TD no 4 : THEORIE DES COURBES PLANES

TD no 4 : THEORIE DES COURBES PLANES

• Exercice 1

Tracer la courbe donn´ee par la repr´esentation param´etrique suivante : x(t) =at, y(t) =b.

Donner l’expression de la d´eriv´ee temporelle de l’abscisse curviligne ^ds_dt et du vecteur tangent `a la courbeT~(t) = [^dx_ds,^dy_ds].

Calculer la courbure et le rayon de courbure en un point de la courbe.

• Exercice 2

Soit la courbe donn´ee par la repr´esentation param´etrique suivante : x(t) =acost, y(t) =bsin(t), a >0, b >0

• Calculer la d´eriv´ee temporelle de l’abscisse curviligne ^ds_dt

• Donner l’expression du vecteur tangent norm´e T~ en tout point de la courbe.

Calculer ces vecteurs en t = 0, t= ^π2, t=π,t = ³2^π ett = 2π.

• Tracer la courbe pour t = 0 .. 2π. On superposera les vecteurs tangents T~(t) sur la courbe aux points calcul´es pr´ec´edemment.

• Calculer la courbure et le rayon de courbure en un point de la courbe.

• Tracer le cercle de courbure ent = 0 ett = ^π2

• Exercice 3

Soit la courbe donn´ee par la repr´esentation explicite suivante : y(x) =x²

• Donner l’expression du vecteur tangent T~ en tout point de la courbe.

• Calculer ces vecteurs enx=−3,−2, .. 2,3.

• Tracer la courbe pour x =−3 .. 3. On superposera les vecteurs tangents sur la courbe aux points calcul´es pr´ec´edemment.

• Calculer la courbure et le rayon de courbure en un point de la courbe.

La courbe est-elle convexe ou concave ?

• Calculer le rayon de courbure en x = 1 et tracer sur la courbe le cercle de courbure as- soci´e.

1

• Exercice 4 : N´ephro¨ıde

Soit a un r´eel strictement positif donn´e. Soit la courbe, appel´ee n´ephro¨ıde, donn´ee par la repr´esentation param´etrique suivante :

x=a[3 cost−cos 3t], y=a[3 sint−sin 3t] 1. Donner l’expression de la d´eriv´ee temporelle de l’abscisse curviligne : ^ds_dt 2. Donner l’expression du vecteur tangent `a la courbe T~(t) = [^dx_ds,^dy_ds].

Calculer les vecteurs en t = 0, t = ^π4, t = ^π2, t = ³4^π, t = π, t = ⁵4^π, t = ³2^π, t = ⁷4^π et t= 2π.

3. Dessiner la courbe pour 0 ≤ t ≤ 2π. On superposera les vecteurs tangents T~(t) sur la courbe aux points calcul´es pr´ec´edemment.

5. Calculer la courbure et le rayon de courbure en un point de la courbe.

6. On se place au point P tel que t= ^π₃.

Calculer l’´equation de la normale et de la tangente en ce point. Tracer les deux droites.

Calculer le rayon de courbure et le centre de courbure en ce point. Tracer le cercle de courbure associ´e.

• Exercice 5 : Astro¨ıde

Mˆeme exercice que 4) avec la courbe, appel´ee astro¨ıde, donn´ee par la repr´esentation pa- ram´etrique suivante :

x=acos³t, y =asin³t

2