Corrig´ e de la feuille d’exercices n

(1)

Ecole Normale Sup´´ erieure – FIMFA – Année 2010-2011 Travaux dirigés de Topologie et Calcul différentiel François Béguin

Corrig´ e de la feuille d’exercices n

^o

7 Compacit´ e

1 -

Compacit´e et normalit´e

1. SoitK un compact. Un espace compact étant séparé, il reste à montrer que pour tout fermé disjointsF₁, F₂ dansK, on peut trouver des ouverts disjointsU₁⊃F₁et U₂⊃F₂. L’idée est de le faire d’abord dans le cas oùF₂est un point (c’est-à-dire de montrer queK est régulier d’abord). Rappelons queF₁ et F₂ fermés dans le compactK implique qu’ils sont eux-mêmes compacts. Soitx∈F₁ ety∈F₂. PuisqueKest séparé, il existe des ouverts Ux,y 3xet Vx,y 3y disjoints. On peut alors recouvrir F1 par un nombre fini de Ux,y. On obtientF1⊂ Uy:=Sm

i=1Ux_i,yqui est un ouvert. AlorsVy :=Tm

i=1Vx_i,yest un ouvert (car l’intersection est finie) qui contientyet disjoint deUy=Sm

i=1Ux_i,y. Ceci donne le r´esultat dans le cas o`uF2est un point.

Dans le cas g´en´eral, on peut recouvrirF2 par un nombre fini deVy;F2⊂Sp

i=1Vy_i. AlorsU =Tp

i=1Uy_i est un ouvert disjoint deV :=Sp

i=1Vy_i et qui contientF1par construction (faire des dessins pour se convaincre si n´ecessaire.)

Dans le cas métrique on peut utiliser que la distance entre un compact et un fermé est stricte positive pour obtenir le résultat aisément.

2. C’est essentiellement la mˆeme preuve que pour la question 1. Pour tout (a, b) ∈ A×B, il existe un voisinage ouvertU_a,b deaet un voisinage ouvertV_a,bdebtels queU_a,b×V_a,b ⊂Ω. Fixonsa. LesV_a,b(b∈B) recouvrentB, donc il existe un recouvrement finiV_a,b₁∪· · ·∪V_a,b_n=Z_a⊃B. PosonsW_a=U_a,b₁∩· · ·∩U_a,b_n. Alors {a} ×B ⊂ W_a×Z_a ⊂ Ω (en effet W_a×Z_a = S

iW_a×V_a,b_i ⊂ S

iU_a,b_i ×V_a,b_i) (faire un dessin).

Maintenant on fait varier a dans A et on extrait un recouvrement finiU =Wa₁ ∪ · · · ∪Wa_p ⊃A. Posons V =Za₁∩ · · · ∩Za_p ⊃B. Alors U etV sont bien des ouverts, etU×V =S

jWa_j×V ⊂S

jWa_j×Za_j ⊂Ω.

2 -

Compacité et séparabilité

1. Soit (K, d) espace métrique compact. Pour toutn >0, par précompacité, on peut recouvrir l’espace avec un nombre fini de boules ouvertes B(x⁽ⁿ⁾_i ,1/n) de rayon 1/n (où i ∈ In ensemble fini). Alors la famille dénombrable (car réunion dénombrable d’ensembles finis) S =S

n>0{xi, i∈ In} des centres de ces boules est dense par construction.

2. Reprenons les notations de la question précédentes, et notons simplement (x_n) une suite dense dansX. Quitte à remplacerdpar min(1, d), on peut supposer qued≤1. On considère l’application

X →[0,1]^N x7→(d(x, xn))_N.

qui est injective carKest séparé etx_nest dense. Elle est aussi continue puisque chaque fonctionx7→d(x, x_n) est continue. CommeK est compact et [0,1]^N séparé, il suit que c’est un homéomorphisme sur son image.

3.E := [0,1]^[0,1] muni de la topologie produit est compact, mais non séparable. La compacité provient du théorème de Tychonoff. Pour montrer la non-séparabilité, il suffit de voir E comme l’espace des fonctions de [0,1] dans [0,1] muni de la topologie de la convergence simple, et de remarquer siF ⊂E est une partie

(2)

dense, alors, pour chaquex₀∈[0,1], il existe un ´el´ementf_x₀ ∈F telle quef_x₀(x₀)>2/3 etf_x₀(x)<1/3 si x6=x₀ ; on af_x₀ 6=f_x⁰

0 d`es quex₀6=x⁰₀, ce qui implique queF a au moins le cardinal de [0,1].

3 -

Changement de topologie sur un espace compact

Supposons que pour une topologie plus fine ou moins fine,X soit compact. Alors l’applicationx7→xavec la topologie plus fine au départ est continue. Par compacité deX (au départ ; à l’arrivée on utilise seulement queX est séparé), c’est un homéomorphisme !

4 -

Complémentaire d’un compact dans un espace vectoriel normé de dimension infinie Comme K est compact dans l’espace normé E, il est borné: K ⊂ B(0, R). Il suffit de montrer que le complémentaire E−B(0, R) de la boule est connexe pour s’assurer que E−K a une unique composante connexe non-bornée. Ceci est très facile car tout point deE−B(0, R) est relié par un arc affine à un point de la sphère S(0, R) (faire un dessin !). Cette dernière est connexe par arcs (là encore, faire un dessin; la preuve en dimension finien≥2 marche en dimension infinie également). On en conclu queE−B(0, R) est connexe par arcs, donc connexe.

Montrons maintenant que E−K est connexe (par arcs). Il suffit une nouvelle fois de montrer que tout pointxdeB(0, R)−K est relié par un chemin continu à S(0, R). En fait on peut même choisir un chemin affine ! En effet, l’applicationφx:K→S(0, R) définie park7→x+R_kk−xk^k−x est continue (c’est l’application qui à tout point deKassocie l’intersection de la demi-droite issue dexpassant parkavec la sphère; faire un dessin...). CommeK est compact etE séparé,φ_x(K) est compact inclus dansS(0, R), donc non-surjective d’après le théorème de Riesz.

5 -

Une suite ayant une valeur d’adh´erence mais pas de sous-suite convergente

1. L’ensemble A est dénombrable comme réunion dénombrable (indexée par n) d’ensembles dénombrables.

Ensuite, soitV un voisinage de 0, il contient un voisinage ´el´ementaire du type {f ∈E / f(x₁)< ε, . . . , f(x_k)< ε},

oùx₁, . . . , x_k sont des points de [0,1] en nombre fini. Il est clair que l’on peut trouver des f_q₀_,...,q_n dansV en prenantn=k+ 1 etq₁, . . . ,q_k des rationnels assez proches dex₁, . . . ,x_k, respectivement. À noter qu’on peut ainsi trouver une infinité de tels desf_q₀_,...,q_n dansV.

2. Imaginons qu’une sous-suite (x_ϕ(n)) converge vers 0. On rappelle que la convergence d’une suite pour la topologie produit est la convergence simple. Comme

Z 1

0

fq₀,...,q_n= 1/2, le théorème de convergence dominée mène à une contradiction.

6 -

Topologie compacte-ouverte

(3)

1. Supposons que la topologie sur Y est engendr´ee par une distance d. Fixons une fonction g ∈Y^X. Une base de voisinages de g pour la topologie de la convergence uniforme sur tout compact est constitu´ee dans ensembles du type

VK,:={f ∈Y^X|d(f(x), g(x))< pour toutx∈K}

où K est une partie compacte de X et un réel strictement positif. Une base de voisinage de g pour la topologie compacte-ouverte est constituée dans ensembles du type Ue^K où K est une partie compacte deX et U un ouverte deY tel que g(K)⊂U.

Fixons K etU tel queg ∈Ue^K. Notons:= inf{d(g(x), Y \U)|x∈K}. Alors >0 par compacit´e de K, etVK, est un voisinage degpour la topologie de la convergence uniforme qui satisfaitVK,⊂Ue^K.

Réciproquement, fixonsK et. Par compacité deK, il existe un recouvrement fini deKpar des ouverts U1, . . . , Un deX tels que, si xet x⁰ sont dans le mêmeUi, alors d(g(x), g(x⁰)) < /3. Soit yi ∈ Y tel que g(Ui)⊂Bi, où Bi désigne la boule ouverte de centreyi de rayon/2 dansY. Remarquons queKi:=Uiest un compact de X. Alors

n

\

i=1

B]iK_i

est un ouvert pour la topologie compacte ouverte, qui contientg et qui est inclus dansVK,.

2. Soit f, g ∈ Y^X tel que f 6=g. Alors il existex tel que f(x) 6=g(x). Si Y est séparé, alors il existe des voisinages ouvertsU etV def(x) etg(x) dansY qui sont disjoints. AlorsU]^{x} et V]^{x} sont des voisinages ouverts réciproquement def et g, disjoints l’un de l’autre.

3. On suppose maintenantX localement compact.

a. (évaluation) L’application d’évaluationev:X×Y^X →Y est définie parev(x, f) =f(x). Soit (x, f)∈ X×Y^X et V un voisinage ouvert de f(x) dans Y. Il faut montrer que ev⁻¹(V) est un voisinage de (x, f). Commef est continue,f⁻¹(V) est un voisinage dex; par compacité locale deX, il existe donc un compactK dansX vérifiantx∈K^◦ ⊂K⊂f⁻¹(V). Il suit que le produitK^◦ ×Vg^K est un voisinage ouvert de (x, f) inclus dansev⁻¹(V).

b. (adjonction) Sif :X×Y →Zest continue, il est évident que pour toutyfixé, l’applicationx7→f(x, y) est continue. Il est aussi évident que la formule ˜fy=f(−, y) définit une bijection entre l’ensemble des applications de X ×Y dans Z, d’une part, et, d’autre part, l’ensemble des applications de Y dans l’ensemble des applications deX dansZ.

c. (loi exponentielle et composition) Vu la question précédente, il reste à montrer deux choses :

(i) que si ˜f :Y →Z^X est continue, alors l’applicationf :X×Y →Z est continue pour ´etablir une bijection entreZ^X×Y et (Z^X)^Y,

(ii) que la bijection donn´ee par (i) est un hom´eomorphisme.

On remarque quef est la composition des fonctionsX×Y îd×−→^f^˜X×Z^X et de l’évaluationX×Z^{X ev}→Z qui sont continues (d’après(a)). D’où la continuité def et l’assertion (i) suit de la question précédente.

Montrons quetilde:f 7→f˜est un hom´eomorphisme. SoitCX ⊂X et CY ⊂Y deux compacts et W un ouvert deZ. Alors

tilde⁻¹ ^

^W^C^X^CY

!

=W^(C^^X^×C^Y⁾

ce qui prouve que tilde : Z^X×Y → (Z^X)^Y est continue. Soit maintenant K un compact de X ×Y et f ∈Wg^K. On doit trouver un voisinage de ˜f dans (Z^X)^Y. Commef est continue, f⁻¹(W) est un ouvert contenant K. Comme X et Y sont séparés, les projections pX(K)⊂X et pY(K)⊂ Y de K sont compactes etKest un sous-espace fermé du compactp_X(K)×p_Y(K). Comme tout compact est régulier, il suit que pour tout point (x, y)∈K, il existe un voisinage compactC_x×C_y ⊂(p_X(K)× pY(K))∩f⁻¹(W). Par compacité deK, on peut recouvrir K par une famille finie

◦

(Cx_i)×

◦

(Cy_i). On conclut alors en remarquant que l’intersection des W^^^C^xiC_yi

!

est un voisinage de ˜f dans ^ Wg^K

.

(4)

Comme la composée de deux fonctions continues est continue, l’applicationc:X^Y×Z^X→Z^Y est bien définie. Montrons sa continuité. Soit f ∈X^Y etg ∈Z^X, et Wg^C un voisinage de c(f, g) =g◦f dans Z^Y (avecC ⊂Y compact,W ⊂Z ouvert etg◦f(C)⊂W). Alors g⁻¹(W) est un ouvert contenant le compactf(C) (rappelons queX est necéssairement séparé). CommeX est localement compact et f(C) est compact, il existe un ouvert relativement compactV (c’est à dire queV est compact) deX vérifiant f(C) ⊂V ⊂ V ⊂ g⁻¹(W). Il est alors clair que le produit (gV^C)×(Wg^V) est un voisinage ouvert de (f, g) dansc⁻¹ Wg^C

ce qui prouve la continuit´e dec.

d. L’appplication qui `a (f, g) ∈ Y^X×Z^X associe l’application x7→ (f(x), g(x)) est ´evidemmment une bijection au niveau ensembliste (rappelons qu’une application (f, g) :X →Y ×Z est continue si et seulement sif et gsont continues). Soient C₁, C₂ deux compacts deX etV, W deux ouverts deY, Z. Un couple (f, g) est dans Vg^C¹

× W]^C²

si et seulement si (f, g) est dans l’intersection (V^×Z)^C¹ ∩ (Y^×W)^C².

induit un hom´eomorphismeY^X×Z^X ∼= (Y ×Z)^X. Il suit que la bijection Y^X×Z^X ∼= (Y ×Z)^X est ouverte. Elle est continue car(V^×W)^C∼=gV^C×Wg^C.

4. Prenons X = Q(qui n’est pas localement compact) et Y = [0,1]. Montrons que l’applicationev de la question (a) n’est pas continue. Soitf la fonction nulle. AlorsW = [0,1[ est un voisinage deev(Q× {f}) = {0}. Montrons que ev⁻¹(W) n’est pas ouvert. Soit (q, g) ∈ ev⁻¹(W). Il existe alors un voisinage ouvert U de q dans Q et un voisinage Tn

i=1Vg_i^Kⁱ de g dans [0,1]^Q (avec V_i ouverts et K_i compacts) tels que q ∈

U×Tn

i=1Vg_i^Kⁱ

⊂ ev⁻¹([0,1[). Clairement il existe x ∈ U −(Sn

i=1Ki) (sinon U serait un compact d’int´erieur non vide dans Q). Soit alors g une fonction qui vaut 1 en xet 0 sur K_i. Il est clair que (x, g) est dans

U×Tn

i=1Vg_i^Kⁱ

, maisev(x, g) =g(x) = 1 n’est pas dans [0,1[ ce qui contredit queev⁻¹([0,1[) est ouvert.

7 -

Exemples de parties compactes d’espaces de suites.

1. (Cube de Hilbert) Il suffit de voir que toute suite deCaadmet une sous-suite qui converge dansCa pour la normek · k_∞. Soit (u^k)_k∈Nune suite d’´el´ements deB. CommeQ

n∈N[−an, an], muni de la topologie produit (i.e.la topologie de la convergence simple) est compact (par Tychonoff dénombrable), il existe une sous-suite (u^φ(k))_k∈Nqui converge simplement vers une suiteu∈B. Fixons >0. Il existeN tel que|an| ≤/2 pour tout n≥N et donc|u^φ(k)n −un| ≤pour tout n≥N et tout k∈N. Par ailleurs, pour chaque n, il existe Kn tel que|u^φ(k)n −un| ≤pour k≥Kn. PosonsK = max{K0, k1, . . . , KN−1}. Alors pour toutk≥K, on a |u^φ(k)n −u_n| ≤pour toutn∈N, c’est-à-dire que (u^φ(k))_k∈_N tend uniformément versu.

On peut aussi faire une preuve plus constructive en fixant > 0, et en construisant un recouvrement explicite de C_a par des boules de rayons.

2. Pour chaque k, notons u^k l’élément de C défini par u^k_n = 0 si n 6=k et u^k_k = 1. Alors la suite (u^k)k∈N

converge simplement vers la suite nulle. Donc toute sous-suite de (u^k)_k∈_Nqui converge pour la normek · k∞

doit converger vers la suite nulle. On en d´eduit que (u^k)_k∈_Nn’a aucune sous-suite convergente pour la norme k · k∞.

3. C’est essentiellement la même preuve que pour la question 1. Le argument différent est celui utilisé pour montrer que la limite simple d’une suite d’élément de B est dansB : ce fait suit du lemme de Fatou.

8 -

Familles de fonction relativement compactes ou non.

(5)

1. La partie F est relativement compacte dans E par Ascoli. Il n’est pas compact car les fonctions affines par morceaux qui s’annulent en 0 et on des pentes inférieures àken valeurs absolues sont dans l’adhérence deF.

2. Soitf une fonction continue deR⁺dansR. Sif n’est pas constante, il existexety tels quef(x)6=f(y).

Si on notexn :=x/net yn :=y/n alors (xn) et (yn) sont deux suites de points qui tendent vers 0, et qui vérifient|fn(xn)−fn(yn)|=|f(x)−f(y)|. Ceci montre que la suitefnn’est pas équicontinue en 0. Elle n’est donc pas précompacte dansC([0,1],R).

On vérifie facilement que la famille (gn)_n≥0satisfait les hypothèses du théorème d’Ascoli.

3. La familleF n’est pas relativement compacte. En effet, la suite (fn) converge simplement vers la fonction nulle, donc toute sous-suite de (fn) qui convergerait uniformément devrait converger vers la fonction nulle ; comme la distance uniforme de fn à la fonction nulle est constante et non-nulle, on en déduit que la suite (f_n) n’a aucune sous-suite uniformément convergente.

Cet exemple montre que la compacité de l’espace de départ est nécessaire dans le théorème d’Ascoli.

9 -

Distance de Hausdorff : l’espace des compacts est compacts.

Soit (X, d) un espace métrique compact non vide. On note F = {parties fermées non vides de X}. Pour A∈ F, on poseφ(A) :X→Rla fonction définie par

φ(A)(x) =d(x, A) = inf

a∈Ad(x, a).

Pour A, B∈ F, on noteδ(A, B) =kφ(A)−φ(B)k_∞= sup

x∈X

|φ(A)(x)−φ(B)(x)|.

1. Cela d´ecoule imm´ediatement du fait que (f, g)7→ kf−gk_∞ est une distance surC⁰(X,R).

2. a) Soit x∈ X. Par compacité de An, il existe an ∈An tel que φ(An)(x) = d(x, an). Soita une valeur d’adhérence de la suite (an) (il en existe par compacité deX). Commeφ(An) converge uniformément versf, on a limd(x, a_n) =d(x, a) =f(x). Ceci entraˆıne l’unicité dea, le fait quea∈Aet le fait quef(x) =d(x, a).

b) f est 1-lipschitzienne comme limite uniforme de fonctions 1-lipschiziennes. Pour toutx∈X, il existe a ∈ A tel queφ(A)(x) =d(x, a). Comme f est 1-lipschtizienne, et comme f(a) = 0, on a alors |f(x)| ≤ d(x, a) =φ_a(x). Ceci montre quef ≤φ(A).

c) Pour toutx, on a vu qu’il existea_x∈Atel quef(x) =d(x, a). Ceci montre quef ≥φ_A. Avec le b), ceci prouve quef =φA.

3. Le théorème d’Ascoli implique que{φ(A)|A∈ F }est relativement compact dansC⁰(X,R). La question précedente montre que {φ(A)|A∈ F }dans C⁰(X,R) est fermé dans C⁰(X,R). Par conséquent, ({φ(A)| A∈ F },k · k_∞) est compact. Par définition de la distanceδ, ceci équivaut à la compacité de (F, δ).

10 -

Op´erateurs `a noyaux continus.

On note E=C([0,1],C) que l’on munit de la norme du sup. Pourk: [0,1]×[0,1]→Ccontinue et f ∈E, on pose

K(f)(x) = Z 1

0

k(x, y)f(y)dy (ks’appelle le noyau de K).

1. La continuité de K(f) découle immédiatement des théorèmes classique de théorie de l’intégration (kest bornée). La linéarité deKest évidente. La continuité deK découle du caractére borné dek.

(6)

2. C’est une conséquence du théorème d’Ascoli. Le fait que l’image par K de B_E(0,1) est une famille

´

equicontinue de fonctions d´ecoule de l’uniforme continuit´e deK.

3. Soitλ6= 0. Par définition,f ∈E_λ si et seulement sif = _λ¹K(f). Ceci montre que la boule unité fermée deEλn’est autre que l’image parK de la boule fermée de rayon ¹_λ deE. Ainsi, la boule unité fermée deEλ

est relativement compacte dansE. D’après le théorème de Riesz, ceci montre queEλest de dimension finie.

11 -

Trois compactifications du plan euclidien.

1. (La sphère) Il est clair qu’il s’agit d’une compactification, homéomorphe au compactifié d’Alexandroff puisque S²\i(R²) est constitué d’un seul point. Une suitei(x_n, y_n) converge vers le pôle nord, si la norme de (x_n, y_n) tend vers l’infini. Le reste est évident.

2. (La demi-sphère) On vérifie facilement que c’est une compactification. Une suite i(x_n, y_n) converge vers le point (cosθ,sinθ,0) si le module de (x_n, y_n) tend vers l’infini, et si l’argument dex_n+iy_ntend versθ(on identifieR² àC).

3. (Le plan projectif) Une suite i(xn, yn) converge vers la droite vectorielle engendr´ee par le vecteur si le module de (xn, yn) tend vers l’infini, et si l’argument dexn+iyn tend versθmoduloπ.

12 -

Compactification de Stone- ˇCech.

Pour f ∈F, notonsπf:T →[0,1] la projection sur la coordonn´ee correspondant `af. 1. L’application θest continue puisque ses projectionsx7→f(x) le sont !

2. Six6=y, le théorème d’Urysohn permet de trouver une fonction continue à valeurs dans [0,1], valant 0 enxet 1 eny. Cette fonction permet de voir que θ(x)6=θ(y) et donne donc l’injectivité.

3. Commen¸cons par exhiber une bonne base de voisinages deX. On considère la famille Uf (f ∈F) définie parUf :=f⁻¹(]0,1]). Il est clair queUf est ouvert dansX. Montrons maintenant que cette famille est une base de voisinages. Soit U un ouvert contenant un point x, on peut trouver un voisinage de x ouvert W dont l’adhérence est incluse dansU (avec des boules). Par théorème d’Urysohn, on peut trouver une fonction valant 1 sur W et 0 sur le complémentaire de U, ce qui donne le résultat.

Il suffit maintenant de v´erifier queθ(Uf) est ouvert dansθ(X) pour toutf dans F. Soit V ={z ∈ T | πf(z)>0}, etW :=V ∩θ(X). AlorsV est clairement un ouvert deT, doncW est un ouvert deθ(X). Reste

`

a montrer queW =θ(Uf). Soitz∈W. Alors il existex∈X tel quez=θ(x). On aπf(z)>0, c’est-à-dire πf(θ(x)) =f(x)>0. Par conséquentx∈ Uf. Ceci montre queW ⊂θ(Uf). Réciproquement, six∈ Uf, alors π_f(θ(x)) =f(x)>0 doncz:=θ(x)∈W. Ceci montre queθ(Uf)⊂W.

La conclusion suit car la compacité de ˆX est conséquence du théorème de Tychonoff sur les produits de compacts.