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Génération de motifs à haute résolution sans optique:
Application à la caractérisation spatiale des détecteurs
infrarouge
Emmanuel Di Mambro
To cite this version:
Emmanuel Di Mambro. Génération de motifs à haute résolution sans optique: Application à la caractérisation spatiale des détecteurs infrarouge. Physique [physics]. Université Paris Sud - Paris XI, 2005. Français. �tel-00008863�
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Génération de motifs à haute
résolution sans optique : Application
à la caractérisation spatiale des
détecteurs infrarouge
Soutenue le 13 janvier 2005
THESE DE DOCTORAT
DE L UNIVERSITE DE PARIS SUD
Présentée par
Emmanuel di Mambro
Pour obtenir le titre de
DOCTEUR EN SCIENCE
devant la commission d examen composée de :
J.TABOURY J.L. DE BOUGRENET DE LA TOCNAYE D.COURJON J.SHAMIR N.GUERINEAU J.P.HUIGNARD Président Directeur de Thèse Rapporteur Rapporteur Examinateur Examinateur
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Generation of high-resolution patterns using self-imaging techniques: application to the spatial characterisation of infrared detectors
The last decade s amazing advances in microelectronics have led to the development of large infrared focal plane arrays (IRFPAs) with a high density of pixels per square centimetre. Therefore, the characterisation of these new components becomes a challenge, particularly the measurement of the spatial responses, described by the modulation transfer function (MTF). For this purpose, the projection of perfectly known patterns that illuminate the entire surface of the IRFPA and contain sub-pixel details is required. For several years, an original technique of MTF measurement has been explored at ONERA. The first idea was to use the self-imaging property of a grating illuminated by a quasi-monochromatic plane wave, called the Talbot effect. A first test bench has been developed and has produced measurements on IRFPAs working in [1-2,5 µm] and [3-5 µm] spectral ranges. For the long-wavelength infrared (LWIR) spectral range (8-12 µm), the technique appeared to come up against physical limitations (called non-paraxial effects) and other solutions have been explored, based on the use of a particular category of self-imaging fields, called non-diffracting arrays (NDAs). The object of this thesis is to study quantitatively and rigorously these non-paraxial effects and to develop the solutions formerly proposed. In particular, original techniques of generating NDAs of high-resolution (i.e. containing small details, close to the working wavelength) are studied, both theoretically and experimentally. These techniques are based on the use of a panchromatic illumination and a particular class of self-imaging transmittances called the continuously self-imaging gratings. At last, for spectrally-resolved MTF measurements, it is shown that an incoherent summation of monochromatic self-images acquired at different distances can produce patterns analogous to those obtained with panchromatic light.
Keywords
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Génération de motifs haute résolution sans optique : Application à la caractérisation spatiale des détecteurs infrarouges
Les progrès en microtechnologie durant la dernière décennie ont abouti à la réalisation de plans focaux infrarouge (PFIR) de grand format, intégrant une importante densité de détecteurs (ou pixels) au centimètre carré. La caractérisation de ces composants sophistiqués devient alors un véritable défi, en particulier la mesure de la réponse spatiale des détecteurs, décrite par la fonction de transfert de modulation (FTM). Cette mesure nécessite la projection de mires parfaitement connues qui couvrent toute la surface du PFIR et contiennent des détails sub-pixels. Depuis plusieurs années, une technique originale de mesure de FTM est à l étude à l ONERA. L idée initiale était d utiliser la propriété d auto-imagerie d un réseau en transmission éclairé par une onde plane quasi-monochromatique, appelée effet Talbot. Un premier banc de test a été développé et a permis d effectuer des mesures sur des PFIR fonctionnant dans la bande [1-2,5 µm] et [3-5µm]. Pour le test des composants fonctionnant dans la bande des hautes longueurs d onde (8-12 µm), la technique se heurte à des limitations physiques (appelées effets non-paraxiaux) et des solutions alternatives ont été proposées, basées sur une classe particulière de faisceaux auto-imageants, appelés les tableaux nondiffractants.
L objet de la thèseest d étudier de manière quantitative et rigoureuse ces effets non-paraxiaux et de développer les solutions proposées précédemment. En particulier, des techniques originales permettant de générer des tableaux nondiffractants haute-résolution (c est-à-dire contenant des motifs de taille proche de la longueur d onde) sont étudiées théoriquement et expérimentalement. Ces techniques exploitent l éclairage panchromatique du réseau ainsi qu un nouveau type de réseaux imageants appelés réseaux continûment auto-imageants. Enfin, on montre que pour les mesures de FTM à différentes longueurs d onde, une somme incohérente d auto-images monochromatiques enregistrées à différentes distances permet de construire des motifs analogues à ceux obtenus avec un éclairage panchromatique.
Mots clefs
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Remerciements
Le travail présenté ici a été effectué à l Office National d Etudes et de Recherches Aérospatiales, au Département d Optique Théorique et Appliquée et dans l équipe Conception d Instruments Optiques dirigée par Jérôme Primot.
Mes remerciements sont adressés à Monsieur le Professeur Jean Louis de Bougrenet de la Tocnaye pour avoir accepté d être mon directeur de thèse. Je remercie aussi MM. Daniel Courjon, Jean Pierre Huignard, Joseph Shamir et Jean Taboury d avoir accepté de participer au jury de thèse.
Mon travail de thèse était encadré à l ONERA par Nicolas Guérineau que je remercie ici aussi pour avoir assumé cette surcharge de travail avec l aide de Jérôme Primot.
Beaucoup d autres ont participé au quotidien à cette thèse de manière moins directe, je ne peux les nommer tous ici mais je leur exprime néanmoins ma reconnaissance.
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"To expostulate why day is day, night night, and time is time, were nothing but to waste night, day, and time" Hamlet, Act ii, Sc.2
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TABLE DES MATIERES
NOTATIONS ADOPTEES DANS LA THESE... 8
INTRODUCTION ... 9
1. NOTION DE FTM DETECTEUR... 11
1.1. Définition de la FTM détecteur... 11 1.1.1. Définitions... 11 1.1.2. Un cas de référence ... 14 1.1.3. Intérêt de la mesure ... 17 1.2. Méthodologie de mesure ... 181.3. Qualité de l image projetée ... 24
1.4. Intérêt de l utilisation de l auto-imagerie en infrarouge ... 31
2. MODELISATION D UN RESEAU AUTO-IMAGEANT ... 34
2.1. Méthode du spectre d ondes planes ... 34
2.1.1. Propagation d une grandeur électromagnétique ... 34
2.1.2. Interprétation géométrique... 36
2.1.3. Notion de Transmittance et hypothèse de Kirchhoff ... 39
2.1.4. Influence des dimensions finies d un réseau ... 42
2.1.5. Barbotage (walk off effect) ... 42
2.1.6. Champ spectral et éclairement spectral... 44
2.2. Effet Talbot ... 47
2.2.1. Un cas bidimensionnel ... 47
2.2.2. Cas du réseau de Fraunhofer... 49
2.3. Effet Talbot panchromatique... 55
2.3.1. Cas du réseau de Fraunhofer... 55
2.3.2. Cas bidimensionnel ... 60
2.3.3. Influence des dimensions de la source... 62
2.4. Tableaux non diffractant ... 72
2.4.1. Superposition de deux ondes planes ... 72
2.4.2. Champ continûment auto-imageant ... 76
2.4.3. Composant diffractif continûment auto-imageant ... 78
2.4.4. Génération de tableaux non diffractant... 84
2.4.5. Tableau non diffractant en lumière blanche... 88
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3.1. Effets non paraxiaux ... 92
3.1.1. Evaluation de la finesse de l auto-image ... 92
3.1.2. Auto-image non paraxiale et finesse optimale... 93
3.1.3. Mise en évidence expérimentale des effets non paraxiaux ... 95
3.1.4. Dégradation des auto-images avec l éloignement du réseau ... 98
3.1.5. Une règle de dimensionnement dérivée du critère de Rayleigh... 101
3.1.6. Mesure de FTM et profondeur de l auto-image... 105
3.2. Aspects vectoriels... 106
3.2.1. Limitations vectorielles à l hypothèse de Kirchhoff... 106
3.2.2. Imagerie et hypothèse scalaire ... 125
3.2.3. Spectre d ondes planes vectoriel... 126
3.2.4. Approche expérimentale ... 130
4. UTILISATION DE L EFFET TALBOT PANCHROMATIQUE ... 137
4.1. Intérêt de l effet Talbot panchromatique... 137
4.1.1. Auto-image panchromatique de Talbot et hypothèse paraxiale... 137
4.1.2. Elargissement spectral de l effet Talbot panchromatique... 140
4.1.3. Simulation non paraxiale ... 141
4.2. Influence des dimensions du trou source ... 144
4.2.1. Influence sur l effet Talbot panchromatique... 144
4.2.2. Finesse d auto-image et largeur de fente source... 150
4.3. Mise en évidence expérimentale de l effet Talbot panchromatique ... 153
4.3.1. Présentation du banc de mesure ... 153
4.3.2. Procédure d alignement de la fente source avec les fentes du réseau... 153
4.3.3. Méthode d extraction des ordres... 155
4.3.4. Relevés expérimentaux ... 163
4.3.5. Comparaison avec la simulation paraxiale... 164
4.3.6. Distance d apparition de l image de Talbot panchromatique ... 169
4.3.7. Finesse de l auto-image projetée ... 173
4.4. Application à la mesure de FTM détecteur panchromatique ... 175
4.4.1. Utilisation du réseau de Fraunhofer ... 175
4.4.2. Utilisation d un réseau continûment auto-imageant ... 183
5. AUTO-IMAGE DE TALBOT PANCHROMATIQUE ET INTEGRATION
LONGITUDINALE... 194
5.1. Auto-image intégrée... 194
5.2. Obtention de l auto-image intégrée... 195
5.3. Application à la mesure de FTM détecteur monochromatique ... 201
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REFERENCES... 206
Equation Section 1
NOTATIONS ADOPTEES DANS LA THESE
Les grandeurs physiques en variable spatiale, sont représentées par des lettres minuscules. Celles en variable de Fourier sont représentées par des majuscules. Par exemple, u désignera le champ scalaire dépendant des variables d espace alors que U désignera sa transformée de Fourier. La même convention est adoptée pour les vecteurs,
, ,
e e x y z ,
désigne le champ électrique en variable d espace, alors que
2 ( )
, , , , j x y
E z e x y z e dxdy
désigne sa transformée de Fourier. Lorsque des vecteurs sont utilisés dans le corps de texte, ils sont écrits en caractères gras, ainsi e désigne le vecteur champ électrique en variable d espace.
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INTRODUCTION
L effet Talbot déconcerte au premier abord. Ce phénomène découvert en 1836 [1] est un cas particulier d auto-imagerie [2], c est-à-dire de la production d image optique sans utilisation de système optique. On comprend donc que n importe quelle personne habituée ne serait-ce qu à l utilisation de son appareil photographique soit surprise d apprendre que certains objets sont capables de former spontanément leurs propres images. L effet de surprise passé, qui aura eu généralement l avantage de susciter l intérêt, une étude plus détaillée de l auto-imagerie est un exercice très enrichissant pour qui veut mieux comprendre comment s articulent optique géométrique, optique physique et électromagnétisme. Il réserve même quelques surprises après plus du siècle et demi qui s est écoulé depuis la découverte de l effet Talbot, comme ce que nous avons appelé l « effet Talbot panchromatique » [3]. Cet exercice, j ai eu la chance de pouvoir le faire dans cette thèse tout en maintenant un objectif concret et bien moderne qui consistait à développer des méthodes de mesure pour détecteurs optiques.
Une des activités du département d optique théorique et appliquée (DOTA) de l ONERA porte sur l étude des détecteurs optiques infrarouges. L équipe CIO (Conception d Instruments Optique) réalise régulièrement des expertises pour les services de la DGA et travaille pour cela en collaboration avec des concepteurs de détecteurs. Les travaux présentés ici portent sur des caractérisations spatiales de détecteurs à haute résolution. Celles-ci intéressent les concepteurs de systèmes optoélectronique pour le dimensionnement de systèmes ou les constructeurs de détecteurs pour mieux connaître le processus physique de détection de la lumière. Cette thèse fait suite à de précédents travaux menés dans l équipe conception d instruments optiques (CIO).
La thèse de Mathieu Chambon portait sur le développement d une méthode de mesure de fonction de transfert d un système échantillonné [4]. L application de cette méthode supposait la projection d une image périodique sur la matrice de détecteurs. Elle présentait l avantage de pouvoir dépasser les limites dues à la nature échantillonnée des acquisitions d images. Cette projection d image étant difficile à réaliser en infrarouge, l utilisation de l effet Talbot a été envisagée pour simplifier le dispositif expérimental. Ceci a été réalisé par Nicolas Guérineau lors de son travail de thèse [5] qui a alors identifié les difficultés inhérentes à la projection d image par cette méthode dans la bande III (8-12µm) où la longueur d onde approche la taille des détecteurs. Il a en outre proposé d autres solutions pour réaliser les mesures qui s appuient sur les
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notions de « tableau non diffractant » et d « effet Talbot panchromatique ». Cette thèse complète l étude des insuffisances de la projection par effet Talbot, poursuit les solutions précédemment proposées et propose une solution originale tout en tentant de garder un regard critique sur le sens des grandeurs mesurées. Elle expose aussi des mises en uvre expérimentales originales de ces méthodes.
La première partie présente la notion de « FTM détecteur » qui est la grandeur physique que nous cherchons à mesurer par l utilisation du phénomène d auto-imagerie. Elle expose aussi la méthode de mesure que nous avons affinée depuis la thèse de Mathieu Chambon [4] et l intérêt de l utilisation de l auto-imagerie en infrarouge. La deuxième partie regroupe les méthodes de modélisation que nous avons choisies pour calculer le champ et l éclairement diffractés. Elles sont toutes basées sur la méthode du spectre d ondes planes. On y expose aussi notre modélisation de l « effet Talbot panchromatique », les notions de « faisceau non diffractant » et de «réseau continûment auto-imageant » et dans quelle mesure ces concepts seront utilisables pour notre mesure. La troisième partie étudie les limitations de l effet Talbot pour la mesure de la FTM détecteur. Elle montre les raisons de cette limitation et aborde le problème de la pertinence de la théorie scalaire lorsque l on cherche à projeter des points lumineux de dimensions proches de la longueur d onde. La quatrième partie montre comment l effet Talbot panchromatique apporte une solution théorique pour nos mesures et comment contourner certaines difficultés de mise en uvre en particulier par l utilisation des « tableaux non diffractant ». Pour finir, on étend la capacité à projeter des images à haute résolution de l effet Talbot panchromatique au cas monochromatique dans la dernière partie. Ce qui rend possible la mesure de FTM monochromatique en hautes fréquences spatiales comme nous l avons fait en panchromatique.
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1. NOTION DE FTM DETECTEUR
Cette partie a pour but de présenter la FTM détecteur qui est la grandeur que nous cherchons à mesurer. Nous présentons son lien avec la notion de profil radiométrique et la méthode générale utilisée pour sa mesure ainsi que l intérêt d une utilisation du phénomène d auto-imagerie dans le domaine infrarouge. Le choix de présentation adopté ici est d utiliser, autant que les représentations graphiques le permettent, un formalisme bidimensionnel, la FTM détecteur étant une fonction de deux variables. Cette présentation bien que conceptuellement un peu plus difficile (ou moins usuelle) que la représentation monodimensionnelle permet d effectuer une synthèse sur la définition de la FTM détecteur, en particulier sur le principe de la mesure au delà de la fréquence de Nyquist. Pour une présentation monodimensionnelle, on pourra se reporter aux travaux précédents [4][5].
1.1. Définition de la FTM détecteur
On rappelle ici les définitions de la FTM détecteur et du profil radiométrique ainsi que la relation qui existe entre ces grandeurs. Ces grandeurs sont illustrées dans le cas de référence d un détecteur dont la surface est uniformément sensible. L intérêt de la mesure de telles grandeurs est aussi expliqué.
1.1.1. Définitions
Nous commençons par définir la notion assez intuitive de « profil radiométrique » d un détecteur optique. Cette définition nous sert de base pour introduire celle de « FTM détecteur » d un « plan focal ».
1.1.1.1. Profil radiométrique
Imaginons le dispositif de la figure 1. Un « point lumineux » M est projeté sur la surface sensible d un détecteur optique.
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figure 1 Représentation de la projection d un point lumineux M sur la surface d un détecteur optique
La grandeur mesurée est une grandeur électrique s proportionnelle à l éclairement projeté au point M. Si l on déplace la projection du point M dans le plan (OXY), la surface obtenue constitue le « profil radiométrique » p(X,Y) du détecteur. Le système est supposé linéaire et la projection du point M est l application d un Dirac d éclairement sur la surface. Le formalisme est celui d une réponse impulsionnelle et la réponse s du détecteur à une répartition d éclairement e(X,Y) quelconque s écrit par conséquent
( , ). ( , )
s p X Y e X Y dXdY
(1.1)
1.1.1.2. FTM détecteur
Imaginons que la position du détecteur soit translatée d un vecteur x,y. Le profil radiométrique du détecteur s écrit maintenant
( , , , ) ( , )
p x y X Y p X x Y y . (1.2)
L équation (1.1) devient alors
( , ) ( , ). ( , ) s x y p X x Y y e X Y dXdY , (1.3) X détecteur M O Y
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qui est l expression d une convolution, à condition de poser
( , ) ( , )
v
p X Y p X Y . (1.4)
En substituant (1.4) dans (1.3), on obtient
( , ) v( , ). ( , )
s x y p x X y Y e X Y dXdY , (1.5)
qui s écrit aussi comme une convolution
*
v
s p e , (1.6)
dont l équivalent spectral s écrit
( , ) ( , ). ( , )
S FT E
(1.7) où S( , ) et E( , ) sont respectivement les transformées de Fourier de s(x,y) et e(x,y).
Ces deux dernières relations définissent la fonction de transfert détecteur par la transformation de Fourier
( , ) v( , )
FT
F
p x y . (1.8)Généralement les détecteurs ont vocation à être utilisés dans des matrices comme éléments d image (pixel) ; celles-ci constituent ce que l on appelle des « plans focaux ». C est sur le plan focal que sera projetée l image dont on veut faire l acquisition vers un système électronique. Cette opération d acquisition est modélisable par (1.6) avec des positions de détecteur xk,yl discrètes et périodiquement espacées.
Par définition de la distribution de Dirac, on peut écrire
( k, l) ( , ) ( k, l)
s x y s x y x x y y dxdy
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L opération d acquisition de l image e(x,y) par le détecteur d indices (k,l) se décompose en deux opérations. Une première opération de filtrage (1.6), suivie d une deuxième opération d échantillonnage (1.9). Ces deux opérations sont schématisées sur la figure 2.
figure 2 Représentation de l acquisition d une répartition d éclairement e(x,y) par le détecteur optique
Sur cette figure, le filtrage est représenté par la fonction de transfert FT( , ), transformée de Fourier du profil radiométrique P (x,y). Les concepteurs de systèmes optoélectroniques s intéressent plutôt au module de cette grandeur, c est la « FTM détecteur » (ref. [6] p. 102).
1.1.2. Un cas de référence
Pour le dimensionnement des systèmes, on se réfère souvent au cas suivant. Le plan focal est un maillage cartésien de période p de détecteurs élémentaires uniformément sensibles sur leur surface. Le rapport entre le coté du détecteur élémentaire carré et la période du maillage p sur le plan focal définit le « facteur de remplissage » (cf. figure 3). En pratique, il est souvent voisin de l unité.
e(x,y) s(x,y) s(xk,yk) Filtrage FT( , ) Echantillonnage
(x-xk, y-yk)
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figure 3 Plan focal de référence
Le profil radiométrique p(x,y) d un tel détecteur centré en (xk ,yl) est unitaire sur sa surface conformément à
la figure 4(a), la FTM détecteur correspondante est donnée en figure 4(b) et s écrit
2 2 , sinc sinc FTM p p p
(1.10) p p p
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figure 4(a) profil radiométrique de référence (b) FTM détecteur de référence
L opération d échantillonnage a pour effet de "périodiser" le spectre à la fréquence (1/p ,1/p). On considère alors d après le théorème de Shannon (ref. [7] p. 35) que l image ne sera connue sans ambiguïté qu à la condition où le spectre est négligeable au delà de la fréquence de Nyquist.
1 2
Ny
f
p. (1.11)
Avec un facteur de remplissage de 1, en observant le spectre à =0, on arrive à la représentation de la figure 5. On voit que dans ce cas, la fréquence de coupure de la FTM détecteur est égale au double de la fréquence de Nyquist. y p(x,y) x 1 (a) (b) FTM( , )
2 p2 1/( p)
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figure 5 Tracé de la FTM de référence 1D avec fréquence de Nyquist fNy
1.1.3. Intérêt de la mesure
La partie optique d un système optoélectronique peut être représentée par un filtrage de l image projetée sur le plan focal (ref. [8] chapitre 6). Dans les systèmes opérationnels, la fréquence de coupure optique est généralement plus élevée que celle de la FTM détecteur (ref. [6] p.277). Il est donc crucial de connaître la FTM détecteur pour la modélisation de la chaîne d acquisition d image. On pourra alors envisager, par exemple, une suppression des effets du filtrage sur l image par « déconvolution », avec les précautions liées à cette technique [9] en particulier pour ce qui concerne la prise en compte du repliement du spectre. La mesure de FTM détecteur présente un autre avantage pour la modélisation du détecteur optique par sa relation avec le profil pixel. Elle renseigne sur le processus physique de détection de la lumière.
Nous avons vu (cf. 1.1.1) que lorsque un plan focal est constitué de détecteurs identiques, le profil radiométrique est relié à la FTM détecteur par une transformation de Fourier. On peut dès lors choisir de mesurer la FTM détecteur par projection d une image sur la matrice ou de manière équivalente de mesurer le
FTM( ,0)
O f 1/p
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profil pixel d un détecteur élémentaire en déplaçant un « point lumineux » sur sa surface. La première méthode est qualifiée de « globale », puisqu elle met en uvre la totalité du plan focal, alors que la deuxième est qualifiée de « locale ». Ces deux méthodes sont en apparence équivalentes, elles sont en fait complémentaires car dans un système d imagerie, la réponse d un détecteur est toujours influencée par celle de ses voisins (diaphonie ou « cross talk »). Contrairement aux mesures locales, les mesures globales excitent un grand nombre de détecteurs du plan focal et prennent ainsi mieux en compte ce phénomène. Pour un exemple de mesure locale, on pourra se reporter à la référence [10], les méthodes développées ici sont globales car elles sont plus représentatives du fonctionnement réel du détecteur. Remarquons tout de même que dans ce cas, le profil radiométrique obtenu est celui d un « détecteur moyen ». L idéal serait de pouvoir traiter en parallèle une réponse locale sur tous les détecteurs élémentaires en déplaçant un tableau de points lumineux sur le plan focal. On pourrait parler alors de méthode « totale ». Le banc de mesure de FTM détecteur par effet Talbot développé par Nicolas Guérineau dans sa thèse [5] permettait à cet égard de translater une série de lignes sur le plan focal et d obtenir une coupe de la réponse spatiale pour tous les détecteurs élémentaires simultanément.
1.2. Méthodologie de mesure
Pour le concepteur d instrument optique, le problème se pose en ces termes. Nous disposons d un plan focal dont nous aimerions connaître la FTM détecteur. L idée la plus immédiate est de projeter une image e(x,y) sur le plan focal, d en faire l acquisition s(x,y) qui n est accessible que par ses valeurs échantillonnées
s(xk,yk). La transformée de Fourier rapide (FFT) fournit un échantillonnage du spectre S( k, k). On en déduit
un échantillonnage de la FTM détecteur par la relation (1.12) déduite de (1.6).
( , ) ( , ) ( , ) k k k k k k S FTM E
(1.12)
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Cette solution est communément appelée « solution principale » dans le cadre de la déconvolution qui est d autant plus mal conditionnée que E( , ) est faible [11]. Un autre problème est inhérent à la nature échantillonnée du plan focal. C est le repliement de spectre illustré par la figure 6. Si l on appelle p, le pas d échantillonnage du plan focal, le spectre de S( , ) est « périodisé » avec une période de vecteur (1/p, 1/p). Dans ce cas, la fréquence d échantillonnage 1/p est suffisamment élevée pour qu un filtrage permette de reconstituer l image. Si la fréquence d échantillonnage S( , ) (cf. figure 6(b)) est trop faible, les différentes périodes du spectre se « replient » et le contenu spectral de l image en haute fréquences est perdu. La déconvolution (1.12) devient impossible sur les domaines de repliement.
figure 6 (a)Spectre d une image suffisamment échantillonnée(b)Spectre d une image insuffisamment échantillonnée
Si l on projette une image périodique [4][5], le spectre de l image s(x,y) est constitué de Dirac et s écrit
, , x y , , k l x y x y k l k l S d d S d d d d
(1.13)
où dx est la périodicité de l image suivant x et dy suivant y. On reprend l exemple de l image échantillonnée
de la figure 6(b) que l on « périodise » à la fréquence (1/d,1/d). Sur une période spectrale (1/p, 1/p), le spectre de l image échantillonnée et périodisée est montré en figure 7(a) et (b). Du fait de l échantillonnage
1/p 1/p S( , )
1/p 1/p S( , ) O O
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spatial, le spectre est constitué de la superposition des spectres de couleurs rouge, vert, bleu et fuchsia. On remarque sur la figure 7(a) que les différentes couleurs de Dirac restent bien distinctes. Cette propriété de l utilisation d une image périodique permet de remonter à un échantillonnage du spectre au delà de la fréquence de Nyquist. On prendra soin, en pratique, d éloigner autant que possible les différentes couleurs pour un meilleur échantillonnage du spectre.
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figure 7 Méthode anti-repliement par projection d une image périodique. Les différentes couleurs ne se recouvrant pas en (a), la connaissance du spectre au delà de la fréquence de Nyquist reste possible.
+
O O O O O
O S( , ) 1/p (a) (b)
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En pratique, le plan focal ayant des dimensions finies, le Dirac se transforme en sinus cardinal. Il faut donc dans ce cas maintenir des dimensions de plan focal grandes devant la périodicité de l image ou projeter une image périodique avec des fréquences spatiales suffisamment distinctes. Dans ces conditions, la déconvolution (1.12) sera réalisable puisque les fréquences spatiales excitées sont connues. La figure 8 illustre le principe de la déconvolution. La figure (a) représente le spectre d un tableau de points projeté sur le plan focal, c est l image idéale pour notre mesure. La figure (b) montre le résultat de l acquisition de l image S( , ) par le plan focal dont la FTM détecteur est donnée en figure (d). On y voit notamment l effet de l échantillonnage spatial par le fait que le nombre de Dirac a augmenté. La connaissance de la périodicité de l image projetée nous fournit les fréquences spatiales de l échantillonnage spectral de la FTM. On extrait de la figure (b) les amplitudes des Dirac. Après division par les amplitudes des pics de Dirac de E( , ), on extrait l échantillonnage de la FTM (cf. figure c) que l on peut comparer à la FTM détecteur (cf. figure d). La connaissance de la FTM détecteur dépasse, avec cette méthode, la fréquence de Nyquist définie par (1.11). Tout se passe comme si l ignorance de la FTM aux domaines de repliement était transférée entre les points d échantillonnage spectral.
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figure 8 Principe de la mesure de FTM détecteur avec projection d une image périodique
(a)spectre de l image projetée périodique
(b)spectre de l image périodique échantillonnée après filtrage
(c)Reconstruction de l échantillonnage de la FTM à partir de (a) et(b)
(d)Interpolation de la figure(c) 1/p S( , )
FTM
FTM
1/p 1/p 1/d E( , ) (a) (b) 2/p 2/p 2/p 2/p (c) (d) O O
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1.3. Qualité de l image projetée
Nous avons vu dans le paragraphe 1.1.3, l équivalence relative qui existait entre les méthodes locales et globales. La méthode globale que nous appliquons est en fait une méthode locale sur un détecteur global équivalent. Plutôt que de déplacer un point sur la surface d un détecteur, on applique simultanément un tableau de points sur tous les détecteurs reconstruisant ainsi un profil pixel équivalent. L image idéale que nous cherchons à projeter est un tableau de points lumineux qui vient échantillonner chacun des pixels sur des points différents de sa surface. Cette dernière condition est équivalente dans le domaine spectral à l absence de repliement des différents pics spectraux. Il s agit bien dans les deux cas de projeter des points lumineux aussi fins que possible. La projection d un « point lumineux » au sens strict n a jamais été réalisée, elle est même discutable d un point de vue théorique [12]. On doit par conséquent s interroger sur les qualités attendues de l image projetée. Qualitativement, le point projeté i(x,y) doit être le plus « fin » possible. De manière équivalente, le spectre I( , ) doit être le plus « étendu » possible.
Si l on ne s intéresse qu à une coupe de la mesure de FTM détecteur, la projection d une ligne sur le plan focal plutôt qu un point suffit. L étude bidimensionnelle de l éclairement i(x,y) est ramenée à l unique variable x. Par souci de simplicité, nous prenons cette hypothèse pour expliquer la construction de notre évaluation de la finesse f de l image. L image idéale que nous cherchons à projeter est alors une association de lignes parallèles périodique suivant (Ox). La figure 9 représente deux profils proportionnels l un à l autre. En première approche, un moyen d évaluer la largeur spectrale et corrélativement la finesse d image est de mesurer l aire entre |I( )|2 et l axe des abscisses. Cependant la mesure f utilisée doit être identique pour les deux profils de la figure 9 puisque en pratique pour passer de l un à l autre, il suffit de modifier la puissance de la source lumineuse.
-25-
figure 9 Deux spectres d éclairement liés par une affinité verticale doivent conduire à une unique évaluation de leur finesse.
Un moyen de rendre la mesure indépendante de la puissance de source est de travailler sur le carré du module du spectre normalisé à |I(0)|2. Le calcul de l aire donne alors un résultat identique pour les deux profils. C est la mesure de la finesse d image projetée que nous retiendrons. Son calcul s écrit dans le cas monodimensionnel 2 ( ) (0) I f d I . (1.14)
La figure 10 illustre que le calcul de f d après (1.14) mesure bien la finesse de l image. Les figures (a) et (c) représentent deux spectres de largeurs différentes et les figures (b) et (d) les images i(x,y) correspondantes. Il apparaît que la ligne de la figure (c) est plus fine que celle de la figure (d). Pour le premier spectre, on trouve
f=143,35 et pour le deuxième f=40,54. La finesse que nous constatons de visu est bien quantifiée par notre
calcul de f.
|I( )|2
-26-
figure 10 Un spectre « large » (cf. figure(a)) conduit à une image « fine » (cf. figure (b)) et inversement (cf. figure (c) et (d)). La finesse est quantifiée par le coefficient défini en (1.14). Les fréquences spatiales sont normalisées à une fréquence spatiale 0
arbitraire.
Les répartitions d éclairement dans un plan étant dans le cas général bidimensionnelles, on généralise la finesse de l image par le calcul de
2 ( , ) (0, 0) I f d d I . (1.15) -512/ 0 f = 143,35 f = 40,54 512/ 0 O x 2 0 I I O 1 0,5 -0,5 2 0 I I O 1 0,5 -0,5 (a) (c) (d) (b) / 0 / 0
-27-
La méthode globale de mesure de FTM détecteur exposée en 1.2 utilise une image dont le spectre est constitué de Diracs. Cette méthode permet de contourner les difficultés liées au repliement. Ceci a un prix, la
FTM détecteur ainsi mesurée sera échantillonnée. Imaginons que l image i(x,y) projetée sur le plan focal soit
l image i0(x,y) périodisée suivant un vecteur (dx, dy). La transformée de Fourier de i(x,y) s écrit
( , ) pq ,
pq x y
p q
I D
d d , (1.16)
où les Dpq sont les coefficients de Fourier de i0(x,y) que l on peut calculer par
0 1 , pq x y x y p q D I d d d d
(1.17)
On voit dans (1.16) et (1.17) que le fait de périodiser i0(x,y) réalise un échantillonnage dans le plan de
Fourier. Si l on applique directement l évaluation donnée en (1.15) à une image périodique, on trouve une surface spectrale nulle alors que l on obtient tout de même un échantillonnage de la FTM détecteur (cf. figure 8) en projetant cette image sur le plan focal. La relation (1.15) doit être modifiée pour ne tenir compte que de l échantillonnage de valeurs suivant
2 , 2 00 1 p q pq x y D f d d D . (1.18)
La relation (1.18) est une approximation de la relation (1.15) qui ne s appuie sur que sur des valeurs échantillonnées de I( , ). Cette approximation est illustrée dans le cas d un éclairement invariant suivant (Oy) par la figure 11. Dans ce cas, on «périodise » un motif élémentaire i0(x) avec une périodicité d. La
-28-
2 0 2 0 1 0 f I d I . (1.19)
D après (1.17), les coefficients de Fourier du motif périodisé i(x) s écrivent
0 1 p p D I d d , (1.20)
et fournissent ainsi un échantillonnage du spectre de I0( ) au pas 1/d. Ceci nous permet, comme l illustre la
figure 11, de réaliser une approximation de l intégrale de |I0( )|2
2 2 0 0 1 p p I d I d d
(1.21) puis, d après (1.20) 2 2 0 p p I d d D . (1.22)
On peut ainsi réaliser une approximation de (1.19) par (1.22) et (1.20) (avec p=0) comme
2 2 0 1 p p D f d D , (1.23)
que nous prendrons comme définition de la finesse d une image périodique et que nous chercherons à rendre maximale.
-29-
figure 11 La surface grisée construite à partir des coefficients de Fourier Dp réalise une approximation de l intégrale de |I0( )|2
Supposons maintenant que nous disposons de deux spectres monodimensionnels identiques à ceux de la figure 9 mais translatés autour des fréquences spatiales 0. Nous serons amenés à comparer la « finesse » des profils en éclairement correspondant à ceux de la figure 9. Dans la mesure où ce que nous évaluons est la largeur spectrale rendue indépendante de la puissance de source, nous considérons que la finesse de profil est indépendante de la fréquence 0 de translation. Ainsi les deux spectres de la figure 12 doivent conduire à
-30-
figure 12 Les deux spectres ci-dessus doivent conduire à la même valeur de finesse de profil en éclairement
Pour généraliser la définition (1.23) à ces derniers cas, l évaluation numérique de la finesse de l image projetée est alors faite par la relation
2 2 I d f Max I
(1.24)
ou dans le cas d un motif périodique par
2 2 1 p p p p D f d Max D . (1.25)
La normalisation par la valeur maximale permet en outre d éviter les cas de division par zéro. Les généralisations bidimensionnelles sont identiques à celles menées précédemment en (1.15) et (1.18).
O |I( )|2 Max(|I( )|2) Max(|I( )|2) O |I( )|2 O |I( )|2 Max(|I( )|2) Max(|I( )|2)
-31-
1.4. Intérêt de l utilisation de l auto-imagerie en infrarouge
La projection d une image périodique dans le visible est envisageable par un système optique classique. Cette méthode est difficile à transposer en infrarouge du fait du rayonnement thermique omniprésent. En effet, le rayonnement thermique nous oblige dans ce cas à intégrer le dispositif de projection complet avec le plan focal dans un cryostat. C est une solution complexe du point de vue des techniques du vide à mettre en uvre en particulier par l intégration du dispositif de mise au point nécessaire. Pour remédier aux difficultés qu implique ce rayonnement, l équipe s est orientée vers des méthodes de projection diffractives en commençant par l effet Talbot [5]. Cet effet, découvert par H.F. Talbot en 1836 [1], est le premier phénomène d auto-imagerie recensé. Nous reviendrons sur sa modélisation dans le paragraphe 2.2 mais son principe est résumé dans la figure 13. Lorsqu un réseau de période d est éclairé par une onde plane monochromatique en incidence nulle, des « auto-images » du réseau apparaissent aux distances multiples de d2/ où est la longueur d onde du faisceau incident.
figure 13 L effet Talbot est la reproduction périodique aux distances multiples de d2/ de l image du réseau sans optique lorsque celui-ci est éclairé par une onde plane monochromatique
L utilisation de l effet Talbot à donné des résultats intéressants mais son utilisation est limitée par la présence d effets non paraxiaux (cf.2.2). La figure 14 illustre le dispositif expérimental utilisé pour la mesure en infrarouge par utilisation de l effet Talbot.
z
Réseau de période d Faisceau collimaté monochromatiquez
T=2d
2/
d
2/
-32-
figure 14 Dispositif expérimental de mesure de FTM détecteur en infrarouge
On remarque la simplicité du dispositif de projection intégré au cryostat. Le réglage de mise au point est réalisé ici par l utilisation d un filtre interférentiel ajustable qui a l avantage d être externe au cryostat (ref. [5] p.107).
La figure 15 montre la répartition d éclairement idéale que l on cherche à produire derrière le réseau pour la mesure de FTM détecteur en infrarouge.
Plan focal
Mire
Collimateur
Cryostat
Corps noir
Filtre interférentiel
Image périodique projetée sur le plan focal-33-
figure 15 Notion de tableau non diffractant
Une telle distribution permet de projeter un tableau de points sur un plan focal placé dans n importe quel plan parallèle au réseau. Cette distribution ne requiert plus de procédure de mise au point, on parle de « tableau non diffractant » puisque le tableau de points lumineux n est pas modifié par translation en z. Les moyens de réalisation de tels tableaux non diffractant seront explorés en 2.4.Equation Section (Next)
Onde plane
incidente
Tableau non diffractant
Réseau
-34-
2. MODELISATION D UN RESEAU AUTO-IMAGEANT
On regroupe dans cette partie la modélisation choisie pour le phénomène d auto-imagerie. On pourra aussi se reporter à l étude de Montgomery [13] pour d autres aspects du phénomène. Notre modélisation repose essentiellement sur la méthode du spectre d ondes planes. On trouvera aussi une modélisation de l « effet Talbot panchromatique » et de la notion de « Tableaux non diffractant » qui nous permettront de remédier aux inconvénients de l effet Talbot usuel pour la mesure de FTM détecteur.
2.1. Méthode du spectre d ondes planes
Ce paragraphe reprend la « méthode du spectre d ondes planes » que nous utilisons dans cette thèse pour calculer le champ diffracté. Cette méthode a l avantage d être une méthode exacte puisqu elle découle directement de l équation de propagation contrairement à l équation de Rayleigh-Sommerfeld ou encore à la théorie géométrique de la diffraction [14] qui postulent toutes les deux des approximations. On trouve aussi ici des explications sur la notion de transmittance du réseau dont on se sert aussi le plus souvent pour calculer le champ diffracté. Les outils utilisés par la suite pour connaître l influence des dimensions finies du réseau sur le champ diffracté sont aussi exposés ici.
2.1.1. Propagation d une grandeur électromagnétique
On se place a priori dans le cadre de l optique scalaire, mais cette hypothèse sera nuancée en 3.2. La seule grandeur considérée ici est le « champ » u, c est en fait l amplitude complexe d une des composantes du champ électromagnétique en régime harmonique.
( , , , ) ( , , ) j t
u x y z t u x y z e
(2.1)
Le champ en sortie du réseau u(x,y,0+) étant supposé connu, on désire connaître le champ dans un plan z
quelconque u(x,y,z). Comme toutes les composantes électromagnétiques en régime harmonique, u obéit à l équation de Helmholtz.
-35-
2 ( , , ) ( , , ) 0 u x y z k u x y z
(2.2)
On décompose u suivant son spectre d ondes planes
2 ( )
( , , ) ( , , ) j x y
u x y z u z e d d , (2.3)
qui est aussi la transformée de Fourier réciproque de la transformée de Fourier bidimensionnelle
2 ( )
( , , ) ( , , ) j x y
u z u x y z e dxdy. (2.4)
Si l on substitue (2.3) dans (2.2), on arrive à
2 2 2 2 2 2 ( , , ) 2 4 ( ) ( , , ) 0 u z u z z
(2.5)
Dans la résolution de l équation différentielle linéaire du second ordre (2.5), on ne conserve que l onde progressive puisqu il ne s établit pas d ondes stationnaires dans le milieu z>0 semi-infini. On obtient la relation
2 2 2
2 1
( , , )
( , , 0 )
j zu
z
u
e
, (2.6)qui relie la répartition de champ dans le plan z=0+ à celle dans le plan z. On peut revenir dans l espace réel par la relation (2.3) qui montre que la propagation est alors assimilable à un simple déphasage (cf. figure 16)
-36-
figure 16 La propagation de la grandeur électromagnétique u est modélisable par un simple déphasage
Dans le cas d un système invariant par translation suivant (Oy) (respectivement (Ox)), la formule (2.6) devient 2 2 1
( , )
( , 0 )
j zu
z
u
e
(2.7) ou respectivement 2 2 1
( , )
( , 0 )
j zu
z
u
e
(2.8)
cette expression nous sera utile dans l étude du réseau métallique à fentes (cf. figure 24) que l on appelle aussi réseau de Fraunhofer.
2.1.2. Interprétation géométrique
On considère un réseau placé dans le plan (z=0) éclairé par une onde plane incidente u(x,y,0-) (cf. figure 17)
qui est diffractée par le réseau en u(x,y,0+) puis suivant la relation du spectre d ondes planes (2.6). 2 2 2 2 1 j z
e
u
( , , )
z
( , , 0 )
u
-37-
figure 17 Onde plane en incidence normale sur un réseau plan
En utilisant la définition de la transformation de Fourier (2.3) et la relation (2.6), on peut écrire
2 2 2
2
1 ( ) 2 ( )
( , , ) ( , , 0 ) j z j x y
u x y z u e e d d , (2.9)
qui peut être interprétée comme une somme continue d ondes planes de vecteur d onde k( , ) et d amplitude
-38-
2 2 2 2 , 1 k
(2.10)
et par la transformée de Fourier de u(x,y,0+) (2.4).
Dans (2.10), on remarque que la somme des composantes du vecteur est égale à 1. Le terme (respectivement ) représente le cosinus de l angle
(respectivement ) que forme le vecteur k( , ) avec l axe des abscisses (respectivement l axe des ordonnées).
-39-
Figure 18 Le réseau diffracte l onde plane incidente en un ensemble d ondes planes dont le vecteur d onde est défini par (2.10) et reste de module égal à 2 /
2.1.3. Notion de Transmittance et hypothèse de Kirchhoff
On considère une onde plane normalement incidente sur un réseau plan comme illustré en figure 17. Le réseau est supposé infiniment fin. On dit alors que nous sommes dans « l approximation des réseaux fins ». On définit alors la transmittance t(x,y) du réseau comme le rapport entre l onde sortante et l onde entrante.
( , , 0 ) ( , ) ( , , 0 ) u x y t x y u x y . (2.11)
Dans le cas d un diaphragme réalisé dans un matériau parfaitement opaque, l existence de cette relation repose en fait sur une hypothèse électromagnétique appelée « hypothèse de Kirchhoff » (ref [15] p.379). Elle
-40-
postule que la propagation dans la fente peut être négligée et que le champ ressort de la fente sans modification. La construction de la transmittance t(x) de ce diaphragme dans l hypothèse des réseaux fin est illustrée par la figure 19.
figure 19 Construction de la transmittance dans le cas d un diaphragme réalisé dans un matériau parfaitement opaque
On peut aussi construire la transmittance dans d autres géométries de réseaux en maintenant toujours l hypothèse des réseaux fins. On pourra se reporter à la référence [16] pour un récapitulatif sur les théories d approximation des réseaux. Un cas particulier qui nous sera utile est celui du réseau lamellaire illustré par la figure 20. Pour ce réseau, on peut considérer en première approximation que l onde plane incidente reste localement plane dans une lame du réseau et ressort simplement déphasée d une grandeur
2
k n ek k, (2.12)
où ek est l épaisseur de la lame d indice éventuellement complexe nk.
u(x) x t(x) x u0 0 0 1 a/2 -a/2 onde plane incidente
-41-
figure 20 Construction de la transmittance pour un réseau lamellaire
D après la construction de la figure 20, la transmittance du réseau lamellaire s écrit pour xk-1<x<xk
2
k k
j n e
t x e . (2.13)
On remarque que le cas du diaphragme réalisé dans un matériau parfaitement opaque est un cas particulier de réseau lamellaire avec une alternance de lames de conducteur parfait et d air (n 1). Nous verrons en 3.2.1 que cette hypothèse peut être mise en défaut avec un réseau à fentes. Sa simplicité nous conduit cependant à l utiliser car elle reste néanmoins une bonne approximation pour des réseaux dont les détails sont grands devant la longueur d onde. Pour la recherche d une transmittance permettant une mesure de FTM détecteur, le problème se pose pour nous dans les termes suivants. L onde plane u(x,y,0-) donnée est
normalement incidente sur un réseau de transmittance connue t(x,y). D après la relation (2.11) et par transformation de Fourier, on peut écrire la relation de convolution
-42-
( , , 0 ) ( , ) * ( , , 0 )
U T U . (2.14)
En substituant (2.14) dans (2.9), on est capable de calculer le champ u(x,y,z) dans tous les plans z>0.
2.1.4. Influence des dimensions finies d un réseau
Puisque nous cherchons à projeter sur le plan focal des images périodiques, nous cherchons à élaborer des transmittances nécessairement périodiques. En pratique, on ne peut que réaliser des transmittances à support fini. La méthode du spectre d onde plane permet de tenir compte d une manière relativement simple de cette contrainte dans nos simulations. Nous appelons supp(x,y), le support du réseau de transmittance périodique infinie t(x,y). La transmittance finie correspondante s écrit
( , ) ( , ). ( , )
f
t x y t x y supp x y
(2.15)
La transformation de Fourier de cette relation s écrit à l aide de la convolution
( , ) ( , ) * ( , )
f
T T SUPP
(2.16)
Il suffit donc de substituer Tf ( , ) à T( , ) dans (2.14) pour calculer le champ dans le demi espace z>0.
2.1.5. Barbotage (walk off effect)
Même si l on peut calculer numériquement l effet de la limitation des dimensions du réseau par la méthode exposée en 2.1.4, il est commode d avoir une évaluation simple de cet effet. Le cas de référence est celui d un support rectangulaire de dimensions wr x hr. Par souci de simplicité, on traite le cas d un réseau
monodimensionnel limité par une largeur wr. On considère une onde plane arrivant sur un diaphragme dans
l hypothèse des réseaux fins conformément à la figure 21. L optique géométrique nous indique que le faisceau incident est juste tronqué sur l ouverture du diaphragme et continu sa propagation sans déviation. Il existe une justification de ce résultat à partir de la méthode du spectre d ondes planes (ref [17] p.121) qui
-43-
s appuie sur la méthode de la phase stationnaire (ref [15] p.752). L onde plane est simplement tronquée lors de son passage par le diaphragme sauf dans une région x illustrée sur la figure 21.
figure 21 Onde plane incidente sur un diaphragme, approximation géométrique
Si le diaphragme limite une transmittance à fréquence spatiale unique
0
t
(2.17) la réponse du réseau à une incidence normale est une onde plane oblique avec un angle (cf. 2.1.2)
0 arcsin 0
(2.18) qui est aussi tronquée conformément à la figure 22.
2
x z
Onde plane incidente
-44-
figure 22 Effet de la limitation spatiale du réseau sur une fréquence spatiale unique
Un point situé hors de la zone grisée, n est pas influencé par l onde plane diffractée. C est le phénomène de « walk-off » (ref [17] p.125).
2.1.6. Champ spectral et éclairement spectral
La méthode du spectre d ondes planes nous donne une prédiction du champ diffracté par le réseau. La grandeur physique mesurée en imagerie comme pour notre mesure FTM détecteur n est pas le champ mais l éclairement. La relation entre champ et éclairement est définie dans le domaine spatial mais il nous sera aussi utile d établir une telle relation dans le domaine spectral.
2.1.6.1. Cas général
-45-
*
i uu . (2.19)
D après la définition de l éclairement, on peut écrire dans le domaine spectral la convolution
*
( ) ( ) * ( )
I
F
uF
u , (2.20)en prenant par exemple le cas monodimensionnel. La transformée de Fourier de u* s écrit
* * 2
(u ) u e j xdx
F
, (2.21)qui est équivalent à
* * 2 ( ) (u ) u e j xdx
F
(2.22) puis * * (u ) U ( )
F
. (2.23)En substituant (2.21) dans (2.20), on peut écrire
*
( ) ( )
I U U d
(2.24)
qui peut encore s écrire comme une autocorrélation. La généralisation bidimensionnelle s écrira
*
, ( , ) ( , )
I U U d d
(2.25)
2.1.6.2. Cas d un champ périodique
Si de plus le champ est périodique de période d en x, il s écrit comme une série de Fourier
2 j mx d m m u x c e , (2.26)
-46-
2 * * jdqx q q u x c e
(2.27)
et son spectre comme une distribution de Diracs
m m m u c d
F
. (2.28) * * q q q u c dF
(2.29)
En substituant l expression de (2.28) dans (2.20), on obtient
* , m q m q m q I c c d d d , (2.30)
qui s écrit aussi en utilisant la définition du Dirac
* , m q m q m q I c c d . (2.31)
Par transformation réciproque de Fourier i(x) s écrit
( ) 2 * , m q j x d m q m q i x c c e , (2.32)
expression dans laquelle on reconnaît en posant p=m-q, une série de Fourier
2
* jd px
m m p
p m
-47-
avec les coefficients de Fourier
*
p m m p
m
D c c . (2.34)
Cette expression est plus simplement l équivalent discret de (2.24). La généralisation bidimensionnelle s écrit
* , , , pq m n m p n q m n D c c , (2.35)
nous utiliserons ces expressions par la suite.
2.2. Effet Talbot
Après avoir posé les outils nécessaires au calcul du champ scalaire u diffracté par le réseau, on montre ici ce qu est l effet Talbot à partir de ce formalisme. L utilisation de l approximation que nous devons faire ici nous servira de référence pour montrer les limites de son utilisation dans la projection de motifs à haute résolution sans optique.
2.2.1. Un cas bidimensionnel
On considère une onde plane monochromatique incidente sur un réseau de transmittance
2 , x y p q j d d pq pq t x y c e
(2.36)
conformément à la figure 17. Cette transmittance est périodique suivant x (respectivement y) avec une période dx (respectivement dy). Son spectre s écrit
, pq , pq x y p q t c d d
(2.37)
-48-
D après les expressions (2.14),(2.6) et (2.37), le spectre du champ diffracté par le réseau s écrit
2 2 2 2 1 0 , , x y , p q j z d d pq pq x y p q u z u c e d d
(2.38)
On obtient par transformée de Fourier inverse le champ diffracté par le réseau.
2 2 2 2 1 2 , , x y x y p q x y j z j p q d d d d pq pq u x y z c e e
(2.39)
Si l on admet que le contenu spectral de la transmittance du réseau est négligeable pour les fortes fréquences spatiales alors, on peut écrire l approximation paraxiale
2 2 2 1 2 2 2
1 1 2
(2.40)
Cette approximation au deuxième ordre est qualifiée de « paraxiale » d après l interprétation géométrique de la méthode du spectre d ondes planes (cf. 2.1.2). Seules les ondes planes diffractées par le réseau avec un vecteur d onde quasi-colinéaire à l axe de propagation sont prises en compte. Cette hypothèse correspond au cas d « auto-imagerie au sens faible » dans l article de Montgomery [13]. Dans l approximation paraxiale (2.39) devient 2 2 2 2 0 , , x y x y p q px qy j z j d d j z d d pq pq u x y z e u c e e . (2.41)
-49-
2 2 T d z . (2.42)
L éclairement (2.19) s écrit ici
2 2 2 2 2 2 * 0 0 , , pq j z z j p q j px qy d T pq i x y z u u e e c e e , (2.43) ou encore , , T , , 0 i x y z i x y . (2.44)
Ce qui signifie que l image du réseau est reproduite sans optique à la distance de Talbot. On parle alors de phénomène d auto-imagerie. Puisque l auto-image obtenue ici a même périodicité que le réseau, on dit que c est une « auto-image de Fourier » par opposition à l « auto-image de Fresnel » qui a une périodicité sous-multiple de d [19]. Le raisonnement que nous avons fait ici reste valide pour toutes les distances sous-multiples de
zT. Il reste aussi valide dans une périodicité simple comme dans le cas du réseau de Fraunhofer qui est celui
de l expérience historique de Talbot [1] interprétée par Rayleigh [20].
2.2.2. Cas du réseau de Fraunhofer
Soit le dispositif de la figure 23, un laser hélium-néon est collimaté sur un réseau (cf. figure 24). La répartition d éclairement du champ diffracté par le réseau dans un plan z par est observée par un ensemble constitué d un objectif de microscope et d une caméra.
-50-
figure 23 Banc de mesure visible
-51-
figure 24 réseau de Fraunhofer période d, largeur de fente a
L hypothèse de Kirchhoff nous donne la répartition de champ u(x,y,0+) (cf. 2.1.3). Dans le cas de ce réseau,
si l onde incidente a une amplitude complexe u0 alors u(x,y,0-)=u0. Le champ en sortie du réseau s écrit sur
une période
0
u sur une fente ( , , 0 )
0 ailleurs
u x y . (2.45)
Le problème peut être ramené à une écriture monodimensionnelle (cf. 2.1.1), la transmittance est celle de la figure 25.
y
x
a d
-52-
figure 25 transmittance monodimensionnelle du réseau à fentes de la figure 24
Son spectre s écrit
2 ( , ) jd px ( ) p p t x y c e y , (2.46) ou en écriture monodimensionnelle 2 ( ) jd px p p t x c e
(2.47)
où cp sont les coefficients de Fourier définis par
sin p pa a d c pa d d
(2.48)
L application de la formule du spectre d ondes planes (2.6) conduit à la relation a/2 O d x t(x) (a) (b) 1/d c1 c-1 1/a O |T( )|
-53-
2 2 2 1 0 ( , , ) p j z j px d d p p u x y z u c e e
(2.49)
La figure 25(b) montre aussi le spectre monodimensionnel du réseau, on voit que le spectre sera d autant plus large que la fente a est réduite. Supposons que cette fente est « suffisamment grande » (cette hypothèse sera précisée en 3.1), le spectre est alors « suffisamment fin ». De cette façon, seuls les termes cp
d ordre faible ont une importance dans la somme (2.49). Si l on suppose en plus que p /d<<1, on peut ainsi écrire l approximation. 2 2 1 1 1 2 p p d d
(2.50)
Comme nous l avons déjà mentionné, cette relation porte le nom d « approximation paraxiale ». En effet, si l on revient à l interprétation géométrique du paragraphe 2.1.2, le terme p /d de (2.50) représente le sinus
sin p p
d , (2.51)
-54-
figure 26 L onde plane incidente est diffractée en une série d ordres d incidence p
La relation (2.50) est par conséquent équivalente à la relation
2
1 cos 1
2
p p. (2.52)
Ce qui revient à ne considérer que les ordres proches de l axe ou « paraxiaux » dans le calcul de (2.49), d où le nom d approximation paraxiale pour (2.50). Cette approximation sera fondée pour les ordres faibles dès que /d<<1. On peut penser que lorsque p augmente, elle n a plus de sens. Il n en est rien car l erreur qu elle provoque dans la somme (2.49) est modérée par la diminution des cp. Son utilisation dans l expression du
champ (2.49) nous permet d écrire
x
p
1
-55-
2 2 2 0 ( , , ) T z j p j z j px z d p p u x y z u e c e e
(2.53)
où zT=2d2/ est la « distance de Talbot ».
D après la définition de l éclairement (2.19), l expression (2.53) conduit à
, , , , 0 2
T
z
i x y m i x y , (2.54)
avec m entier. Ceci signifie que le réseau reproduit périodiquement son image dans chaque plan multiple de la distance de Talbot (cf. figure 26). On parle d image car l image est réalisée sa ns optique. L auto-image évoquée ici est une « auto-auto-image de Fourier » [19], elle a la même période d sur x que le réseau avec un décalage d une demi période quand m est impair. Il existe aussi des « auto-images de Fresnel » à des distances z=pzT/q où p et q sont premiers entre eux. Pour ces auto-images, la période en x est un sous
multiple de d [19].
2.3. Effet Talbot panchromatique
Bien qu utilisant la même expérience que l expérience d origine de Talbot [1], l « effet Talbot panchromatique » a été découvert récemment [3]. Nous avons choisi son nom par référence à l effet Talbot usuel pour un effet qui existe en lumière panchromatique. Nous présentons ici une explication plus générale du phénomène que ce qui a été fait jusqu à présent. Un travail plus exhaustif sur l effet Talbot panchromatique bidimensionnel est en cours. Certaines de ses propriétés seront détaillées puis exploitées pour la mesure de la FTM détecteur dans le suite du mémoire (cf. partie 4).
2.3.1. Cas du réseau de Fraunhofer
Par utilisation de la définition de l éclairement et de la relation (2.49), on peut écrire i(x,z) sous la forme d une série de Fourier
