Chapitre n°3 : « Calcul littéral ; distributivité » Chapitre n°3 : « Calcul littéral ; distributivité »
I.
I. Expressions littérales Expressions littérales
1/ 1/ Exemples Exemples
a. a. Activité 1 page 30Activité 1 page 30
Parmi les expressions littérales ci-dessous, quelles sont celles qui donnent le périmètre du losange de côté c centimètres ?
4c ; cccc ; c×c ; 4×c
Le périmètre est la longueur du contour d'une figure.
Pour le losange, on obtient : cccc=4×c
cccc est une somme ; 4×c est un produit.
b. b. Formules de périmètre à connaîtreFormules de périmètre à connaître Carré
Carré
Un carré est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur et quatre angles droits.
Périmètre d'un carré de côté c : 4×c. Par exemple :
• si c=3 cm, le périmètre vaut 3×4=12cm ;
• si c=3,5cm, le périmètre vaut 3,5×4=14cm.
Rectangle Rectangle
Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
Périmètre d'un rectangle de longueur L et de largeur l : 2×L2×l=2×Ll
c
Cercle Cercle
C'est un ensemble de points tous à une même distance d'un centre O. Cette même distance est appelée le rayon.
Formule pour calculer la longueur d'un cercle : 2××r
est une lettre grecque qui représente le nombre 3,14159265.... ( partie décimale infinie).
De manière générale, on prendra ≈3,14 Exemple
Exemple
Calcule la longueur d'un cercle de rayon 5cm. l=2××r
l≈2×3,14×5 l≈10×3,14 l≈31,4 cm
2/ 2/ L'essentiel L'essentiel
Définition Définition
Une expression littérale est composée de nombres, d'opérations et de lettre(s). Ces lettres représentent des nombres.
Exemple Exemple
Traduire par une expression littérale l'énoncé suivant : « Je choisis un nombre, je prends son double et retranche 4 »
x représente le nombre choisi. On a x×2–3
3/ 3/ Remplacer dans une expression littérale Remplacer dans une expression littérale
Avec une variable Avec une variable
« Je choisis un nombre, je le multiplie par lui-même puis j'ajoute 7 ».
x représente le nombre choisi. Cet énoncé se traduit donc de la façon suivante : x×x7.
Calcule cette expression littérale pour x=5 ; x=10 et x=0,1 .
• Pour x=5 , on obtient 5×57=257=32 .
• Pour x=10, on obtient 10×107=1007=107.
• Pour x=0,1 , on obtient 0,1×0,17=0,017=7,01
Exemple Exemple
On considère l'expression littérale suivante : A=7×x –2x
2 . Calcule A pour x=1 puis x=2 .
Pour x=1 A=7×1–21
2 A=7–20,5 A=50,5 A=5,5
Pour x=2 A=7×2–22
2 A=14–21 A=13
Avec deux variables Avec deux variables
On considère l'expression littérale suivante B=5×x –2×yx
y . Calculer B pour x=4 et y=2, puis pour x=9 et y=3.
Pour x=4 et y=2 B=5×4–2×24 2 B=20–42 B=18
Pour x=9 et y=3 B=5×9–2×39
3 B=45–63 B=42
4/ 4/ Simplification d'écritures Simplification d'écritures
Règle 1 Règle 1
On peut enlever le symbole × devant une lettre.
Exemple Exemple 3×x=3x Application Application
Calcule A=3x7y pour x=2 et y=5. A=3×27×5
A=635 A=41 Règle 2 Règle 2
On peut enlever le symbole × devant une parenthèse.
Exemple Exemple
3×2x=32x
Point de vocabulaire Point de vocabulaire
3×2x se dit « 3 fois entre parenthèses 2 plus x ».
32x se dit « 3 facteur de 2 plus x » Application
Application
Calcule B=2x5–3y pour x=4 et y=0,1 . B=2×45–3×0,1
B=2×9–0,3 B=18–0,3 B=17,7
Notations spéciales Notations spéciales
• 1×x se note x
• a×a se note a2 ; on lit « a au carré ».
• a×a×a se note a3 ; on lit « a au cube ».
Exemples Exemples
Calcule C=7– xx2x3 pour x=2. C=7–22×22×2×2
C=7–248 C=17
Calcule D=2x –324x pour x=5 . D=2×5–324×5
D=2×224×5 D=2×420 D=820 D=28
II.
II. Distributivité Distributivité
1/
1/ Rappels Rappels
• Une somme est une expression où la dernière opération est une addition ou soustraction Par exemple : 2×53×5 ; 2x3y
• Un produit est une expression où la dernière opération est une multiplication.
Par exemple : 2535 ; 2x3– z
2/
2/ Avec des nombres Avec des nombres
• Comment calculer de tête (ou presque) 101×79 ?
Au lieu de prendre 101 fois 79 , on le prend 100 fois d'abord puis 1 fois. Cela donne : 101×79 = 100×791×79 = 790079 = 7979
Autres exemples Autres exemples
• 14×11 = 14×101×14 = 14014 = 154
• 8,7×11 = 8,7×101×8,7 = 878,7 = 95,7
• 5,4×1001 = 5,4×10001×5,4 = 54005,4 = 5405,4 Rappels
Rappels
100×5,794 = 579,4 ; 0,541×1000 = 541
3/
3/ Avec des lettres Avec des lettres
Propriété Propriété
a, b et k représentent trois nombres. On a la formule suivante : k×ab=k×ak×b ou kab=kakb
k×a – b=k×a – k×b ou ka – b=ka – kb
C'est la formule de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition ou la soustraction.
Exemples Exemples
6,7×102=6,7×1002=6,7×1006,7×2=
7x2=7×x7×2=7x14 Remarque
Remarque
Lorsqu'on utilise la formule de distributivité pour passer de 7x2 à 7×x7×2 , on passe d'un produit à une somme. Cela s'appelle un développement.
Définition Définition
Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme (grâce à la distributivité).
Exemples Exemples
Développe les expressions suivantes : 9xy=9×x9×y=9x9y
5– t×7=7×5–7×t=35–7t Pour mercredi 09/12
Pour mercredi 09/12
• Apprendre le cours
• n°10 p35
Pour vendredi 11/12 Pour vendredi 11/12
• Contrôle !!! tout sur le chapitre
III.
III. Factorisation Factorisation
1/
1/ Activités Activités
• 1,94×170,06×17=1,940,06×17=2×17=34
On remarque qu'on a utilisé la formule kab=kakb dans l'autre sens, c'est à dire : k×ak×b=k×ab où k=17 ; a=1,94 et b=0,06.
• De même : 8×968×104=8×96104=8×200=1600
• Avec des lettres : 5×x5×7=5×x7
• On remarque que l'expression de départ est une somme et qu'on arrive à un produit : c'est une factorisation !
2/ 2/ A retenir A retenir
Définition Définition
Factoriser une expression, c'est transformer une somme en un produit grâce à la formule kakb=kab ou encore ka – kb=ka – b.
Exemples Exemples
3ab×3=3ab
6x –6×2=6x –2
3,2y0,8y=3,20,8×y=4×y=4y
Pour vendredi 11/12 Pour vendredi 11/12
• Contrôle 1h
• Notation des cahiers de cours (0/10 si oublié ou incomplet)
