Méthodes numériques

Plusieurs méthodes numériques sont offertes pour la réduction du terme DC, par exemple Chen et al. [34] exploitent la supériorité de l’intensité de l’onde de référence par rapport à celle de l’onde objet pour introduire des approximations dans l’équation (1.1). Ils obtiennent une expression qui ne contient que l’information de l’image réelle et l’image virtuelle : RO^∗ +R^∗O ∼_{=IH − |R|}2− ( I_H − |R|2)₂ 2 ( IH +|R|2) Méthode de Kreis

Cette méthode a pour but principal de soustraire le terme répétitif (convolution) sur l’hologramme entier constitué par le terme de basses fréquence (DC) [35]

H(0,0) = N∑−1 n=0 M∑−1 l=0 I_H(n∆x_h, l∆y_h)R^∗(n∆x_h, l∆y_h)

Le terme DC n’est autre que la moyenne des valeurs d’intensité de l’hologramme : I_Hmoy = ¹ M N N∑−1 n=0 M∑−1 l=0 I_H(n∆x_h, l∆y_h)R^∗(n∆x_h, l∆y_h)

La nouvelle distribution d’intensité de l’hologramme sur laquelle s’effectue la recons-truction est donnée par :

IH′_(n∆x

La suppression de la basse fréquence consiste en un filtrage passe haut, ou son complément, c’est à dire, une soustraction d’un filtre passe bas qui prend la forme discrétisée suivante : I^′_H(n∆x_h, l∆y_h) = I_H(n∆x_h, l∆y_h)−¹ 9{I_H[(n−1)∆x_h,(l−1)∆y_h] + I_H[(n−1)∆x_h, l∆y_h] +I_H[n∆x_h,(l+ 1)∆y_h] + (2.57) I_H[n∆x_h,(l−1)∆y_h] +I_H[n∆x_h,(l+ 1)∆y_h] + I_H[(n+ 1)∆x_h,(l−1)∆y_h] +I_H(n∆x_h, l∆y_h) + I_H[(n+ 1)∆x_h, l∆y_h] +I_H[(n+ 1)∆x_h,(n+ 1)∆y_h]}

Filtrage par le Laplacien

Sur le principe de la méthode précédente les auteurs Liu et al [36] proposent d’ef-fectuer un filtrage passe haut consistant en l’application d’un Laplacien :

∇2f(x, y) = ^∂

2f(x, y) ∂x2 +^∂

2f(x, y) ∂y2

La forme discrète du Laplacien appliquée à la distribution de l’intensité de l’holo-gramme est :

∇2{IH} = ¹

∆x_h∆y_h {4IH(k∆xh, l∆yh) −IH((k+ 1)∆xh, l∆yh)− (2.58) I_H((k−1)∆x_h, l∆y_h)− I_H(k∆x_h,(l+ 1)∆y_h)−I_H(k∆x_h,(l−1)∆y_h)}

Filtrage spatial

Comme nous l’avons vu dans le chapitre 1 (voir page 27), la configuration hologra-phique hors-axe permet une séparation spatiale et fréquentielle des ordres de diffrac-tion. La représentation spectrale de l’hologramme multiplexé est montrée dans la figure

(2.6(a)). L’ordre sélectionné dans la figure (2.6(b)) est mathématiquement donnée par

quantité, ainsi la réplique exacte du front d’onde complexe diffractée est O₁(x_h, y_h) = F−1[ ˜ O₁(f_x, f_y)] (2.59) * 1

rO%

rO%

rO%

Figure2.6 – Principe du Filtrage spatial dans le domaine spectral :(a)Représentation de la sélection de l’ordre d’intérêt du spectre de l’hologramme multiplexé ; (b) Ordre d’intérêt filtré par l’application du masque binaire.

Chapitre

3

Reconstruction par transformée de Fresnel

en cascade

Résumé

Nous présentons un algorithme qui permet le contrôle direct de la résolution de sor-tie d’une image holographique reconstruite par la transformée de Fresnel en cascade. La méthode proposée est principalement exprimée avec les termes d’agrandissements afin d’éliminer la difficulté de l’ajustage des distances et de fournir une résolution désirée. Aussi, avec le profit de la séparabilité de la transformée de Fresnel numérique, la mé-thode peut accomplir un agrandissement anisotrope pour rééchelonner la résolution de sortie dans les directions orthogonales. L’intervalle des valeurs d’agrandissement utilisé a été établi avec le respect du théorème d’échantillonnage de Nyquist. Les résultats de simulation et d’expérimentation sont fournis pour montrer l’efficacité de la méthode utilisée. Plus encore, cette méthode est extrêmement utile pour la superposition ou pour la comparaison des images reconstruites à des résolutions multi-échelles.

3.1 Introduction

L’holographie digitale (HD) étant une puissante technique d’imagerie tridimension-nelle qui permet l’enregistrement et l’extraction d’un front d’onde en amplitude et en phase [13, 38]. Le modèle d’interférence, ou hologramme résultant de l’interférence de l’onde de référence et de l’onde diffractée objet est enregistré et numérisé directement sur des capteurs photosensibles CCD/CMOS, qui est ensuite reconstruit numérique-ment par un des modèles décrivant le processus de diffraction.

Les trois algorithmes les plus couramment utilisés pour le décodage de l’information contenue dans l’hologramme sont la méthode du spectre angulaire (ASM), la convolu-tion (CVM) et la méthode de la transformée de Fresnel (FTM)[39, 40, 41]. Ces algo-rithmes montrent une différence en terme de résolution de sortie (RS), par exemple la CVM ou l’ASM donnent une RS constante égale à la taille du pixel du photodétecteur indépendamment des paramètres d’enregistrements (longueur d’onde et distance de re-construction), mais ils ne permettent que la visualisation et la représentation des objets qui sont plus petits que la taille de la matrice du détecteur. Cependant, la FTM est plus pratique pour la reconstruction des objets de grande taille mais la RS dépend des paramètres d’enregistrement et ceux du photodétecteur (taille physique du détecteur, taille de la matrice de l’hologramme enregistré), qui font que son utilisation est problé-matique pour plusieurs applications telles que la détection en holographie de particules et holographie numérique à plusieurs longueurs d’ondes (Multiplexage chromatique).

Plusieurs méthodes ont été développées pour résoudre le problème mentionné, par exemple, Alfieri et al. [42] adoptent la stratégie d’interpolation par la procédure de remplissage des zéros. Cette méthode permet la superposition des images reconstruites avec la FTM pour des hologrammes enregistrés à des différentes distances et/ou lon-gueurs d’onde, mais elle est limitée à l’échelle des résolutions de Fresnel. Li et al. [43,44] exploitent les équations d’imagerie holographique classique pour une onde de référence sphérique pour développer un algorithme d’agrandissement basé sur la CVM. Cepen-dant, la RS n’a pas été explicitement formulée avec la résolution d’entrée (RE), en plus d’une préalable connaissance de la taille de l’objet. Récemment, Restrepo et al. [45] ont proposé une méthode d’agrandissement ajustable dans la reconstruction des images holographiques par introduction, dans le noyau de la transformée de Fresnel, l’identité de Bluestein. Ils obtiennent une formulation numérique appelée, transformée de Fresnel-Bluestein, qui peut être calculée par la convolution discrète. Afin d’assurer

la circularité des deux fonctions de convolution, la procédure de remplissage de zéros est nécessaire.

Nous proposons dans ce chapitre une méthode basée sur une modification de la transformée de Fresnel en cascade [37]. Le principe de cette méthode est basé sur la double propagation par l’introduction d’un plan fictif qui sert comme plan intermédiaire pour la propagation finale. Notre méthode, surmonte non seulement le problème du réglage des distances cité dans la référence [46, 47] mais également, elle apporte une solution efficace à un grand nombre de problèmes tels que : la superposition des images holographiques reconstruites à différentes échelles de résolution. Dans un cas particulier, elle peut être utilisée comme une alternative à la méthode de remplissage de zéros [42].