Problèmes relatifs à la température souterraine

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Submitted on 1 Jan 1878

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W. Thomson

To cite this version:

W. Thomson. Problèmes relatifs à la température souterraine. J. Phys. Theor. Appl., 1878, 7 (1),

pp.397-402. �10.1051/jphystap:018780070039700�. �jpa-00237463�

PROBLÈMES RELATIFS A LA TEMPÉRATURE SOUTERRAINE;

PAR SIR W. THOMSON

(1).

( Traduit par M. Bouty.)

PROBLÈME 1. ^- On entretient Ull

foyer

^{sar une}

petite portion

de la

surface plane inrltffinie

^{dune inasse (le roc}

homogène,

^{et au}

bout d’un certain te171pS ^{on eleint le}

foyer,

^{cle telle sorte} que lct totalité de l’aire

platie

^{dit roc demeure}

exposée

^{à l’air libre.}

Trouver la distribution des

températures

^à l’intérieur dit ^roc.

PROBLÈME II. ²⁰¹³ Trouver

l’effet

^cl’m2e

jozcnnée

^{de chaleur e.x-}

ceptionnelle

^{sur la}

tezrLpénatzcne

^{interne d’une telle illasse de roc.}

PROBLÈME III. ^-

Eifet

séculaire o’une cclténcctiol2 soudaine oe la

tenlpératllre

moyenne.

PROBLÈME IBT. ^---- Variation de

température

^à l’intérieur d’une

sphère

^{de roc}

transportée il’ Ull fluide

^à

température

^constante

dans

ittzlqiiide it

^{une autre}

température

^constante.

PROBLÈMES

ly

^{II et III. - Pour} résoudre chacun de ^ces pro-

blèmes,

^nous supposerons que l’air ^{en contact avec} le roc ne

change

pas sensiblement de

température

par le passage de chaleur

qui

s’effectue par conductibilité ^{à travers} la surface de l’intérieur

vers l’extérieur ^ou de l’extérieur vers l’intérieur du roc. En

réalité,

la couche d’air en contact inmnédiat ^avec le roc aura à

chaque

instant ^une

température identique

^{a celle de la}

^surface,

^{et le mé-}

(1) Philosophical magazine, ^{t. V, p.} 3 jo, ^mai 1878.

Fragment écrit il y ^a dix-huit ans et retrouvé au,ourd’hui. Je 1 avais conservé pour y ajouter les solutions des problèmes II, ^{III et IV. Le} tenlps ^m’a manqué pour

cela; mais, ^{comme la} synthèse de la solution du problème ¹ suflit pour les problème

II et III ( l’intéUration de la solution du problème ^{1 étendue} à toute la surfaces résout le problème II, ^et l’intégration ^{de la solution du} problème Il étendue de t = 2013~ à t = o résout le problème III ) ^et que le problème ^{1V n’est} qu’un exemple de la solu- tion bien connue de Fourier pour le globe [ L z,o le Mémoire de lI B1. Ptoii ^et Perry,

Sur la condllctibdité de la pierre (Plzilosohhicccl aniil I878)], ^a,cc ap-

plication numérique ^=tu trapp ^de Calton-Ilill, ^il n’y ^a pas lieu ^due regretter beaucoup que le plan original n’ait pu ^être conipleté. W. T. (2,) ^mars 1878.)

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018780070039700

lange qui ^d’air,

soit par du vent ou de courants locaux dus aux différences de

température,

tend à unifier la

températures

^{de toute la masse}

atmosphérique.

Notre

hypothèse équivaut

^{donc à} admettre que la vitesse de la ^va- riation de

température

^à l’intérieur des

roches ,

^{tenant à cette}

cause

spéciale,

^est bien au-dessous des variations ordinaires

qui

^se

produisent

^du

jour

^{à la nuit.} Ainsi les solutions des

problème 1,

^{II et III ne seront}

applicables qu’au

bou t d’un

temps

écoulé suf- fisant pour que la variation résiduelle soit

petite

^en

comparaison

des variations diurnes maxima ^aux

points

voisins de la surface.

Dans le cas du

problème ^II,

^ces conditions seront

pratiquement

remplies

^et continueront à

l’èure,

fort peu de

temps après

^le

jour

de

température exceptionnelle

^{dont il}

s’agit

de calculer

l’effet,

^et

nous aurons une solution

parfaitenlent pratique, applicable

^aux

observations faites

plusieurs jours

^ou

plusieurs

^semaines

plus

^tard

sur des thermomètres

plongés

dans la roche à 3 ou 6

pieds

de pro- fondeur. La solution du

problème ^I,

que

je

^vais

indicluer,

^établira

quelles

^{sont les unités de}

longueur,

^de

temps

^{et de}

température qu’il

^convient

d’adopter

pour vérifier

pratiquement

les conclusions de

l’analyse.

Le

problème

^{I, avec} les restrictions 111entionnées

ci-dessus, équi-

vaut au suivant :

Une

aire, Ù?filli111ent petite,

^d’iiii

plan

illitiiité terlninant d’Ull côté ^llne nIasse

h0171oB’ène

^{de roche}

qui

^s’étend

indéfiniment

^dans

tons les ^sens dit côté

opposé,

^est

échaujjée

^{il llne}

tellllJératllre infi-

lzizrLeltt haute

pendant

^un

temps infiniment

court, ^et la totcilité de la

sluface

^est l’cczazea2ée instantanément et

ind 4finiment

^maintenue

Ù une

telnpérature

constante. Déler111ÙZer les variations inte- rieures de la

température.

Supposons

le solide

dúublé,

c’est-à-dire s’étendant à l’infini des deux côtés du

plan considéré,

_que ^nous

appellerons plan

^lnedian.

Soient

P,

^{P’ deux}

points symétriques

par

rapport

^{à ce}

plan

^{et si-}

tués sur une

perpendiculaire

^à laire échauffée.

Supposons qu’une

certaine

quantité

^de

chaleur Q

soit subitement

produite

^{dans un}

espace

très-petil

^{autour de P et}

qu’une quantité égale

soit enlevée

au

point

P’. Les variations

correspondantes

^de

température

^{sur les}

deux faces du

plan

^{médian seront}

égales

^{et de}

signe

contraire : elles

399

consistent en un échauffement et un refroidissement

qui

partent du

plan

médian dans les deux directions

opposées.

L’réchauffement

sera

précisément

celui que ^nous cherchons pour ^la solution du

problème

^{et l’effet}

thermique

^{de la masse} que nous ayons ima-

ginée

^{du côté}

opposé

^du

plan

n’a d’autre effet que de maintenir

constante la

température

^{de ce}

plan

^médian.

^Or,

^{si une} quan- tité

Q

de chaleur est établie ^en un

point (a, ^03B2, y)

d’un solide ho-

mogène indéfini, l’effet,

^{à une}

époque t ultérieure,

^{en un}

point quelconque

^{x, y, z du}

^solide,

^sera

exprimé

par la formule

trouvée

par Fourier;

^et l’effet d’autres

quantités

^de

^chaleur, posi-

tives ^ou

négatives, placées

^{en d’autres}

points, s’obtiendra,

^comme

ce savant l’a

montré,

^en déterminant par ^cette formule l’effet de

chaque

^source considérée isolément et

ajoutant

^les

résultats,

^con-

formément ^au

principe qu’il

^a

^établi,

^{de la}

superposition

^des

conductibilités

thermiques.

Donc l’effet

produit

^en

plaçant

^simul-

tanément des

quantités égales

de chaleur +

Q

^et

- Q

^{en deux}

points (03B1,03B2, ^7), (cc’, ^03B2’, 03B3’

^sera

exprimé,

^{au bout d’un}

temps quel-

conque 1,

par la formule.

Si,

^{dans cette}

expression,

^nous supposons ^0!

=03B1 2, a’=201303B1 2,

03B1 = 20132013,

03B2=0, 03B2’

⁽⁾ⁱ y = ^0,

y’

^{= 0, et} si nous faisons ^et

i n fi 11 i nl en t pet j

^t,

nous trouverons ce

qu’elle

^{devient en} différentiant le

premier

terme par rapport ^{à a, écrivant a au lieu de}

da,

^et enfin faisant

a ^-

0,03B2

^{= o,} y ^{= o.} Le résultat constitue la solution du

problèn1e proposé ; ainsi,

^en

désignant

par ^{v la}

température

^au

temps

^{t, ati}

point (x,y, z)

^du

solide,

^{nous trouvons}

On obtiendra une formule

(’ ) plus

convenable pour

exprime

(1) Dans cette formule, k représente ^ce que j’ai appelé ^la difftisibilité thermale (le

remplaçant + J2 + z2

par par Nous avons ainsi

qui exprime

^la

température

^{au bout d’un}

temps t

^écoulé

après l’application

^du

^feue,

^{en un}

point

^du solide situé à la distance ^r du

point

^{de la surface où le feu a été}

appliqué,

^{et sur une direction}

inclinée d’un

angle

^{0 à} la normale à cette surface. De cette expres- sion nous tirerons les conclusions suivantes :

10 Les

températures

simultanées en différents

points équi-

distants du

foyer

^sont

proportionnelles

^à leurs distances à la ^sur- face

plane.

20 La loi de variation de la

température

^avec la distance ^{sur une}

ligne quelconque passant

par le

point

^{où le feu a été}

appliqué

^est

la même à ^un moment

quelconque.

3° La loi de variation de la

température

^{avec le}

temps

^{est la} même ^en tous les

points

^{du solide.}

la substance, c’est-à-dire sa conductibilité thermique ^divisée par la capacité ^ther- niique ^{de l’unité de} poids. Cette diffcisibilité est nécessairement mesurée en unités de surface _par unité de temps, ou, d’après la notation de Maxwell, ^ses dimensions sont

(I2 T).

^{Sa valeur (i fi pieds carrés anglais par an, pour le trapp} de Calton-Hill spé-

cialement visé dans le texte) ^{a été} prise ^{dans mon Mémoire Sur la} réduction des ob- servatlons de telnpératllre souterraine, publié ^{dans les} Transactions de la Société

royale

d’Édimbourg

^{en avril} 1860. ’Elle avait été obtenue par l’application ^{de la for-}

mule originale de Fourier à une réduction harmonique des observations de Forbes,

relatives à la température souterraine. Réduisant ce nombre en centimètres carrés par

seconde, ^et exprimant de la même manière les résultats de mes réductions des ob- servations de Forbes, ^{relatives à deux autres localités voisines} d’Édimbourg, ^{et de la}

réduction du professeur Everett, ^{relative aux} observations souterraines de Greenwich, j’obtiens le tableau suivant des difl’usibiliiés :

Ces nombres ont été publiés pour la première fois par Everett, dans son Mémoire ayant pour titre : Illustrations of ^the centimetre-gramme-second (c .-G.-S.) ^system of units, publié par la Société ph J’sique de Londres (I875). Cette publications très-oppor-

tune sera d’un arand ^usage.

4"

Les distances

corresponclantes,

pour la loi de variation ^avec la

distance,

^croissent

propor tionnellement

^à la racine carrée du

temps

^écoulé

depuis l’application

instantanée du

feu ;

_{et, par}

suite,

les temps

correspondants,

dans la loi de la variation ^avec le

temps,

sont

proportionnels

^aux

^racines

^carrées des distances.

5° La valeur maximum de la

température,

dans la loi de la variation avec la distance, varie en raison inverse du carré du temps,.

6° La valeur maximum de la

températures,

dans la loi de la ^va-- r iation avec le

temps,

^{en un}

point quelconque

^{de la}

roche,

^{est en}

raison inverse de la

quatrième puissance

de la distance du

point

où le feu ^a été

appliqué.

7° A

^une

époque quelconque, après l’application

^du

^feu,

^{la tem-}

pérature

^{croît sur une direction}

quelconque,

^à

partir

^du

point

^où

le feu ^{a été}

appliquée jusqu’à

^{une distance maximum}

égale

^à

2ht,

et au delà décroit _pour atteindre la valeur zéro à ^une distance infinie. La valeur de

k,

_{pour le}

_trapp

^de

Calton-Hill,

^étant

y ,

^en

prenant

l’année pour unité de

temps

^{et le}

pied anglais

pour unité de

longueur,

le rayon de la surface

hémisphérique

^de

tempéra-

ture maximum est

16,8 V’ pieds. ^Ainsi,

^{au bout d’un an, elle est à}

16,8 pieds,

^{et au bout} de dix mille ^{ans à}

i 6bg pieds

^de

l’origine.

^La

courbe de

la fig.

^{I montre}

graphiquement

la loi de la variation de

Fig, ^I.

la

température

^avec la distance. Les ordonnées de la courbe sont

proportionnelles

^aux

températures,

^et les abscisses

correspondantes

aux distances de

l’origine

^{ou de la}

place

^{où le feu a éLé}

appliqué.

8° En un

point quelconque

^à distance finie à l’intérieur du so-

lide

(qui

par

hypothèse

^{est à la}

température

^{de zéro à l’instant de}

l’application

instantanée du

feu),

^la

température augmente jusqu 1 à

qu’elle

nouveau

jusqu’à

^{zéro au} bout d’un

temps infini ;

^{la diminution} finale est ^en raison inverse de la racine carrée de la

cinquième puissance

^du

temps.

^Le temps ^{au bout}

duquel

^la

température

maximum est

atteinte,

^{à une distance r du}

point

^{oû le feu a été}

appliqué, est r2 10k,

^{ou, eu}

^égard

^à la valeur de k trouvée pour le

trapp, r2 237, 5

^d’année.

Ainsi,

^{à 1}

pied ^français

^du

point

^d’échauf

fement,

^la

température

^{maximum sera atteinte un}

jour

^{et demi}

(plus

exactement

Ij, 54) après l’application

instantanée du feu.

A

I’P’,4

^du

point d’application

^du

^feu,

^la

température

^maximum

sera atteinte ^au bout d’un an

juste,

^{et à}

¹⁵⁴⁰ pieds

^{au bout de}

dix mille ans. La loi de la variation de la

température

^{avec le}

temps

^est

représentée

par la courbe

(fig. 2)

^dont les ordonnées

représentent

^les

températures

^et les abscisses les

temps.

Fig. ^2.

Ces résultats montrent comment les circonstances du

problème proposé peuvent

^être actuellement

réalisées,

^sinon

rigoureuse-

ment, du moins à ^un

degré d’approximation

^tel

qu’on

^le

^désire,

en

appliquant

^un

foyer pendant

^{un certain}

temps

^{sur une}

petite

surface du _roc, le retirant ensuite et refroidissant la surface.