé-rieure àl'ordredegrandeurdesrugosités).

•

Le mi ros ope àfor eatomique (AFM) estun mi ros opeà sondelo ale permettant

d'étudier latopographie de lasurfa e d'uné hantillon. Une sphèremi rométrique est reliéà un

antileveretbalayelasurfa e.L'analysedesexionsdumi ro-levier permetensuitede

détermi-nerl'exa t par oursde lapointe etdemesurerles for esd'intera tions intervenant entreelleset

l'é hantillon.Pourunesphèrerugueuseimmergéedansunuidevisqueux(Figure1.4),lafor ede

traînéeexer ée surlasphèreestsigni ativement réduite omparée àlafor ede Taylor[18℄.En

eet,lafor eobservée orrespondàlafor edeTaylorquiseraitmesuréeàunedistan eaugmentée

d'environune entaine denanomètrespourunesphèrede rayon

20 µm

.

(a)

(b)

_(c)

Figure 1.4  (a) Prin ipe de l'AFM (b) image AFM de l'apex d'une sphère rugueuse traitée

himiquement( )intera tionrugosités -planlissepro he dupointde onta t. D'après[18℄.

•

L'appareil à for e de surfa e (SFA) est basé sur l'interférométrie pour onnaître la

distan e deséparation entre unesurfa e etunobjetenmouvement (lasonde,généralement une

sphère).Celui- iétantreliéàunsystèmedeparamètres onnus,ladiéren eentrelemouvement

imposéetobservépermetle al uld'unefor einstantanée.Lamesureestee tuéeenmode

dyna-miquelorsqu'onimposeà lasphèreun mouvementos illant dansladire tion normale.Plusieurs

équipesontmisàprot ettete hniquepourmesurerlafor eexer éesurunesphèreauvoisinage

de parois auxpropriétés variées.Un grandnombred'études on ernent les surfa es

superhydro-phobes(e.g [19℄[20℄[21℄).Cesdernièresontlapropriétéde diminuer drastiquementlarésistan e

hydrodynamique du faitde laprésen ede gaz piégé entre les rugosités. Elles sus itent don un

intérêt onsidérableautant d'unpointde vueindustrielqu'a adémique. Remarquonsqu'une des

nalitésde esexpérien esestdemesurerunelongueuree tivedeglissement, ara téristiquede

lasurfa e,notionquiseradis utéeplusendétailspar lasuite.Dansle asdessurfa es"molles",

l'intérêt estde sonderles propriétésmé aniques delasurfa e sansréaliserle onta t [22℄, equi

estintéressantdans ertains ontextesexpérimentaux,notammentenbiologie.Lesétudes

on er-nantdesparoisrugueuseshydrophilessontmoinsnombreusesànotre onnaissan e.Desmesures

en mode dynamiquede l'inverse du oe ient d'amortissement en fon tion de ladistan e, pour

une sphère (rayon

3.25 mm

) s'appro hant d'unréseau de mi ro- avités ont montré, dansle as

où les avités sonthydrophilesetdon omplètement rempliesde liquide,un dé alage d'environ

105 nm

omparéeàunesurfa elissemodéliséeparlafor edeTaylor[23℄(Figure1.5a).Ladistan e

de

52.5 µm

auvoisinaged'unesurfa emi ro-texturéeparunréseaudepiliers ylindriquesde

dia-mètre

5.1 µm

etdehauteur

15 µm

montrent,dansl'étatWenzelunediminutiondelatraînéepar

rapportau asdelasurfa elisse[24℄(Figure1.6).Enn,desexpérien esdedrainage onsistantà

mettreenmouvementunréseaude ylindresontmontréunerédu tiondelafor ehydrodynamique

[3℄(Figure1.5b).

s

eff

h

s

_eff

h

(a)

(b)

Figure 1.5 (a) Inverse du oe ient d'amortissement dynamique, en fon tion de la distan e

de séparation pour des avités hydrophiles. Le trait enpointillé représente lasolution pour une

surfa e lisse. D'après [23℄. (b) For e hydrodynamique en fon tion de la distan e de séparation

pourunréseauhexagonalde ylindreshydrophiles.

R

H

et

R

G

sontlesmoyennesharmoniqueset

géométriquesdesrayonsde ylindres.Le traitpleinreprésentelasolutionpourune surfa elisse.

D'après[3℄.

a)

b)

Wenzel state

Cassie state

Figure 1.6  a) For e de traînée divisée par la vitesse de la sphère en fon tion de la distan e

de séparation pour une surfa e lisse etdesmi ro-stru turesà l'étatCassie et Wenzelb) Vitesse

diviséeparlafor ede traînéeenfon tion deladistan edeséparation.D'après[24℄.

•

Le dispositifdéveloppéà l'Université deRouen dansles années1990, onsiste àutiliserla

sphère ommerée teurdansuninterféromètredetypeMi helson,pour formerdesfranges

d'in-terféren e dont la fréquen e est dire tement reliée au dépla ement de la sphère (i i sous l'eet

dépla ementsd'unesphère millimétriqueimmergéedansunuidevisqueuxs'appro hantde

sur-fa esmi ro-usinées( réneaux)dontlahauteurestdel'ordredela entainedemi rons[25℄,oude

surfa es omportantdesrugositésaléatoires[26℄.Lesrésultatsmontrentquelaprésen ede

mi ro-stru turesapoureetd'augmenterlavitessedelasphèredanslarégionpro hedelaparoi.Cette

augmentation estmaximale danslazonede lubri ation où

ε ≤ 0.01

.Juste avant le onta t, la

vitessedé roitrapidementverszéro.Pourdesrugosités aléatoires, ettedé élérationdépend

for-tementdelarégiond'arrivée delasphèrequipeutsesituersurdes" reux"oudes"pi s"(Figure

1.7b). La gure 1.7a montre un exemple de résultat faisant apparaître une longueur

ara téris-tique de dé alage pour lavitesse, obtenue en ajustant la ourbe pour une surfa e lissesur elle

pourunesurfa e striéeloin delaparoi("mat hingregion").L'étendue de ettezonededé alage

seradis utéeendétaildanslasuite.

= h/a

= h/a

a) surface lisse décalée de S

1

b) surface en créneaux

a) surface lisse décalée de S

2

b) et c) surface rugosités

aléatoire

s

₁

V(h)/V

St

V(h)/V

St

a)

_b)

Figure 1.7Vitessenormalisée

V (h)/V

St

enfon tion de

ε

pour unesphère s'appro hant d'une

surfa elisseetd'unesurfa e rénelée(a)etd'unesurfa eauxrugositésaléatoires(b).D'après[25℄.

•

En résumé,laprésen ede rugosités, qu'ellessoient aléatoires, ou àgéométrie ontrlée,

sur la sphère ou surla paroi, a pour eet de diminuer lafor e de traînée exer ée sur lasphère

(resp.d'augmentersavitesse).Ce is'interprètequalitativementdelafaçonsuivante:ledrainage

duuideentrelasphère etlaparoiestfa ilité arlesespa esentrelesrugositésjouent lerlede

mi ro- anauxparlequelleuidepeuts'é happer.Plusieurste hniquesexpérimentalespermettent

de quantier ette rédu tion de traînée, quidépend fortement desparamètres géométriquesdes

textures.Lafor e(resp.lavitesse)mesuréeprèsd'unesurfa erugueuseapparaît ommeétantla

mêmeque ellemesuréeprèsd'unesurfa elissesituéeunpeuplusloin, 'estàdiredé alée d'une

ertainelongueuràl'intérieurdestextures.Lesquestionssoulevéespar e onstatsontdesavoir:

s'il yaune justi ationthéoriqueà e dé alage,silalongueur de dé alage peutêtre prédite,en

quoi elle est une ara téristique de la texture, et quelssont les ordres de grandeur qu'elle peut

Lemodèledesurfa elisseéquivalente

Pour unesphère s'appro hant dansun uidevisqueuxd'une surfa e omportant des

ondu-lationspériodiquesàunedimension,etdansl'hypothèseoùlapériodedesondulations estpetite

devantladistan eentrelasphèreetlehautdesondulations,Le oqetal.ontmontréenutilisant

lethéorème de ré ipro ité deLorentz [25℄,quelafor e detraînée est ellequi seraitobtenue en

présen ed'unesurfa elissedé aléed'unelongueur

s

ef f

:

F (h) = F

0

(h + s

ef f

)

(1.13)

où

F

0

estlafor eprèsd'unesurfa e lisse.En remplaçant

F

0

parlatraînéedeTaylor, lafor ede

traînéesurlasphèresituéeàunedistan e

h

dusommetdesondulationss'é rit don :

F (h) = −6πµaV (h)

_{h + s}

1

ef f

(1.14)

Deplus,dansl'équation1.13,lalongueurdedé alageestlamoyennedeslongueursee tives

deglissementobtenuespourlesé oulementsde isaillementparallèle(

b

//

)etperpendi ulaire(

b

⊥

)

auxondulations:

s

ef f

≃

b

_//

+ b

⊥

2

(1.15)

Ré emment,Asmolovetal.ontenvisagéle asd'unesphères'appro hant d'unesurfa e

ani-sotrope:lasurfa eestplanemaisprésentedesbandesalternéesde onditiondemouillage

ara té-risées ha uneparunelongueurdeglissementlo ale:

b

1

pourlesbandesdelargeur

λ

1

,et

b

2

pour lesbandesdelargeur

λ

2

.Leformalismedetenseurdeglissement[27℄permetd'utiliser,dansle as

delasurfa eanisotrope onsidérée,untenseurréduitàunematri e

2 × 2

dontlesvaleurspropres

orrespondent auxlongueurs ee tivesde glissement

b

//

et

b

⊥

.En résolvant les équations de la

lubri ation ave les onditions limitesdonnées par etenseur de glissement, lafor ede traînée

est obtenue par intégration du hampde pression, ets'é rit pour

a >> h >> L

sous laforme [28℄:

F (h) = F

T

(h)



1 −

b

//

_2h

+ b

⊥



(1.16)

qui oïn idedanslarégiondelubri ation,où

F

T

(h) = −6πµa

2

_{V (h)/h}

,ave l'équation(1.14)dès

que

s

ef f

<< h

.D'autresexpressionsanalytiques pourla orre tionàlatraînéedeTaylorontété obtenuespourdesvaleursdeladistan edeséparation

h

pluspetitesquelapériodedesstru tures

L

desrainures, oupluspetitesquelalongueurdeglissement

b

2

[28℄.

Prédi tionspourleslongueursee tivesdeglissement

Ilestintéressant de omparerlavaleurde

s

ef f

obtenuesexpérimentalement enmesurant la

traînéesurlasphère,ave lesvaleursdeslongueursee tivesdeglissement

b

//

et

b

⊥

préditespar lathéoriede l'équation1.15.

Rappelons quelanotiondeglissementee tifestbien onnuedepuislesannées70[29℄pour

le asd'uné oulement de isaillement lelongd'uneparoiprésentantdesondulations1D(Figure

<u>

b

_eff

plan

équivalent

Figure1.8Modèlede surfa elisseéquivalente

près d'uneparoi lisse  tive,surlaquelle estreportée la ondition àlalimite "ee tive", 'est à

direpourl'é oulementmoyen

< u >

,où

< . >

estlavaleurmoyennedansleplan

xOy

.Autrement

dit,la onditiondenon-glissementesté ritepourl'é oulementmoyensurunesurfa esituéeàune

distan e

b

ef f

dusommetdesondulations,verslebas.Cettelongueur estdénie par:

b

ef f

=

hui

z=0

dhui

dz









z=0

(1.17)

Ilest important denoterque lamoyenne n'adesens quepour

z >> L

,où Lestlapériode

desondulations.Dans ertains as,selonlagéométrie desondulations,ilestpossiblede al uler

lesvaleursde

b

ef f

.

e

e

b

//

b

(i)

(ii)

(iii)

e

a

Figure 1.9(i)Plande ouped'une surfa erainurée(ii)Coe ientde glissement longitudinal

b

//

enfon tiondelahauteur

b

(iii)Coe ientdeglissementtransverse

b

⊥

enfon tiondelahauteur

b

(l'espa ement

a

estxé)

Une géométrie très répandue desurfa es anisotropesà une dimension est elle desrainures

(Figure 1.9i). Ce problème a été résolu numériquement [30℄, les résultatssont présentés surles

Figures1.9iiet1.9iii.Pourunehauteuretunespa ementderainuredonnés,lalongueuree tive

deglissementlongitudinal

b

//

esttoujourssupérieureà elle al uléedansladire tiontransverse,

b

⊥

,dufaitquel'é oulementestfa ilitédansladire tionparallèleauxrainures.Ilestintéressantde

remarquerquedanslesdeux as,unplateauestatteintlorsquelahauteurdespiliersdépasseune

valeur ritique(

≃ 2

).La raison invoquée pour expliquer l'existen ede e plateauest l'existen e dere ir ulationsdanslesrainures.

Pourdessurfa es rénelées,lesvaleursde

b

numéri-quement [25℄.Lesvaleursde

s

ef f

ainsiobtenuessonten ex ellent a ordave lesexpérien es.

Ré emment,ledéveloppement dessurfa essuperhydrophobesamotivélare her he de

pré-di tionspourleslongueursee tivesdeglissement.Dessolutions existentdansle asdesurfa es

anisotropes1D.Nousavonsvu[28℄qu'unesurfa erainuréesuper-hydrophobepeutêtre

représen-téeparunesurfa eplane, omportantdesbandesalternées ara térisées ha uneparunelongueur

de glissement lo ale:

b

1

pourlesbandesde largeur

λ

1

audessusdusolide,et

b

2

pourles bandes

de largeur

λ

2

audessusduliquide.Lesvaleursde

b

2

sont supposéesêtre grandesen raisonde la

présen ed'air piégédanslesrainures(Figure1.10).La onditiondenon-glissementaudessusdes

parois solides est exprimée par

b

1

= 0

. Lesvaleurs propres du tenseur de glissement sont alors

obtenuesanalytiquement [31℄enfon tion de

Φ

2

,lafra tionsurfa iquede gaz,etde

b

2

.

Figure1.10(a)S hémad'unesurfa esuperhydrophobestriée(l'é oulementtransverse

orres-pondà

θ = π/2

etl'é oulementlongitudinalà

θ = 0

)(b) onditionsauxlimitespourlesinterfa es gaz-liquide etsolide-liquide.

Cesprédi tionspeuvents'appliquerau asd'unesurfa estriéehydrophile,en onsidérantque

lalongueur deglissement

b

2

au-dessusduliquide estégaleà lahauteurdestextures.Lesvaleurs

de

s

ef f

ont été obtenues expérimentalement ave une sphère s'appro hant, dans une huile très

visqueuse,de mi ro-rainures oléophilesfabriquées par photolithographie (Figure 1.11). L'a ord

entrelesprédi tionsetlathéorieestsatisfaisant[32℄.

solide

l  

e

L  1

(a)

(b)

h

(c)

Figure 1.11  (a) Sphère au voisinage d'une surfa e striée hydrophile. (b) Paramètres

géomé-triques despiliers ( )

s

ef f

/e

en fon tion de la densité de piliers. Le modèle orrespond (debas

en haut) à

L = 100, 150, 200, 250 µm

. Les symboles orrespondent aux points expérimentaux.

Pour des surfa es isotropes, de type réseau de piliers à 2 dimensions, les expérien es [23℄

montrent que la orre tion à latraînéede l'équation 1.14 s'applique. Cependant, iln'existe pas

de prédi tion analytiquepour leglissement ee tifdans e as. Anotre onnaissan e,seule une

appro heenloid'é helle[33℄aétéproposéepourquantierleglissementee tifdansle asde

sur-fa essuper-hydrophobes.Nousdétaillonsi ilesprin ipalesétapesde etteappro hequi on erne

une surfa e super-hydrophobe idéale(sansprésen e deménisque) omposéede mi ro-piliers

hy-drophobes arrésou ylindriquesdehauteur

e

etdelargeur

a

surunréseaudepériode

L

(Figure

1.12).Leliquide,devis osité

η

,esten onta tave ledessusdespiliersetave legazdevis osité

η

g

,dontl'interfa eave leliquide estsupposéeplane.

Figure1.12Interfa eliquide-gazpourunesurfa esuperhydrophobeidéale.

L, e, a

représentent

respe tivementlapériode,lahauteuretlalargeur despiliers.Figureextraitede [33℄

Lalongueur ee tivedeglissementau-dessusdugaz,

b

g

,estestiméeen tenant ompte dela

dissipation visqueusedanslegaz.Pour ela,laphase omposite(gaz+pilier)estrempla ée par

unmilieuee tifdanslequelsont al ulésle hampdevitessemoyen

hUi

etle hampdepression

moyen

hP i

,quivérient :

η

g

∆hUi = −∇hP i =

1

L

2

f

p

(1.18)

où

f

p

= β(φ)η

g

hUi

estlafor edetraînéeexer éeparl'é oulementsurunpilierdehauteurunité.Le

oe ient

β(φ)

augmente ave lafra tionsurfa ique

φ

despiliers,etafaitl'objetdenombreuses

prédi tions (pour une revue,voir [34℄). L'équation 1.18 s'intègre pour donner la ontrainte

vis-queusemoyenne :

hσ

w

i = η

g

hUi

L

p

β(φ)

tanh

p

β(φ)

e

L



(1.19)

Lalongueur ee tive deglissementasso iéeau hamp devitessemoyen estalors,au-dessus

dugaz :

b

g

∼ L

η

η

g

tanh

p

β(φ)

e

L



p

β(φ)

(1.20)

Danslalimite où

b

g

est petit (forte dissipation),lalongueur ee tive deglissement pour la surfa e ompositeest :

b

ef f

∼ (1 − φ)b

g

. Par ailleurs,une longueur ee tive de glissement dite "idéale" est réalisée pour lasurfa e ompositelorsque ladissipation dansle gaz est négligeable

( orrespondant àune onditionàlalimitede isaillementnul). Sonexpression,obtenue en

om-binant uneanalyseenloid'é helle etdes al ulsnumériques[33℄estlasuivante:

b

ideal

≃ L

 0.325

√

φ

− 0.44



(1.21)

Finalement, lalongueur ee tive de glissement au-dessus de lasurfa e omposite,

b

ef f

, est

proposéesouslaformed'uneinterpolationentre esdeux aslimites:

1

b

ef f

=

1

(1 − Φ)b

g

+

1

b

ideal

(1.22)

Dessimulationsnumériques3Dontétéee tuéespourtesterl'équation(1.22)etunex ellent

a ordaététrouvépour

0.03 ≤ φ ≤ 0.8

etunrapportdevis osité

0.01 ≤ η/η

g

≤ 100

.Remarquons

que esprédi tions on ernentégalementlessurfa eshydrophiles:iln'yaalorsqu'unseulliquide

(

η

g

= η

).

Con lusionsurlamodélisationdel'eetdesrugositéssurlafor edetraînée

L'eetdelarugosité desurfa e surlafor ede traînéesurlasphèrepeutêtre modéliséepar

une orre tion à lafor ede Taylor, souslaforme d'unelongueur de dé alage par rapport àune

surfa elisse.Cemodèledesurfa elisseéquivalenteestappli ablepourdesdistan esphère-paroi

grandesdevantl'espa ement ara téristiquedesrugosités.Ilaétéjustiéthéoriquementpourdes

surfa es anisotropes 1D.La longueur de dé alage est alors égale àla moyenne des longueursde

glissementee tivesdansles2dire tionsprin ipalesdelasurfa e.Desprédi tionsthéoriquesou

numériquesdeglissementee tifsontdisponiblespour ertainesgéométriessimples(rainures),et

des omparaisons ave lesmesures defor ede traînéesurunesphère existent. Pour dessurfa es

isotropes 2D, de type réseau arré de piliers, une théorie en loi d'é helle permet de prédire la

longueur deglissement ee tif

b

ef f

,ena ordave des al ulsnumériques.Au une omparaison

ave desmesuresdefor edetraînéen'aétéen oreréalisée ànotre onnaissan e.

1.3 Collisionimmergéed'unesphèreave uneparoiànombredeStokes

modéré

Jusqu'i i,nousavons onsidéréle asdel'é oulementàpetitnombredeReynolds,pourlequel

l'énergie inétiquedelasphèreestentièrementdissipéeparlesfor esdevis ositéaufuretàmesure

qu'elles'appro he delaparoi,jusqu'àsonarrêttotal ( ollage)au onta tave laparoi.

Le asopposéest eluioùleuideoreunerésistan enégligeableaumouvementdelasphère.

Lors dela ollision, l'énergie inétiquedelasphère est onvertieen énergiededéformation

élas-tique, puis restituée en énergie inétique : la sphère rebondit. On dénit alors le oe ient de

restitution

ε

r

ommelerapportde lavitessederebond surlavitessed'impa t.Pour unrebond

élastique dansl'airsurune plaque massive,

ε

r

atteint savaleur maximale,

ε

r

max

,quiest égale à

≃ 0.99

, 'estàdirequeseulement

1%

del'énergie aétédissipée(enl'o urren eabsorbéeparles ondesélastiquesde laplaque[35℄).

Nousnousintéressonsdans eparagraphe au asintermédiaire oùlarésistan edu uideau

mouvement de lasphère n'est pasnégligeable, etoù lasphère possède une inertie omparableà

etterésistan e.Cela orrespondàdessituationsoùlesnombresdeReynoldsetdeStokes

(Equa-tion1.1)sontdel'ordredel'unité.Sil'énergie inétiquerésiduelleetdon ladéformationélastique

delasphère,sontsigni atives, elle- ipeutrebondir.C'estlerebondélasto-hydrodynamique.La

transitionderebondest ontrléeparlenombrede Stokes,etlavaleurdunombredeStokes

ri-tique

St

c

, au-delà de laquelle le rebond a lieu se situe autour de 10. De plus, le oe ient de

restitution

ε

r

estégalement ontrlé par lenombre deStokes. Nousallonsd'abord nous

intéres-serauxtravaux on ernantlatransitionderebond, 'est-à-direlorsque

St

estplus petit que

St

c

maiss'enappro he.Puis,nousexposeronslesdiérentsrésultatssurladynamiquederebondpour

St > St

c

.

1.3.1 Transitionderebond

a)

b)

Figure1.13Distan enormaliséeenfon tiondutempsnormalisépourunesphères'appro hant

d'uneparoilisse.

R

et

U

désignent respe tivementlerayonetlavitessedelasphère.

a) (

◦

)expérien esàRe=5.10

−

₄

.(

−−

)droitedepente-1.(

−

)loide lubri ation.

b)Expérien esàRe=0.2(



),0.33(

◦

),1.1(

△

),2.5(

♦

),4(St=7)(

▽

)et7(St=12)(

+

).(

−−−

) droite depente -1.Figuresextraitesde[36℄.

Peu d'études sesont intéressées à l'inuen e de l'hydrodynamiquesur la transition vers le

rebond.L'appro hed'unesphèreimmergéed'uneparoiplaneetlisseaétéétudiée

expérimentale-mentpourdesnombresdeReynolds0.1

<

Re

<

10[36℄.Lesrésultatsmontrent quelatraje toire

de la sphère est inuen ée par la paroisur une distan e qui seréduit au fur et à mesureque le

Reynoldsaugmente (Figure1.13b).Pour

Re = 7

(

St = 12

) latraje toire delasphèrereste elle

qu'elle aurait en l'absen e de paroi (ligne droite, pas de freinage), jusqu'à un point pro he du

onta tphysique,maisnerebonditpas.Cesexpérien esont étéréaliséesave une amérarapide

(6000images/s)ave une erreurrelative surlapositiondelasphèreégale à4

%

desonrayon.Le

nombredepointsà

ε = h/a << 1

estdon réduit(Figure1.13).Desexpérien esdevélo imétrie

parimagesdeparti ules(PIV)ontégalementétéréaliséesenparallèledesimulationsnumériques

[37℄dansle as d'unesphère immergéedansde l'huile à0.2

<

St

<

4.Cependant, larésolution

spatialen'apasétésusantepour apturerlazonedelubri ation.Plusré emment,des

visuali-sationsde hute debillesurunlmvisqueuxréaliséesave unmatérieltrèsperformant ( améra

vitessedelabilledanslarégion delubri ation[38℄.Cependant,larégionpro hedu onta tn'a

pasétéexplorée (Figure1.14).

Figure 1.14  Vitesse d'unesphère de 50 mm tombant sur unlm visqueux de 2.25mm etde

vis osité29.6Pa.s,enfon tion deladistan eàlaparoi, pourdiérentsnombresdeStokessitués

en dessousde latransitionde rebond :St =0.8, 1.2, 1.6, 2.0,2.3, 2.6(de basenhaut). Figures

extraitesde [38℄.

Ladynamiqued'unesphèreimmergéedansdel'huileàl'appro hed'unesurfa elissepour0.5

< St <

10 [39℄aété étudiée ave late hnique d'interférométrie laser. Pour ette gamme de

St

, deuxrégimesdistin tssontobservésdanslarégiondelubri ation.Le premierrégime,"loin"de

laparoi,est ara térisépar l'équilibrede l'inertieetdesfor esdefreinage visqueux,et onduità

une évolutionnon-linéaire de lavitesse ave ladistan eà la paroi(Figure 1.15a). La résolution

spatialedel'interférométriepermetd'avoira èsàlarégion"trèspro he"delaparoi,justeavant

le onta t.Unedépendan elinéairedelavitesseave ladistan e,ave unevitesse ara téristique

V

0

,yestobservée.Eneet,lasphèreaétésusammentfreinée pourqueladynamiquesoitrégie

par l'équilibreentrelesfor es degravitéetles for esdefreinage visqueux.Cependant,lavitesse

V

0

estdiérente delavitessedeStokes.L'extensionspatialede erégimelinéaireseréduitaufur

etàmesurequelenombredeStokesaugmente(Figure1.15a):pour

St = 9

,ellen'estplusquede

quelques

µ

m.Cesobservationspeuventêtremodéliséesparl'équationdumouvementdelasphère

é ritei isousformeadimensionnelle:

− St

m

d

2

ε

dτ

2

=

1

ε

dε

dτ

+ 1

ave

St

m

=

ρ

p

[V

0

]

2

(ρ

p

− ρ

f

)ga

(1.23)

ave

V

0

lavitessede normalisation ,

τ = t V

0

/a

le temps adimensionnel .On voit quela

dyna-miqueest ontrléepar

St

m

,un nombredeStokesbasésurlavitesse

V

0

.L'a ord entremodèle

et expérien eestsatisfaisant(Figure 1.15b).

Ré emment, esdeuxrégimesontétéreproduitspardes al ulsnumériquesutilisantune

mé-thode oupléesolide-uide [40℄.Pour pallier larésolution insusantedu maillagedanslarégion

de lubri ation,unefor ede lubri ationestintroduitedèsqueladistan esphère-planest

infé-rieureà

a/2

.Deplus, ettefor edelubri ationestmodiéeparunparamètrederugosité

η

e

,qui

S

a b 

Figure1.15a)Vitessedelasphèremesuréeenfon tiondeladistan eàlaparoipourSt=1.72,

3.90, 6.90,9.24(de droiteàgau he)b)Vitessenormaliséeenfon tionde ladistan e

adimension-nelle pour St=9.24(expérien eetmodèleave St

m

=16).Figuresextraitesde[39℄.

lesexpérien es(Figure1.16a).Unemodi ationdumodèle(1.23)estproposéepourtenir ompte

de l'inuen e des aspérités surlafor e de lubri ation, qui onduità l'équation du mouvement

suivante:

− St

m

d

2

ε

dτ

2

=

1

ε +

η

e

a

dε

dτ

+ 1

ave

St

m

=

ρ

p

[V

0

]

2

(ρ

p

− ρ

f

)ga

(1.24)

LaFigure1.16bmontrelesrésultatsdelarésolutiondel'équation(1.24)pour5.10

−

₅

≤ η

e

/a

≤

5.10

−

₄

pour

St

m

=10.9et

V

0

=0.98m.s

−

₁

.Il estvisiblequeplus lerapport

η

e

/a

augmente,

plusladynamiquedelasphèreestmodiée:lavitessedelasphèreaugmentelo alement ave la

rugositéetl'extensiondurégimelinéaireseréduit.

Figure 1.16Vitessede lasphèreadimensionnée

u

p

/V

m

enfon tiondeladistan e

adimension-née

δ

n

/R

(

R

estlerayon de lasphère).a)

+

expérien es [39℄(V

m

=0.77m.s

−

₁

,St

m

=10.9),

◦

simulationnumérique (V

m

=0.74m.s

−

₁

,St

m

=9.3,

η

e

/R

=2.10

−

₄

),.b)

+

expérien es[39℄;

−

solutions de (1.24) pour 5.10

−

₅

≤ η

e

/R ≤

5.10

−

₄

ave

St

m

=10.9et

V

m

= 0.98m.s

−

₁

.Figures extraitesde [40℄.

St

increasing

elasticity

parameter

(a)

(b)

V

r

V

0

Figure1.17(a)S hémadel'appro hede2sphèreslissesimmergée(régionextérieureen

poin-tilléeetrégionintérieureentraitplein)(b)Coe ientderestitutionee tifenfon tiondunombre

deStokesobtenunumériquementparlathéoried'élastohydrodynamique[41℄( )Vitesse

adimen-sionnée par la vitessed'impa t enfon tion de ladistan e adimensionnéepar ladistan e initiale

entre les 2 surfa es. Comparaison des modèles d'élastohydrodynamique (

) [41℄, et de ses

ap-proximations[42℄(

♦

)et[43℄(

¯

)(

− − −

).

1.3.2 NombredeStokesdetransition

Lespremièresprédi tionsdunombredeStokes ritiquedetransitionreposent surlathéorie

élasto-hydrodynamique.Celle- iaétéutiliséedansle asdel'appro hededeuxsphèresélastiques

immergées dont les surfa essont supposéeslisses[41℄.Dans ette théorie, l'é oulement de

lubri- ation danslelmliquideetladéformationélastiquedesdeuxsurfa essolidessont ouplésvia

le hamp de pression. Les auteurs ont quantié une é helle de longueur d'élasti ité,

x

1

,

orres-pondantàladistan esphère-planau-dessousdelaquellelasphèresedéformesigni ativementet

peutrebondir(Figure1.17a).Cettelongueur

x

1

s'exprimedelamanièresuivante:

x

1

= (4θµv

0

a

3/2

)

2/5

ave

θ = (1 − ν

2

1

)/πE

1

+ (1 − ν

2

2

)/πE

2

(1.25) où

ν

i

estle oe ientdePoisson,

E

i

lemoduledeYoungdelasphère(

i = 1

)etduplan(

i = 2

)et

v

0

désignelavitesseàunedistan e

x

0

delasphère.Ladynamiquede ollisionestalorsgouvernée par lenombre deStokes

St

0

,basésurlavitessede lasphère

v

0

St

0

=

m

s

v

0

6πµa

2

(1.26)

où

m

s

estlamasse delasphère,etpar unparamètre d'élasti itésans dimension,dénipar

ζ =

(x

1

/x

0

)

5/2

.Le oe ientderestitution

ε

r

enfon tiondunombredeStokes,tra éFigure1.17bpour

diérentesvaleursde

ζ

,montrequeleStokes ritiquedetransitiondiminuequand

ζ

augmente.

Un ritère approximatif pour le dé len hement du rebond est quela sphère doit avoir une

vitesse non-nulle en arrivant à la distan e

x

1

de laparoi [8℄. Orl'équation du mouvement de la

sphèresoumiseàlaseulefor ederésistan eduuide,lafor edeTaylor, onduitàuneévolution

logarithmiquedelavitesseave ladistan e

h

àlaparoi[8℄:

V (h)

v

0

= 1

₋

1

St

0

ln

 x

0

h



(1.27)

oùl'onvoitqueleparamètrede ontrle estlenombredeStokes

St

0

.Lerebondseproduitdon pour

V (h = x

1

) = 0

,soit pourunnombre de Stokes

St

0

> St

c

ave

St

c

lenombrede Stokesde transitiondénipar[8℄:

St

c

= ln

 x

0

x

1



(1.28)

Le développement de la théorieélasto-hydrodynamique a motivé les premières expérien es

réaliséesen faisant tomberunebillesurunlmvisqueux,eten déte tantlerebond "àl'oeil nu"

[8℄,puisàl'aided'unappareilphotostrobos opique[6℄.Pourdessurfa eslisses,la onfrontation

dumodèleave lesexpérien esmontreunbona ord[8℄[6℄.Dans estravaux,desexpérien esde

hutedesphèresurunplanrugueuxenduitd'unlmvisqueuxontégalementétéee tuées[8℄.Le

plana été ouvert de rugositésarti ielles (hémisphères derayon

x

b

= 38 µm

).Lesexpérien es

montrentquedans e asoùlataille ara téristiquedesrugosités,

x

b

,estgrandedevantl'é helle ara téristiqued'élasti ité,

x

1

,ledé len hementdurebondestfavoriséparlesrugosités.Dans es travaux,

x

1

variede1à10mi rons.Le ritèrederebondsurunesurfa erugueuse estalors:

St

c

= ln

 x

0

x

b



(1.29)

Des expérien es pour une sphère omplètement immergée dans un liquide ont ensuite été

ee tuées enutilisantune améra rapidepourenregistrerladynamiquede rebondetun apteur

depressionpourdéte terla ollision[44℄,mettantenéviden eune transitionautourde

St ≃ 10

.

Le temps de onta t mesuréestde l'ordrede elui donné par lathéoriedu onta tde Hertz.Le

rebondd'unesphèreimmergéesuruneparoifrontale,aétéétudiépourunelargegammedenombre

de Stokes[5℄.Dans ette étude, l'inuen e de plusieurs paramètres aété testée:lavis osité du

uide, le matériau de la sphère, l'épaisseur de laplaque. Les résultats montrent que le nombre

de Stokes ritique

St

c

au-delà duquel lerebond a lieu est de l'ordre de

St

c

≃ 10

pour tousles

matériauxtestés. Lesmêmes on lusionsont étéétablies dansle asd'unesphère atta hée à un

penduleimpa tant uneparoilatérale[9℄.Notonsquedanslesexpérien esde pendule[9℄,lazone

detransitionest ara tériséeparunegrandedispersiondespoints, quiestattribuéeàlarugosité

dessurfa es.

1.3.3 Dynamiquede rebond

Courbesvitesseenfon tiondela distan e

Lathéorieélastohydrodynamiquese on entresurlazonedelubri ation.Ladynamiquede

rebond prédite par ettethéorieest tra éeFigure 1.18souslaforme de ourbesvitesse-distan e

pour diérentsmodèles [41℄[42℄[43℄.Les distan es négatives orrespondent à l'interpénétration

dessurfa es.Expérimentalement,ladynamiquederebondd'unesphèreimmergéepeutêtre

ara -tériséeàplusieursé helles,selonlarésolutiondesdispositifsexpérimentaux.Anotre onnaissan e,

lesseulesexpérien esayantlarésolution spatio-temporellesusantepourenregistrerledétailde

ladynamiquederebondauvoisinagedelaparoi,sontdesvisualisationsobtenuesré emmentpar

amérarapide(vitessed'a quisitionde

50000

images/s)de hutedebillesurunlmvisqueux[38℄.

Figure 1.18Vitesseadimensionnée parlavitessed'impa t enfon tion deladistan e

adimen-sionnée parladistan einitialeentreles2surfa es.Comparaisondesmodèles

d'élastohydrodyna-mique(

)[41℄,etdesesapproximations [42℄(

♦

)et[43℄(

· · ·

)(

−

).

fon tiondeladistan edeséparation(Figure1.19)in luentdesvaleursnégativesdelavitessedans

laphasederebond.Pourlavitessed'impa tlaplusgrande(1.58m/s), esvaleursnégativessont

del'ordrede 10

µm

, e quiestinterprété ommeunedéformation delasphère.

Figure 1.19  Vitesse d'unesphère de 38 mm tombant sur unlm visqueux de 2.25mm etde

vis osité 1.6Pa.s,enfon tion de ladistan e àlaparoi, pourdiérentsnombresde Stokessitués

au-dessusdelatransitionderebond:St =15.5, 20.8,27.3,32.2.Figures extraitesde[38℄.

Coe ientderestitution

Une manière plus globalede ara tériser le rebond est le oe ient de restitution normal,

ε

r

.Il estdéni ommelerapportde la omposante normaledelavitessedelasphèrelorsqu'elle

quitte laparoi,

V

R

,surla omposante normalede lavitessede ollision, ouvitesse d'impa t,

V

i

[45℄.Ainsi,le oe ientderestitutionestunemesuredeladissipationd'énergiedueàla ollision

seule. Les sour esde dissipation d'énergie sont nombreuses :on peut iter lesvibrations, ondes

élastiques,lavis oélasti itéetlaplasti itédesmatériaux.

Figure1.20Rebondimmergéd'unesphèreena ierde3mmimpa tantuneparoilisseenverre

dansdel'huilesili one V10.

Re = 82

,

St = 152

e=0.78.(a)Positionhet(b)vitesseenfon tion dutemps.Figures extraitesde [5℄.

Pourlaplupart desexpérien esde ollisionimmergée surunesurfa elisse,larésolutionspatiale

desdispositifsutilisésnepermetpasdemesurer lavitessed'impa t[36℄[5℄[9℄.Par exemple,sur

la gure1.20,on déte te àpeine leralentissement de la sphère justeavant la paroi. De plus, le

temps de ollisionestsouvent beau ouppluspetitquelarésolutiontemporelle.Le oe ientde

restitution est don usuellement déni ommele rapport

V

R

/V

T

, où

V

T

est lavitesse "loin" de laparoi, 'estàdire lavitesseterminalede lasphèredansunuideinni,etlavitesse

V

R

estla

vitesse maximaleenregistrée après la ollision. Ce oe ient de restitution

V

R

/V

T

estdon une

valeur ma ros opique.La dissipation d'énergie quilui estasso iée provient nonseulement de la

déformation solidemaisaussideladissipationvisqueusedansleuideavantrebond.

LaFigure1.21représentele oe ientderestitutionnormalisé

ε

r

/ε

r

max

enfon tiondunombre

deStokesmesurédanslesexpérien esderebondimmergé[5℄.Lespointsexpérimentauxsepla ent

surune ourbemaîtresse, equiindiquequele oe ientderestitutionest ontrléparlenombre

deStokes.Deplus, erésultat dépend faiblement despropriétés élastiquesdesmatériaux.

Dessimulationsnumériquesré entes[47℄ontpermis,enorantlarésolutionsusantedansla

régiondu onta t,demettrel'a entsurladiminutiondelavitessedelasphèrejusteavantl'impa t

(Figure1.22).I i,pourSt =53,lavitessede onta t

V

C

estenviron

12 %

inférieureà

V

T

, equi restesigni atif.Lesauteursontainsiestiméquelavariationrelativedu oe ientderestitution

dueàladiéren e

V

T

− V

C

seraitde5

%

,10

%

et20

%

respe tivement pourSt=1549,54et21.

Seloneux,lavariabilitédesrésultatsexpérimentauxpour le oe ient derestitutionestsurtout

dueauxrugosités desurfa e.Le oe ientderestitutionee tifestalors al ulénumériquement

pour diérentes valeurs du paramètre

η

e

la hauteur moyenne des aspérités. L'a ord entre les

simulationsnumériquesetlesexpérien esesttrèsbon.Notonsquedans essimulations,le onta t

solide est modélisé par une for e de onta t normale qui varie linéairement ave ladistan e de

re ouvrement (pénétration)dessurfa es,don diérentedelaloide onta tdeHertz.

Unmodèleanalytiquesimple,sansparamètreajustable,pourestimerle oe ientde

restitu-tionee tifestproposé[40℄.Ensupposantqueletempsde onta trésulted'une ollisionpurement

élastique(pasdedissipationdanslesolideouleuide),etquela ontrainteélastiqueéquilibrela



r

/



r max

Figure1.21Coe ientderestitutionnormalisé

ε/ε

max

enfon tiondunombredeStokespour

diérents matériaux : arbide de tungstène (

+

), a ier (

×

), verre (

), Téon (



), Delrin (

△

), polyurethane(

▽

)etNylon(

♦

).Lespointsave barred'erreur orrespondentauxdonnéesde[46℄. Imageextraitede[5℄.

Figure 1.22  Evolution temporelle de la vitesse verti ale adimensionnée. Dénition des

dié-rentes vitesses ara téristiques

V

T

,

V

C

,

V

R

et

V

R2

.Est inséréun zoomsur lavitessependant le rebond.Imageextraitede [40℄.

ε

r

ε

max

=

V

C

V

T

exp



−

√

π/2

βSt



ave

β =

V

C

V

T

= 1 +

1

St

ln

 η

e

a



(1.30)

Ce modèle (Equation (1.30) ) est tra é Figure 1.23 en fon tion du nombre de Stokes pour

10

−

₆

≤ η

e

/a ≤ 10

−

3

.L'a ordave lesexpérien esetles simulationsnumériquesesttrèsbon.

1.3.4 Con lusionsurl'inuen edes rugositésdesurfa esur ladynamique

Latransitionde rebondd'unesphère immergée aétébeau oupétudiée,expérimentalement

etthéoriquement.Lesrésultatsmontrentquelerebondest ontrléparlenombredeStokesdela

Figure1.23(

♦

)Simulationsnumériquesde[40℄ave

ρ/ρ

p

= 8

et

η

e

/R = 2 × 10

−

₄

ave priseen

ompte de lafor edelubri ation.

R

estlerayondessphères. Lesautres symboles représentent

les points expérimentaux obtenus par diérents auteurs. Traits ontinus :équation (1.30) ave

10

−

₆

≤ η

e

/R ≤ 10

−

3

.

lisse,lavaleurdelatransitionderebondestbienétablieautourde

St = 10

.Lestempsde onta t

sont de l'ordre de elui prédit par la théorie de Hertz. Cependant, il existe un large spe tre de

preuves expérimentales, étayées par desmodèles simples, montrant que les rugosités de surfa e

ont une inuen esur latransitionde rebond.Peu de dispositifs, expérimentaux ou numériques,

ont la résolution spatio-temporelle susante pour ara tériser ladynamique de rebond dans la

régionpro hedu onta t.C'estpourquoile oe ientderestitutionestdéniàpartird'unevitesse

d'impa t "loin"de laparoi.Cependant, 'est etterégion pro hede laparoi quiestintéressante

pour omprendrelesmé anismesdurebond.

1.4 Con lusionsurl'étatdeslieux

Par et état deslieux, nousmontrons que de nombreuses problématiques subsistent sur la

dynamiqued'unesphèrepro he d'uneparoi. Enparti ulier,lerledelarugositédessurfa esest

ru ial. Cependant, un nombrerestreint derésultats expérimentaux permet de ara tériser son

eet surladynamiquedanslazonedelubri ation.Celas'expliqueparlefaitquelesdispositifs

ontgénéralement unerésolutionspatio-temporelleinsusantepour apterlarégionpro hedela

paroi.

A

Re << 1

dessolutions analytiques ont étédéveloppéespour laprédi tion des longueurs

ee tivesdeglissementpourdessurfa esanisotropes1D,demêmequ'unethéorieenloid'é helle

pourdessurfa esisotropes2D.Cettedernièrethéorien'a ependantpasen oreété onfrontée à

desexpérien es.

PourdesnombresdeStokesmodérés,ladynamiqued'appro hedelasphèreestplus omplexe.

Lorsquel'inertien'est passusantepour qu'ellerebondisse,dessimulationsnumériques[40℄ont

montréque larugositéde lasphère avaitunimpa tsurlerégimelinéaire responsable du ollage

delasphèreàlaparoi.Ilseraitintéressantdepoursuivredans etteétudeenutilisantdessurfa es