Cours d’automatique

(1)

Cours d’automatique

T. Chateau

2008-2009

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Table des matières

1 Comportement temporel des systèmes du 1er et 2ème ordre 1

1.1 Les modèles du 1er ordre . . . 1

1.1.1 Intégrateur (1 p) . . . 1

1.1.1.1 Réponse impulsionnelle . . . 2

1.1.1.2 Réponse indicielle . . . 3

1.1.1.3 Réponse à une rampe . . . 4

1.1.1.4 Réponse à une entrée sinusoïdale . . . 4

1.1.2 Système de la forme K 1 +τ p . . . 4

1.1.2.1 Régime libre . . . 5

1.1.2.2 Réponse impusionnelle . . . 5

1.1.2.3 Réponse indicielle . . . 6

1.1.2.4 Réponse à une entrée rampe . . . 7

1.1.2.5 Réponse à une entrée sinusoïdale . . . 8

1.2 Les modèles du second ordre . . . 9

1.2.1 Etude de l’équation caractéristique sans second membre . . . . 9

1.2.1.1 ξ >1 (Régime apériodique) deux racines réelles . . . 10

1.2.1.2 ξ = 1 (Régime critique) deux racines doubles réelles . 10 1.2.1.3 ξ <1(Régime pseudo périodique) deux racines complexes conjuguées . . . 10

1.2.1.4 Régime libre pour ξ < 1 . . . 10

1.2.1.5 Réponse impulsionnelle . . . 11

1.2.1.6 Réponse indicielle (échelon de commande)ξ <1 . . . 13

1.2.1.7 Réponse à une rampe . . . 13

1.2.1.8 Terme de retard e⁻^{τ p} =e⁻^{τ jω} . . . 14

1.3 Plan de Nyquist (lieu de Nyquist) . . . 14

1.3.1 Prenons un exemple pour F(jω) = 1 +jωτ = 1 + jω ω0 . . . 14

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1.3.2 F(jω) = 1

1 +jωτ . . . 14

1.4 Lieu de Black . . . 15

1.4.1 Représentation du gain k . . . 16

1.4.2 Termes enk(p)^α ou encore k(jω)^α . . . 16

1.4.3 Termes en(1 +τ p)^β : (1 +jωτ)^β . . . 17

1.4.4 Termes (1−Zp)^β = (1−jωτ)^β . . . 18

1.4.5 Termes du second ordre (1 + 2ξp ωn + p² ω_n²)^γ = (1− ω² ω_n² +j2ξω ωn )^γ 18 2 Stabilité des systèmes asservis 21 2.1 Définition générale . . . 21

2.2 Critère d’application général . . . 22

2.2.1 Critère de Routh . . . 22

2.2.2 Application à l’étude de la stabilité d’un processus . . . 23

2.2.3 Critère de Nyquist . . . 24

2.3 Critère simplifié : critère du revers . . . 24

2.4 Notion de robustesse de la stabilité . . . 25

2.4.1 A partir de la réponse indicielle . . . 25

2.4.2 A partir de la réponse fréquentielle (facteur de résonnance) . . 25

2.4.3 Définition de la marge de phase et de la marge de gain . . . . 25

2.4.4 Définition de la marge de retard . . . 26

3 Précision des systèmes asservis 27 3.1 Précision dynamique d’un système du premier ordre à retour unitaire 27 3.1.1 En boucle fermée : . . . 28

3.2 Précision dynamique d’un système du second ordre à retour unitaire . 29 3.2.1 Erreur du système à une entrée échelon (asservissement en position) . . . 30

3.3 Précision statique . . . 31

3.3.1 Définition des erreurs stationnaires : . . . 31

3.3.1.1 Pour une entrée de type échelon de commande . . . . 32

3.3.2 Pour une entrée de type rampe (commande en vitesse) . . . . 32

3.3.2.1 Pour une commande en accélération . . . 32

3.3.3 Conclusion . . . 33

4 Correction des systèmes continus asservis 35 4.1 Problématique . . . 35

4.2 Notion de réglabilité . . . 36

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Table des matières iii

4.3 Correcteurs classiques . . . 37

4.3.1 Résumé des objectifs . . . 37

4.3.2 Définition des actions proportionnelle, intégrale et dérivée . . 37

4.3.3 Régulateur à action proportionnelle . . . 38

4.3.4 Correcteur proportionnel dérivé . . . 38

4.3.5 Correcteur à avance de phase . . . 38

4.3.6 Correcteur à action proportionnelle et intégrale . . . 39

4.3.7 Correcteur à retard de phase . . . 40

4.3.8 Le correcteur à action proportionnelle, intégrale et dérivée . . 41

5 Systèmes numériques, régulation numérique 43 5.1 Introduction . . . 43

5.2 Rappels sur les signaux à temps discret . . . 43

5.2.1 Description des signaux . . . 44

5.2.2 Signaux fondamentaux . . . 44

5.2.2.1 Echelon unitaire Γn. . . 45

5.2.2.2 Impulsion unitaire δn . . . 45

5.2.3 Outil mathématique pour les signaux discrets : la transformée en Z . . . 46

5.2.4 propriétés de la transformée en Z . . . 47

5.2.4.1 Linéarité . . . 47

5.2.4.2 Convolution . . . 47

5.2.4.3 Avance/retard . . . 47

5.2.4.4 Somme . . . 47

5.2.4.5 Théorème de la valeur finale . . . 48

5.2.4.6 Théorème de la valeur initiale . . . 48

5.2.5 Fonction inverse T Z⁻¹ . . . 48

5.2.6 Equations récurrentes <=> T Z . . . 48

5.3 Fonction de transfert, stabilité et performances . . . 49

5.3.1 Fonction de transfert d’un processus muni d’un bloqueur d’ordre zéro (B0Z) . . . 49

5.3.2 Transformée en Z modifiée (étendue) . . . 50

5.3.3 Stabilité des systèmes dans le plan Z . . . 50

5.3.4 Critère de Jury . . . 50

5.3.5 Forme standard de F(z) . . . 51

5.3.6 Précision . . . 51

5.3.7 La cadence d’échantillonnage . . . 52

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5.4 Modèle numérique du second ordre . . . 52

6 Synthèse d’un correcteur aux instants d’échantillonnage 55 6.1 Introduction . . . 55

6.2 Généralités . . . 55

6.2.1 Factorisation et séparation d’une transmittance . . . 55

6.2.1.1 Factorisation . . . 55

6.2.1.2 Séparation . . . 55

6.2.2 Structure en cascade (boucle ouverte) . . . 56

6.2.3 Système bouclé . . . 57

6.3 Synthèse de correcteurs numériques par la méthode des pôles dominants 58 6.3.1 Introduction . . . 58

6.3.2 Description de la méthode . . . 58

6.3.2.1 Modèle à atteindre . . . 58

6.3.2.2 Structure du correcteur . . . 59

6.3.2.3 Calcul des paramètres . . . 59

6.3.3 Exemple . . . 60

6.3.3.1 Calcul du modèle . . . 60

6.3.3.2 Structure du correcteur . . . 61

6.3.3.3 Equation caractéristique . . . 62

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Chapitre 1

Comportement temporel des systèmes du 1er et 2ème ordre

L’intérêt des modèles du premier et second ordre est que de nombreux phéno- mènes physiques peuvent être assimilés à des comportements de ce type :

– Télécommunications, – astronomie,

– radar,

– contrôle industriel, – économie,

– géologie, – médecine...

Il est donc important d’en étudier la réponse aux différents signaux élémentaires.

Notons que la réponse à une combinaison de ces signaux élémentaires sera donnée par la combinaison des réponses à chacun de ces signaux.

1.1 Les modèles du 1er ordre

1.1.1 Intégrateur ( 1 p )

u(p) 1/p y(p)

F(p) = y(p) u(p) = 1

p →

py(p) =u(p)

˙

y=u (1.1)

Dans un intégrateur, la sortie intègre le signal d’entrée.

Remarque : Attention aux conditions initiales :

Siu(t) = 0 et y^.= 0 =⇒y(t) =constante=y(t0)∀t∈t0

Alors, la sortie garde sa valeur initiale.

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(8)

1.1.1.1 Réponse impulsionnelle

u(t) =aδ(t−t0) ety(t0) = 0 pourt ≤t0

y(t) = Z t

t0

aδ(λ−t0)dλ=a (1.2)

La réponse d’un intégrateur à une impulsion de dirac est une constante. Le même résultat peut être obtenu en utilisant la Transformée de Laplace :

F(p) = Y(p)

U(p) =⇒Y(p) =U(p)F(p) si u(t) =aδ(t−t0) =⇒U(p) =ae⁻^t^o^p

d’où y(p) =a.e⁻^t^o^p.1 p Avec e⁻^t^o^p.1

p → échelon retardé

(1.3)

y(t) =a.Γ(t−t0) (1.4)

a

y(t)

t0

Remarque :

Si y(t0) = y0 6= 0, alors la réponse impulsionnelle s’ajoute à y0 :

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1.1 Les modèles du 1er ordre 3

y(t)

t0

a+y0

t y0

1.1.1.2 Réponse indicielle

La réponse indicielle est la réponse à un échelon de commande.

u(t) =aΓ(t−t0)→U(p) = a

pe⁻^t^o^p (1.5)

Nous avons toujours : y(p) = F(p)U(p)

= 1

p.a

pe⁻^t^o^p (1.6)

Y(p) = a

p²e⁻^t^o^p : rampe retardée de t0 et de pente a (1.7)

Avec y(t) = a(t−t0) (1.8)

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(10)

y(t)

t0

t y0

Sortie

1.1.1.3 Réponse à une rampe

u(t) =a(t−t0), l’intégrateur aura en sortie une réponse parabolique.

1.1.1.4 Réponse à une entrée sinusoïdale

Siu(t) = acoswt y(t) = a

w sin wt= a

w cos(wt− π

2) (1.9)

Le signal de sortie est déphasé de π

2 et son amplitude est divisée par la pulsation w.

1.1.2 Système de la forme K 1 + τ p

Ce sont des systèmes dont le fonctionnement est régi par une équation différen- tielle faisant intervenir une variable et sa dérivée :

τdy

dt +y=Ku(t) (1.10)

Avec :

– τ : constante de temps du système

– K : gain statique. Si u(t) = u0 = constante et que le système est stable (il n’évolue plus en sortie) : dy

dt = 0

y(t) = Ku0 (1.11)

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(11)

Par Laplace, il vient (pour des conditions initiales nulles) :

τ p Y(p) +Y(p) =KU(p) (1.12) Y(p)

U(p) = K

1 +τ p (1.13)

1.1.2.1 Régime libre

Le régime libre est la réponse du système en l’abscence d’entrée. C’est la solution de l’équation différentielle sans second membre.

τ dy

dt +y= 0 (1.14)

y=−τ dy

dt →y(t) =y(0)e⁻^t/τ (1.15) L’evolution de la sortie en fonction du temps est donnée par la courbe ci-dessous :

τ y(0)

0 t y(0)

e

Dans la suite de ce chapitre, nous considérerons que les conditions initiales sont nulles.

1.1.2.2 Réponse impusionnelle

u(t) =δ(t) =⇒ U(p) = 1 F(p) = Y(p)

U(p) = K

1 +τ p =⇒ Y(p) = K τ . 1

p+ 1/τ

(1.16) d’où, avec la table des transformées :

y(t) = K

τ e⁻^t/τ (1.17)

La réponse impulsionnelle fournit donc le régime libre du système :

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(12)

τ K y(t)

τ

K τ e

t 0

Elle peut être utilisée comme méthode d’identification des systèmes du premier ordre.

Remarque : l’allure de la réponse impulsionnelle tracée précédemment appelle à un commentaire. En effet, comment obtenir instantanément la valeur(K/τ)pour la théorique et étant donnée la nature de l’impulsion de dirac envoyée la réponse se décomposera en deux temps :

t ∈[0, θ] : réponse à un échelon, t ∈[θ,∞] : réponse libre

1.1.2.3 Réponse indicielle

Il s’agit de la réponse à un échelon de commande u(t) = Γ(t), U(p) = 1 p

y(p) = 1 p. K

1 +τ p = K

p − K p+ 1 d’où y(t) = K(1−e⁻^t/ττ )

(1.18)

Notons que la réponse impulsionnelle correspond bien à la dérivée de la réponse indicielle.

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(13)

τ 2τ

y(t) K

0,87K 0,66K

t

La réponse sera d’autant plus importante que θ sera petit devantτ, la constante de temps du système.

1.1.2.4 Réponse à une entrée rampe

u(t) =a(t−t0), t0 = 0, nous considérons que a= 1.

U(p) = 1 p² Y(p) = 1

p². 1

1 +τ p =K(1 p² −τ

p + τ

p+ 1/τ) (1.19)

D’où y(t) = K(t−τ +τ.e⁻^t/τ (1.20) Définitions :

On appelle régime permanent, l’état de la sortie pour t → ∞ (Notion Basse Fréquence) ds

dt →φ ou cte.

On appelle régime transitoire l’état pour les valeurs de t faibles (Notion Haute Fréquence) ds

dt →δ

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(14)

τ τ

e

y(t)

K = 1

entrée

sortie

0 t

1.1.2.5 Réponse à une entrée sinusoïdale

u(t) =a sin ω0t→U(p) =a. ω0

p²+ω02

soit Y(p) = a ω0

p²+ω02. K 1 +τ p

(1.21)

= aω0K

τ . 1

p²+ω0²

. 1

p+ 1/τ (1.22)

On décompose en éléments simples 1

p²+ω0²

. 1 p+ 1

τ

= Ap+B p²+ω²0

+ C

p+ 1 τ

(1.23) Ap+B

p²+ω0²

est le produit des racines complexes conjuguées A^′ p−jω0

+ B^′ p+jω0

=

(Ap+B)(p+ 1

τ) +C(p²+ω²0) (p²+ω0²)(p+ 1

τ)

(1.24)

=⇒ par identification =⇒











A+C = 0 (p²) B+ A

τ = 0 (p) B

τ +Cω₀² = 1 (cte)

(1.25)

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(15)

1.2 Les modèles du second ordre 9

=⇒A=− τ²

1 +ω₀²τ², B = τ

1 +ω₀²τ², C = τ²

1 +ω₀²τ² (1.26)

D’où :

Y(p) = aω0K

τ . τ

(1 +ω²₀τ²)[−τp+ 1

p²+ω₀² + τ p+ 1/τ] Y(p) = aK

1 +ω0²τ²[− ω0τp

p²+ω₀² + ω0

p²+ω₀² + ω0τ p+ 1/τ]

(1.27)

On en déduit y(t) :

y(t) = aK

1 +ω0²τ² [−ω0τ cos ω0t+sin ω0t +ω0τ e⁻^t/τ] (1.28) Avec

– aK

1 +ω²0τ² : le gain

– −ω0τ cos ω0t+ sin ω0t : une fonction sinusoïdale – ω0τ e⁻^t/τ : une exponentielle décroissante

1.2 Les modèles du second ordre

Les modèles du second ordre, caractérisent les systèmes régis par une équation différentielle du second ordre :

d²y

dt + 2ξω0

dy

dt +ω0²y=kω0².u (1.29)

=⇒ La fonction de transfert associée est : F(p) = kω0²

p²+ 2ξp ω0+ω₀² (1.30) L’équation précédente est sous une forme canonique, avec des conditions initiales nulles. Il existe une très grande variété de processus physiques (mécanique, ther- mique, thermodyn, électrique) dont le fonctionnement obéit à de telles équations.

1.2.1 Etude de l’équation caractéristique sans second membre

p²+ 2ξω0p+ω²₀ = 0 (1.31) . L’équation (1.29) admet deux racines.

Suivant la valeur deξ, trois cas se présentent : – Si ξ >1, deux racines réelles : P1,2 =−ξω0 ±ω0

pξ²−1 – Si ξ= 1, deux racines doubles réelles : P1,2 =−ξω0

– Si ξ <1, deux racines complexes conjuguées : P1,2 =−ξω0±jω0

p1−ξ²

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(16)

1.2.1.1 ξ >1 (Régime apériodique) deux racines réelles La solution de l’équation différentielle est donc

y(t) = Ae^p¹^t+Be^p²^t (1.32) On retrouve la somme de deux termes du premier ordre déjà étudiés.

Les racines de l’équation caractéristique sont alors les pôles de la fonction de transfert : 









F(p) = Kω0²

p²+ 2ξpω0+ω0²

= Kω0²

(p−p1)(p−p2) p1, p2 : réels

(1.33) Dans ce cas de figure, la fonction du second ordre est équivalente à deux fonctions du premier ordre en cascade.

1.2.1.2 ξ = 1 (Régime critique) deux racines doubles réelles

1.2.1.3 ξ <1(Régime pseudo périodique) deux racines complexes conju- guées

1.2.1.4 Régime libre pour ξ <1 u(t) = 0y(to) =y0 6= 0

La forme générale de l’évolution de y(t)est la suivante :

y(t) = Ae^p¹^t+Be^p²^t (1.34) On en déduit : y^. (t) =p1Ae^p¹^t+p2Be^p²^t

y. (0) =p1A+p2B (1.35)

Si t= 0, on a :

y(0) =A+B =⇒B =y(0)−A

D’où y^. (0) =p1A+p2y(0)−p2A (1.36) On en déduit les valeurs de A et de B :









 A=

y. (0)−p2y(0) p1−p2

B = p1y(0)−y(0)^. p1−p2

(1.37)

Dans le cas ξ <1, les racines ont pour valeur :





p1 =−ξω0+jω0

p1−ξ² =ω0e^jφ

p2 =−ξω0−jωo

p1−ξ² =ω0e⁻^jφ

(1.38)

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(17)

Avec : 





cosφ=−ξ sinφ=p

1−ξ²

(1.39) Généralement, 0< ξ <1, d’oùcosφ <0

On en déduit :

φ=π−Arcsinp

1−ξ² (1.40)

Les paramètres ω0, ωp =ωp

1−ξ² et ξ, se définissent comme suit : ω0 = pulsation naturelle

wp= pulsation propre

ξ= coefficient d’amortissement

(1.41) D’où y(t) =

y(t) = 1 p1−p2

[(y(0)−p2y(0))e^p1t+ (p1y(0)−y(0))e^p2t]

= 1

p1−p2

[y(0)[e^p1t−e^p2t] +y(0)[p1e^p2t−p2e^p1t]]

= 1

2jω0

p1−ξ²[

.

y(0)e⁻^ξω⁰^t[e^jω⁰√

1ξ²t−e⁻^jω⁰√

1−ξ²t]+

y(0)e⁻^ξω⁰^t.ω0[e^jφe⁻^jω⁰√

1−ξ²t−e⁻^jφe^jω⁰√

1−ξ²t]]

(1.42)

= e⁻^ξω⁰^t 2jω0

p1−ξ²[

.

y(0).2j sin ω0

p1−ξ²t+y(0)2jω0sin[ φ−ω0t p

1−ξ²t]

(1.43) Or φ=π−arcsinp

1−ξ² y(t) = e⁻^ξω⁰^t

p1−ξ²[

.

y(0) ω0

sin(ω0tp

1−ξ²+y(0) sin(ω0tp

1−ξ²+arcsinp

1−ξ²)]

(1.44) 1.2.1.5 Réponse impulsionnelle

F(p) = Y(p)

U(p) = Kω0²

p²+ 2ξωop+ω0²

(1.45) On applique une impulsion : u(t) =λ(t) = 0 U(p) = 1

Y(p) = Kω₀²

(p−p1)(p−p2) (1.46)

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(18)

Avec :

p1 =−ξω0+jω0

p1−ξ² p2 =−ξω0−jω0

p1−ξ² (1.47)

Décomposons Y(p)en éléments simples :

Y(p) =Kω²0( A p−p1

+ B

p−p2

)

On obtient A = 1 P1−P2

et B = 1 P2−P1

D’où Y(p) = Kω₀² p1−p2

[ 1

p−p1 − 1 p−p2

]

y(t) = Kω0²

2jω0

p1−ξ²[e^p1t−e^p2t]

y(t) = Kω0

p1−ξ²e⁻^ξω⁰^t[e^jω⁰^t√

1−ξ² −e⁻^jω⁰^t√

1−ξ²

2j ]

(1.48)

y(t) = Kω0e⁻^ξω⁰^t

p1−ξ² sin(ω0tp

1−ξ²) (1.49)

Remarque : y^′(0) =Kω0²

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(19)

1.2.1.6 Réponse indicielle (échelon de commande)ξ <1 u(t) = (t) =⇒U(p) = 1

p Y(p) = 1

p. Kω0²

p²−2ξω0p+ω₀² =Kω0²

1

p(p−p1)(p−p2) p1 et p2 (indices) On décompose en éléments simples :

=Kω0²[A

p + B

(p−p1) + C (p−p2)] Y(p) =Kω0²[ 1

p1p2p + 1

p1(p1−p2)(p−p1) + 1

p2(p2−p1)(p−p2)] Orp1.p2 =ω0², d’où

Y(p) =K[1

p + 1

(p1−p2)[ p2

p−p1 − p1

p−p2

]]

D’où

y(t) = K[1 + 1

(p1−p2)(p2e^p1t−pre^p2t)]

(1.50)

y(t) =K[1− e⁻^ξω⁰^t

1−ξ² sin(ω0tp

1−ξ²+arcsinp

1−ξ²)] (1.51)

1.2.1.7 Réponse à une rampe

u(t) =t=⇒U(p) = 1 p² Y(p) = 1

p². Kω0²

p²+ 2ξω0p+ω₀²

On décompose en éléments simples : y(p) = Kω²0[A

p² +B

p + C

(p−p1) + D

(p−p2)] P1,P2

D’où y(t) = Kω0²[Bt+ye(t)]

avec ye(t) : réponse du système à un échelon

(1.52)

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(20)

Courbe de phase :

ϕ =arctg

2ξ10 ωn

1− ω ω_n

2







ω→0, ϕ→0 ω→ ∞, ϕ→+180˚ ω→ωn, ϕ = π

2

(1.53)

Remarque :

Dans la pratique, les termes du second ordre apparaissent généralement au dé- nominateur des fonctions de transfert. La courbe d’amplitude et de phase sont donc inversées et la même étude conduit à :

Il existe un maximum du gain pour ξ <0.7 Gmax = 1

2ξ.p

1−ξ² pourωr =ωn

p1−2ξ² (1.54)

1.2.1.8 Terme de retard e⁻^{τ p} =e⁻^{τ jω} GdB = 20logp

cos τ y²+ sin (τ ω²)−odB

ϕ=−τ ω →ϕ varie de 0 à − ∞ (1.55)

Les termes de retard sont très souvent présents dans les processus physiques réels.

Lorsque ces retards sont petits on peut utiliser l’équivalence

e⁻^{T p}= (1 +T p)⁻¹ = 1−T p (1.56)

1.3 Plan de Nyquist (lieu de Nyquist)

Le plan de Nyquist est le plan complexe permettant de représenter la partie réelle et imaginaire de F(jω). La courbe aussi obtenue est graduée en ω.

1.3.1 Prenons un exemple pour F (jω) = 1 + jωτ = 1 + jω ω

⁰

Re.[F(jω)] = 1

Im[F(jω)] =ωτ =⇒ La représentation est une demi droite (1.57)

1.3.2 F (jω) = 1 1 + jωτ

F(jω) = 1−jωτ

1 +jω²τ² = 1

1 +ω²τ² −j ωτ

1 +ω²τ² (1.58)

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(21)

1.4 Lieu de Black 15





Re= 1 1 +ω²τ² Im=− ωτ

1 +ω²τ²

(1.59) On peut toujours tracer la courbe pant à pant.







ω = 0 Re= 1 Im= 0 ω = 1

τ Re= 1

2 Im=−1 ω =∞ Re= 0 Im= 0 2

(1.60)

Ou bien l’équation du lieu : x=Re= 1

1 +ω²τ², y =Im=− ωτ 1 +ω²τ²

→x(1 +ω²τ²) = 1 y=x(−ωτ) =−x1 τ

r1 x −1.τ

→ω² = (1

x−1). 1 τ²

y x =−

r1 x −1

(1.61)

Notons que le rapport y

x <0, et que y <0, donc le lieu de Nyquist se situera sur le demi plan inférieur complexe.

On en déduit y² x² = 1

x −1

y² =x−x² =⇒y²+x² −x= 0

(1.62)

y²+ (x− 1 2)² −1

4 = 0 (1.63)

=⇒ équation d’un cercle de rayon 1

2, centre en (1 2,0)

Notons que chaque pant de la courbe peut être repéré par ses coordonnées po- laires |F(jω)| et ϕ = Arg(F(jω)). De ce fait, il est donc possible de tracer le lieu de Nyquist à partir du lieu de Bode.

1.4 Lieu de Black

Le lieu de Black représente la fonction de transfert F(p)en portant en abscisse la phase exprimée en degrés et en ordonnées le gain en dB.

Ce tracé se déduit facilement de celui de Bode, la courbe ainsi obtenue est graduée par les différentes valeurs de la pulsation ω.

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(22)

L’utilisation du lieu de Black trouvera toute son utilité lors du calcul desréseaux correcteurs.

Exemple :

F(p) = k

1 +τ p = k

1 +jωτ (1.64)

ω = 1 τ =⇒

ϕ =−arctg1 =−45˚

GdB = 20 logk−10log2 (1.65) Important :

Puisque toute fonction de transfert peut se mettre sous la forme de produit de base, le module exprimé en dB sera en fait la somme de l’influence de chaque élément pris séparemment et l’argument total deF(jω)sera la somme des arguments élémentaires.

Le tracé GdB|F(jω)|=f(ω) est appelé diagramme d’amplitude.

Le tracé 1˚Arg F(jω) =f(ω)est appelé diagramme de phase.

1.4.1 Représentation du gain k

G= 20 log|k|=cte (1.66)

ϕ = 0 si k >0

= −π si k <0 (1.67)

1.4.2 Termes en k(p)

^α

ou encore k(jω)

^α

Rappelons que α >0 =⇒ terme de dérivation Rappelons que α <0 =⇒ terme d’intégration

GdB = 20 logK|jω|^α= 20 logkω^α= 20 logk+ 20αlogω (1.68)

GdB =kdB+ 20αlogω (1.69)

Cette expression montre que si on utilise comme variablelog 10,GdB est une droite.

Alors le diagramme d’amplitude est donc tracé sur papier semi-logarithmique en abscisse.

On définit :

– l’octave comme étant l’intervalle (ω,2ω) – la décade comme étant l’intervalle (ω,10ω) Dans notre cas, on en déduit :







G(2ω)−G(ω) = 20αlog2ω

ω = 6αdB/octave G(10ω)−G(ω) = 20αlog 10 = 20αdB/dcade

(1.70)

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(23)

La droite ainsi définie coupe l’axe des φdB pour 20 logk+ 20αlogω = 0

logk= logω⁻^α (1.71)

ω= (1

k)⁻¹^/α (1.72)

Pour ω = 1, GdB =kdB

La courbe de phase est donnée par Arg k(jω)^α =ϕ

=⇒ϕ =απ

2, quelque soitω

1.4.3 Termes en (1 + τ p)

^β

: (1 + jωτ )

^β

Etude β = 1, τ >0 :

G_dB = 20 log|1 +jωτ|

ϕ =Arg|1 +jωτ| (1.73)

d’où :

GdB = 20 log√

1 +ω²τ² = 10 log(1 +ω²τ²) (1.74) Etude asymptotique

ω →0 GdB →odB : asymptote confondue à l’axe odB ω → ∞

G_dB →10 logω²τ² = 20 logωτ 20 logτ+ 20 logω

(1.75)

→ droite de pente GdB/octcoupant l’axe des odB en logω=−logZ

=⇒ ω= 1

τ :pulsation de coupure (1.76)

Attention le tracé asymptotique ne donne que l’allure de la caractéristique.

Valeurs réelles :











ω = 1

Z G_dB ≈3dB (d’où le nom de pulsation de coupure) ↔ filtre ω = 2

Z GdB ≈7dB

(1.77) Diagramme de phase :

ϕ =Arg(1 +jωτ) =Arctgωτ (1.78)

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(24)











ω→0 ϕ →0 ω→ ∞ ϕ → π

2 = 90˚ ω= 1

Z ϕ = 45˚

(1.79)

Remarque : Si β >1

Il suffira de réaliser la somme (addition) graphique, gain et phase, de chaque élément (1 +Z :p) pris séparemment.

1.4.4 Termes (1 − Zp)

^β

= (1 − jωτ )

^β

(β = 1)





GdB = 20 log√

1−ω²Z² = 10 log(1 +ω²Z²)

ϕ=Arg(1−jωZ) =−Arctg τ ω (1.80) La courbe du gain est identique à la précédente.

La courbe de phase a un signe opposé.

Remarque : si β <0

Les β sommes deviennent autant de soustractions à réaliser puisque les courbes de phase et gain changent toutes de signe.

1.4.5 Termes du second ordre (1+ 2ξp ω

n

+ p

²

ω

_n²

)

^γ

= (1 − ω

²

ω

_n²

+ j 2ξω ω

n

)

^γ

γ = 1, ξ >0

G_dB = 20 log[(1− ω²

ω_n²) + (2ξω ωn

)²]^1/2 (1.81)

Etude asymptotique :

ω→0 G_dB →odB ω→ ∞ GdB ≈20 log( ω

ωn

)² =−40 logωn+ 40 logω (1.82)

=⇒droite de pente 12dB/oct, coupant l’axe des φdB pour ω=ωn

L’allure de la courbe d’amplitude va dépendre de la valeur de ξ.

G= ((1− ω²

ω_n²)² + (2ξω ωn

)²)¹^/² (1.83)

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(25)

Soit la dérivée de G/ω : pulsation de résonance σG

σω = 0 si et seulement si (u^′ = 0)2(1− ω²

ω_n²)(−2ω

ω_n²) + 4ξ ω ωn

.2 ξ ωn

= 0

d’où −ω

ω_n²(1− ω²

ω_n²) + 2ξ² ω ω²_n = 0

=⇒ −1 + ω²

ω_n² + 2ξ² = 0 =⇒ω_R=ω_np

1−2ξ²

(1.84)

Avec ωR=ωn

p1−2ξ² la pulsation de résonance – Cette pulsation n’existe que si 2ξ² <1

=⇒ξ < 0.7 etG_min = 2ξp

(1−ξ²) (1.85)

– ξ = 0.7, ωR= 0et Gmin = 0dB – ξ > 0.7, G >1 d’où G_dB >0dB

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(26)

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(27)

Chapitre 2

Stabilité des systèmes asservis

2.1 Définition générale

Tout système physique est caractérisé par sa réponse impulsionnelle h(t)qui est aussi sa fonction de transfert.

L’évolution de cette réponse dans le temps permet de dire si un système est stable ou non.

Définition : Un système est asymptotiquement stable si

tlim→∞h(t) = 0 (2.1)

Ce qui implique que les pôles de la fonction de transfert soient à partie réelle négative.

– Si on considère le système à retour unitaire suivant :

+

-

X(p) ε(p)

Y(p) T(p)

L’étude de la stabilité reviendra à calculer les solutions de l’équation caracté- ristique : 1 +T(p) = 0

En effet :

F(p) = T(p) 1 +T(p)

=⇒ les pôles sont donnés par :

(2.2) 1 +T(p) = 0 : équation caractéristique (2.3) – Deux cas peuvent se présenter :

1. Le système est dit à déphasage minimal si la fonction de transfert en boucle ouverte ne possède ni zéros instables, ni pôles instables ni retard.

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(28)

2. Le système est dit à déphasage non minimal dans les autres cas

– Premier cas : on pourra appliquer des critères simplifiés de stabilité.

– Deuxième cas : un critère d’application général devra être utilisé.

2.2 Critère d’application général

2.2.1 Critère de Routh

C’est un critère algébrique qui permet de déterminer le nombre de racines à partie réelle>0 d’un polynome P(λ)à coefficients réels.

P(λ) =a0+arλ+...+anλⁿ (2.4) Construction du tableau de Routh

ligne 1 an an−2 an−4 an−6

Ligne 2 an−1 an−3 an−5 an−7

Ligne 3 a31 a32 a33 a34

Ligne 4 a41 a42 a43 a44

a31= an−1.an−2−an.an−3

an−1

a32= a_n−1.a_n−4−a_n.a_n−5

an−1

(2.5)

On remplit ainsi toutes les lignes jusqu’à obtenir des 0.

– Le tableau de Routh associé à un polynôme d’ordren comporte(n+ 1) lignes (en général) et le nombre de changement de signe dans la première colonne du tableau indique le nombre de racines de P(λ) à partie réelle >0.

– Si dans la construction du tableau, l’un des pivots est nul, les autres coefficients de la ligne étant non nuls, cela implique l’existence d’au moins une racine à partie réelle>0.

Si on veut continuer la construction du tableau pour connaître les autres signes des racines, on peut remplacer le pivot nul par un nombre ξ arbitrairement petit de signe quelconque.

– Si tous les coefficients d’une ligne (k+ 1) sont nuls, le polynôme P(λ)possède des racines imaginaires . Ces racines sont des solutions du polynômeP(λ) = 0.

– Si tous les éléments de la première colonne sont nuls (sauf le premier) on applique le critère de Routh au polynôme(λ+α)P(λ) avec α <0.

Exemple 1 :

P(λ) =λ⁴+ 4λ³+ 7λ²+ 16λ+ 12 (2.6) L1 1 7 12

L2 4 16 0 L3 3 12 0 L4 0 0 0

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(29)

2.2 Critère d’application général 23

Le système est stable car tous les éléments de la première colonne sont de même signe.

Exemple 2:

p(λ) = λ⁶−5λ⁵+ 11λ⁴−25λ³+ 34λ²−20λ+ 24 (2.7)

L1 1 11 34 24

L2 −5 −25 −20 0

L3 6 30 24 0

L4 0 0 0 0

L’analyse de la première colonne révèle l’éxistence d’au moins deux racines à partie réelle supérieure à 0

2.2.2 Application à l’étude de la stabilité d’un processus

X(p) ε(p)

Y(p) 4p+ 1

p(p²+ 0.3p+ 1)(5p−1) k

Choisirk pour que le système reste stable.

Equation caractéristique :

1 +T(p) = 0 T(p) = k(4p+ 1)

p(p² + 0.3p+ 1)(5p−1)

=⇒p(p²+ 0.3p+ 1)(5p−1) +k(4p+ 1) = 0 5p⁴+ 0.5p³+ 4.7p²+p(4k−1)6=k = 0

(2.8)

L1 5 4.7 k

L2 0.5 (4k−1) 0

L3 (14.7−40k) k 0

L4 [(14.7−40k)(4k−1)−0.5k

14.7−40k ] 0

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(30)

=⇒ Système stable si et seulement si il y a le même signe sur la première colonne (partie réelle inférieure à0).

=⇒

(14.7−40k)>0 k <0.3675

et(14.7−40k)(4k−1)−0.5k >0 (2.9) (k−0.2572)(k−0.357)>0





k > 0.357 ou

k < 0.2572

(2.10)

=⇒k >0

D’où stabilité du système si

0.357< k <0.3675 (pas beaucoup de marge) ! ou 0< k <0.2572

(2.11)

2.2.3 Critère de Nyquist

(NON TRAITE)

2.3 Critère simplifié : critère du revers

Exprime dans le plan de BLACK, la condition de stabilité stipule que pour le point ω0 correspondant à |T(jω)|= 1(ou 0dB) on ait un déphasage <−180˚.

O

G/dB

−180

ϕ/^o instable

stable

En d’autre terme, si on parcourt le lieu de Black pour des ω↑ on laisse le point [OdB,−180⁰)] sur la droite.

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(31)

2.4 Notion de robustesse de la stabilité 25

2.4 Notion de robustesse de la stabilité

Les critères précédents permettent de dire si un système est "mathématique- ment" stable, oscillant ou divergeant. Mais il ne renseigne pas sur la proximité de l’instabilité.

Cette notion de degrés de stabilité est importante car elle conditionnera la robustesse du processus asservi face aux perturbations extérieures ou aux erreurs de modélisation de F(p).

Analyse à postériori :

2.4.1 A partir de la réponse indicielle

Un système du second ordre présente des oscillations plus ou moins importantes suivant la valeur du coefficient d’amortissement ξ.

=⇒Plus il est stable, moins le dépassement est important, mais plus tm (temps de montée) est long. (Notion de compromis).

=⇒Vouloir une réponse trop rapide entraîne un système plus instable.

2.4.2 A partir de la réponse fréquentielle (facteur de réson- nance)

Nous avons vu que pour ξ < 0.7, la réponse fréquentielle présente un maximum d’amplitude caractérisé par le facteur de résonance λ = 1 qui augmente quand ξ baisse.

En pratique, un amortissement satisfaisant est obtenu pour ξ >0.7 =⇒ Dépas- sement indiciel <4%.

=⇒ Rappelons que le facteur de résonance (pour un système à retour unitaire) peut se déduire du lieu de Black (utilisation des ABAQUES) et qu’il est d’autant plus grand que l’on se rapproche du point (−180˚, OdB).

2.4.3 Définition de la marge de phase et de la marge de gain

Ces deux informations permettent d’estimer la proximité de T(jω) du poit (−180˚, OdB) (dans le plan de black).

– Marge de phase : Mϕ : caractérise l’écart en phase entre T(jω) et (−180˚) lorsque |T(jω)|= 1 (OdB)

– Marge de gain : MG : caractérise l’écart en gain par rapport à OdB pour un déphasage de −180˚.

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(32)

G/d_B

−180 0

Mϕ

MG ϕ/^o

Remarque: Pour certaines configurations du système, la stabilité impose qu’un des paramètres soit compris entre deux bornes. On parle alors de stabilité condi- tionnelle.

En pratique :

– La marge de gain est exprimée en réel en non d_B. Elle indique le gain maximal que peut supporter le système sans être déstabilisé.

– La marge de phase s’exprime en degrés. On admet que Mϕ d’au moins 45˚ assure une très bonne stabilité.

2.4.4 Définition de la marge de retard

L’introduction d’un retard pur du système e⁻^T^r^p est source d’instabilité (retard entre la commande et la réponse du process).

Ces retards interviennent souvent dans la modélisation des systèmes réels.

|e⁻^T^R^p|= 1 Arg(e⁻^T^R^p) =−T_Rω (2.12) Dans Black, on aura donc translation horizontale de la courbe d’une valeur −TRω (Donc du côté −180˚).

La valeur maximale de TR avant l’instabilité :

TRω0+ϕ0 =π (2.13)

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(33)

Chapitre 3

Précision des systèmes asservis

Ce chapitre a pour objectif d’étudier les performances des systèmes asservis et d’évaluer les erreurs éventuelles par rapport aux consignes de commande. Soit le système suivant : (nous supposerons que l’étude de stabilité a été réalisée.)

e(t)

+ +

−

H1

H2

ε(t) F

s(t)

L’erreur du système bouclé est définie par ε(t) = e(t)−s(t)

=⇒ La précision du système est définie à partir de l’analyse du comportement de ε(t) :

– Précision statique : limt→∞ε(t) (erreur en régime permanent)

– Précision dynamique : elle dépend de l’évolution de ε(t) (erreur pendant le régime transitoire)

Nous allons étudier les précisions statique et dynamique des systèmes du premier et second ordre à retour unitaire.

3.1 Précision dynamique d’un système du premier ordre à retour unitaire

On considère un système du premier ordre, régi par la fonction de transfertT(p) suivante :

T(p) = K

1 +τ p = S(p)

E(p) en boucle ouverte (3.1)

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(34)

+

-

E(p) ε(p)

T(p)

S(p)

ε(p) = E(p)−S(p) (3.2)

L’étude de la précision peut être conduite pour n’importe quel type de signal d’en- trée. On a coutume d’utiliser un échelon unitaire, ce qui simplifie les calculs.

3.1.1 En boucle fermée :

F(p) = T(p)

1 +T(p) = K/(1 +τ p)

1 +K/(1 +τ p) = K K+ 1 +τ p

= K/(K+ 1) 1 + τ

K+ 1p = K1

1 +τ p (Fonction du premier ordre)

(3.3)









K1 = K K + 1 τ1 = τ

K+ 1

(3.4)

Comme on applique un échelon à l’entrée :

ε(p) =ε(p)[1−F(p)] (3.5)

e(t) = 1 =⇒ ε(t) = 1−s(t)

= 1−K1(1−e⁻^t/τ¹) (3.6) – t→ ∞, ε(t) = 1−K1 = 1

K+ 1

– La décroissance exponentielle est d’autant plus rapide que τ1 est petit [(tr = 3τ) temps de réponse du système ] et donc que K1 est grand.

On parle alors de rapidité ou raideur qui est liée à l’évolution du signal d’erreur.

Relation rapidité/réponse en fréquence : Cette caractéristique représente le module de F(p) en fonction de la fréquence. Nous voyons que c’est un filtre passe bas. On note que plus τ est petit et plus ω0 augmente laissant passer davantage de hautes fréquences. Un système capable de réagir rapidement a donc nécessairement une bande passante large : dualité (temps/fréquence).

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(35)

3.2 Précision dynamique d’un système du second ordre à retour unitaire29

G/dB

20.log K K+ 1

!

1/τ ω

Remarques :

– La fréquence de coupure est directement mesurable dans l’abaque de Black sans connaître l’expression analytique de T(jω).

– Pour une constante de tempsτ, fixée, la vitesse du système sera d’autant plus importante que le gain en boucle ouverte K sera grand.

3.2 Précision dynamique d’un système du second ordre à retour unitaire

La fonction de transfert en boucle ouverte d’un tel système est de la forme T(p) = K

p(1 +τ p) (3.7)

Soit encore

F(p) = T(p)

1 +T(p) = K

p(1 +τ p) +K = 1 1 + p

K + τ

Kp² (3.8)

et donc de la forme canonique :

F(p) = 1

1 + 2 ξ

ω_np+ 1 ω²_np²









 ωn=

rK τ 2ξ

ωn

= 1 K ξ² = 1

2. 1

√Kτ

(3.9)

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(36)

3.2.1 Erreur du système à une entrée échelon (asservissement en position)

ε(t) =Ae⁻^ξωⁿ^t sin(ωpt+ϕ) (3.10)

(0< ξ <1) e(t)

0 t 1

Remarques

– La forme de ε(t) est caractérisée par la valeur de ξ. plus ξ devient faible et plus le système présente des oscillations avant l’amortissement final.

– Rapidité de réponse : le système est d’autant plus rapide que son régime transitoire est court (tr est défini à ±5%).tr augmente lorsque ξ diminue (régime oscillant), maistrpeut être également très grand quandξest important (amortissement long dans le temps). =⇒ En dérivant on montre que tr minimum est obtenu pour ξ voisin de 0,7.

– Relation entre amortissement et rapidité sur la représentation en fréquence : nous avons vu que plusξ est petit, plus Q, le facteur de résonance, est important. le module deF(p)passe donc par un maximum important qui peut être néfaste au système (surtensions).

Par contre, la pulsation de coupure (donc la bande passante) qui caractérise la raideur du système augmente. Il est donc nécessaire de trouver un compromis afin d’avoir un bon temps de réponse tout en limitant les surtensions du gain.

– Relation précision dynamique gain : Idem, plus K augmente, plus ωc augmente (et donc la bande passante) permettant au système de réagir rapidement (hautes fréquences). Cependant attention aux oscillations dues à ξ qui décroît.

– Fonction d’ordre > 2 : Pour les systèmes d’ordre > 2, on peut généralement conduire les mêmes analyses que pour les systèmes du second ordre. Les ré- ponses fréquentielles de tels systèmes sont en fait très voisines.

– Si ξ >1 la réponse ressemble à celle d’un premier ordre.

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(37)

3.3 Précision statique 31

3.3 Précision statique

3.3.1 Définition des erreurs stationnaires :

On appelle erreur stationnaire d’ordre n, la limite de εn(t) lorsque t → ∞, lorsqu’on applique à l’entrée du système un signal :

en(t) = tⁿ⁻¹

(n−1)!Γ(t) (3.11)

Soit, dans le plan de Laplace

En(p) = 1

p_n (3.12)

Ainsi n = 1 e1(t) = Γ(t) E1(p) = 1

p [ échelon de position ] n = 2 e2(t) =t E2(p) = 1

p² [ échelon de rampe ] n = 3 e3(t) = t²

2 E3(p) = 1

p³ [ échelon d’accélération ]

(3.13)

En utilisant le théorème de la valeur finale sur la transformée de Laplace, il vient :

tlim→∞ε(t) = lim

p→0p ε(p) (3.14)

Si on considère un système bouclé à retour unitaire :

ε(p) =E(p)−S(p) = E(p)−T(p)ε(p) ε(p) = E(p)

1 +T(p)

(3.15)

Nous exprimons T(p) sous la forme : T(p) = K

p^α.N(p)

D(p) (3.16)

avec p^α : pôles enp= 0 aussi appelés pôles à l’origine ou intégrateur

=⇒T(p) = K

p^α.1 +a1p+a2p²...

1 +bp+b2p²...

si p→0alors T(p)≈ K P^α

(3.17)

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(38)

3.3.1.1 Pour une entrée de type échelon de commande

E1(p) = 1

p =⇒ε(p) = 1 p(1 +T(p)) limp→0pε(p) = limp→0

1

1 +T(p) = limp→0

1 K p^α

(3.18)

– si α= 0(système du premier ordre) ε1∞(t) = 1

1 +K = 1

Kp ← constante d’erreur de position (3.19) – si α≥1→(précense d’au moins un pôle à l’origine)

ε1∞(t) = 0 ← erreur statique nulle : la sortie est asservie sur l’entrée (3.20)

3.3.2 Pour une entrée de type rampe (commande en vitesse)

E2(p) = 1

p² =⇒ε(p) = 1 p²(1 +T(p)) limp→0pε(p) = limp→0

1 p(1 + K

p^α)

(3.21)

si α= 0 ε2∞=∞ si α= 1 ε2∞= limp→0

1 p(p+K

p )

= 1 K = 1

Kv constante d’erreur en vitesse si α≥2 ε2∞= 0

(3.22) 3.3.2.1 Pour une commande en accélération











α= 0 ε3∞=∞ α= 1 ε3∞=∞ α= 2 ε3∞= 1

K = 1 α≥3 ε3∞= 0 Ka

(3.23)

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(39)

3.3 Précision statique 33

nombre de pôles à l’origine 0 1 2 α >2 ε_p (position) 1

Kp

0 0 0

εv (vitesse) ∞ 1

Kv

0 0

εa (accélération) ∞ ∞ 1

Ka

0

3.3.3 Conclusion

On constate généralement que si le système en boucle ouverte possède αpôles à l’origine son erreur stationnaire s’annule pour une entrée fonction du temps de degrè (α−1).

S’il en possède(α−1)alors cette erreur est constante et décroît pour des valeurs de K importantes (gain).

L’erreur stationnaire dépendra donc du nombre de pôles à l’origine de la fonction de transfert en boucle ouverte mais également du gain.

Notons le rôle important de ce gain à la fois dans le comportement statique et dynamique du système.

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Chapitre 4

Correction des systèmes continus asservis

4.1 Problématique

L’étude précédente des système asservis a mis en évidence l’intérêt d’introduire les systèmes à automatiser au sein d’une boucle d’asservissement pour :

– améliorer la précision statique et dynamique

– améliorer la stabilité (un système instable en BO peut devenir stable et BF) – diminuer l’influence des perturbations

– diminuer l’influence des variations des paramètres du système

Cependant, même bouclés, il est parfois nécessaire de modifier le comportement global de ces processus de manière à répondre aux spécifications d’un cahier des charges. Les problèmes envisagés sont alors les suivants :

– comment diminuer les erreurs stationnaires du système (augmenter le gain en boucle ouverte) sans pour autant modifier le facteur de résonance (donc la bande passante) ?

– comment augmenter la bande passante sans modifier le facteur de résonance ? – comment augmenter le degré de stabilité sans modifier le gain en boucle ou-

verte ?

– Comment diminuer le temps de réponse ? – ...

Pour apporter une réponse à toutes ces questions, il est alors nécessaire d’introduire, dans la boucle d’asservissement, un système appelécorrecteurourégulateuragis- sant sur le signal d’erreur (cf fig. 4.1) Dans la littérature, les correcteurs sont séparés en 2 classes :

1. les correcteurs spécifiques : ils sont conçus et réalisés pour une application particulière,

2. les correcteurs « classiques » : la structure de leur fonction de transfert est standard, seul les paramètres peuvent être modifiés pour satisfaire à l’applica-

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E(p)

C(p)

S(p) + e(p)

-

T(p)

CORRECTEUR

Fig. 4.1 – Place du correcteur dans la boucle de commande

tion (ils sont réalisés et commercialisés, donc leur temps de mise en place est très court).

De nombreuses méthodes existent pour réaliser la synthèse des correcteurs. Dans le cadre de ce document, seule l’étude dans le plan de Black est abordée.

La régulation analogique est toujours très présente dans le milieu industriel. Il faut noter que les techniques modernes utilisent de plus en plus l’informatique et s’orientent vers une régulation numérique, abordée dans le prochain chapitre.

4.2 Notion de réglabilité

Cette notion est principalement utilisée pour les systèmes présentant un retard pur important. La réponse indicielle d’un tel système est donnée figure 4.2

t y(t)

Tr Tu Ta

Fig. 4.2 – Notion de réglabilité On distingue 3 phases :

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4.3 Correcteurs classiques 37

1. TR : temps de retard, 2. T_U : temps de décollement, 3. TA : temps de montée.

TD =TR+TU, Délais nécessaire pour qu’une commande ait une action significative.

On appelle réglabilité le rapport TA

TD

; il se détermine expérimentalement. En pratique, un système sera d’autant plus facile à réguler que TA

TD

sera grand : 1. Réglabilité élevée : TA

T_D > 10. Le système réagit dès qu’on lui applique une consigne, il est très facile à réguler.

2. Réglabilité faible : TA

TD

< 4. Le système est en limite de commandabilité. Il y a un délais important entre l’application d’une entrée et la réaction en sortie.

4.3 Correcteurs classiques

4.3.1 Résumé des objectifs

La conception d’un correcteur doit prendre en compte les objectifs suivants : 1. accroître la stabilité : éloigner processus du point d’instabilité. Pratiquement,

un réglage de 45⁰ pour la marge de phase et 10db pour la marge de gain.

2. augmenter le gain du système en boucle ouverte, du coté des basses fréquences, pour augmenter la précision statique.

3. augmenter la bande passante pour diminuer le temps de réponse (glissement des fréquences élevées vers les gains importants)

4. provoquer une avance de phase en fréquences moyennes pour aider la stabilisation et diminuer les distorsions

4.3.2 Définition des actions proportionnelle, intégrale et dé- rivée

Action proportionnelle Le signal de commande est proportionnel au signal d’erreur. C(p) =k (translation verticale dans le plan de Black)

Action Intégrale C’est une action en régime permanent et en basses fréquences.

C(p) = 1 τiP

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Action dérivée C’est une action en régime dynamique et en hautes fréquences.

C(p) =τ_dP.

Remarque : Les actions intégrale et dérivée ne s’emploient jamais seules, mais toujours associées à une action proportionnelle.

4.3.3 Régulateur à action proportionnelle

Le correcteur proportionnel est le plus simple des correcteur. Il s’agit de modifier la consigne à appliquer au système asservi en d’amplifiant ou en atténuant le signal d’erreur. Son expression est :

C(p) =k (4.1)

où k est un gain constant positif. Dans le diagramme de Black, l’influence de ce correcteur se traduit par une translation verticale du lieu de Black .Si la valeur de k est inférieure à 1, le signal est atténué et le lieu de black est translaté vers le bas. Dans un cas général, cela traduit une augmentation de la robustesse du signal et une détérioration de son erreur statique. Si la valeur de k est supérieure à 1, le signal est amplifié et le lieu de black est translaté vers le haut. Dans le cas général, cela traduit une diminution de la robustesse du système et une amélioration de son erreur statique. La figure 4.3.3 montre l’effet d’un correcteur proportionnel sur le lieu de Black.

4.3.4 Correcteur proportionnel dérivé

La forme théorique de ce correcteur est :

C(p) =k(1 +τd.p) (4.2)

Comme l’effet de l’action proportionnelle a été vu ci-dessus, posons k = 1. Ce type de correcteur provoque un accroissement de gain et de phase vers les fréquences élevées. La figure 4.3.4 montre cet effet sur le lieu de Black

Le but de ce correcteur est d’augmenter la marge de gain, et, ainsi, d’accroitre la stabilité du système. Pour qu’il fonctionne correctement, il doit être correctement réglé :

1 τd

< ωR (4.3)

oùωR est la pulsation de résonance du système. Si la marge de phase est augmentée, il est possible de jouer sur le gaink pour améliorer le temps de réponse et la précision du système.

4.3.5 Correcteur à avance de phase

Le correcteur proportionnel dérivé n’est pas réalisable physiquement. Un correcteur à avance de phase est alors utilisé pour produire un effet semblable dans une

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4.3 Correcteurs classiques 39

-180

G/db

phi/deg O k>1

k=1

0<k<1

Fig. 4.3 – Action proportionnelle gamme de fréquence importante. Son expression est la suivante :

C(p) = 1 +aτ p

1 +τ p, a >1 (4.4)

L’effet de ce correcteur dans le diagramme de Black est représenté sur la figure 4.3.5.

Un réglage correct de ce correcteur est indispensable pour le bon fonctionnement du système asservi. Un mauvais réglage peut avoir un effet déstabilisant sur le système.

De plus, il convient de remarquer que le gain du système est amplifié pour les très hautes fréquences. Il en résulte qu’il faut limiter le gain a (souvent à 10) pour eviter une déstabilisation lors des régimes transitoires.

4.3.6 Correcteur à action proportionnelle et intégrale

Le correcteur à action proportionnelle et intégrale est utilisé pour augmenter la précision statique. Son expression est la suivante :

C(p) = 1 + 1

τip= 1 +τip

τip (4.5)

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-180

G/db

phi/deg O avant

correction

après correction

Fig. 4.4 – Action proportionnelle et dérivée La figure 4.3.6 montre l’effet de ce correcteur sur le lieu de Black.

On remarque que l’influence du correcteur proportionnel intégrale apparaît uni- quement en basse fréquence. Il est important, pour avoir un réglage satisfaisant, de respecter la condition 1

τ_i < ωR. Dans ce cas, ni la pulsation de résonance, ni le facteur de résonance ne sont modifiés. La précision dynamique du système reste donc inchangée.

4.3.7 Correcteur à retard de phase

Le correcteur à retard de phase est une approche du correcteur Proportionnel Intégral. Sa transmittance est la suivante :

C(p) = 1 +τ p

1 +bτ p, b >1 (4.6) C(p)s’écrit également :

C(p) =k^′1 +aτ^′p

1 +τ^′p, a <1 (4.7) On retrouve une expression similaire à celle de l’équation (4.4). Il est donc possible, à partir de ce type de réseau, de constituer, soit un correcteur à avance de phase (a > 1), soit un correcteur à retard de phase (a < 1). La figure 4.3.7 montre l’effet de ce correcteur sur le lieu de Black. Les conditions de réglage du correcteur à retard