HAL Id: tel-00002556
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Étude théorique de processus cohérents danc les
alcalino-terreux
Martial Millet
To cite this version:
Martial Millet. Étude théorique de processus cohérents danc les alcalino-terreux. Physique Atomique
[physics.atom-ph]. Université Paris Sud - Paris XI, 2002. Français. �tel-00002556�
N o
d'ordre :6828
UNIVERSITE PARIS XI
U.F.R. SCIENTIFIQUE D’ORSAY
THÈSE
présentée pour obtenir
le GRADE de DOCTEUR EN SCIENCES
par
Martial Millet
Sujet:
Étude théorique de pro essus ohérents dans les al alino-terreux.
Soutenue le 26 février 2002 devant la ommission d'examen :
M me
Mireille Aymar Dire teur de Thèse
M Bertrand Carré
M Bertrand Girard
M Hans-Rudolf Jauslin Rapporteur
M me
Eliane Lu -K÷nig
Je souhaite tout d'abord remer ier vivement messieurs Hans-Rudolf Jauslin et Alfred
Ma-quet qui ont a epté la lourde harge d'être les rapporteurs de ette thèse. Je tiens également
àremer ier lesautresmembresdu jury,Bertrand GirardetBertrandCarré,quiont bienvoulu
onsa rer à mathèse une partie de leur tempsextrêmement pré ieux.
Jeremer iegrandementmadameMireilleAymardem'avoir,toutd'abord,a ueillipendant
4 ans dans son équipe de re her he ausein de laquelle j'ai pu réaliser DEA etthèse mais aussi
et surtoutpour laqualité de son en adrement tout aulong de e travail.
Je tiens également à exprimer ma profonde re onnaissan e à madame Eliane Lu -K÷nig
poursa onstantegentillesseetsonsoutienin onditionnel.Sondevouementetsagranderigueur
ont toujours été des moteurs dans l'avan ée de nos travaux. La qualité de e mémoire doit
beau oup àla minutieuseattention dontelle afait preuvelors de sa réda tion.
Je souhaite aussi exprimer toute ma gratitude envers monsieur Jean-Marie Le omte pour
m'avoirfaitpro terde ses idéesbrillantes,desavirtuositédans lamanipulationdu formalisme
et de sa vaste érudition s ienti que.
En nje souhaiteremer ier tout eux quiont parti ipéplus oumoins dire tement à
l'avan- ementdenos travaux,lesmembresdu laboratoireAiméCotton,bienévidement,maissurtout
Introdu tion 13
Lesprin ipesdu ontr le ohérent. . . 14
S énarios dépendants de la phase des laser . . . 15
S énarios indépendantsde la phasedes laser . . . 17
Contr le ohérent des produits d'ionisation dans lebaryum . . . 18
Paquets d'onde autoionisants dans le al ium . . . 19
Méthode d'étude de ladynamique non-perturbative d'ex itation d'états autoionisants 20 Organisationdu mémoire . . . 21
I Traitements semi- lassiques des phénomènes dépendant du temps 25 I.1 Intera tion d'un système de harges ave un hamp éle tromagnétique lassique 26 I.1.1 Limite non-relativiste :l'hamiltonien de Breit-Pauli . . . 26
I.1.2 Champ quanti é . . . 28
I.1.3 Hamiltoniendipolaire éle trique . . . 29
I.1.4 Approximation du hamp tournant . . . 32
I.2 Opérateurd'évolution . . . 36
I.2.1 Dé nition de l'opérateur d'évolution . . . 36
I.2.2 Développement de Born de l'opérateurd'évolution . . . 37
I.3 Dépendan e temporelle de la fon tion d'onde . . . 38
I.3.1 Champ faible . . . 38
I.3.2 Cas parti ulier du hamp fort onstant . . . 44
I.4 Propagation temporelle de l'opérateur d'évolution . . . 46
I.4.1 Approximation lo ale de l'opérateur d'évolution par dis rétisation tem-porelle . . . 46
I.4.2 Méthodes de propagation. . . 49
II Dynamiquedes pro essus ohérentsd'ionisationdanslessystèmesàplusieurs éle trons 51 II.1 Introdu tion . . . 51
II.2 Modélisationde la stru ture atomique . . . 51
II.2.1 Introdu tion du modèle . . . 51
II.2.2 Équation d'évolution des fon tions d'onde sous la forme d'un système diérentiel . . . 53
II.2.3 Équationsintégrodiérentielles ouplées . . . 55
II.3 Deux méthodes d'éliminationdes ontinuumssans stru ture . . . 56
II.3.1 Éliminationdes ontinuums par l'approximationde Weisskopf-Wigner . 56 II.3.2 Éliminationdes ontinuums dans leformalismede Feshba h . . . 61
II.3.3 Propriétés de l'hamiltonien ee tif. . . 66
II.4 Évolution adiabatique du système . . . 67
II.4.1 Ionisation ohérente à deux photons de deux ouleurs diérentes d'un état dis retvers des ontinuums sans stru ture . . . 68
II.4.2 Approximation adiabatique pour un hamiltonienhermitique . . . 71
II.4.3 Généralisationaux hamiltoniensnon-hermitiques . . . 72
II.4.4 Condition de validité de l'approximationadiabatique . . . 75
II.5 Modèle dé ouplédé rivant lastru ture de résonan e du spe tre atomique . . 75
II.5.1 Justi ation de l'introdu tiondu modèledé ouplé . . . 75
II.5.2 Modèle dé ouplé . . . 77
II.5.3 Ex itationdu ÷urisolé du al ium. . . 79
II.6 Modèle dé ouplé : développement en p les des grandeurs atomiques . . . 81
II.6.1 Diagonalisationde l'hamiltonienee tif sans hamp . . . 82
II.6.2 Des ription sur les p les de résonan e de l'évolution des amplitudes de populationdes états dis rets . . . 82
II.6.3 Opérateurdépla ement lumineux . . . 84
II.6.4 Des riptionsur les p les de l'évolutiondes ontinuums . . . 84
II.6.5 Expressionde l'opérateurde diusion physique S en fon tion des p les . 85 II.6.6 Densité d'états dis rets . . . 87
IIICal ul des paramètres atomiques : matri e R & MQDT 89
III.1 Introdu tion . . . 89
III.2 Hypothèsesà labase de la méthode . . . 90
III.2.1 Al alino-terreux : rédu tion du problème à trois orps . . . 90
III.2.2 Matri e R &MQDT . . . 91
III.3 Matri e R auxvoies propres :solutions àl'intérieurdu volume de réa tion V 0 . 95 III.3.1 Prin ipede laméthode de matri e Raux voies propres . . . 95
III.3.2 Système propre généralisé . . . 96
III.3.3 Fon tions de base du al ul atomique . . . 101
III.4 Théoriedu défaut quantiqueà plusieursvoies (MQDT) . . . 107
III.4.1 Les fon tions de Coulomb . . . 108
III.4.2 Prolongementhors du volume de réa tiondes solutions . . . 110
III.4.3 Conditions aux limitesphysiques . . . 112
III.5 Représentation de la MQDT . . . 113
III.5.1 Matri e de réa tan e . . . 113
III.5.2 États de diusion physiques . . . 115
III.5.3 Densité d'états . . . 117
III.6 Pro essus de photoionisation . . . 118
III.6.1 Élements de matri edu dip le . . . 118
III.6.2 Se tions e a es de photoionisation. . . 122
IVAnalyse et dynamique des p les de résonan e 127 IV.1 Introdu tion . . . 127
IV.2 Expressions MQDTde l'opérateurde dépla ement(z) . . . 128
IV.2.1 Méthode de Dalgarno etLewis . . . 128
IV.2.2 Expression MQDT de j(z)i . . . 130
IV.2.3 Expression MQDT de (z). . . 134
IV.3 Détermination des positions des p les de résonan e . . . 136
IV.3.1 Résidus de H 1 . . . 136
IV.3.2 Méthode de déterminationdes positionsdes p les de résonan e . . . 138
IV.4 Dynamique dans la des ription dé ouplée . . . 140
IV.4.1 Équations d'évolution du modèle dé ouplé . . . 140
IV.4.2 Couplage entre lesp les de résonan e et les ontinuums . . . 142
IV.4.4 États asso iés aux p les de résonan e . . . 144
IV.5 Développement sur les p les et développement de Mittag-Le er des grandeurs spe tros opiques. . . 146
IV.5.1 Dé nitionsdes développements . . . 146
IV.5.2 P les et densitéd'états . . . 148
IV.5.3 Opérateurdépla ement (z) . . . 150
IV.5.4 Dipoles physiques D o (E) . . . 154
IV.5.5 Signi ationdu développementde Mittag-Le er des dip les . . . 157
IV.6 États de Siegert . . . 159
IV.6.1 Expressionmatri ielledes paramètresMQDT . . . 160
IV.6.2 Cal uldire t des fon tions physiques . . . 165
IV.6.3 Lien ave les états de Siegert. . . 167
IV.6.4 Expressionmatri ielledes p les etdes ouplages ave les ontinuums . . 169
IV.6.5 Expression matri ielle de j m (z)i et des ouplages des p les ave les états dis rets . . . 172
IV.6.6 Con lusion. . . 175
V Contr le ohérent dans le baryum 177 V.1 Expérien e de Wang etElliott . . . 177
V.1.1 Originedu ontr le des produits d'ionisation . . . 178
V.1.2 Mesures réaliséesdans l'expérien e . . . 179
V.1.3 Con lusions de l'équiped'Elliott . . . 181
V.2 Équationsd'évolution . . . 184
V.2.1 Hamiltonienee tif . . . 185
V.2.2 Évolution adiabatique . . . 186
V.2.3 Évolution des populations des ontinuums résolues par seuil . . . 187
V.2.4 Équationsde Blo hoptiques . . . 188
V.3 Paramètres atomiques . . . 189
V.3.1 Méthode de al ul . . . 189
V.3.2 Propriétés spe tros opiques du baryum . . . 190
V.4 Simulations numériquesdes expérien es . . . 191
V.4.1 Méthodes numériques. . . 191
V.4.2 Constru tionnumérique de l'hamiltonien ee tif . . . 192
V.4.4 Comparaison des ordres de grandeur . . . 195
V.5 Interprétation des résultats de l'expérien e dans l'approximation adiabatique . . 196
V.5.1 Approximation adiabatique lorsque les pro essus à deux photons sont traités ommedes perturbations . . . 197
V.5.2 Couplage 1 (t) système à deux niveaux . . . 200
V.5.3 Couplage 2 (t) Expli ation de l'asymétrie. . . 202
V.5.4 Véri ation numérique de l'hypothèse adiabatique . . . 210
V.5.5 In uen e de la formedes impulsionslumineuses . . . 211
V.5.6 Con lusion. . . 213
V.6 Améliorations du modèle . . . 214
V.6.1 Eets liésà l'émissionspontanée . . . 214
V.6.2 Modèle prenant en ompte la distribution spatiale des intensités des rayonnementslaser . . . 220
V.6.3 Pro essus provoquant larupture des règles de séle tion . . . 222
V.6.4 Con lusion. . . 224
V.7 Eets des interféren es . . . 224
V.8 Arti le : Lu -Koenig et al. (2000),Eur. Phys. J. D 10, p. 205223 . . . 227
V.9 Con lusion . . . 246
VI Évolution de paquets d'onde autoionisants dans le al ium 249 VI.1 Expérien e de vanLeeuven, Bajemaet Jones . . . 249
VI.2 MQDT dépendant du temps . . . 253
VI.3 Méthode de al uldu signal d'interféren e . . . 255
VI.3.1 Expression du signal d'interféren e . . . 255
VI.3.2 Méthode du al ulnumérique . . . 256
VI.4 Cara téristiques de l'impulsionlumineuse . . . 256
VI.4.1 Intensité de l'impulsionlumineuse . . . 256
VI.4.2 Forme du spe tre énergétique . . . 257
VI.5 Se tione a e diérentielle . . . 257
VI.5.1 Cal ul atomique. . . 257
VI.5.2 Distribution angulaire . . . 259
VI.5.3 Comparaison ave les résultatsde Lange et al. [85℄. . . 259
VI.6 Interférogramme de Ramsey . . . 260
VI.6.2 Ex itationde deux résonan es 4p 1=2
ns . . . 267
VI.7 Flux radiald'éle trons à une distan e r o donnée . . . 269
VI.7.1 Introdu tion . . . 269
VI.7.2 Cal uldu uxradial d'éle trons . . . 272
VI.8 Flux radiald'éle trons d'un paquet d'onde autoionisantdans le al ium . . . 276
VI.8.1 Flux radiald'éle tronsd'un paquet d'ondeautoionisant réé par une im-pulsionlaser . . . 277
VI.8.2 Flux radial d'éle trons d'un paquet d'onde autoionisant réé par deux impulsionslaser . . . 288
VI.9 Arti le: Milletet al.(2002), J. Phys. B 35, 875893. . . 296
VI.10Con lusion . . . 316
VIICal uls d'évolution par la méthode des p les 317 VII.1 Cal ul d'évolution en hamp faiblepar laMéthode des p les de résonan e . 317 VII.1.1Équationsd'évolution en hamp faible . . . 318
VII.1.2 Analyse des ontributions des p les de résonan e aux interférogrammes de Ramsey . . . 320
VII.1.3 Analyse des ontributions des p les de résonan e dans le ux radial d'éle trons . . . 330
VII.2 Cal ul d'évolution en hamp fort . . . 336
VII.2.1 Méthode des p les pour le al ulde l'évolution . . . 337
VII.2.2 Champfaible: Interférogrammes de Ramsey . . . 341
VII.2.3 Champ fort onstant : Comparaisonave la méthode utilisant la trans-formationde Lapla e . . . 343
VII.3 Évolution en hamp fort . . . 349
VII.3.1 Paquet d'onde autoionisant réé une impulsionlaser . . . 349
VII.3.2 Interférogrammes de Ramsey en hamp fort . . . 351
VII.4 Con lusion . . . 356
Con lusion 357 Bibliographie 362 A Système d'unités & ordres de grandeur 373 A.1 Constantes physiques . . . 373
A.2 Unités atomiques . . . 373
A.3 Ordres de grandeur utiles pour un état de Rydberg de nombre quantique prin- ipal n . . . 374
B Résolvante 377 B.1 Transformation de Lapla e . . . 377
B.2 Résolvanteet opérateurd'évolution . . . 379
B.3 Exemple de transformation de Lapla e . . . 380
B.4 Restri tion de larésolvanteà un sous-espa e d'état . . . 381
B.5 Opérateurdépla ement . . . 382
C Valeurs des paramètres du potentiel modèle 385 D M.Q.D.T. en fon tion de la matri e 387 D.1 Matri e de diusion à ourteportée . . . 387
D.2 Passage de lareprésentation K àla représentation . . . 388
D.3 Expressionde latra e de lamatri ede retardQlorsque l'onnéglige lavariation en énergie des paramètres MQDT . . . 389
E Formulation de Blo h du problème ollisionnel 391 F Élimination adiabatique des ontinuums 393 F.1 Équations de Blo h optiques . . . 393
F.1.1 Traitement semi- lassique . . . 393
F.1.2 Équation entre élémentsde matri e.. . . 394
F.1.3 Éliminationadiabatique des ontinuums . . . 394
F.1.4 Équations de Blo h . . . 396
G Symétrie de l'opérateur ee tif 397 H Impulsions gaussiennes 399 H.1 Impulsions gaussiennessans glissementde fréquen e . . . 399
H.2 Impulsions gaussiennesave glissementlinéaire de fréquen e . . . 400
I Compléments sur la méthode des p les de résonan e 403 I.1 Paramètres atomiques . . . 403
I.1.1 Matri e àl'énergie E g +! l =73913;5 m 1 . . . 403
I.1.2 Composantes des p les sur les voies fermées . . . 403
I.1.3 Paramètres du modèle dé ouplé pour un atome ex ité depuis l'état de Rydberg 4s14s . . . 410
I.1.4 Paramètres du modèle dé ouplé pour un atome ex ité depuis l'état de Rydberg 4s20s . . . 410
I.2 Méthode des p les de résonan e en hampfaible . . . 413
I.2.1 Équationsd'évolution en hamp faible . . . 413
Les travaux présentés dans e mémoire on ernent l'étude théorique de la dynamique de
pro essus ohérentsd'ionisation danslesatomes al alino-terreuxsoumisàdes impulsionslaser
plus oumoins intenses etplus oumoinsbrèves. Ilsont pour obje tif d'analyserdes possibilités
de ontr lerde façon ohérentelesproduits d'ionisationobtenuspar des pro essusd'ionisation
des états dis rets par absorption d'un seul photon ex itant l'atome dans des états situés en
dessous de la limite d'ionisation double. Les atomes étudiés appartenant à la deuxième
o-lonne du tableaupériodique sont ara térisés,dans leur étatfondamental,par la on guration
éle tronique des ou hes externes ns 2
. Le adre des études dé rites on erne uniquement la
photoionisation de la ou he ns 2
. Il est alors possible de traiter un al alino-terreux omme un
systèmeforméd'un ÷ur geléA ++
et deuxéle tronsdevalen e pourlequelles orrélations
éle troniques (i.e. les intera tions éle trostatiques entre les éle trons de valen e) onduisent
à des eets physiquesnouveaux, n'existant pas dans les systèmes àun éle tron de valen e.En
parti ulier les ontinuumsd'ionisation sont ara tériséspar l'existen e de multiples seuils
d'io-nisation et par la présen e d'états autoionisants à l'origine des résonan es observées dans les
spe tres de photoionisationet asso iées à des observables présentant des variations rapides en
fon tiondel'énergie.Expérimentalement,lestauxdeprodu tiondesdiérentsétatsioniquesou
les distributions angulaires des photoéle trons sontdes observables permettant de ara tériser
les produitsd'ionisation. Lades ription théoriquede es grandeurs est très sensibleaumodèle
hoisi pour dé rire les orrélations éle troniques.
Lesmotivations initialesde e travail ontété l'interprétationde deux expérien es, très
dif-férentes, portant sur le ontr le ohérent dans des al alino-terreux. La première expérien e,
réalisée dans le baryum, on erne le ontr le des taux de produ tion de trois états ioniques
obtenus par un pro essus d'ionisation à deux photons de ouleur diérente [131, 132℄. La
angulairesdesphotoéle tronsémispar unpaquetd'ondeautoionisant réé pardeuximpulsions
ohérentes,identiques,séparéestemporellementparunretardvariable (expérien edeRamsey
optique) [128℄.
Uneméthodeperformantepermettantdedé rirelastru tureatomiqueetlespropriétés
spe -tros opiques des al alino-terreuxaété développée depuisplusieursannéesaulaboratoireAimé
Cotton.Cetteappro he qui ombineuneméthodevariationnelledematri eRauxvoiespropres
et la théorie du défaut quantique à plusieurs voies 1
(MQDT pour Multi hannel Quantum
Defe t Theory) [6℄ a prouvé son e a ité pour déterminer de façon pré ise les observables
spe tros opiques,grandeursdontla onnaissan eestunpréalablené essaireàl'analysedes
pro- essus ohérents induitspar des impulsionslaser. Disposant de ette méthode, j'ai pû aborder
l'étude de phénomènes dépendant du temps et analyser de façon pré ise les deux expérien es
dé rites i-dessus.
J'ai très vite été onduit à développer des formalismes nouveaux dont la portée dépasse
de beau oup le adre initialde mon étude. Ce travail méthodologique m'a permis d'introduire
une méthode originale basée sur une appro he MQDT permettant d'étudier la dynamique de
paquetsd'ondeautoionisants réésen soumettantdes atomesal alino-terreuxàdesimpulsions
brèves et intenses. Cette appro he, valable au delà du régime perturbatif pour l'intera tion
atome-rayonnement, permeten parti ulier d'analyserl'évolution temporelle des amplitudes de
population pour des stru tures de résonan e ayant des largeurs spe trales inférieures à elles
des impulsionslaser.
Danslamesureoù esétudesontétéinitialementmotivéesparl'interprétationd'expérien es
réaliséesdans lesal alino-terreuxayantpourbutd'analyserlespossibilitésde ontr le ohérent
des produits d'ionisation, je vais d'abord présenter le adre historique du développement des
étudesportant sur le ontr le ohérent.
Les prin ipes du ontr le ohérent
Depuis l'apparition des laser, le ontr le des réa tions himiques et des pro essus
molé u-laires au moyen de laser a sus ité beau oup d'intérêt. L'utilisationdes seules propriétés
éner-gétiquesdes laserpour asser séle tivementune deslaisons himiquesde lamolé ulen'a onnu
que peu de su ès. En eet, partant d'un état initial, l'absorption d'un ou plusieurs photons
1
Unevoieest l'ensembledesétatsdemomentangulairetotal xé,dé nisparunétatdonnédel'ion A +
et
unéle tron demoment orbital et de moment inétiquetotal donnés.Tous es étatsne diérent quepar leur
d'un laser orrespond généralement à plusieursvoies de photofragmentation possibles etil n'y
a don pas de séle tivité. Enrevan he, le prin ipedu ontr le ohérent onsisteà exploiterles
interféren es quantiques existant entre plusieurs hemins d'ex itation onduisant un système
atomiqueoumolé ulaired'unmêmeétatinitialàunmêmeétat nala nd'obtenirlaséle tivité
re her hée.Parrapportaudéterminismequantiquepour lequella onnaissan ede l'étatinitial
et l'intégration de l'équation de S hrödinger permettent de déterminer l'évolution temporelle
de lafon tion d'onde, le ontr le quantiquepose une questionplus ambitieuse: onnaissantla
fon tion d'onde initialeà quelle dynamique ( 'est-à-dire àquelle intera tion) faut-ilsoumettre
le système pour atteindre un état nal hoisi?
Brumer et Shapiro sont les premiers à avoir proposé d'utiliser les interféren es entre deux
ou plusieurs hemins optiques et de manipuler es interféren es en modi ant les paramètres
des laser pour parvenir à ontr ler la photodisso iation molé ulaire [22℄. Ces pro essus
per-mettentde ontr lerlesproduitsdephotodisso iationdu système, 'est-à-diredeséle tionner
les produits obtenus par un hoix adapté des paramètres extérieurs au système. Il s'agit aussi
de pro essus ohérents ar la nature onstru tive ou destru tive des interféren es entre les
diérents hemins dépend de la diéren e de phase entre les amplitudes de probabilité
asso- iées à haque hemin. Si ette diéren ede phasevarie rapidement en fon tion des grandeurs
ara téristiquesdusystème(duréeoulongueurdelazoned'intera tionave leslaser)lestermes
d'interféren e s'annulent en moyenne et il n'y a plus de ontr le. L'utilisation d'interféren es
pour le ontr le des produits de fragmentation requiertdon la ohéren e (temporelleet aussi
spatiale) des amplitudes de probabilité.
Les pro essus onduisant à un même état nal par diérents hemins donnent lieu à des
interféren esetsontdon quali ésdepro essus ohérents.Dansuns énariode ontr le ohérent
il peut toutefois y avoir des pro essus parasites signi atifs onduisant à un état nal qui
n'est atteintpar au unautre hemin et pour lequel il n'y adon pas d'eet d'interféren e, es
pro essus sont alors quali és de pro essus in ohérents.
S énarios dépendant de la phase des laser
Parmi lesnombreux s énarios quiontétéproposés [113,114℄, laplupartutilisela diéren e
de phase entre les laser pour modi er la diéren e de phase entre les hemins, 'est-à-dire la
nature des interféren es. Ils sont don quali és de s énarios dépendant de la phase.
L'utilisationdes interféren es entre le hemin induitpar l'absorptionde trois photons d'un
laser de pulsation! 1
et elui orrespondant àl'absorption d'un photonde pulsation! 3
=3! 1
obtenu par la génération de la troisième harmonique dans un milieu non-linéaire, a d'abord
été proposée théoriquement [115℄ pour ontr ler la photodisso iationmolé ulaire. Ce s énario
apermis expérimentalement de ontr ler lerapportentre les tauxd'ionisation etde
photodis-so iation de l'iodure d'hydrogène [139℄. Il a aussi été étudié [98℄ théoriquement pour parvenir
à modi er les spe tres de photoionisation au voisinage d'un ou plusieurs états autoionisants.
D'autress énarios similaires,utilisantdeux hemins àdeux photons,ont étéétudiés[28℄
quan-titativementpour ontr ler letauxdes produitsde photofragmentation réés dans haque voie
de disso iation.
Dans tous es s énarios, lesinterféren es se produisententre diérents heminsqui partant
d'un état initial, état propre de l'hamiltonien sans hamp (éventuellement un mélange
statis-tique d'états si on tient ompte de la distribution thermique des populations), font passer le
système à des états nals qui sont aussi des états propres de l'hamiltonien sans hamp. Si les
interféren essont omplétementdestru tivespourun état nalj f i,oninterditausystèmede
seretrouverdans etétat.Siellessont omplétementdestru tivespourtouslesétatsa essibles
j f i
i d'une même voie i, on interdit au système d'être ex ité dans ette voie. Ces s énarios
permettentdon le ontr le de la se tione a e partielledans une voiedonnée.
Il a aussi été proposé d'utiliserdes laser ohérents pour ontr ler les se tions e a es
dif-férentielles, 'est-à-dire les dire tions d'émission des fragments. Ainsi le ontr le dire tionnel
du photo ourant dans les semi ondu teurs a été étudié théoriquement [82℄ en utilisant une
superposition ohérente d'états dis rets j 1 i (de moment orbital s) et j 2 i (de moment
or-bital p) d'énergie respe tive E 1
et E 2
et deux laser ohérents de pulsation ! 1 et ! 2 tels que E 1 +~! 1 = E 2 +~! 2
. Ce i permet de former une superposition ohérente d'ondes s, p et d.
La véri ation expérimentale [44, 66℄ de ette possibilité de ontr le et la manipulation de
la dire tion du ux maximal de photoéle trons émis ont été réalisées en utilisant un s énario
plus simple. La superposition ohérente d'ondes s, p et d est formée à partir de deux hemins
orrespondant à l'absorption depuis un état dis ret respe tivement d'un photon de pulsation
! 1
=2! 2
etde deux photons de pulsation! 2
. Danslesdeux as, ladiéren ede phaseentre la
omposantepetles omposantessetdestmodi éeen hangeantladiéren ede phaseentreles
laser.On mesure lephoto ourant dans unedire tiondonnée, 'est-à-dire lenombre d'éle trons
émis dans ette dire tion. En modi ant la diéren e de phase entre les laser, on ontr le la
dire tiond'émission des photoéle trons qui est liéeàla se tione a e diérentielle dans ette
d'émission dans les états orthogonaux s, p et d, indépendante de la diéren e de phase des
laser, ne peut être ontr lée.
S énarios indépendant de la phase des laser
C'est la diéren e de phase entre les amplitudes de probabilité asso iées aux diérents
hemins onduisant àun mêmeétat nalqui déterminelanaturedes interféren es. Silapartie
du termede phase des amplitudes de probabilité provenant de laphase des laser est identique
dans les diérents hemins, alors la diéren e de phase entre les hemins est indépendante de
la diéren e de phase entre les laser. La diéren e de phase entre les laser est dans e as
sans in uen e sur la ohéren e entre les hemins et don sur les interféren es. Un tel s énario
indépendant de la phase des laser est parfois improprement quali é d'in ohérent (in oherent
interferen e ontrol). Il s'agit en faitd'un pro essus ohérent bien que l'onpuisse utiliser des
laser in ohérents.
La première méthode proposée théoriquement [30, 29℄ et véri ée expérimentalement [117℄
pour réaliserun telpro essus onsiste à oupler un état dis retinitialementpeuplé j 1 i à des
ontinuums j i
i au moyen d'un laser de pulsation ! 1
. Un se ond laser, dit de ontr le, de
pulsation ! 2
ouple alors es ontinuums à un état dis ret j 2 i initialement non-peuplé. En
présen e des deux laser la photofragmentation dans une voie se produit en suivant plusieurs
hemins.Lesdeux heminsd'ordre leplus bas par rapportaulaser de ontr le sont j 1 i +N! 1 ! j i i et j 1 i +N!1 ! j j i !2 ! j 2 i +!2 ! j i
i. Les ontributions à la fragmentation dans une
voiedonnéedesdiérents heminsinterférantentreelles,ilenrésulteunepossibilitéde ontr le.
Commedans haque heminlenombre dephotons depulsation! 2
absorbésestégal aunombre
de photonsde pulsation! 2
émis,ladiéren edephaseentrelesdeux heminsest indépendante
de la diéren e de phase entre les laser. Les produits de fragmentation sont alors ontr lés en
modi antla pulsation! 2
du laser de ontr le.
Unautres énarioprésentant des eets d'interféren e indépendantde ladiéren ede phase
des laser a été proposé etétudié expérimentalementpar Pratt [102℄. Partant d'un état dis ret
j 0 i, l'ionisation à l'énergie E = E 0 +~! 1 +~! 2
du monoxyde d'azote par deux laser de
pulsations ! 1
et ! 2
, respe tivement quasi-résonnants ave deux états dis rets j 1 i et j 2 i,
permetd'ioniser NOsuivant les deux hemins j 0 i !1 !j 1 i !2 !j E i et j 0 i !2 !j 2 i !1 !
j E i. Pratt a mesuré [102℄ pour plusieurs valeurs de ! 2
voisines de la pulsationde résonan e
de la transition j 0 i ! j 2 i le spe tre d'ionisation en fon tion de ! 1
variation en fon tion de ! 2
des pro ls d'ionisation omme résultant de l'interféren e entre les
deux hemins. Il a alors suggéréd'utiliser e s énario omme méthode de ontr le.
Contr le ohérent des produits d'ionisation dans le baryum
Wangetal.[131,132℄ont étudiélapossibilitéd'utiliser e s énariode ontr leindépendant
de la diéren e de phase des laser sur l'exemple d'atomes de baryum et pour des laser de
pulsation! 1
et! 2
tels quel'énergied'ex itationE 0
+~! 1
+~! 2
parabsorption d'unphotonde
haquelasersoitsituéeaudessusdes3premiersseuilsd'ionisation6s 1=2 ,5d 3=2 et5d 5=2 dansune
zoned'énergienefaisantpasapparaîtred'étatsautoionisants.Lesrésultatsobtenusparl'équipe
d'Elliott montraient l'existen e d'une variation des rapports de bran hement ( 'est-à-dire des
proportions des états 6s 1=2 , 5d 3=2 et 5d 5=2 des ions Ba +
produits) ainsi que des variationstrès
asymétriques du nombre d'ions produits en fon tion de la pulsation! 2
pour une pulsation ! 1
xée, auvoisinagedes résonan es ~! 1 'E 1 E 0 et~! 2 'E 2 E 0
des transitions ex itant les
états dis retsE 1
et E 2
.
La méthode théorique développée au laboratoire Aimé Cotton [90℄ permettait de al uler,
en plus de la stru ture du spe tre du baryum, les paramètres de ouplage à deux photons de
deux ouleurs diérentes viades ontinuums sans stru ture 2
, 'est-à-dire les ouplages Raman
entre les deux états dis rets j 1 i et j 2 i, et les paramètres dé rivant l'ionisation ohérente
de es états. J'ai alors entrepris d'interpréter les résultats obtenus par l'équipe d'Elliott en
développant des méthodes d'étude de la dynamique d'atomes al alino-terreux soumis à des
impulsionslaser.
Lesétatsdu ontinuumsatteintsaprèsabsorptiond'unphotonde haque ouleursontsitués
dans une zone d'énergie éloignéedes résonan es liées auxétats autoionisants.Ce i m'a permis
d'utiliser l'approximation de Weisskopf-Wigner [133℄, [32, D XIII
℄ et de dé rire l'évolution
des états dis rets au moyen d'un hamiltonien ee tif n'agissant que sur l'espa e des états
dis rets j 0 i, j 1 i et j 2 i ouplés de façon quasi-résonnante et prenant en ompte de façon
ee tiveles ouplagesave les ontinuums.L'évolutiontemporelledesamplitudesdepopulation
des états dis rets peut alors être al ulée. Le taux de population des ontinuums se déduit
alors simplement en généralisant la règle d'or de Fermi au problème de l'ionisation ohérente
de plusieurs états en présen e d'une intera tion dépendant du temps. L'interprétation par e
2
formalismede l'hamiltonienee tifdes résultatsdel'équiped'Elliott onstituelepremiervolet
des travaux présentés dans e mémoire.
Paquets d'onde autoionisants dans le al ium
Au ours de e premiertravail,vanLeeuwen, BajemaetJones [128℄ ontpublié lesrésultats
d'uneexpérien eportantsurle ontr le ohérentdel'énergieetde ladistributionangulairedes
éle tronséje tésd'unpaquetd'ondeautoionisant réédansle al iumpardeuximpulsionslaser
ourtes(400fs),identiques, ohérentes,séparées temporellementparun retard (expérien ede
Ramsey optique). La modi ation en fon tion du retard des interféren es entre les paquets
d'onde réés par ha une des impulsions laser permet le ontr le de l'énergie inétique des
photoéle trons mesurés dans une dire tion xée par rapport à la polarisation du laser. J'ai
don abordé l'interprétation quantitative des résultats obtenus dans ette se onde expérien e
on ernantle ontr le de produits d'ionisation dans un al alino-terreux.
Un paquet d'onde autoionisant est une superposition ohérente d'états propres du spe tre
ontinuqui,dansunedes riptionMQDT,peutêtredéveloppée,surlesvoiesouvertesetfermées.
L'ex itation d'un tel paquet d'onde par une impulsion laser ourte, peuple initialement des
états appartenantauxvoies fermées.Lepaquetd'ondediuseensuitedanslesvoies ouvertes et
ferméesdufaitdel'existen ede orrélationséle troniquesimportantes haquefoisquel'éle tron
externe passe à proximitédu ÷ur. Ladiusion vers lesvoies ouvertes traduitl'autoionisation
du paquet d'onde.
Dans l'expérien e de van Leeuwen, Bajema et Jones les paquets d'onde autoionisantssont
réés par le pro essus d'ex itation du ÷ur isolé (ICE) [38, 15, 53℄ spé i que aux atomes à
plusieurs éle trons a tifs et dans lequel le système est initialement dans un état où l'éle tron
externe estdans un étatde Rydbergalors quele ÷urioniqueA +
est dans unétat j i i donné.
On ex ite le ÷ur ionique au moyen d'une impulsion laser entrée sur la transition ionique
j i i!j f i, l'éle tron externeétant spe tateur de latransition.
En exploitant le fait que l'ex itation des paquets d'onde est réalisée dans des onditions
de hamp faible, la partie ex itée de la fon tion d'onde dépendant du temps s'é rit omme la
transformée de Fourier du produit d'une grandeur atomique par la transformée de Fourier du
hampéle triquedé rivantles impulsionslaser. Il en résulte quelaparamétrisationMQDT de
la grandeur atomique onduit à une des rition MQDT de la partie perturbée de la fon tion
dépendant du temps ou MQDT dépendant du temps ([106, 52, 124℄). L'appli ation de ette
méthode MQDTdépendant du tempsau as de l'expérien ede vanLeeuwen, BajemaetJones
onstitue le deuxièmevolet de ette thèse.
Méthode non-perturbative d'étude de la dynamique
d'ex i-tation d'états autoionisants
Les méthodes utilisées pour interpréter les expérien es réalisées par l'équipe d'Elliott et
par van Leeuwen et al. orrespondaient à deux situations parti ulières. Dans la première, on
étudiaitl'évolutionnon-perturbatived'atomesionisésdansunezoned'énergieéloignéedesétats
autoionisants. Dans la se onde, laspé i té de l'évolution dans des onditions de hamp faible
permettait de traiter l'ionisation en présen e d'états autoionisants de largeur plus faible que
l'étendue spe trale de l'impulsionlaser.
Letraitementparl'approximationdeWeisskopf-Wignerrepose surl'hypothèsed'impulsions
laser dont la durée p
est su samment longue et l'intensité su samment faible pour qu'à la
fois p
et les temps ara téristiques des phénomènes induits par l'intera tion atome- hamp
éle tromagnétique (os illation de Rabi, photoionisation,...) soient beau oup plus longs que
l'inverse 1
de l'é helle ara téristique de la variation en énergie des ouplages des états
dis retsave les ontinuums.La ombinaisondelaméthodevariationnelledematri eRetdela
MQDT permet de al ulerles états physiques de diusion j E
i des ontinuums atomiques
(modèle ouplé). Les ouplages de es états ave les états dis rets varient rapidement ave
l'énergie au voisinage des états autoionisants sur une é helle d'énergie r
orrespondant à la
largeurdesrésonan esprésentes danslazoned'énergieex itée, 'est-à-direàl'inversedesdurées
de viedes étatsautoionisantsmisen jeu.Untravailméthodologiqueétaitdon né essairepour
parvenir à al uler,à partir de la des ription MQDTde lastru ture atomique,l'évolutiondes
amplitudes de populationdes états des atomes al alino-terreux soumis à des impulsionslaser
ourtes, dans des onditions non-perturbatives.
A nderésoudre eproblème j'aifaitappelàunedes riptionde l'évolutiondusystèmesous
uneformesimilaireà elleapparaissantdansles al ulsd'intera tionde on guration[49℄dans
lesquelsl'hamiltonienatomiqueH at
=H
0
+Vs'é rit ommelasommed'unhamiltonienH 0
et
d'un ouplage V.Lesétatspropresde l'hamiltonienH 0
sont detrois sortes.Lesétatsliésj n i
dont l'énergie E n
est située en dessous du premier seuil d'ionisation orrespondent aux états
dis retsduspe treatomique.Lesétatsliésj j idontl'énergieE j
seuil d'ionisation orrespondentauxétats autoionisants.Ces états sont oupléspar le ouplage
V aux ontinuumsj E; idu spe trede H 0
, esderniers onstituantletroisièmetyped'états
propres de H 0
. Le ouplage V jE
d'un état dis ret j j i ave un ontinuum j E; i varie
lentementave l'énergieE loindu seuil d'ionisationE
de lavoie ,il en résulteque l'on peut
appliquer l'approximation de Weisskopf-Wigner à e modèle dé ouplé de l'atome, introduisant
ainsi un hamiltonien ee tif omplexe, non hermitique, onstruit sur la base des états j n i
et j j i. Dans la base des états propres j p i de l'hamiltonien ee tif sans hamp, l'é riture
des équations d'évolution sous l'eet du hamp éle tromagnétique permet de faire apparaître
les énergies omplexesE p
des états propres j p i, leurs ouplages dipolaires D pn
ave les états
dis rets j n i et leurs ouplages V p
ave les ontinuums j E; i. L'é riture dans la base des
états propres de l'hamiltonien ee tif sans hamp de l'opérateur dépla ement lumineux (E)
des étatsdis retsj n i,de l'opérateurde diusionphysiqueS(E)etdeladensitéd s
(E)d'états
dis rets j j i dans les ontinuums atomiquesmontre queles prolongementsanalytiques de es
grandeurs physiquesdansleplan des énergies omplexesont desp les auxpositions omplexes
E p
. De plus, les résidus asso iés à un p le p donné permettent de déterminer les ouplages
dipolaires D pn
de e p leave lesétats dis retsetles ouplages V p
dus àl'intera tion V entre
le p le p et les ontinuums. L'équivalen e entre le modèle ouplé et la des ription dé ouplée
permettantd'étudierl'évolutiondusystèmeatomiqueestmiseàpro tpourextrairelesénergies
omplexes E p et les paramètres D pn et V p
des expressions MQDT des trois grandeurs (E),
S(E) et d s
(E).
La partie méthodologique on ernant le développement à partir du formalisme MQDT
et la validation d'une méthode permettant d'étudier l'évolution, dans des onditions
non-perturbatives, del'ex itationd'atomes al alino-terreuxsoumisàdes impulsions ourtes
onsti-tue letroisièmevolet de ettethèse.
Organisation du mémoire
Le premier hapitre présente le traitement semi- lassique de l'intera tion d'un système
atomique(traitéquantiquement)ave un hampéle tromagnétiquedépendantdutemps(traité
lassiquement).On y spé i e d'abord les hypothèses né essairesà e traitementsemi- lassique
ainsi que les approximations usuelles, approximation dipolaire éle trique et approximation du
hamp tournant, utiliséesdans le reste de e mémoire.La suite du hapitre présente des
parti ulierl'expression formellede lafon tiond'onde al uléeaupremierordrede lathéoriedes
perturbationslorsquele hampestsu sammentfaiblepourpouvoirêtretraité ommeune
per-turbation de l'hamiltonienatomique H at
. On en déduit l'expression générale du résultat d'une
expérien ede Ramsey optique àun photon en hampfaible.On rappelleaussi, pour un atome
initialementdansunétatdis ret,l'expressiondelatransforméedeLapla edelafon tiond'onde
permettant d'étudier l'évolution de l'atomesoumis à une impulsionlaser d'intensité onstante
dans des onditions de hamp fort. On démontre ensuite que l'évolution non perturbative de
l'atome sous l'a tion d'un hamp dépendant du temps peut être approximée au moyen d'une
pro édure de dis rétisation temporelle de l'impulsion ramenant le al ul de l'évolution à une
su ession de al uls sur des intervalles de temps,pour ha un desquelsl'amplitude du hamp
est onstante.
Le deuxième hapitre présente l'approximation de Weisskopf-Wigner, et ses onditions
d'appli ation. Cette approximation permet de dé nir un hamiltonien ee tif non-hermitique
permettant de dé rire l'évolution des états dis rets. On dis ute ensuite de résultats généraux
on ernantl'approximationadiabatiquepourunhamiltonienee tifnon-hermitiquedépendant
du temps; e i nous permettra d'interpréter l'expérien e de l'équipe d'Elliott. On introduit
ensuitelemodèledé ouplé de l'atomeetoné ritleséquationsd'évolutionsousl'eet du hamp
éle tromagnétique dans la base des états propres j p i de l'hamiltonien ee tif sans hamp.
On donneégalementl'expression de l'opérateurdépla ementlumineux (E)des états dis rets
j n i,de l'opérateurde diusionphysiqueS(E) etde la densitéd'étatsdis rets d s
(E)dans les
ontinuums atomiques.
Letroisième hapitreprésentela ombinaisonde laméthodedematri eRetdelaMQDT
utiliséepour déterminerlastru ture atomiqueetlesspe tres d'ionisationàun photondans les
al alino-terreux.A n d'êtrele plus pro he possible du modèle dé ouplé qui privilégie les états
dis rets j j i, la MQDT y est présentée dans une formulation qui privilégie les voies fermées
dansl'é ritureMQDTdesobservablesphysiques.Cetteformulation[86℄,appeléereprésentation
de la MQDT, est omplètement équivalente à la présentation usuelle de Seaton [111, 6℄ qui
privilégieles voies ouvertes dans l'é riture. On présente ensuitela paramétrisationMQDTdes
éléments de matri e du dip le et des se tions e a es diérentielles de photoionisation aussi
bien pour des pro essus d'ex itation ICE que pour la photoionisationd'un état profond.
Le début du quatrième hapitre présente la paramétrisation MQDT de l'opérateur
dé-pla ement lumineux pour les pro essus ICE et pour la photoionisation d'un état profond. On
dis ute la méthode utilisée pour déterminer les énergies omplexes E p
la paramétrisation MQDT de la densité d'états dis rets. De même on montre omment les
paramètres D pn
et V p
dé rivant la dynamique dans le modèle dé ouplé peuvent être déduits
respe tivement des résultats MQDT pour l'opérateur dépla ement lumineux et de la matri e
de diusionphysique.L'introdu tiond'unnombre ni de p les danslemodèlepermetde
déve-lopper, en fon tion des paramètres E p
, D pn
et V p
, les grandeurs spe tros opiques (opérateur
dépla ementlumineux,dip les physiques). On étudie la onvergen e de es développements en
fon tion du nombre de p les introduits. On montre en parti ulier que la pro édure onsistant
à a élérer la onvergen e des développementsen fon tiondu nombre de p les en imposant au
développement d'avoir la même valeur que lerésultat MQDT à l'énergie d'ex itation du laser
( 'est-à-dire en prenantun développement de Mittag-Le erde laquantité àl'énergie
d'ex ita-tiondulaser)revientàprendreen ompteles ontributionsdetouslesp lesex lusdu al ul,en
supposantque l'évolution des amplitudes de populationde es p les suit de façonadiabatique
elle de l'état fondamental.La dernière partiede e hapitre relie lesp les déterminés àpartir
du al ulMQDT auxétats de Siegert,etprésente lesbases formelles d'un al ul de matri eR
permettantde al uleràpartirdesparamètresMQDTlesdiérentesobservables.L'appli ation
de ette méthode pourraits'avérer né essaire pour étudierdes spe tres,lorsque lesparamètres
MQDT dépendent de l'énergie.
Les résultats on ernant l'interprétation de l'expérien e de ontr le ohérent réalisée dans
le baryum par l'équipe d'Elliott sont présentés dans le inquième hapitre. On étudie en
parti ulier la dynamique d'évolution dans le adre d'une approximation adiabatique valable
dans les onditions de l'expérien e et on montre omment prendre en ompte les eets de
l'émission spontanée, de la distribution spatiale d'intensité dans les laser et de la stru ture
hyper ne.
L'étude des paquets d'onde autoionisants en hamp faible et l'interprétation des résultats
de l'expérien e de van Leeuwen et al. dans le adre de la MQDT dépendant du temps sont
présentées dans le sixième hapitre. Y gurent aussi des résultats théoriques on ernant
la dépendan e temporelle du ux radial d'éle trons re ueillis dans une dire tion donnée par
rapport à la dire tion de polarisation de l'ex itation laser et à des distan es ma ros opiques,
dans les paquets d'onde autoionisants réés dans le al iumpar une ex itation ICE. Pour es
distan es ma ros opiques on met en éviden e des eets de dispersion liés à la propagation
du paquet d'onde, eets qui peuvent être ontr lés en utilisant des impulsions présentant un
Leseptième hapitreest onsa réàlaméthodeétudiantl'évolutiondu systèmeatomique
en introduisant lesp les de résonan e. On reprend tout d'abord l'étude menée au hapitre VI
pour des paquets d'onde autoionisants dans le al ium ex ités dans des onditions de hamp
faible, mais en analysant les ontributions des p les et les eets d'interféren e entre p les
diérents.Lasuitedu hapitreest onsa réeàlaprésentationde testsdevaliditédelaméthode
d'étude del'évolutionbasée sur lesp lesde résonan e.On omparelesrésultatsobtenuspar la
méthode basée sur lesp les d'une part ave lesrésultats obtenus par laMQDT dépendant du
temps en hamp faible, d'autre part ave les résultats obtenus par transformation de Lapla e
lorsque le hamp non-perturbatif est d'amplitude onstante. Finalement quelques exemples
de al ul de la dynamique des paquets d'onde autoionisants ex ités dans des onditions
Chapitre
I
Traitements semi- lassiques des phénomènes
dépendant du temps
Lebut de e hapitreest de présenter de manièregénérale ( 'est-à-dire sans spé i er
expli- itement la stru ture interne du système matériel) le formalisme et les onditions de validité
des approximations usuelles de l'étude des pro essus ohérents d'intera tion entre un système
matériel atomique traité quantiquement et un hamp éle tromagnétique traité lassiquement.
Ce traitement lassique du rayonnement éle tromagnétique est justi é [93, XXI-30℄ lorsque
lestransfertsd'énergieentrel'atomeetlerayonnementsontgrandsparrapportàl'énergied'un
photon émis ou absorbé. Le ara tère dis ontinu de es transferts est alors négligeable; 'est
une approximationdes fortes intensitéset des basses fréquen es, justi éelorsque le nombre de
photon dans un volume de l'ordre du ubede lalongueur d'ondeest bien supérieur à un.
Ce formalisme dit semi- lassique privilégie d'une ertaine manière le système matériel
par rapport au hamp éle tromagnétique qui est dé rit omme un hamp extérieur agissant
sur e système. Cette a tion s'exprime au moyen d'un hamiltonien d'intera tion qui dépend
du hamp imposé et qui n'agit que sur les états du système alors que dans le formalisme
omplètement quantique, l'hamiltonien d'intera tion ae te aussi les états du hamp au
moyen des opérateurs de réation et de destru tion d'un photon dans un mode donné [35,
Appendi e 1℄. Le formalismesemi- lassique est par onséquent bien adapté à l'interprétation
des expérien es où l'on a un système initialement dans un état déterminé soumis à l'a tion
d'une impulsion laser et où l'on s'intéresse uniquement à l'évolution ultérieure du système
sans se préo uper de elle du hamp. Le rayonnement in ident est alors onsidéré omme
une sour e ma ros opique et on néglige tout phénomène d'absorption ou d'ampli ation
ontr le ohérent que nous essayerons d'interpréter ultérieurement. On s'intéressera plus
pré isement, dans les systèmes atomiques, à des transitions dipolaires éle triques induites par
des impulsions laser d'une durée allant de quelques entaines de femtose ondes à quelques
nanose ondes, dont les fréquen es sont voisines des fréquen es optiques, UV et IR pro he, et
dans un domaine intermédiaire d'intensité au sens oùles hamps sont faiblesdevant le hamp
intra-atomique mais éventuellement su samment forts pour permettre d'observer des eets
non-perturbatifs dans l'intera tion atome-rayonnement. Les résultats théoriques obtenus dans
e hapitre serviront de base formelle aux hapitres suivantsoù l'on s'intéressera àun système
matérielparti ulier : lesal alino-terreux.
I.1 Intera tion d'un système de harges ave un hamp
éle tromagnétique lassique
Nous allons dans un premier temps pré iser leshypothèses permettant d'exprimer
l'hamil-tonien d'intera tion entre le système de harges et le hamp éle tromagnétique lassique sous
laformedipolaireéle trique. Pour e faireonprésentera lesgrandeslignes duformalismeetles
approximations réalisées a n d'obtenir l'hamiltonien de Pauli, puis l'approximation dipolaire.
Le but her hé est de pré iser expli itement quelles sont les onditions de validité d'un tel
traitement et non pas de donner une présentation rigoureuse et exhaustive du formalisme de
l'intera tion hamp-matièrepourlaquelleonsereporteraauxnombreux ouvragesde référen e,
parti ulièrement[93, 62,34, 35℄.
I.1.1 Limite non-relativiste : l'hamiltonien de Breit-Pauli
Onsupposequel'onaséparélemouvementdesN éle tronsd'unsystèmede hargesde elui
du noyau, leséle trons sont alors ara térisés [14,37℄ par leur masseréduite metleur harge
e. On s'intéresse à l'évolution non-relativiste 1
du système d'éle trons (le nombre d'éle trons
du système est onstant), 'est-à-dire que les N éle trons ont des vitesses faibles devant la
élérité de la lumière dans le vide, et qu'ils interagissent ave des photons non-relativistes,
'est-à-direayantuneénergiepetitedevantl'énergiedemassem 2
deséle trons.L'expressionde
lalimite non-relativistede l'équation de Dira [93, XXI-29℄ permet d'obtenir un hamiltonien
1
On emploiera la dénomination lassique par opposition à quantique et non pas vis à vis du ara tère
ee tif pour l'évolution d'un système d'éle trons dans le hamp d'un ou plusieurs noyaux et
interagissant ave le hamp éle tromagnétique lassique extérieur 2
.
L'ordre le plus bas (en fon tion de la variable 1 2
) orrespond simplement à l'énergie de
masse Nm 2
des N éle trons.
Sioné ritle hampdanslajaugede Coulombdé niepar ! r ! A( ! r ;t)=0[35,Appendi e3℄, le potentiel ve teur ! A( !
r ;t) est purement transverse et le potentiel s alaire U( !
r ;t) oïn ide
ave le potentiel de Coulomb asso ié à la distribution de harges. Le terme d'ordre suivant
appeléhamiltonien de Pauli s'é rit alors
N X =1 1 2 h ! p + ! A e ( ! r ) i 2 + N X =1 h g 2 ! s ! B( ! r )+U( ! r ) i (I.1)
en unités atomiques, où g
' 2 est le fa teur gyromagnétique de l'éle tron, ! r , ! s et ! p
sont respe tivement les opérateurs de position, de spin et d'impulsion asso iés à l'éle tron .
! A e ( ! r )et ! B( ! r
) sont respe tivementle potentielve teur transverse etle hamp magnétique.
Finalementleterme 3 U( ! r
) estlasomme del'énergie oulombienned'intera tion des éle trons
ave leou lesnoyaux etde l'énergie oulombienne
N X =1 X 6= 1 2 1 ! r ! r (I.2)
de répulsion des éle trons entre eux. Le développement à l'ordre suivant [93, XX-34℄ ferait
apparaîtrelespremières orre tionsrelativistesd'ordre
α
2(
α
est la onstantede stru ture ne, voirA.1), 'est-à-direl'intera tionspin-orbite,letermede Darwinetletermedevariationdelamasseave lavitessepourunsystèmeàunéle tronsoumisàunpotentieléle trostatique entral.
Pour unsystème àdeux éle trons, lalimitenon-relativistede l'équationde Breit-Dira [14,eq.
39.14℄ permet d'obtenir les orre tions d'ordre
α
2à l'intera tion éle trostatique instantanée
I.2 entre deux éle trons. Ces orre tions sont données par les opérateurs d'intera tion à deux
parti ules tenant ompte des orre tions radiatives par é hange de photons virtuels entre les
éle trons : le terme de Darwin ( Æ( ! r ! r
)), l'intera tion à deux parti ules spin-orbite, les
intera tionsspin-autre orbite, orbite-orbite,spin-spin etspin-spin onta t.
En développant le terme d'énergie inétique des éle trons et en utilisant le fait que le
po-tentielve teur ommuteave l'opérateurimpulsion,l'hamiltoniende PauliI.1seréé rit omme
2
Une présentation similaire ave un hamp éle tromagnétique quanti é utilise la limite non-relativiste de
l'hamiltonienquantiquerelativisteen jaugede Coulomb[34, B V
℄, sauf mention ontraireonometi iet dans
lasuitele hampquanti é. 3
Onnetientpas ompte dansU del'énergie oulombiennepropredeséle tronsquis'exprimedansl'espa e
la somme de l'hamiltonien du système sans hamp (auquel il faudrait ajouter les orre tions
relativistesa n de représenter orre tement lastru ture atomique)
N X =1 ! p 2 2 +U( ! r ) (I.3) etd'un hamiltonien H I
d'intera tion ave le hamp extérieur
H I = H I1 +H I2 +H S I1 = N X =1 ! p ! A e ( ! r )+ N X =1 1 2 ! A e ( ! r ) 2 + N X =1 g 2 ! s ! B( ! r ): (I.4) Le terme H S I1 de l'hamiltonien d'intera tion H I
traduit l'intera tion du hamp magnétique
ave lemomentmagnétiquede spin deséle trons. Ilapparaîtnaturellementdans lalimite
non-relativiste de la théorie de Dira , alors qu'il aurait fallu l'introduire de manière ad ho [34,
III.D℄ dans une théorieobtenue par quanti ation anonique de la formulationlagrangienne
lassiqueen jaugede Coulomb.Enprésen e de hampmagnétique !
B uniformelesdeux termes
H I1 +H S I1 = P 1 2 ! ` +2 ! s !
B onstituent l'hamiltonien paramagnétique[33, D VII
℄
as-so ié à l'énergie de ouplage entre le moment magnétique permanent de l'atome et le hamp
magnétique !
B.Leterme H I2
quadratiqueen hamp orrespond à l'énergie inétiquede
vibra-tionasso iéeàl'os illationfor éedeséle tronsdansle hamptransverse.Enprésen ede hamp
magnétique ! B uniforme, H I2 peut s'é rire H I2 = P 1 8 ! r ? 2 ! B 2 ave ! r ? la proje tion sur le planperpendi ulaireà ! B de ! r .H I2
représentel'hamiltoniendiamagnétique[33,D VII
℄,ilest
asso iéà l'énergie de ouplage entre le moment magnétique induit dans l'atome par le hamp
magnétique !
B,et e même hamp !
B.
I.1.2 Champ quanti é
A n de tenir ompte du phénomène d'émission spontanée lorsque la durée des pro essus
étudiésn'estpaspetitedevantladuréedevieradiativedes étatsmisenjeu,ilfauttenir ompte
simultanément du hamp extérieur lassique et des modes quanti és du hamp.
Enjaugede Coulomb,onséparele hamptransverseen deux ontributions, elledesmodes
quanti és du hamp (pour laquelle onutilise l'indi e?) et elle due au hamp extérieur traité
lassiquement 4
(auquel on asso ie l'indi e e). L'hamiltonien d'évolution du système matériel
et du hamp transverse en présen e du hamp extérieur s'é rit alors omme la somme de
4
Ontrouveradans[35, Ex.17℄l'équivalen edutraitement omplétementquantiquedel'intera tion
l'hamiltonienasso iéàl'intera tiondu systèmematérieletdu hampquanti é[35,Appendi e
3, eq. 40℄auquel s'ajoute lestermes d'intera tion entre l'atome etle hamp extérieur
H e I = N X =1 ! p ! A e ( ! r ;t)+ N X =1 1 2 ! A e ( ! r ;t) 2 + N X =1 g 2 ! s ! B e ( ! r ;t) + N X =1 ! A e ( ! r ;t) ! A ? ( ! r ): (I.5)
Lederniertermede ethamiltoniend'intera tion,quifaitinterveniràlafoisle hampquanti é
et le hamp extérieur orrespond aux transitions Raman spontanées. Étant entendu que l'on
ne s'intéressera pas à es phénomènes, on négligeral'eet de e terme par lasuite. On a alors
séparé l'évolution due au hampextérieur de l'évolutionlibre du système.
Le formalisme quantique de la matri e densité [33, E III
℄ est bien adapté lorqu'on
s'inté-resse seulementàl'évolutiondel'atomeetpas aux orrélationsapparaissantentre l'atomeetle
hampquanti é. Leseets du ouplage de l'atomeave le hamp quanti é sontpris en ompte
en introduisant des termes de relaxation dans les équations d'évolution [35, IV℄ traduisant
les phénomènesd'émission spontanée. Dansl'approximationdes vitesses de variation
indépen-dantes [35, V.A.2℄, il est possible d'ajouter indépendamment les vitesses de variation de la
matri e densité asso iées aux ouplages de l'atome ave le hamp extérieur et ave le hamp
quanti é, on obtient ainsi les équations de Blo h optiques. Cette approximation demeure
va-lable tant que les fréquen es ara téristiques des phénomènes induits par le hamp extérieur
(fréquen es de Rabi, inverses des taux d'ionisation) restent faibles devant les fréquen es des
photons émis spontanément.
Nousreviendrons sur leséquations de Blo h optiques dans le hapitre V lorsque nous
étu-dieronsuneexpérien edanslaquellelesduréesdesimpulsionslasersontde l'ordrede ladizaine
de nanose ondes, 'est-à-dire de l'ordre des durées de vie radiatives.
I.1.3 Hamiltonien dipolaire éle trique
A n de réexprimer les termes d'intera tion ave le hamp éle tromagnétique extérieur du
système S de harges dont le entre de gravité est situé en ! r
S
sous une forme plus suggestive,
il estpratique de réé rirelepotentielve teur hampextérieurdans lajaugede Göppert-Mayer
[62,II.3et4℄et[34, IV.B.3℄.Lepassagedans lanouvellereprésentations'ee tue aumoyen
de latransformation unitaire T(t)=exp ( +i N X ( ! r ! r S ) ! A e ( ! r S ;t) ) (I.6)
qui a pour eet [34, A IV
.1℄de transformer le potentiel ve teur ! A e ( ! r ;t) dans l'hamiltonien d'intera tion en ! A e ( ! r ;t) ! A e ( ! r S ;t) qui s'annule en ! r = ! r S
. Comme ette transformation
orrespond à un hangement de jauge ellelaisse évidemment le hamp magnétique et don le
terme de ouplage ave le moment magnétique de spin in hangés. Elle fait de plus apparaître
l'hamiltoniend'intera tion ave le hamp sous la formed'intera tion dipolaire éle triqueé rit
dans lajauge longueur
H ` dip = ! d ! E e ( ! r S ;t) (I.7) où ! d = X ! r ! r S (I.8)
est l'opérateurmomentdipolaire éle triquedu système.
Pourun hamp extérieurdu domaineoptiqueoude l'ultravioletpro he, lalongueur d'onde
est supérieure à la entaine de nanomètres, elle est alors très grande devant l'extension
spatiale (quelques nanomètres) des états atomiques peu ex ités 5
. Il est alors légitime de faire
l'approximationdes grandes longueurs d'onde, 'est-à-direde onsidérer a
0
1, e qui onduit
à ne onserver dans l'hamiltonien d'intera tion que les ordres les plus bas en fon tion de a
0 .
Le terme d'ordre le plus bas est le terme dipolaire éle trique H dip
, à l'ordre suivant on fait
alors apparaître les ouplages dipolaire magnétique et quadrupolaire éle trique [32, A XIII
℄
quipeuvent jouerun r le important lorsquepour des raisons de symétrie l'élément de matri e
dipolaireéle trique entre deux états est nul [62, II.5℄.
Paroppositionà l'expression I.7, l'hamiltonien d'intera tion
H v dip = X ! p ! A e ( ! r S ;t) (I.9)
apparaissant à l'approximation des grandes longueurs d'onde dans l'équation I.5 est appelé
hamiltoniendipolaire éle triquedans lajaugevitesse.
Ilexiste unetroisièmeformede l'hamiltoniend'intera tiondipolaireéle triqueobtenu,dans
l'approximationdes grandes longueursd'onde, en ee tuantla transformationde Henneberger
([34, IV.B.4℄, [57℄). On introduit une translation dans l'espa edes positionsdes éle trons
! r ! ! R = ! r + ! X (t) (I.10) où ! X
(t) est solution de l'équation d 2 ! X (t) dt 2 = ! E e ( ! r S
;t) traduisant l'os illationd'un éle tron
libre dans le hamp éle trique externe. L'hamiltoniend'intera tion dipolaire éle trique sous la
5
Pourl'atomed'hydrogène,l'extension spatialedesétatsdis retsestdel'ordreden 2
a 0
oùnestlenombre
quantiqueprin ipaleta 0
'0;5310 10
forme a élérationest alors H a dip = X V( ! r + ! X (t)) V( ! r )+ 1 2 d ! X (t) dt 2 ! : (I.11)
Les trois formes vitesse, longueur et a élérationsont équivalentes ([34, B IV
etE IV
℄).
Laformelongueurestlamieuxadaptéeàlarégionpro hedu ÷uratomique(max(j ! r
j))!
0) ar ellepeut alors être traitée ommeune perturbation.La formea élération tendant vers
0 à grande distan e est utilisée dans l'étude des états de Rydberg très ex ités ou pour les
états du ontinuum. Le ara tère d'intera tion à ourte portée de H a dip
a permis à
Giusti-Suzor et Zoller [57℄ de traiter l'intera tion entre états de Rydberg et un hamp laser intense
omme un problème de diusion dans lequel la matri e radiative de réa tion ouple des voies
de fragmentation de type oulombien.
Cormier et Lambropoulos [39℄ ont montré que l'expression H v dip
est mieux adaptée à la
résolution non perturbative de l'équation de S hrödinger dépendant du temps en présen e de
hamp laser intense, ar en jauge vitesse, l'impulsion ! p
de l'éle tron devient une quantité
lentementvariable puisqu'onasoustraitle momentasso iéàun éle tron libre os illantdansle
hampéle tromagnétique.
Parlasuitenous nouslimiteronsau as de l'approximation dipolaire éle trique oùseulesles
transitions dipolaires éle triques jouentun r le dans la dynamiquedu système, onne onserve
alors dans l'hamiltonien d'intera tion que le terme dipolaire éle trique H ` dip
dans la jauge
longueur. Pour un hamp polarisé 6 ! E( ! r S ;t) =E( ! r S ;t) ! q + : : (I.12) de polarisation ! q , ondé nit l'opérateur 7 D = ! d ! q : (I.13)
On peut alors réé rirele ouplage dipolaire
H ` dip (t)=D E( ! r S ;t)+h: ; (I.14)
sous le forme du produit de l'opérateur D qui ne dépend que du système matériel et de la
polarisation du hamp in ident par l'amplitude s alaire et dépendant du temps E( ! r S ;t) du hampéle tromagnétique en ! r S . 6
L'expression : :signi el'expression omplexe onjuguédel'expressionpré édente. 7
Lesméthodesappliquéesdanslasuitesegénéraliseraientfa ilementàladynamiqueimposée
par des transitions dipolaires magnétiques, outout autre pro essus dont l'hamiltonien
d'inter-a tions'exprimesous laformedu produit d'un opérateuragissant sur lesétats du systèmepar
une amplitude s alairedu hamp.
Finalement dans le adre de l'approximation dipolaire éle trique, l'intera tion du système
S entré en ! r
S
ave le hamp éle tromagnétique ! E( ! r ;t) de polarisation ! q
est dé rite par
l'hamiltoniendépendant du temps
H(t)=H at
+V(t) (I.15)
ave H at
l'hamiltonien du système matériel sans hamp extérieur (auquel on ajoute
éventuel-lement lestermes dus au hamp quanti é si l'on doit tenir omptede l'émissionspontanée) et
V(t)= ! d ! E( ! r S ;t)=D E( ! r S
;t)+h: : l'hamiltonien d'intera tion dipolaireéle trique.
I.1.4 Approximation du hamp tournant
Avant de nous intéresser aux expressions de l'opérateur d'évolution, nous allons introduire
une approximation ouramment utilisée dans l'étude des phénomènes résonnants ou
quasi-résonnants:l'approximationdu hamptournant [2,31℄.Remarquons toutd'abordquela
déno-minationpour des fréquen es optiquesde l'approximation dis utée i in'est pas unique,qu'elle
estappeléeapproximationsé ulaireparC.Cohen-Tannoudjietal.dans[32,C XIII
℄et[31℄,
alorsqueG.Grynberg,A. Aspe t etC. Fabreremarquentqu'ilserait plusapproprié de
l'appe-lerapproximationquasi-résonnantedans [62,1.4℄. On onservera parlasuite l'appellation
d'approximationdu hamp tournant(enanglais onparlede RotatingWaveApproximation
[2℄).
I.1.4.a Transitions quasi-résonnantes entre états dis rets
On onsidère i i un système dont l'hamiltonien sans hamp H at
omporte uniquement un
spe tre dis ret à deux niveaux onstitué par les états propres j k i et j n i respe tivement
ave l'énergieE k
et E n
. La pro édurese généralise fa ilement à un spe tre présentant plus de
2 états dis rets ou en présen e d'un spe tre ontinu en ajoutant les ontinuums à la base des
étatsdu système.Lades riptiondu systèmedansleformalismeve teurd'étatsupposequel'on
puisse négligerl'émission spontanée, 'est-à-dire que l'évolution est étudiéesur des temps très
hampin ident 8 E( ! r S ;t)=E( ! r S ;t) e i! l t (I.16) ommeleproduitde e i! l t
paruneamplitude omplexeE( ! r
S
;t)lentementvariableparrapport
à lapériode optique T l = 2 ! l
du laser,la proje tion de l'équationde S hrödingerdépendant du
temps asso iée à l'hamiltonienI.15 sur une base fj k i;j n i;g s'é rit
8 > > > < > > > : i d dt h n j (t) i=E n h n j (t) i+h n jDj k i h k j (t) i E( ! r S ;t)e i! l t +h: : i d dt h k j (t) i=E k h k j (t) i+h k jDj n i h n j (t) i E( ! r S ;t) e i! l t +h: : (I.17) En dé nissant b n (t)=h n j (t) i e iEnt etb k (t)=h k j (t) ie iE k t (I.18)
et lespulsations de Bohr
! nk =E n E k et! kn =E k E n ; (I.19) on obtient alors 8 > > > < > > > : i d dt b n (t)=h n jDj k i b k (t) E( ! r S ;t) e i(! l ! nk )t +h n jD y j k i b k (t) E ( ! r S ;t)e i(! l +! nk )t i d dt b k (t)=h k jDj n i b n (t) E( ! r S ;t) e i(! l +! nk )t +h k jD y j n i b n (t) E ( ! r S ;t) e i(! l ! nk )t : (I.20)
Si la transition k ! n est résonnante ou quasi-résonnante, on a j! l ! nk j ! l , il est alors
possibledenégligerdansl'équationI.20lestermesanti-résonnants orrespondantaux
exponen-tiellesos illantàlapulsation! l
+! nk
'2! l
devantlestermesrésonnants os illantàlapulsation
! l
! nk
. Physiquement, négliger es termes anti-résonnants revientà ne pas tenir ompte des
pro essus où l'on passe de l'état j k i (j n i) à l'état j n i (j k i) d'énergie supérieure
(infé-rieure)par émission(absorption)d'unphoton [35,VI.B.3.b℄. Cetteapproximationn'a de sens
que siilest légitime,en plus de la ondition de quasi-résonan e, de négligerlamoyenne sur un
tempsvoisinde lapériodeoptique dutermeh n jD y j k i b k (t)E ( ! r S ;t)e i(! l +! nk )t .Ilest don
né essaire que l'amplitude de populationb k
(t) de l'état j k i et l'enveloppelentementvariable
du hamp E( ! r
S
;t) varient lentement par rapportàla période optique T l
.
Pour résumer, dans le as d'un hamp dépendant du temps, l'approximation du hamp
tournant onsistant à négliger lestermes anti-résonnants dans l'équation d'évolution né essite
trois hypothèses :
8
la ondition de quasi-résonan e, j! l ! nk j ! l ;
la ondition de hamp pas trop intense, au sens où le hamp induit sur le système une
dynamique (typiquement ara térisée par une pulsation de Rabi) lente par rapport à la
pulsationoptique;
la ondition d'enveloppe lentement variable du hamp, E( ! r
S
;t) doit varier lentement par
rapport àla période optique 2
! l
.
Alorsl'équation d'évolutiondans l'approximationdu hamp tournant s'é rit
8 > > > < > > > : i d dt b n (t)=h n jDj k i b k (t)E( ! r S ;t) e i(! l ! nk )t i d dt b k (t) =h k jD y j n i b n (t) E ( ! r S ;t) e i(! l ! nk )t : (I.21)
Dansledomaineoptiquepourdestransitionsentreétatsdis rets,l'approximationdu hamp
tournantpermetdeprendreen omptelesdépla ementslumineuxdusauxrayonnements
quasi-résonnants[31℄,maisnégligelesdépla ementsditsdeBlo h-Siegertdespositionsdesrésonan es
provenant des termes anti-résonnants négligés [35, A VI
.4.b℄. Ces dépla ements sont
négli-geables tant que les pulsations de Rabisont faibles omparées à l'é art des niveaux quiest de
l'ordre des énergies des photons optiques, e qui reste une bonne approximation jusqu'à des
intensitésde l'ordre de I '10 15
W m
2 .
I.1.4.b Transitions entre états dis rets et ontinuums
Javanainen[72℄ a analysé les onditions de validité de l'approximation du hamp tournant
pour des transitions induites par laser entre états liés et ontinuums. Il a montré que ette
approximation est valabletant que lestaux d'ionisationproportionnels à l'intensitélumineuse
I j ! Ej
2
sontfaibles devant la pulsationoptique ! l
.
I.1.4. É arts à l'approximation du hamp tournant
Les é arts à l'approximation du hamp tournant ont d'abord été étudiés dans le domaine
des radiofréquen es pour des transitions quasi-résonnantes dipolaires magnétiques entre états
dis rets, oùlestermesanti-résonnantsproduisent undépla ementdes positions desrésonan es
ditdépla ementdeBlo h-Siegert[35,A VI
℄.Dansledomaineoptique,lesintensitésI j ! Ej 2 lumineusesné essaires (I ' 10 15 W m 2
)a n d'avoir des pulsationsde Rabivoisinesdes
pul-sations optiques sont telles que de nombreux phénomènes (ionisation, transitions
