Optimisation des paramètres techniques d'un montage d'holographie digitale

ministÈre de l’enseignement supÉrieur et de la recherche scientifique universitÉ ferhat abbas - sÉtif 1

institut d’optique et mÉcanique de prÉcision

Thèse de Doctorat en sciences

Présentée par

Omar Chaab

Thème

Optimisation des paramètres techniques d'un montage d'holographie digitale

Serge Simoëns Dir.Recheche CNRS Co-rapporteur ECL/ INSA Lyon 1

Smail Djabi Prof. IOMP UFA Sétif 1 Président Larbi Bouamama Prof. IOMP UFA Sétif 1 Rapporteur

Mohamed Chikh-Bled Prof. UAB Tlemcen Examinateur

Devant le jury

Soutenue le 19 Décembre 2013.

Djamel Kalaidji MCA. UAB Tlemcen Examinateur Abdelkrim Benaiche Prof. IOMP UFA Sétif 1 Examinateur

:

áJÊgQÓ ú ¯ øQm.' ,XAªK. B@ ú GCJË@QKñ’JÊË éKQå”.ðQºË@ éJ J®K éJÔ¯QË@ AJ ¯@Q «ñËñêË@

ék.ñÓ áK. úÎ g@YJË@ ɾ‚ÊË

ð@

¨ñ K áÓ HA‚m.× ém'Qå… é¢ƒ@ñK. ÉJj.‚

áJÓ QmÌ'@ áK. ¬@Qm 'B@ éKð@ P . ¬A ® ‚Ë@ ð@ á»@YË@ Õæ„j.ÊË øñ ’ÊË XñJmÌ'@ ð éJªk.QÓ éJKñ “

. àñ KA ‚Ë HA JJªË@ àñ KA®Ë AÖß@X © ’ m' à@ I.m.'

éJÊÒªË@ Õæ„m.' úæË@ éJK.A‚mÌ'@ ÈñÊmÌ'@ 颃@ñK. Õæ„j.ÊË éÊj.‚ÖÏ@ éÓñʪÖÏ@ ÉJº‚ èXA«@

éKQå”J.Ë@ ÉÓ@ñªË@ ‘ªJ.Ë © ’ m' áJÊgQÖÏ@ áKAë ÉJª ®K . øñ ’Ë@XñJjÊË éJ‚ºªË@

.Aê ®JJºK áÓ YK.B úæË@ éJÔ ¯QË@ð éJºJ KA¾JÓðQå”J.Ë@ , éKQå”.ðQ»B@,

.ùÔ¯QË@ I.J»QË@, àñ KA ƒ àñ KA¯ , ú ¯@Q «ñËñêË@ Qêj.JË@ ,éJÔ¯QË@ AJ ¯@Q «ñËñêË@

éJkAJ ®ÖÏ@ HAÒʾË@

L’holographie digitale est une technique optoélectronique d’ imagerie tridimension- nelle se réalisant en deux étapes :

(i) Enregistrement sur une matrice de capteurs de type CCD/CMOS du modèle d’in- terférence résultant d’une onde de référence et d’une onde diffractée par un objet opaque ou transparent. L’écartement angulaire entre ces deux faisceaux doit tou- jours satisfaire le critère d’échantillonnage de Shannon.

(ii) Reconstruction de l’information enregistrée sur l’objet à l’aide d’algorithmes qui simulent le processus de diffraction inverse.

L’accomplissement de ces étapes obéit à certains critères optiques, optoélectronique, optomécaniques et numériques qu’il faudrait optimiser.

Digital holography is an optoelectronic technique for 3-D imaging technique, tradi- tionally accomplished in two main steps :

(i) Recording on a sensor array like CCD or CMOS the interfering model between a reference beam and an object one diffracted by a transparent or opaque object.

The angular spacing between these two beams must always fulfill the Shannon sampling theorem

(ii) Reconstruction of the recorded object data using an appropriate algorithm simu- lating the inverse diffraction process.

To achieve these steps adequately, optical, optoelectronical, optomechanical and nume- rical criteria must be optimized.

Je tiens à exprimer ma profonde reconnaissance et mes sincères remerciements à mon directeur de thèse le Professeur Larbi Bouamama pour son aide inestimable, ses encouragements continuels et les discussions scientifiques enrichissantes, il a été toujours présent avec ses conseils judicieux et pleins de sagesse. Merci de m’avoir aidé pour achever cette thèse.

Ma gratitude et mes remerciements vont aussi à mon co-directeur de thèse le Docteur Serge Simoëns pour son accueil dans son laboratoire au LMFA, à l’École Centrale de Lyon, son soutien scientifique, sa rigueur inégalée dans la démarche scientifique et ses conseils précieux.

Je tiens à remercier le Professeur Smail Djabi de l’IOMP d’avoir accepté de présider mon jury de thèse, le Professeur Mohamed Chikh Bled et le Docteur Djamel Kalaidji de l’Université de Tlemcen et le Professeur Abdelkrim Beniaiche de l’IOMP d’avoir bien voulu accepter de juger ce travail.

Sans oublier de remercier tous les gens qui m’ont aidé dans la réalisation de ce travail de près ou de loin notamment le Professeur Rabah Zegadi qui par l’initiation du projet de Métrologie optique des microparticules nous a ouvert un champ d’investigation et de création, Christine Lance, Marie Gabriel qui m’ont facilité par leurs interventions répétées mon séjour à l’École Centrale de Lyon et Jean Michel Lenoir pour l’initiation au LATEX.

En dernier mais pas le moindre, je remercie, ma femme Lamia pour sa patience et ses encouragements , et mes deux petites filles Lina et Asma. Un grand merci est adressé à tout les membres de la famille Chaab en particulier ma mère et ma soeur Farida. Je

remercie nos ami d’Oran et de Mostaganem. Je tiens aussi à rendre un hommage à mon ami Mohammed Chouiti.

ii

Résumé iii

Abstract iv

Remerciements v

Table des matières ix

Liste des figures xii

Notations et symboles utilisés xiii

Introduction générale 1

1 Fondement de l’holographie numérique 3

1.1 Généralités . . . 3

1.2 Enregistrement et restitution d’un hologramme . . . 4

1.3 Configurations holographiques . . . 6

1.3.1 Les avantages de l’holographie numérique . . . 8

1.4 Conditions d’enregistrement d’un hologramme numérique . . . 9

1.4.1 Enregistrement sur CCD . . . 9

1.4.2 Réduction de l’angle d’imagerie . . . 14

1.4.3 Onde de référence . . . 17

1.5 Multiplexage holographique . . . 20

1.5.1 Multiplexage spatial en holographie digitale . . . 25

1.5.2 Spectre de l’hologramme . . . 27

2 Méthodes de reconstruction en holographie digitale 30

2.1 Théorie scalaire de la diffraction . . . 30

2.1.1 Théorème de l’intégrale de Kirchhoff . . . 30

2.1.2 Formulation de Fresnel-Kirchhoff . . . 34

2.1.3 Formulation de Rayleigh-Sommerfeld . . . 38

2.2 Modèles de diffraction en holographie numérique . . . 41

2.2.1 Reconstruction par convolution . . . 41

2.2.2 Approximations paraxiales . . . 43

2.2.3 Formalisme de la méthode du spectre angulaire . . . 45

2.3 Techniques de suppression de l’ordre zéro . . . 47

2.3.1 Méthodes hybrides . . . 47

2.3.2 Méthodes numériques . . . 49

3 Reconstruction par transformée de Fresnel en cascade 52 3.1 Introduction . . . 53

3.2 Reconstruction par la transformée de Fresnel en cascade . . . 54

3.3 Discrétisation de la transformée de Fresnel en cascade . . . 56

3.4 Agrandissement anisotrope par la transformée de Fresnel en cascade . . 60

3.4.1 Condition d’échantillonnage de Nyquist . . . 62

3.5 Simulation numérique . . . 64

3.6 Résultats expérimentaux . . . 67

Conclusion 72 Bibliographie 74 Annexes 78 A Transformée de Fourier discrète 79 A.1 Définition de la transformée de Fourier discrète . . . 79

A.2 Transformée de Fourier discrète centrée . . . 80

A.3 Transformée de Fresnel numérique . . . 82

B Opérateur algébrique 84 B.0.1 Relation de réciprocité . . . 86

B.0.2 Propriété de la propagation en cascade . . . 88

C Programmes Labview/ MatLab 89 C.1 Reconstruction par la méthode du spectre angulaire . . . 89 C.1.1 Programme Matlab : calcul de la fonction de transfert optique . 90

C.1.2 Programme MatLab :Reconstruction par ASM . . . 91 C.2 Reconstruction par la méthode de transformée de Fresnel . . . 91 C.3 Création manuelle de masque binaire . . . 93 D Version originale du papier paru dans le journal Optics Communica-

tions 95

1.1 Enregistrement d’hologramme hors-axe sur un support photosensible, l’information codée dans l’hologramme provient de la diffusion des par- ticules. . . 4 1.2 Restitution optique du front d’onde complet ou information 3-D de l’ob-

jet (nuage de particules) décodée. . . 6 1.3 Configurations holographiques : (a) en line, l’onde objet et l’onde de

référence se propagent en parallèle., (b) hors-axe, l’onde objet et l’onde de référence forment un angleθ. . . . 7 1.4 Configuration d’un montage d’holographie digitale à décalage de phase. 8 1.5 Paramètres et structure d’une matrice CCD/CMOS. . . 10 1.6 Paramètres d’enregistrement d’un hologramme numérique . . . 11 1.7 Réduction de l’angle d’imagerie par l’utilisation d’une lentille divergente. 15 1.8 Réduction de l’angle d’imagerie par l’utilisation d’une lentille conver-

gente. . . 16 1.9 Réduction de l’angle d’imagerie par l’utilisation d’ouverture. . . 17 1.10 Onde de référence plane en incidence normale sur la matrice CCD. . . 18 1.11 Onde de référence plane en incidence oblique . . . 18 1.12 Onde de référence sphérique . . . 19 1.13 Dispositif optique de vélocimétrie de particule par imagerie hologra-

phique hors axe, diffusion à 90-degrés, enregistrement d’un champs de particules sur plaque holographique à émulsion . . . 21 1.14 Restitution hybride, acquisition d’image sur un support optoélectronique

(CCD). . . 22 1.15 Dispositif holographique hors-axe pour l’enregistrement (ligne continue)

et la reconstruction (ligne en tirets) par l’utilisation de la diffusion directe des microparticules . . . 24

1.16 Principe de vélocimétrie de particules par imagerie holographique à deux vues obtenues à partir d’un seul faisceau : (a) Étape d’enregistrement ; (b) Étape de reconstruction . . . 24 1.17 Montage holographique à deux vues orthogonales. . . 25 1.18 Effet de l’orientation du miroir M₄ sur l’emplacement et la disposition

des ordres dans le domaine spectral.(a)Rotation horaire ;(b)disposition des ordres correspondants à(a);(c)Rotation antihoraire ;(d)disposition des ordres correspondants à(c) . . . 29 2.1 Surface d’intégration de Kirchhoff . . . 32 2.2 Surface d’intégration pour le calcul de diffraction en P₀. P₂ est le point

source. . . 34 2.3 Géométrie adoptée pour la formulation de la diffraction de Fresnel-

Kirchhoff. . . 37 2.4 Géométrie adoptée dans la derivation de la diffraction de Sommerfeld

pour une ouverture plane. . . 39 2.5 Système de coordonnées utilisées pour la reconstruction des hologrammes

numériques. . . 41 2.6 Principe du Filtrage spatial dans le domaine spectral :(a)Représentation

de la sélection de l’ordre d’intérêt du spectre de l’hologramme multiplexé ; (b) Ordre d’intérêt filtré par l’application du masque binaire. . . 51 3.1 Emplacement du plan intermédiaire. . . 55 3.2 Schéma de reconstruction en HD avec la propagation en cascade. . . 57 3.3 (a) Image synthétique utilisée comme objet d’amplitude, (b) Amplitude

diffractée par l’objet. . . 65 3.4 Simulations des reconstructions par la transformée de Fresnel en cascade

pour les différentes paires d’agrandissements (β_x, β_y). . . 66 3.5 (a)Hologramme numérique deN×M = 2138×1757 éléments discrets(b)

et son spectre de Fourier correspondant avec une illustration schématique des ordres de diffraction. (c) Objet test à holographier qui consiste en des boules de plomb attachées par des microfils. . . 67 3.6 (a) Reconstruction par FTM à d_{V D} = 2.86m (b) Reconstruction par

CFrT avec β_x =β_{F rx}^{V D} = 12.7167 et β_y =β_{F ry}^{V D} = 10.4506 (c) Résultat de superposition de(a) avec(b) : [(a)+(b)]×0.5. . . 68 3.7 (a) Reconstruction par FTM à d_{V O} = 3.10m, ou par CFrT avec β_x =

β_{F rx}^{V O} = 13.7838 et β_y = β_{F ry}^{V O} = 11.3275 ; (b)Résolution reéchellonée par CFrT avecβ_x =β_{F rx}^{V D} = 12.7167 et β_y =β_{F ry}^{V D} = 10.4506. . . 69

3.8 (a),(b) : Reconstruction par la méthode du spectre angulaire ; (c),(d) : Reconstruction par CFrT avecβx =βy = 1 ; (e): Résultat de superpo- sition de(a)avec(c) : [(a)+(c)]×0.5, et (f) : Résultat de superposition de(b) avec (d) : [(b)+(d)]×0.5. . . 70 3.9 Exemple de correspondance des particules entre les deux vues orthogonales. 71 C.1 Fenêtre face avant ("Front panel") représentant l’interface interactive de

reconstruction par ASM. . . 90 C.2 Fenêtre Diagramme, Portion du programme LabVIEW . . . 91 C.3 (a) Fenêtre face avant ("Front panel") représentant l’interface de recons-

truction par la transformée de Fresnel, (b) Complément de l’interface utilisateur de la FTM. . . 92 C.4 (a)Interface pour la visualisation et le calcul du spectre de l’hologramme,

(b) portion du code graphique du calcul du spectre d’une image . . . . 93 C.5 (a) Amélioration du contraste de l’image du spectre en vue de selection

de l’ordre d’intérêt, (b) portion du code graphique du calcul du spectre d’une image. . . 94

Symbole Signification

d Distance de reconstruction/enregistrement d₁ , d₂ Distances de reconstruction

G Fonction de green

f, f’ Distances focales objet/ image f_x , f_y , f_X , f_Y Fréquences spatiales

F_{N xh} ,F_{N yh} Fréquences de Nyquist

h Réponse imupulsionnelle d’un système optique cohérent

H Fonction de transfert optique

I_H Intensité de l’hologramme

I_R Intensité de l’onde de référence I_O Intensité de l’onde objet

k = ^2π_λ Nombre d’onde

k Vecteur d’onde

L_Y Taille latérale de l’objet

L_V Taille latérale de l’image virtuelle m,n,m’,n’,p,q,l Entiers relatifs

N, M nombre de lignes, nombre de colonnes

O Onde diffractée par l’objet

p Interfrange

R Onde de référence

r= (x, y, z) coordonnée spatiale s, s’ Distances objet / image x_o−y_o Plan objet

x_h−x_h Plan hologramme

x_D−y_D Plan intermédiaire

x_i−y_i Plan image/plan de reconstruction

z distance de propagation

λ Longueur d’onde

∆x_i,∆y_i Taille de pixel (résolution) dans le plan de reconstruction

∆x_o,∆y_o Résolution dans le plan objet

∆x_h,∆y_h Résolution du capteur CCD/CMOS

∆x_D,∆y_D Résolution dans le plan intermédiaire α, γ facteurs de remplissage CCD/CMOS

ψ Front d’onde reconstruit

θ= (θ_x, θ_y) angle entre l’onde de référence et l’onde objet ε= (ε_x, ε_y)≡δθ Angle entre les deux ondes diffractés O₁et O₂

Σ_H Ouverture de l’hologramme

cosχ Facteur d’obliquité β = (β_x, β_y) Agrandissement

Opérateurs mathématiques

∗ Conjugué complexe

δ Fonction de Dirac

F,F⁻¹ Transformée de Fourier et transformée de Fourier inverse

V Opérateur d’échelle

Q Opérateur de multiplication de la phase quadratique R Opérateur de diffraction de Fresnel

i=√

−1 Nombre imaginaire

⌊x⌋ Opérateur d’arondis de l’élément x vers l’entier le plus proche vers−∞

∇² Laplacien : _∂x^∂22 +_∂y^∂22 +_∂z^∂22

ℜe Partie réelle

⊗ Opérateur de convolution

∂

∂n dérivée normale

Abréviations

ASM Méthode du spectre angulaire

CCD Charged Coupled Device

CMOS Complementary Metal Oxide Semiconductor

CVM Méthode de convolution

DFT Discret Fourier Transform

FFT Fast Fourier Transform

F F T⁻¹ Inverse Fast Fourier Transform FTM Méthode de transformée de Fresnel

HD Holographie digitale

HPIV Holographic particle image velocimetry PDC Problème de la profondeur de champ

RS Résolution de sortie

R-S Rayleigh-Sommerfeld

RE Résolution d’entrée

TDK Théorème de Kirchhoff

VD Vue directe

VO Vue orthogonale

2-D Distribution bidimensionnelle 3-D Distribution tridimensionnelle

Les progrès technique et technologique ont permis le transfert de chacune des deux étapes holographiques, l’enregistrement et la restitution vers leurs aspects numériques.

La première approche a donné naissance au domaine des hologrammes générés par or- dinateur(HGO) où, les hologrammes sont synthétisés par des méthodes numériques, ces derniers sont ensuite restitués optiquement. Durant la même période, la reconstruc- tion numérique a été introduite par Goodman et Lawrence [1] et puis par Yaroslavskii, Merzlyakov et Kronrod [2] à partir de la numérisation d’un hologramme traditionnel.

Finalement, l’holographie digitale a connu son essor grâce aux travaux de Schnars et Jüptner [3] qui ont eut l’idée de remplacer le support d’enregistrement par une barrette CCD (Charged Coupled Devices). Les résultats obtenus ont dépassé leurs attentes en termes de flexibilité et de possibilités de traitements qui ne sont pas réalisables par l’holographie traditionnelle.

L’holographie digitale est la seule technique d’imagerie qui permet l’enregistrement et la reconstruction de l’information complète en amplitude et en phase. Son avantage majeur est la possibilité de modification du front d’onde enregistré en vue d’obtenir une représentation idéale. Nous trouvons cette technique dans la majorité des applications métrologiques et notamment dans la mécanique des fluides puisque elle donne une dimension supplémentaire à la détermination des champs de vitesses des différents types d’écoulements.

Dans l’objectif de revoir cette technique sur son aspect appliqué, nous nous sommes intéressés aux développements qu’a connus cette technique sur les plans théorique et pratique notamment le problème de résolution des capteurs optoélectronique qui reste posé comme handicap aux différentes applications de la techniques dans les différents domaines.

Ce travail de thèse est divisé en trois chapitres :

• Le premier chapitre, traite les principes liés à la formation et restitution d’un holo- gramme et la condition nécessaire pour l’enregistrement d’un hologramme sur une matrice de capteurs de type CCD. Pour aborder ensuite le multiplexage hologra- phique utilisé pour remédier au problème de profondeur de focalisation rencontré dans la détection des microparticules ;

• Dans le deuxième chapitre, la théorie de la diffraction est étudiée afin de dégager les modèles adoptés pour la reconstruction holographique. Pour donner ensuite quelques techniques développées dans la littérature pour l’élimination du terme de diffraction d’ordre zéro ;

• Le dernier chapitre (3ème) présente le développement d’un nouvel algorithme de reconstruction et d’agrandissement anisotrope de l’image holographique basé sur la transformée de Fresnel en cascade.

Nous terminons cette thèse par une conclusion et les perspectives futures.

Chapitre 1

Fondement de l’holographie numérique

1.1 Généralités

Le but de ce chapitre n’est pas de donner une description complète des différentes formes et applications de l’holographie classique qui sont déjà développées en détails dans plusieurs livres [4, 5, 6, 7, 8, 9]. Une intéressante vue d’ensemble des dévelop- pements de l’holographie depuis sa découverte par D.Gabor en 1947 [10] jusqu’à ces dernières décennies avec une liste exhaustive de l’histoire des travaux qui ont été me- nés sur cette technique peuvent être trouvés dans la référence [11]. Nous donnons ici seulement une présentation générale de l’holographie, à l’occasion, nous introduisons quelques conventions de vocabulaire et les symboles qui seront utilisés le long de cette thèse. Il est cependant important de mentionner que due au caractère tridimensionnel des images obtenues, l’holographie a toujours exercé une attraction particulière aussi bien dans les communautés scientifiques que dans le grand public. Une quantité consi- dérable des travaux de recherche ont été menés dans les années 50 et 60 et les noms de plusieurs personnalités connues dans le domaine de l’optique ont été liés à l’hologra- phie, parmi eux : D. Gabor, E. N. Leith, A. Lohmann [12], A. Van Der Lught, R. J.

Collier, H.Kogelnik, J. Upatniecks, G. Stroke, N. Hartman, Yu. N. Denisyuk, S. Benton, R. F. VanLigten et J. W. Goodman. Ces travaux constituent une importante source d’inspiration pour le développement de l’holographie numérique.

1.2 Enregistrement et restitution d’un hologramme

Un hologramme résulte de l’interférence entre deux ondes cohérentes qui sont l’onde objet O émanant de l’objet et une onde de référence R, voir figure (1.1). La distribu- tion réelle bidimensionnelle 2−D d’intensitéIH résultant des interférences au plan de l’hologramme xh−yh peut s’écrire comme suit :

IH(xh, yh) = |R(xh, yh) +O(xh, yh)|²

= |R|²+|O|²+R^∗O+RO^∗ (1.1)

On peut clairement voir, à partir de l’équation (1.1), que l’information complète (distribution complexe ) en amplitude et en phase de l’onde objet diffractée O(x_h, y_h) ou son conjugué O^∗ sont contenues dans l’hologramme. En holographie digitale, ce modèle d’interférence, ou hologramme est capturé par une matrice de photodétecteurs, de nos jours, les cameras CCD ou CMOS sont principalement utilisées. Cette acquisition est directement transmise à l’ordinateur sous forme de données numériques pour être traitées ultérieurement ou en temps réel. À noter que la majorité des capteurs CCD disponibles sur le marché fournissent une réponse linéaire avec l’intensité acquise, dans le cas contraire un calibrage est nécessaire pour assurer cette linéarité.

Onde de Référence

Plan d'hologramme

θ Objet

(nuages de particules) Lumiere

Cohérente

Objet diffracté (Onde objet)

x_h

y_h

x_o y_o

z

z

même source lumineuse

Figure 1.1 – Enregistrement d’hologramme hors-axe sur un support photosensible, l’information codée dans l’hologramme provient de la diffusion des particules.

Les deux premiers termes de l’équation (1.1), |R|² +|O|² sont appelés terme de diffraction à l’ordre zéro ou terme DC. Ils sont peu variants dans le temps et dans

l’espace et ne dépendent ni de la phase de R ni celle de O. Ils peuvent être facilement éliminés par les différentes techniques que nous verrons dans la section (2.3) du second chapitre. Par contre, les deux derniers termes, R^∗O +RO^∗, sont appelés terme d’in- terférence, ou terme de modulation qui sont sensibles à la différence de phase entre R et O. Ils doivent être traités pour extraire l’information complète en amplitude et en phase [13]. En holographie classique, l’hologramme est enregistré sur un support photosensible qui sera ensuite développé chimiquement pour devenir une transparence représentant l’hologramme.

Si on suppose que l’onde de référence R est une onde plane d’intensité uniforme qu’on désignera par I_R etI_O l’intensité de l’onde objet dans le plan de l’hologramme ; on admettra aussi que la transmittance est proportionnelle à l’exposition, alors l’éclai- rement de l’hologramme par une onde planeU, appelée onde de restitution, voir figure (1.2). Le champ transmis Ψ(ou front d’onde reconstruit) contient quatre termes.

ψ =UIH(xh, yh) = UIR+UIO+UR^∗O+URO^∗ (1.2)

1. Le premier terme de l’équation.(1.2) est le produit deI_Ravec l’onde d’éclairement Uformant un simple éclairement.

2. Le second terme, le produit de U par l’intensité objet est parfois appelé terme d’ambiguïté, commeI_Oest en général non-uniforme, ils produisent une onde qui se propage le long de la directionUà l’intérieur d’un cône dont l’ouverture angulaire dépend du spectre spatial de l’onde objet.Les deux premiers termes ensembles forment l’ordre zéro de diffraction.

3. Le troisième et le quatrième termes de l’équation (1.2) représentent les termes d’interférence et ils gênèrent deux images conjuguées (jumelles), le terme UR^∗O produit une image virtuelle localisée à la position occupée initialement par l’objet.

Dans le cas où la restitution est accomplie par éclairement de l’hologramme par une réplique de l’onde de référence, c’est à dire (U = R) alors l’image virtuelle est produite par une réplique de l’onde objet multipliée par l’intensité de l’onde de référence I_R. Le quatrième terme URO^∗ produit une image réelle localisée du coté opposé de l’hologramme. Dans la deuxième disposition, où l’hologramme est éclairé dans le sens opposé, c’est à direU=R^∗, l’image réelle est produite par une réplique de l’onde objet conjuguée multipliée par l’intensité de l’onde de référence (I_RO^∗).

Plan d'hologramme

θ

y_i

x_i z Image virtuelle

d

∆d

x_h y_h

z

Onde de Référence

Image réelle

Figure1.2 – Restitution optique du front d’onde complet ou information 3-D de l’objet (nuage de particules) décodée.

En holographie classique, la condition U= R ou U=R^∗ est exigée en particulier pour les hologrammes de volume (ou hologramme épais) pour lequel l’enregistrement des interférences s’effectue dans l’épaisseur de l’émulsion holographique définie la condition de Bragg pour l’onde d’éclairement [14]. Alors que, pour les hologrammes fins, les images tridimensionnelles (3-D) peuvent être observées même si la conditionU=RouU=R^∗ n’est pas complètement satisfaite. Cependant, la qualité d’image restituée peut être altérée ; c’est pour cette raison que dans la reconstruction numérique d’image à contraste de phase, l’onde de référence doit être parfaitement modélisée pour simuler au mieux l’onde de référence utilisée lors du processus d’enregistrement. Ainsi, l’onde de référence modélisée est appelée Onde de référence digitale.

1.3 Configurations holographiques

Dans le travail original de Gabor [10], l’hologramme est enregistré dans une géo- métrie dite en line (in-line), c’est à dire que les deux ondes objet et référence arrivent parallèlement au plan de l’hologramme, figure (1.3(a)). L’inconvénient majeur de cette configuration est que les quatre composantes de l’onde reconstruite Ψ se propagent dans la même direction et ne peuvent être observées séparément. Une alternative à cette configuration en line a été proposée par l’équipe de Leith [15] de l’université du

Michigan qui ont introduit l’idée de la configuration holographique hors-axe (off-axis) qui consiste à séparer les directions des deux ondesO etR par introduction d’un angle entre les deux ondes, figure (1.3(b)). Les différents termes d’interférence varient à des fréquences spatiales différentes ce qui a pour conséquence une séparation des différents termes lors du processus de restitution.

x

y

z

R O

(a)

x

y

z

O R

θ

(b)

Figure 1.3 – Configurations holographiques : (a) en line, l’onde objet et l’onde de référence se propagent en parallèle., (b) hors-axe, l’onde objet et l’onde de référence forment un angleθ.

La figure (1.4) montre le dispositif d’enregistrement holographique à décalage de phase [16], l’une des deux configurations en line ou hors-axe peuvent être appliquée à ce genre de montage. À la seule différence, trois ou quatre hologrammes sont acquis avec une variation de quadrature de phase de l’onde de référence, le décalage de phase est réalisé à l’aide d’un miroir monté sur un transducteur piézo-électrique.

La configuration de Gabor est le montage optique le plus utilisé à cause de sa sim- plicité et la rapidité de sa mise en place demandant le moins d’éléments optiques. On trouve dans la littérature une quantité considérable de travaux liés à cette configura- tion. On peut citer les travaux de Palero et al.(2005) [17], Pu et al.(2005) [18] et bien d’autres. Ce type de montage a aussi montré ses limitations, par la superposition des trois images réelle, virtuelle et directe réduisant considérablement le rapport signal sur bruit (SNR) Koek et al.(2005) [19] et elle tends aussi à amplifier le bruit speckle Pu et al. (2004) [20]. Par contre la configuration à décalage de phase, Yamaguchi (1997)

Figure 1.4 – Configuration d’un montage d’holographie digitale à décalage de phase.

[16] basée sur le même principe supprime les images directe et virtuelle mais exige l’acquisition d’au moins trois hologrammes, ce qui la rends impraticable pour l’étude des turbulences dynamiques de l’écoulement d’un fluide. Les recherches actuelles s’inté- ressent à la configuration hors-axe parce qu’elle permet la séparation spatiale des trois images et élimine ainsi les défauts liés au montage de Gabor. Le travail de collaboration des deux équipes de l’IOMP et du LMFA [21] a aboutis à une conception innovante d’un montage à double vues orthogonales à configuration hors-axe. Ce qui permet déliminer le problème de la profondeur de champs pour une localisation exacte des microparti- cules ensemencés dans un volume en corrélant les informations tridimensionnelle des deux vues.

1.3.1 Les avantages de l’holographie numérique

La différence entre l’holographie classique et l’holographie digitale réside dans l’uti- lisation du matériau d’enregistrement et le procédé dont l’hologramme est restitué ou reconstruit. En holographie classique l’hologramme est enregistré sur une plaque photo- graphique. Après traitement, l’hologramme est rééclairé avec l’onde de référence afin de restituer le front d’onde d’origine. En holographie digitale la plaque photographique est remplacée par des détecteurs photoélectriques CCD/CMOS et l’hologramme enregistré est reconstruit numériquement. Ce processus a plusieurs avantages sur l’holographie

classique :

1. Le temps de développement en holographie classique est assez long et les manipu- lations d’enregistrement sur les supports photosensibles sont laborieuses en plus de la condition d’éclairement exigeant la même onde de référence ;

2. Les hologrammes peuvent être enregistrés à une fréquence vidéo ; 3. Possibilité d’enregistrement avec de faibles intensités ;

4. Reconstruction d’hologramme en temps réel (10 image/seconde) ;

5. L’accès numérique à l’information enregistrée donne la liberté de filtrer l’holo- gramme aussi bien avant que durant la reconstruction du front d’onde ;

6. L’accès numérique à la phase et à l’amplitude du front d’onde reconstruit permet une imagerie à contraste de phase ou à contraste d’amplitude.

Les inconvénients majeurs de l’holographie digitale sont la taille globale de la matrice CCD et la quantification de pixel liée à enregistrement. Une camera CCD standard a une taille de pixel de (2.2 - 15) µm comparée à (0.1-0.3) µm pour les grains des films photographiques. La taille de la surface sensible est souvent moins que (4 x 4) cm² tandis qu’une plaque holographique peut être fabriquée à n’importe quelle taille.

1.4 Conditions d’enregistrement d’un hologramme numérique

1.4.1 Enregistrement sur CCD

La résolution spatiale décrit l’aptitude d’un instrument optique à résoudre les détails d’une image. Les paramètres principaux qui déterminent la résolution spatiale pour un enregistrement sur un capteur CCD sont la taille de pixel et le nombre de pixels. La disposition d’une matrice CCD de N lignes et M colonnes est montrée dans la figure (1.5) et les espacements du centre au centre de deux pixels successifs dans les deux directions orthogonales sont ∆x_h , ∆y_h, s’il existe du vide entre les pixels successifs alors les dimensions effectives des pixels dans les deux directions sont :α∆x_h ,γ∆y_h où α et γ sont les facteurs de remplissage qui prennent dans la majorité des cas la valeur

maximale de 100%. Selon le théorème d’échantillonnage, le signal peut être reproduit fidèlement à partir des données enregistrées sur la matrice CCD jusqu’aux fréquences spatiales maximales ou fréquences de Nyquist :

FN x_h = 1

2∆x_h, (1.3a)

F_{N yh} = 1

2∆y_h (1.3b)

y

x

∆x_h

∆y_h

α∆x_h

γ ∆y_h

N y∆ _h

M x∆ _h

Figure 1.5 – Paramètres et structure d’une matrice CCD/CMOS.

Dans l’analyse qui suit, on suppose l’utilisation d’une onde de référence plane tom- bant en incidence normale sur la matrice CCD, ce qui constitue l’arrangement le plus typique et le plus fréquemment utilisé en holographie numérique, (voir figure.(1.6)),θ est l’angle que forme l’onde objet émit d’un point marginal P et l’onde de référence.

L’interfrange p ou la distance entre deux franges successives formant l’hologramme en H est :

p= λ

2 sin

(θ 2

) (1.4)

N∆y_h

d Objet

Matrice- CCD

y_o y_h

z

θ(Η,P) Onde de référence

ε P

Η

L

Figure 1.6 – Paramètres d’enregistrement d’un hologramme numérique

Un échantillonnage significatif de la distribution d’intensité constituant l’hologramme est garanti, si le théorème d’échantillonnage est vérifié. Le théorème d’échantillonnage exige que la période p (interfrange) doit être échantillonnée avec au moins deux pixels, soit par exemple dans une direction y :

p >2∆y_h, (1.5)

À partir de inverse de l’équation (1.5), on peut exprimer la condition qui lie les fréquences spatiales f des franges holographiques et les fréquences de Nyquist FN y_h, telle que :

f < 1

2∆y_h ≡FN y_h (1.6)

Les paramètres de la matrice CCD, à savoir N, M, ∆x_h et ∆y_h sont fixes ce qui posent des limitations sur l’angle θ. Dans tous les cas pratiques, cet angle reste assez petit, nous pouvons alors considérer que l’approximation sin^(θ₂⁾∼= tan

(θ 2

)≈^(θ₂⁾reste valable dans les calculs. La combinaison des équations (1.4) et (1.5) permet l’obtention

de la limite supérieure de l’angle θ

θ < λ

2∆y_h (1.7)

ou, avec la définition : θ_max = max{θ(H, P) :H, P} , voir figure (1.6)

f < 2 λsin

(θ_max 2

)

(1.8)

À titre de comparaison, nous donnons dans le tableau.(1.1) la liste des résolutions spatiales pour quelques supports d’enregistrement holographiques les plus fréquemment utilisés, l’angle maximalθ_maxest donné pour une longueur d’onde d’enregistrement d’un laser He-Ne λ= 0.6328µm :

Matériaux d’enregistrement Résolution Angle maximal

Holofilm plus de 7000 paire de lines/mm arbitraire Photothermoplastique 750-1250 paire de lines/mm 27^◦ à 47^◦ Megaplus 1.4 (∆yh = 6.8 µm) 73 paire de lines/mm 2.67^◦ PCO 4000 (∆yh = 9 µm ) 55 paire de lines/mm 2.01^◦

Tableau 1.1 – Limite d’angle d’enregistrement pour quelques matériaux photosensibles On peut dire que tant que l’angle entre l’onde de référence et l’onde objet reste assez petit, l’ utilisation des barètes CCD pour l’enregistrement des hologrammes est possible (la condition du théorème d’échantillonnage est toujours satisfaite). La restriction sur l’angle est obtenue soit par l’utilisation des objets de dimensions latérales assez petites soit par l’emplacement des objets assez loin de la barète CCD.

Une solution au problème de la taille et de l’emplacement des objets sera l’intro- duction de composants optiques pour réduire l’image de tels objets sur la barète CCD.

Soit un objet d’extension latérale (L_Y) (figure (1.6)) dans la direction y placé symétri- quement par rapport à l’axe optique, et une onde de référence plane se propageant le long de l’axe optique tombant en incidence normale sur la barète CCD, on peut donc

calculer l’extension de l’objet (LY) pour chaque distance d. Nous avons :

tanθ=

LY

2 + ^N∆y₂ ^h

d (1.9)

La combinaison de l’équation (1.9) avec la condition (1.7) de l’angle maximal donne :

LY

2 + ^N∆y₂ ^h

d < λ 2∆yh

(1.10)

ce qui donne l’extension latérale de l’objet L_Y en fonction de la distanced

L_Y (d)< λd

∆y_h −N∆y_h (1.11)

ou inversement l’inégalité (1.11) peut aussi définir la distance minimale requise entre l’objet d’extension latérale (L_Y) et le support d’enregistrement, donc :

d(L_Y)> (L_Y +N∆y_h) ∆y_h

λ (1.12)

Dans la dérivation précédente, nous avons admis que tous les pixels de la barète CCD avec tous les points objets satisfont le théorème d’échantillonnage. Une exigence moindre peut être appliquée en supposant que le théorème d’échantillonnage satisfait seulement un point objet non marginal, d’où l’introduction de l’angle ϵ défini par :

tanε=

LY

2 − ^N∆y₂ ^h

d (1.13)

au lieu de l’équation (1.11), on a

L_Y (d)< λd

∆y_h +N∆y_h (1.14)

ou inversement

d(L_Y)> (L_Y −N∆y_h) ∆y_h

λ (1.15)

Dans ce cas, des objets plus larges peuvent être enregistrés, mais en conséquence, l’information des points marginaux de l’objet qui utilisent ces limites ne sont pas fidè- lement enregistrés car ils n’utilisent que quelques points de diffusion pour l’enregistre- ment de l’hologramme. Le résultat final apparaît bruité et avec un faible contraste ce qui donne une reconstruction peu fiable. Donc un compromis doit être établi pour le choix de la distance d’enregistrement, une formule empirique donnant la distance entre l’objet et la CCD doit être respectée, au moins :

d > L_Y ∆y_h

λ (1.16)

L’auteur de la référence [22] a montré expérimentalement que cette distance est suffisante pour l’enregistrement des hologrammes de particules.

1.4.2 Réduction de l’angle d’imagerie

Dans la majorité des applications métrologiques, nous avons à manipuler et à me- surer des objets de grande taille, par exemple pour une dimension latérale de 50 cm et avec les paramètres d’enregistrement suivant N = 1024, ∆y_h = 9 µm il nous faut 5.4 m de distance entre l’objet et la CCD, ce qui n’est pas pratique, sachant que l’indice de réfraction varie significativement durant l’enregistrement holographique ou entre deux enregistrements successifs (HPIV), l’isolation de la vibration devient plus difficile, ou plus simplement l’enceinte du laboratoire est limitée. Dans de tels cas, le front d’onde l’objet réfléchi peut être réduit significativement par l’utilisation d’une lentille [23].

La figure (1.7) illustre le principe de l’utilisation d’une lentille divergente. Dans ce cas, l’objet considéré n’est plus l’objet lui-même avec une extension Ly mais son image virtuelle (Lv), ce qui a pour effet de réduire considérablement l’angle d’imagerie. En général lors d’un enregistrement d’un objet avec des dimensions données, les paramètres qui caractérisent cet enregistrement sont fixes à savoir l’extension de l’objet, la taille

Objet

θ

CCD

Lentille divergente

Y_v

s a

s ' ^x

f f '

Image virtuelle de l'objet L_Y

Figure1.7 – Réduction de l’angle d’imagerie par l’utilisation d’une lentille divergente.

de pixel CCD (∆xh ×∆yh), le nombre de pixels (N ×M) et la longueur d’onde λ. À partir de ces quantités, on peut calculer la distance a qui sépare la lentille divergente et la barète CCD en se basant sur la formule de conjugaison des lentilles minces :

1 s − 1

s^′ = 1

f (1.17)

s est la distance séparant l’objet et la lentille, s^′ est la distance image séparant l’image virtuelle et la lentille, l’agrandissement transversal est défini par :

β_T = Y_V

Y_L =− f

s−f (1.18)

Y_V est l’extension latérale de l’image virtuelle. Avec les relations :

tanθ =Y_V/[2(a+s^′)], Y_V =Y_Lf /(f −s) et s^′ =Y_Lf /(f−s), nous obtenons :

a= −Y_Lf

2 (s−f) tanθ + f s

s−f (1.19)

Dans l’étape de reconstruction, pour un hologramme enregistré comme indiquée ci- dessus, nous avons à considérer la distance entre la petite image virtuelle de l’objet et

la CCD, qui est maintenant d=a+s^′ au lieu de la distances+a.

CCD

Objet

θ Lentille

convergente Image réelle de l'objet

Y_v

f x f

s '

s x a

Y_L

Figure 1.8 – Réduction de l’angle d’imagerie par l’utilisation d’une lentille conver- gente.

La deuxième possibilité de réduire l’angle de champ est l’utilisation d’une lentille convergente avec une distance focale (f) positive, l’équation (1.19) devient alors :

a= +Y_Lf

2 (s−f) tanθ + f s

s−f (1.20)

Limage est réelle et apparaît renversée. Cependant, l’utilisation d’une lentille di- vergente est plus pratique car la longueur totale s+a de l’arrangement du montage est plus courte, et par conséquent son utilisation est plus recommandée. Les auteurs Mundt et al.[24] ont proposé récemment des configurations composées de plusieurs len- tilles convergentes et divergentes pour la résolution du problème de l’enregistrement d’un objet de grande taille.

Une autre approche proposée par les auteurs des références [25, 26] pour réduire le grand angle de champs causé par la grande taille de l’objet consiste à introduire une ouverture de dimension appropriée entre l’objet et la CCD, figure (1.9), cette ouverture bloque les faisceaux lumineux qui font un grand angle avec le faisceau de référence. Cette technique sert à restreindre l’angle maximal entre l’onde objet et l’onde de référence.

Comme on peut le constater dans la figure (1.9) seulement l’information des points venant de la région centrale de l’objet vont être complètement enregistrés, là où tous les pixels de la CCD contribuent à l’enregistrement de cette information. À cause de l’effet du vignettage, plusieurs enregistrements doivent être effectués en déplaçant l’ouverture pour couvrir le champ complet de tout l’objet.

objet étendu

plan d'ouverture

CCD region centrale

P

H

Y_L

Figure 1.9 – Réduction de l’angle d’imagerie par l’utilisation d’ouverture.

1.4.3 Onde de référence

La restitution optique d’un hologramme traditionnel passe par l’éclairement de ce dernier par la même onde de référence utilisée lors du processus d’enregistrement, cet éclairement va engendrer le phénomène de diffraction qui résulte en un front d’onde re- construitΨ; voir équation (1.2). En holographie digitale, la reconstruction est accomplie en multipliant la distribution d’intensité de l’hologramme enregistré sous forme numé- rique avec un modèle numérique de l’onde de référence ensuite un opérateur diffractif est appliqué pour déterminer la distribution complexe du champ reconstruit. Nous al- lons présenter les trois modèles d’onde de référence les plus couramment utilisés. L’onde de référence la plus facile à manipuler dans tous les traitements numériques est l’onde plane éclairant normalement la matrice CCD, figure(1.10)

La description numérique de l’onde de référence plane non inclinée est :

R(x_h, y_h) = A_r+ 0.0i (1.21)

Nous avons une distribution réelle pure avec une amplitude A_r constante, sachant que tout facteur d’intensité constant n’a aucune influence dans l’évaluation numérique, il est donc possible de le négliger et d’utiliser seulementR(x_h, y_h) = 1 comme onde de référence. Une multiplication de l’hologramme avec cette onde de référence ne change en rien la distribution de l’hologramme, dans ce cas la multiplication est omise.

y

y

z

Figure 1.10 – Onde de référence plane en incidence normale sur la matrice CCD.

Pour la modélisation de la deuxième onde de référence, considérons une onde plane inclinée au plan y_h −z d’un angle θ, le vecteur d’onde d’une telle onde de référence est : k = ^2π_λ (0,sinθ,cosθ). Pour tous les points de l’hologramme r = (x_h, y_h, z), nous avons :

y

y

z θ

Figure 1.11 – Onde de référence plane en incidence oblique

R(x_h, y_h) = A_rexp [i(k·r+ϕ)]

= A_rexp

[

i

(2π

λ y_hsinθ+2π

λ zcosθ+ϕ

)]

= A_rexp

[

i

(2π

λ zcosθ+ϕ

)]

exp

(

i2π

λ y_hsinθ

)

(1.22)

Le premier des deux termes en exponentiels dans la dernière ligne de l’équation (1.22) est un facteur de phase constant sur tout l’hologramme, il peut être omis dans tous les processus de simulation ou de reconstruction réelle, et l’onde de référence plane en éclairage sous un angle oblique est :

R(x_h, y_h) =A_rexp

(

i2π

λ y_hsinθ

)

(1.23) Le dernier et important modèle d’onde de référence qu’on rencontre souvent dans la littérature est l’onde sphérique divergeante d’un point source P (x_P, y_P, z_P), figure (1.12) :

y

y

z

d

P

Figure 1.12 – Onde de référence sphérique

R(x_h, y_h) = A_rexp [i(k·ρ+ϕ)] (1.24) avec la distance ρ =

√

(x_h−x_P)²+ (y_h−y_P)²+ (z_h−z_P)². Deux possibilités sont offertes dans le processus de reconstruction, soit par l’utilisation d’une onde sphérique divergente (1.24) ou par son conjuguée (onde sphérique convergente) donné par

R(x_h, y_h) = A_rexp [−i(k·ρ+ϕ)] (1.25) La multiplication de l’hologramme par l’onde de référence divergente (1.24) résulte en un front d’onde qui diverge de l’image virtuelle dans le plan objet. La multiplication

de l’hologramme par l’onde de référence convergente (1.25) reconstruit un front d’onde qui converge à l’image réelle dans le plan image. Le cas spécial pour lequelzP =d c’est à dire le point source de l’onde de référence est compris dans le plan objet correspond à l’holographie de Fourier oulensless Fourier transform holography.

1.5 Multiplexage holographique

Le multiplexage holographique a été proposé pour la première fois par Lloyd Cross [14] pour un but d’affichage, dont lequel une série d’hologrammes d’un processus dy- namique sont séquentiellement enregistrés sur un seul support holographique. Cette technique est particulièrement utilisée en holographie de particules pour palier au pro- blème de la profondeur de champ (PDC), qui se manifeste lors de la reconstruction numérique en scannant l’étendue du volume par variation de la distance de reconstruc- tion. Il se caractérise par une ambiguïté demplacement de particules détectées par une présence répétitive dans les plans de scannage. On confond alors une particule nette au plan de focalisation (emplacement exact) aux particules légèrement floues hors plan de focalisation (emplacement inexact).

Figure 1.13 – Dispositif optique de vélocimétrie de particule par imagerie hologra- phique hors axe, diffusion à 90-degrés, enregistrement d’un champs de particules sur plaque holographique à émulsion

Les auteurs Meng et al. [27] utilisent lors de l’enregistrement un très grand angle (grande ouverture), entre les deux faisceaux de référence et objet (issu de la diffusion à 90 degrés des microparticules), car vraisemblablement l’augmentation de l’angle entre les deux ondes objet et référence a pour effet de réduire la profondeur de champ. Dans le montage optique montré dans la figure (1.13) les deux faisceaux sont issus d’un Laser YAG émettant une double impulsions : indépendantes et cohérentes temporairement et spatialement. Les deux impulsions sont séparées par un lapse de temps assez court pour permettre une double expositions pour l’utilisation de la technique de vélocimétrie de particule par imagerie holographique (VPIH). Le multiplexage s’effectue sur une plaque holographique à émulsion placée en face du champ de particules.

Figure 1.14 – Restitution hybride, acquisition d’image sur un support optoélectro- nique (CCD).

Après l’enregistrement et le traitement chimique de l’hologramme, l’étape finale est la restitution qui consiste à extraire l’information de la localisation des microparticules pour chaque temps d’exposition, la procédure qui a été adoptée par les auteurs peut être résumée comme suit :

1. 1^er temps d’exposition (1^er pulse) −→ Extraction des centroïdes des microparti- cules à partir du critère de la maximisation d’intensité

2. 2^éme temps d’exposition (2^éme pulse)−→Extraction des centroïdes des micropar- ticules à partir du critère de la maximisation d’intensité

3. Détermination des champs de vitesses à partir de la corrélation croisée des cen- troïdes microparticules des deux temps.

La restitution est assistée par un dispositif optoélectronique pour l’acquisition de l’image réelle tridimensionnelle, d’où l’appellation de "reconstruction hybride" qui né- cessite l’utilisation de moyens supplémentaires, une caméra électronique CCD et des microcontrôleurs de déplacement pour le scannage du volume tridimensionnel. Le mon- tage optique reste le même qu’à l’enregistrement excepté que le faisceaux objet est bloqué, figure (1.14).

Dans le but de simplifier le montage optique précédemment décrit, Sheng et al. [28]

ont introduit l’approche "un faisceau deux vues", figure (1.15), qui maintient les avan- tages de l’enregistrement de deux vues orthogonales, et n’exige qu’une seule fenêtre d’interrogation avec un seul enregistrement. Cette méthode est basée sur l’emplace- ment d’un miroir dans la section qui réfléchit l’onde objet à un angle de 45 degrés. Les particules localisées dans le volume dans lequel l’onde incidente et réfléchie sont dou- blement éclairées dans des directions orthogonales, figure.(1.16(a)). Les deux vues sont enregistrées sur le même hologramme à configuration hors-axe. Les deux vues réduisent l’incertitude de l’emplacement 3-D des microparticules de quelques micromètres. La correspondance des deux vues exige une détermination précise de l’emplacement et de l’orientation du miroir

Figure 1.15 – Dispositif holographique hors-axe pour l’enregistrement (ligne conti- nue) et la reconstruction (ligne en tirets) par l’utilisation de la diffusion directe des microparticules .

(a) (b)

Figure1.16 – Principe de vélocimétrie de particules par imagerie holographique à deux vues obtenues à partir d’un seul faisceau : (a) Étape d’enregistrement ; (b) Étape de reconstruction

1.5.1 Multiplexage spatial en holographie digitale

La figure (1.17) montre la configuration utilisée dans notre expérimentation, qui marque une transition vers l’holographie numérique et une alternative aux montages des travaux décrits par les auteurs [27,28] et bien d’autres [29]. Cette technique appartient à la catégorie du multiplexage holographique spatial [21]. Elle a été développée au LMFA (laboratoire de mécanique des fluides et acoustique) avec la collaboration de l’IOMP (Institut d’optique et mécanique de précision). Elle consiste à enregistrer simultanément l’information complète du même objet 3-D venant des deux vues orthogonales, c’est à dire, l’onde objet diffractée directement O₁ et l’onde objet diffractée orthogonalement O₂. L’idée derrière cette configuration est de résoudre le problème de la profondeur de focalisation qu’on rencontre en holographie de particules par croisement des deux vues orthogonales. Une des exigences nécessaires dans de telles configurations est que la longueur du chemin optique entre les deux ondes objets diffractées doit être assez grande afin de séparer en profondeur des deux images orthogonales lors de la focalisation numérique. De plus, un décalage angulaireδθ≃0.5^◦ entreO₁ etO₂ est exigé pour éviter le chevauchement des composantes fréquentielles des deux ondes objets diffractées. Cela est accompli en contrôlant légèrement la rotation du miroir M4 ; par conséquent, dans toutes les expérimentations numériques, la technique du filtrage spatial [30] est utilisée pour extraire les champs d’ondes diffractés.

M1

M2

M3 M4

BS3

BS1

BS2

FS

D L

He-Ne LASER

Multispectral Argon Laser

PCO 4000 CCD CAMERA

1cm

1cm

R O₁

O₂ O₁

O₂

Fiole Quartz

O₁ O₂ Fiole δθ

Quartz

Figure 1.17 – Montage holographique à deux vues orthogonales.

Formation d’hologramme composite

La distribution d’intensité d’un hologramme composite formé de n ondes objets O_i et une seule onde de référence R est formulée par :

IH = (

∑n l=1

Ol+R)(

∑n l=1

Ol+R)^∗ (1.26)

On peut facilement montrer que l’intensité de l’hologrammeIH contient les trois termes : 1. L’ordre zéro :

|R|²+

∑n l=m

OlO^∗_m=|R|²+

∑n l=1

|Ol|²

2. Le terme de modulation qui contient l’information : 2^∑

l

ℜe{R^∗Ol}= 2^∑

l

ℜe{RO^∗_l}

3. L’interférence entre les différentes ondes diffractées « Speckle » : 2

∑n

l̸=mℜe{O_l^∗O_m}= 2

∑n

l̸=mℜe{O_lO_m^∗}

Dans notre cas, n= 2, l’intensité de l’hologramme acquise par la matrice CCD est :

I_H = (R+O₁+O₂^S)(R+O₁+O₂^S)^∗ (1.27)

= |R|²+|O1|²+O^S₂²+O1

(

O^S₂

)_∗

+O^∗₁O^S₂ +R^∗O1+RO₁^∗+R^∗O^S₂ +R

(

O^S₂

)_∗

Il est important de modéliser toute les ondes qui interviennent lors de la formation de l’hologramme composite ; l’onde de référence utilisée dans l’expérimentation est une onde plane inclinée de la forme :

R(x_h, y_h) =rexp [i2π(x_hα_x+y_hα_y)] (1.28a) (αx, αy) =

(sinθ_x

λ ,sinθ_y λ

)

(1.28b) θx et θy sont des angles que forme l’onde de référence plane avec O1 dans les plans respectifs z−xh etz−yh.