1 Université Abdelmalek Esaâdi Faculté polydiciplinaire Tetouan Professeur Dr. Hossain Yakhlef

(1)

Université Abdelmalek Esaâdi Faculté polydiciplinaire

Tetouan

Professeur Dr. Hossain Yakhlef

(2)

1. Espaces vectoriels et systèmes linéaires :

a. Espaces vectoriels. Sous espaces vectoriels .

b. Independence linéaire. Base et dimension, Combinaison linéaire, Somme directe.

Coordonnés.

c. Résolution des systèmes linéaires.

2. Application linéaire :

a. Type de matrice important. Rang, déterminant, matrice inverse.

b. Application linéaire. Application linéaire et indépendance linéaire.

c. Isomorphismes et coordonnés. Représentation matricielle d’une application linéaire, changement de base.

3. Espace muni d’un produit scalaire

a. Produit scalaire, Norme, Orthogonalité.

b. Projection orthogonal.

c. Base orthonormale, Méthode de Gram Schmidt changement de base orthonormales.

d. Diagonalisation orthogonal. Matrice symétrique.

(3)

Chapitre 1 :

Espace vectoriels et systèmes linéaires.

I Espaces vectoriels. Sous espaces vectoriels A) Espace vectoriel

1 –Définition

Soit V un ensemble muni de deux lois : +, .

1) Loi interne + :

∀ v , w ∈ V ,

_on a

v + w ∈ V ,

2) Loi externe. :

∀ v ∈ V , ∀ k ∈ ℜ ,

_on a

k . v ∈ V ,

Exemple

2

; ℜ

=

V

^ℜ ^² ⁼ ^ℜ ^× ^ℜ ⁼ { ( ) ^x ^, ^y ^: ^x ^, ^y ^∈ ^ℜ }

V est un espace vectoriel muni des lois

+ ,

_.

+ :

( ) ( ) ( ^x , ^y + ^z , ^w = ^x + ^z , ^y + ^w )

. :

k . ( x , y ) ( = k . x , k . y )

De plus, l’espace vectoriel vérifie une série de propriétés.

3)

u + v = v + u

∀ u , v ∈ V

4)

∃ 0 ∈ V ;

0 + u = u + 0 = u

∀ u ∈ V

.

5)

∀ u ∈ V ,

∃ w ∈ V

(on la note aussi

− u

), tel que

u + w = 0

6)

( ^u + ^v ) + ^w = ^u + ( ^v + ^w ) ^;

∀ u , v , w ∈ V

7)

( a ∗ b ) . v = a . ( ) b . v

∀ a , b ∈ ℜ ; v ∈ V

8)

â ^. ( û ⁺ ^v ) ⁼ â ^. û ⁺ â ^. ^v

∀a ∈ ℜ

,

u , v ∈ V

9)

( a + b ). u = a . u + b . u

∀ a ; b ∈ ℜ ,

u ∈ V

10)

1 . u = u

∀ u ∈ V

(4)

Exemple :

I.

( ^ℜ

²

^, ^{+ ′} ^,. )

munis des lois interne et externe définis a continuation, est‐il un

espace vectoriel ?

+′ :

( ) ( x , y +′ z , w ) ( = x − z , y + w )

. :

a . ( x , y ) ( = ax , ay )

‐ Vérifiez les autres propriétés.

II. On définit l’ensemble

⎩ }

⎨ ⎧

ℜ

⎟⎟ ∈

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ a b c d

d c

b

M

₂

a : , , ,

_.

On vérifie que

( M

₂

, + ,. )

est un espace vectoriel.

1)

⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

+

= +

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

h d g c

f b e a h

g f e d

c b

: a

2).

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

d k c k

b k a k d

c b k a

. .

.

: .

‐ Vérifions les autres propriétés :

3)

u + v = v + u ?

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

+

= +

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

+

= +

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

d c

b a h

g f e d

h c g

b f a e

h d g c

f b e a h

g f e d

c b a

4)Existe t – il l’élément neutre (

∃ ? 0

) tel que

0 + u = u + 0

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

0 0

0 0 0

d c

b a d

c b a

5)

u + ( − u ) = 0

(5)

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− + −

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

0 0

0 0 d

c

b a

d c

b a

6)

( u + v ) + w = u + ( v + w )

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ + +

+

+ + +

= +

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

+ + +

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

l h d k g c

j f b i e a

l h k g

j b i e d

c b a l

j j i h d g c

f b e a

7)

( a × b ). v = a .( b . v )

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

×

= ×

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

× ⎛

) . .(

).

( ).

(

).

( ).

(

1 1

d b a c b a

b b a a

b a d

b a c b a

b b a a

b a d

c b b a

a

⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

1 1

. .

. . .

d b c

b

b b a

a b

8)

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

h g

f a e

d c

b a a

h g

f e d

c b

a . a . .

9)

( ) _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

1 1

1 1 1

1 1 1 1

1 1

1

. .

. c d

b b a

d c

b a a

d c

b b a

a

10)

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

d c

b a d

c b . a

1 Exercice :

On considère l’ensemble

^∈ ^ℜ }

⎩ ⎨

⎧ ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

′ b c d

d c

M 1 b : , ,

2 et on définit la loi interne

par

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

hd cg

bf h

g f d

c

b 1 2

: 1

(6)

Vérifiez que

⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝

⎛ ′ +

,.

2

,

M

est un espace vectoriel

B) Sous espaces vectoriels

Définition

Soit V un espace vectoriel. W Un ensemble inclus dans E (W ⊂V ).

W est un sous espace vectoriel de V si seulement si :

W v a W

v a

W v u W

v u

∈

∈ ℜ

∈

∀

∈ +

∈

∀

. ,

, , ,

Remarque

Les propriétés 3‐10 sont satisfaites du fait que

W ⊆ V

Exemple :

u + v = v + u

_car

u , v ∈ W ⊂ V .

Exemple

1)

V = ℜ

²

,

W = { x ^; ¹ } ^: x ∈ ℜ ) ^.

W est un sous espace vectoriel.

2)

V = ℜ

²

,

W = { ( ) x , 1 : x ∈ ℜ }

( ) ( ) ( ^x ^, ¹ ⁺ ^y ^, ¹ ⁼ ^x ⁺ ^y ^, ² ) ^∉ ^W

W n’est pas un sous espace vectoriel.

3)

}

⎩ ⎨

⎧ ⎟⎟ ∈ ℜ

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ a b c

c b

M a 0 : , ,

Vérifiez que

( M ,+ ^,. )

est un sous espace vectoriel

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

= +

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

g c f b

e a g

f e c

b

a 0 0 0

:

.

⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

c

b

a

a a c

b

a a 0 0

:

2

(7)

II Independence linéaire. Base et dimension

A) Combinaison linéaire Définition

Soient

u

₁

, u

₂

,..., u

_n

∈ V

et

a

₁

, a

₂

,..., a

_n

∈ ℜ

_.

On appelle

v = a

₁

u

₁

, a

₂

u

₂

,..., a

n

u

n combinaison linéaire de

u

₁

, u

₂

,..., u

n_.

Exemple 1 :

Le vecteur

( ¹ ^, ² ^, ⁴ )

Est‐il une combinaison linéaire de

( ) ¹ ^, ¹ ^, ¹

et

( ⁰ ^, ¹ ^, ³ )

? On doit trouver

a

₁

, a

₂

∈ ℜ

tel que :

( ¹ ^, ² ^, ⁴ ) = ^a

₁

( ) ¹ ^, ¹ ^, ¹ + ^a

₂

( ⁰ ^, ¹ ^, ³ )

_.

C.‐à‐d. :

( a

₁

^, a

₁

^, a

₁

) ( + ⁰ ^, a

₂

^, ³ a

₂

) ( = ¹ ^, ² ^, ⁴ )

⎩⎨⎧

=

⇒

= +

⇒ =

1 2

1

2 2

1

a a

a

Exemple 2 :

Le vecteur

( ¹ ^, ² ^, ⁴ )

Est‐il une combinaison linéaire de

( ⁰ ^, ¹ ^, ¹ )

et

( ⁰ ^, ¹ ^, ³ )

?

Non, En effet supposons le contraire, c.à.d. que

( ¹ ^, ² ^, ⁴ ) = ^a

₁

( ⁰ ^, ¹ ^, ¹ ) + ^a

₂

( ⁰ ^, ¹ ^, ³ )

_et par

suite on a 1 = a₁.0 + a₂.0 = 0 (absurde).

B) Independence linéaire Définition

o Les vecteurs

u

₁

, u

₂

,..., u

_n

∈ V

sont linéairement indépendants si seulement si :

[ ^a

₁

^u

₁

⁺ ^a

₂

^u

₂

⁺ ^... ⁺ ^a

_n

^u

_n

⁼ ⁰ ^⇒ ^a

₁

⁼ ^a

₂

⁼ ^... ⁼ ^a

_n

⁼ ⁰ ]

(8)

o Les vecteurs

u

₁

, u

₂

,..., u

_n

∈ V

sont linéairement dépendants s’ils existent

ℜ

n

∈ a a

a

₁

,

₂

,...,

non tous nul (au moins un scalaire différent de zéro), tel que :

a

₁

u

₁

, a

₂

u

₂

,..., a

_n

u

_n

= 0

Exemple :

1)

( ) ¹ ^, ¹

est

( ) ¹ ^, ⁰

sont‐ils linéairement indépendant. ?

( ) ( ) ( ) ⁰

0 0 0

, 0 0 , 1 1

,

1

₂

1 2 1 2

1

⇒ =

⎩ ⎨

⎧

=

⇒ +

=

+ a

a a a a

a

Et par suite

( a

₁

^, a

₂

) ( ) = ⁰ ^, ⁰

_.

2)

^a

₁

( ) ⁴ ^, ⁰ ⁺ ^a

₂

( ) ⁰ ^, ¹ ⁺ ^a

₃

( ) ² ^, ³ ⁼ ⁰ ^⇒ ( ⁴ ^a

₁

⁺ ² ^a

₃

^, ^a

₂

⁺ ³ ^a

₃

) ⁼ ⁰

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

−

=

−

=

−

⇒ =

⎩ ⎨

⎧

= +

=

⇒ +

3 2

3 3

1 3

2

3 1

3 2

1 4

2 0

3 0 2

4 a a

a a

a

a a

3 1 2

2 1 3

−

=

−

=

= a a a

Ainsi, on a trouvé

( a

₁

^, a

₂

^, a

₃

) ( = − ¹ ^, − ³ ^, ² )

_tel que

( ) ⁴ ^, ⁰

₂

( ) ⁰ ^, ¹

₃

( ) ² ^, ³ ⁰

1

+ a + a =

a

Donc

(

4,0

) ( ) (

, 0,1 , 2,3

)

sont linéairement dépendant.

C) Système générateur.

Définition

On dit que

{ ^u

₁

^, ^u

₂

^,.... ^, ^u

_n

}

est un système générateur de

V

, si pour tout élément

v∈ V

_on av=α₁u₁+α₂u₂+...+α_nu_n, avecα₁,α₂,...αn^∈^ℜ.

(9)

Exemple :

1)

( ) ^x ^, ^y ⁼ ^x ⁽ ¹ ^, ⁰ ⁾ ⁺ ^y ( ) ⁰ ^, ¹

Donc {(1 , 0 ) (; 0 ,1 )}est un système générateur.

2)

{ ( ) ¹ ^, ⁰ ^, ( ) ( ) } ⁰ ^, ¹ ^, ¹ ^, ¹

ℜ ²

_car

( ) ( ) ( ) ( ) x , y = x 1 , 0 + y 0 , 1 + z 1 , 1

3)

{ ( )

1,0

}

n’est pas un système générateur.

D) Base.

Définition :

Une base est un système générateur linéairement indépendant.

Théorème :

Tout espace vectoriel admet une base.

E) Dimension

Définition :

La dimension de l’espace vectoriel V est le nombre de vecteurs que contient une base.

Exemple :

On considère l’espace vectoriel

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧ ⎟⎟ ⎠ ∈ ℜ

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ a b c d

d c

b

M

₂

a , , , ,

_.

o

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

1 0

0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0

1 b c d

d a e

b a

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧ ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

1 0

0 , 0

0 1

0 , 0

0 0

1 , 0

0 0

0 1

M

2_.

(10)

o

⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

0 0

0 0 1

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0

1 y z t

x

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

=

⇒

0 0 0 0

t z y x

Donc

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

1 0

0 ; 0 0 1

0 ; 0 0 0

1 ; 0 0 0

0 1

sont linéairement indépendants.

Finalement,

⎭ ⎬

⎟⎟ ⎫

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎩ ⎨

⎧ ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

1 0

0 ; 0 0 1

0 ; 0 0 0

1 ; 0 0 0

0 1

alors est une base de

M

₂_, et on

a dim(

M

2_)=4.

Définition

Soit

^B = { ^u

₁

^, ^u

₂

^,.... ^u

₃

}

une base de V. donc

∀ v ∈ V

tel on a

n n

u x u

x u x

v =

₁ ₁

+

₂ ₂

+ ... +

_.

x

n

x

₁

,

₂

,....

s’appellent les coordonnés du vecteur

v

dans la base B.

Exemple :

On considère le système

{ ( ) ¹ ^, ¹ ^, ( )} ¹ ^, − ¹

_. On a

( ) ( ) ( ) x ^, y = a ¹ ^, ¹ + b ¹ ^, − ¹

, et par suite

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

= −

= +

− ⇒

= +

⇒ =

=

−

= +

2 2 2

2 y b x

y a x

y x b

y x a y

b a

x b a

Ainsi,

( ) ( ) (

¹^, ¹

)

1 2 , 2 1

, = x + y + x − y −

y

x .

Conclusion :

( ) ( )

{

1 ,1 , 1 , − 1

}

est un système générateur.

(11)

On suppose que

( ) ( ) ( )

⎩ ⎨

⎧ ⇒ = =

=

−

=

⇒ +

=

−

+ 0

0 0 0

, 0 1

, 1 1

,

1 a b

b a

b b a

a

_.

Par suite

(

1 ,1

) (

, 1 , − 1

)

sont linéairement indépendants.

Finalement,

{ (

1,1

) (

, 1,− 1

) }

est une base de

ℜ

².

Exemple :

Considérons

}

⎩ ⎨

⎧ ⎟⎟ ⎠ ∈ ℜ

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ a b c d

d c

b

M

₄

a : , , ,

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

1 0

0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0

1 b c d

d a c

b a

.

Les coordonnés de _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

d c

b

a dans la base

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

1 0

0 , 0

0 1

0 , 0

0 0

1 , 0

0 0

0

1

sont

(

a , b , c , d

)

_.

Remarque :

Tout espace vectoriel de dimension n est « équivalent » à

ℜ

ⁿ_.

Exemple 1 :

Dim

ℜ

²

= 2 .

Soit V un espace vectoriel de dimension n, donc il admet une base

{ u u u

_n

}

B =

₁

,

₂

,...

_. Donc

,

V v ∈

∀ v = x

₁

u

₁

+ x

₂

u

₂

+ .... + x

_n

u

_n_. On considère

ℜ

ⁿet y un vecteur

x ∈ ℜ

ⁿ.

( 1 , 0 ,...., 0 )

₂

( 0 , 1 ,.... 0 ) ... ( 0 , 0 ,..., 1 )

1

x x

n

x

x = + + +

( x

₁

, x

₂

,..., x

_n

)

=

_.

(12)

Donc on peut identifier V avec

ℜ

ⁿ.

Exemple 2 :

o

V = M

₂_,

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

1 0

0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0

1 b c d

d a c

b

v a

o

x ∈ ℜ

⁴

( ¹ ^, ⁰ ^, ⁰ ^, ⁰ ) ( ⁰ ^, ¹ ^, ⁰ ^, ⁰ ) ( ⁰ ^, ⁰ ^, ¹ ^, ⁰ ) ( ⁰ ^, ⁰ ^, ⁰ ^, ¹ )

) , , ,

( a b c d a b c d

x = = + + +

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

d c

b v a

2 2

2 2 2

2 x = 2(a, b, c, d)= (2a, 2b, 2c, 2d)

⇔ ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

d c

b v a

2 2

2 2 2

Définition :

Soient

w

1

, w

2 deux sous espaces vectoriels de V. la somme directe :

{

₁ ₂ ₁ ₁ ₂ ₂

}

2

1

w v V : v V V / v w ; v w

w ⊕ = ∈ = + ∈ ∈

Exemple :

ℜ

3

=

V

( )

{ ^, ⁰ ^, ⁰

³

} ^;

1

= x ∈ ℜ

w

2

= { ( ⁰ ^, ⁰ ^, z ) ∈ ℜ

³

} ^;

2

1

w

w ⊕

Plan XZ =

{ ( ^x ^, ⁰ ^, ^z ) ^∈ ^ℜ

³

^; ^x ^, ^z ^∈ ^ℜ }

. Remarque :

2 1 2

1

w w w

w ⊕ ≠ ∪

Définition :

(13)

On considère un ensemble des vecteurs

{

u₁ , u ₂ ,.... u _n

}

⊂ V . On appelle le rang de

{

u₁,u ₂ ,.... u _n

}

au nombre maximal de vecteurs indépendants

dans

{

u ₁ , u ₂ ,.... u _n

}

.

Exemple :

( ) ( ) ( )

{ 1 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 } ⊂ V = ℜ

²

o (1,0), (0,1) sont deux vecteurs indépendants o (1,0), (0,1), (1,1) sont dépendants.

Rang

{ ( ) ( ) ( ) ¹ ^, ⁰ ^, ⁰ ^, ¹ ^, ¹ ^, ¹ } ⁼ ²

Exemple :

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

1 2

2 , 2

0 1

1 , 1

1 0

1 , 0

1 0

0

S 1

On peut vérifier que rang(S)=3.

Remarque :

Rang

{ u

₁

,... u

_n

} ≤

_Dim V.

Définition :

Soit

A ∈ M

n_,m . On appelle le rang de A égale au nombre maximal de ligne ou colonne linéairement indépendant. (Les lignes sont vues comme n‐vecteurs de

ℜ

ⁿ ₎

et (Les colonnes sont vues comme m‐vecteurs de

ℜ

^m _).

Exemple :

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

1 1

1 0

0 1

A

3 vecteur de

ℜ

³ ; 2 vecteur de

ℜ

²

Rang

A ≤

min

{ n , m } = 2

(14)

Rang (A)=2 2‐

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

0 0

0 1

A Rang (A)=1.

3‐ METHODE DE GAUSS :

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

× +

−

× +

−

=

⎟ ≈≈

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

1 1 2 2

1 2

2 1 1

u u

u A

u u u A

n n

n α

α ,

( )

^A₁ ^Rg

(

^A₂

)

Rg =

C) Résolution des systèmes linéaires.

Un système de n‐équations et m‐variables inconnues, est un ensemble des équations de la forme

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

= +

+ +

= +

+ +

= +

+ +

n m nm n

n

m nm

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

...

2 2 1

1

2 2

22 1 21

1 2

12 1 11

ℜ

ij

∈

a

sont les coefficients du système linéaire,

x

isont les inconnues et les

b

i_sont

les termes indépendants.

Résoudre le système, c’est trouver les valeurs de

x

₁

, x

₂

,... x

m vérifiant les équations antérieurs.

Les systèmes sont classifiés de la manière suivante :

‐

Système incompatible : s’il n’admet pas de solution.

‐

Systèmes compatible : s’il admet au moins une solution.

(15)

Compatible déterminé : s’il admet un nombre fini de solution.

Compatible indéterminé : s’il admet un nombre infini de solution.

Exprimons le système sous sa forme matricielle:

Le système antérieur peut être écrit sous la forme matricielle suivante :

⎟⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

nm n

n

m m

a a

a

a a

a

a a

a

...

2 1

2 22

21

1 12

11

M M

M

M A X B

b b b

x x x

n m

=

⎟⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

=

²

.

1 2

1

M

A est dite matrice du système

( )

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

n ij

b a

b B

A M

1

=

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

n nm n

n

m m

b b b

a a

a

a a

a

a a

a

M M

M M M

2 1

2 22

21

1 12

11

...

Théorème de Rouche‐Frobenius :

Le système AX=B est compatible

⇔

Rg

_{( )}

A = Rg

₍

A B

₎

De plus si le système est compatible, et soient^r ⁼ ^Rg

( )

^A ⁼ ^Rg

(

^A ^B

)

, m le nombre de variable inconnues, alors

1‐ Si r=m

⇒

le système est compatible et déterminé.

2‐ Si r <m

⇒

le système est compatible et indéterminé, c.‐à‐d. qu’il admet un nombre infini de solutions dépendant de (m‐r) paramètres.

Méthode de Gauss :

Si dans un système des équations linéaire,

‐ On inter change l’ordre des équations,

‐ On multiplie une équation par un scalaire non‐nul,

(16)

‐ On ajoute à une équation une combinaison linéaire des équations restante ; alors on obtient un système équivalent au système initial (les deux systèmes ont les mêmes solutions). Sur ces propriétés se base la méthode de Gauss.

Exemple 1:

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟ ≈

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎪ →

⎩

⎪ ⎨

⎧

= + +

−

=

−

= + +

5 6 3

2 3 1

3 3 1

0 0 1

2 0 3

1 1 1

2 1 1

1 2 1

2 2

0 2

3 z y x

z y x

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

−

⎜ −

⎜ ⎜

⎝

⎛

−

≈

1 6 3

1 0

3 3

0 1 1

1 ⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

⎪ →

⎩

⎪ ⎨

⎧

−

=

−

=

−

= + +

→

1 1 1

1 6 3

3

3 z y x

z z y

z y x

Exemple 2 :

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

− +

−

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

→

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

−

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

→

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= +

+

=

− +

=

−

= + +

4 1 1 1

3 1

2 1

0 0 1 1

0 0 0 1

2 1 1 1

1 3 2 1

2 4 1 1

0 0 0 1

3 3 2

2

0 1

a a

az y

x

z y x

z x

z y x

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

−

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

→

a 1

1 1 1

0 1

2 1

0 0 1 1

0 0 0 1

i) Si a=1 (^r ⁼ ^Rg

( )

^A ⁼ ^Rg

(

^A ^B

)

⁼ ³ ) le système admet une seule solution.

ii) Si

⎩⎨

⎧ →

=

≠ =

4 )

(

3 )

1 (

B rg

A

a rg le système est incompatible et il

n’admet pas de solution.

(17)

Chapitre 2

Application linéaire

I‐ Type de matrice

• : matrice triangulaire supérieure.

• : matrice triangulaire inférieure.

• _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 1 0

0

1 : matrice identité.

• Si A= A^T : A est symétrique. Exemple : A= _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 3 2

2

1 .

• Si A=−A^T :A est antisymétrique. Exemple : A= _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−1 0 1

0

• Si A*A^T :I : A orthogonal. Exemple : A= _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

1 1

1 1 2

1

• A est une matrice nilpotente d’indice n si A≠0 ,A² ≠0,……,Aⁿ⁻¹≠0, Aⁿ =0.

Exemple _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛ 0 0

1

A 0

• Rang de A :

Rang(A) : le nombre maximal de ligne ou colonnes linéairement indépendants.

• Déterminant :

Pour calculer le déterminant,

12 21 12 11 22 21

12

det 11 a a a a

a a

a

a ⎟⎟= −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

→ ⎛

Règlement de Sarrus :

32 23 11 31 23 12 32 21 13 33 22 11 33 32 31

23 22 21

13 12 11

det a a a a a a a a a a a a

a a a

− +

+

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

Développer selon une ligne ou une colonne.

En utilisant la règle de Gauss

1 Université Abdelmalek Esaâdi Faculté polydiciplinaire Tetouan Professeur Dr. Hossain Yakhlef

Espace vectoriels et systèmes linéaires.

∀ v , w ∈ V ,

v + w ∈ V ,

∀ v ∈ V , ∀ k ∈ ℜ ,

k . v ∈ V ,

; ℜ

=

V

ℜ ² = ℜ × ℜ = { ( ) x , y : x , y ∈ ℜ }

+ ,

+ :

( ) ( ) ( x , y + z , w = x + z , y + w )

k . ( x , y ) ( = k . x , k . y )

u + v = v + u

∀ u , v ∈ V

∃ 0 ∈ V ;

0 + u = u + 0 = u

∀ u ∈ V

∀ u ∈ V ,

∃ w ∈ V

− u

u + w = 0

( u + v ) + w = u + ( v + w ) ;

∀ u , v , w ∈ V

( a ∗ b ) . v = a . ( ) b . v

∀ a , b ∈ ℜ ; v ∈ V

a . ( u + v ) = a . u + a . v

∀a ∈ ℜ

u , v ∈ V

( a + b ). u = a . u + b . u

∀ a ; b ∈ ℜ ,

u ∈ V

1 . u = u

∀ u ∈ V

( ℜ

, + ′ ,. )

+′ :

( ) ( x , y +′ z , w ) ( = x − z , y + w )

a . ( x , y ) ( = ax , ay )

⎩ }

⎨ ⎧

ℜ

⎟⎟ ∈

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ a b c d

d c

b

M

a : , , ,

( M

, + ,. )

⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

+

= +

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

h d g c

f b e a h

g f e d

c b

: a

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

^ℜ ^² ⁼ ^ℜ ^× ^ℜ ⁼ { ( ) ^x ^, ^y ^: ^x ^, ^y ^∈ ^ℜ }

( ) ( ) ( ^x , ^y + ^z , ^w = ^x + ^z , ^y + ^w )

( ^u + ^v ) + ^w = ^u + ( ^v + ^w ) ^;

â ^. ( û ⁺ ^v ) ⁼ â ^. û ⁺ â ^. ^v

( ^ℜ

^, ^{+ ′} ^,. )