Rappels d électronique

Électronique – Chapitre 1

Rappels d’électronique

Sommaire

I. Bases de l’électrocinétique . . . . 1

I.1. Intensité et tension électrique . . . 1

I.2. Puissance électrique . . . 1

I.3. Lois de Kirchhoff dans l’ARQS . . . 1

II. Dipôles linéaires . . . . 2

II.1. Résistance . . . 2

II.2. Condensateur . . . 3

II.3. Bobine . . . 3

II.4. Générateurs . . . 4

III. Circuit linéaire en régime transitoire . . . . 4

III.1. Étude du circuit RC soumis à un échelon de tension . . . 4

III.2. Étude du circuit RL soumis à un échelon de tension . . . 5

III.3. Étude du circuit RLC soumis à un échelon de tension . . . 5

IV. Circuit linéaire en régime sinusoïdal forcé . . . . 7

IV.1. Le régime sinusoïdal forcé . . . 7

IV.2. Représentation complexe . . . 7

IV.3. Résonance en intensité d’un circuit RLC . . . 8

IV.4. Résonance en tension d’un circuit RLC . . . 9

V. Filtrage linéaire . . . . 9

V.1. Décomposition de Fourier d’un signal périodique . . . 9

V.2. Généralités sur les filtres linéaires . . . 10

V.3. Exemples de filtres passifs . . . 10

V.4. Modélisation de l’entrée et de la sortie d’un filtre . . . 13

V.5. Stabilité d’un système linéaire . . . 13

I. Bases de l’électrocinétique

I.1. Intensité et tension électrique

L’intensité électrique(en Ampère) est la quantité de charge dqqui traverse la section d’un conducteur pendant un temps dt, d’où :

i = dq dt .

La tension électrique (en Volt) entre deux points A et B est la différence de potentiel électrique entre ces deux points, d’où :

u

= V

− V

.

I.2. Puissance électrique

Lapuissance reçuepar un dipôleABenconvention récepteur est : P_reçue=u_ABi.

i

uAB

A•

B•

Lapuissance fourniepar un dipôleABenconvention générateurest : Pfournie=uBAi.

i

u_BA A•

B•

I.3. Lois de Kirchhoff dans l’ARQS

Dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS), on suppose que le temps de propagation des phénomènes électriques dans un circuit est négligeable devant la durée des variations temporelles de ces phénomènes.

Prenons l’exemple d’un circuit de longueur Ldont l’intensité varie avec une période T, l’approximation des régimes quasi-stationnaires est vérifiée si L

c T, avecc la célérité de la lumière.

Laloi des nœudsimplique qu’en chaque nœud d’un circuit, la somme des courants entrants est égale à la somme des courants sortants, soit :

i

+ i

= i

+ i

+ i

.

i₁

i₂ i3

i4

i5

•

Laloi des mailles implique que la somme des tensions le long d’une maille par- courue dans un sens donnée est nulle, soit :

u

+ u

+ u

+ u

= 0.

u1

u2

u3

u4

II. Dipôles linéaires

II.1. Résistance

Loi d’Ohm et effet Joule

En convention récepteur, la tension aux bornes d’une résistanceR(en Ohm) vérifie laloi d’Ohm:

u = R i .

i R

u

La puissance dissipée pareffet Jouledans une résistance est :

P

= R i

= u

R .

Lois d’association des résistances

La résistance équivalenteRéqaux résistancesR1 et R2 en série est :

R

= R

+ R

.

La résistance équivalenteRéqaux résistancesR1 et R2 en parallèle est telle que :

1

R

= 1

R

+ 1

R

⇐⇒ R

= R

R

R

+ R

.

R1

R₂

Ponts diviseurs

Lepont diviseur de tensiondonne pour des résistances en série :

u

= u R

R

+ R

+ R

.

R₁ R₂ R₃

u₁

u Lepont diviseur de courantdonne pour des résistances en parallèle :

i

= i

1 R₁ 1

R₁

+

2

+

3

.

i

R1

R₂

R3

i₁

i2

i₃

Application :

Exprimons la tension U4, puis l’intensité i4, en fonction deE pour le circuit ci-contre.

i R1 R2 i₄

R4

R3

E U₄

On remplace les résistances R

et R

par une résistance équivalence R

= R

+R

, et les résistances R

et R

par une résistance R

= 1

1 R₃

+

4

= R

R

R

+ R

. Le pont diviseur de tension donne : U

= E R

R

+ R

= E

R3R4

R3+R4

R

+ R

+

3+R₄

, soit : U

= E R

R

R

R

+ (R

+ R

) (R

+ R

) . La loi d’Ohm donne : i

= U

R

= E R

R

R

+ (R

+ R

) (R

+ R

) .

II.2. Condensateur

La charge portée par l’une des armatures d’un condensateur parfait est :

q = C u ,

avecCla capacité du condensateur (en Farad).

i C +q −q

u En convention récepteur, l’intensité traversant un condensateur est :

i = C du dt .

En régime permanent, on en déduit quei= 0, un condensateur est alors équivalent à un interrupteur ouvert.

La tension aux bornes d’un condensateur évolue toujours de façon continue, elle ne peut pas présenter de discontinuité.

La puissance reçue par un condensateur est :

P_reçue=u i=u Cdu dt = d

dt 1

2C u²

, d’où l’énergie électrostatique emmagasinée dans un condensateur :

E = 1

2 C u

.

II.3. Bobine

En convention récepteur, la tension aux bornes d’une bobine parfaite est :

u = L di dt ,

avecLl’inductance de la bobine (en Henry).

i L

u

En régime permanent, on en déduit queu= 0, une bobine est alors équivalente à un fil.

L’intensité traversant une bobine évolue toujours de façon continue, elle ne peut pas présenter de discontinuité.

La puissance reçue par une bobine est :

Preçue=u i=Ldi dti= d

dt 1

2L i²

, d’où l’énergie magnétique emmagasinée dans une bobine :

E = 1 2 L i

.

II.4. Générateurs

Un générateur de tension idéal impose à ses bornes une tension E, appelée force électromotrice (fem).

E

Ungénérateur de courant idéalimpose dans le circuit une intensitéI₀, appelée courant électromoteur.

I0

Tout générateur réel peut être modélisé par ungénérateur de Thévenin, consti- tué d’une force électromotriceEen série avec une résistance de sortieRs. La tension imposée à ses bornes est :

u = E − R

i.

i R_s

E

u

Un GBF possède une résistance de sortie Rs = 50 Ω. Celle-ci n’est pas forcément négligeable en fonction du circuit étudié, et il est parfois nécessaire de la prendre en compte.

III. Circuit linéaire en régime transitoire

Un circuit linéaire évolue selon une équation différentielle linéaire à coefficients constants.

On présente dans cette partie l’étude du régime transitoire pour quelques circuits linéaires.

III.1. Étude du circuit RC soumis à un échelon de tension

On considère un circuit RC série où un générateur de tension délivre une tensione(t <0) = 0 et e(t>0) =E.

Déterminons l’évolution de la tensionuC(t) pour t>0, et son temps carac- téristiqueτ.

i

R C e

uR

uC

Pour t > 0, la loi des mailles donne : E = u

+ u

= R i + u

= R C du

dt + u

. On obtient une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre :

du

dt + u

τ = E

τ , avec τ = R C le temps caractéristique.

La solution homogène est de la forme : u

= A e

, avec A une constante.

La solution particulière est : u

= E.

La solution générale est donc : u

(t) = A e

+ E.

Comme la tension aux bornes d’un condensateur évolue de façon continue, on a : u

(0) = 0 = A + E, d’où : A = −E.

Au final, on obtient : u

(t) = E

1 − e

.

Réalisons un bilan énergétique au cours de la charge du condensateur :

• l’énergie fournie par le générateur est : E =

ˆ ∞ 0

E idt= ˆ ∞

0

E C duC

dt dt=E C[uC]^E₀ =C E²,

• l’énergie dissipée par la résistance est : ER=

ˆ ∞ 0

R i²dt= ˆ ∞

0

R

CduC

dt 2

dt= ˆ ∞

0

R

CE τ e^−t/τ

2

dt= E² R

ˆ ∞ 0

e^−2t/τdt=E² R

τ 2 = 1

2C E²,

• l’énergie stockée dans le condensateur est : EC=

ˆ ∞ 0

d dt

1 2C u²_C

dt=

1 2C u²_C

E

0

= 1 2C E².

On retrouve bien la conservation de l’énergieE =ER+EC, et on remarque que la moitié de l’énergie fournie par le générateur est dissipée par effet Joule, tandis que l’autre moitié est stockée dans le condensateur.

III.2. Étude du circuit RL soumis à un échelon de tension

On considère un circuit RL série où un générateur de tension délivre une tensione(t <0) = 0 et e(t>0) =E.

On peut déterminer de façon analogue l’évolution de l’intensité i(t) pour t>0, et son temps caractéristiqueτ.

i

R L e

uR

uL

Pourt>0, la loi des mailles donne :E=uR+uL=R i+Ldi dt.

On obtient une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre : di dt + i

τ = E

L, avecτ = L R le temps caractéristique.

La solution homogène est de la forme :ih=Ae^−t/τ, avecAune constante.

La solution particulière est :ip= E τ L = E

R. La solution générale est donc :i(t) =Ae^−t/τ +E

R.

Comme l’intensité traversant une bobine évolue de façon continue, on a :i(0) = 0 =A+E

R, d’où : A=−E R. Au final, on obtient :

i(t) =E R

1−e^−t/τ .

III.3. Étude du circuit RLC soumis à un échelon de tension

On considère un circuit RLC série où un générateur de tension délivre une tensione(t <0) = 0 et e(t>0) =E.

Déterminons l’évolution de la tension u_C(t) pour t > 0 dans le cas où on observe un régime pseudo-périodique.

i

R C L e

u_R

u_C

uL

Pour t > 0, la loi des mailles donne : E = u

+ u

+ u

= R i + u

+ L di

dt = R C du

dt + u

+ L C d

u

dt

.

On obtient une équation différentielle linéaire du second ordre avec second membre : d

u

dt

+ ω

Q

du

dt + ω

u

= ω

E, avec ω

= 1

√ L C la pulsation propre et Q = 1 R

v u u t

L C le facteur de qualité.

Si on observe un régime pseudo-périodique, alors Q > 1

2 , et la solution homogène est : u

(t) = e

[A cos (ω t) + B sin (ω t)], avec ω = ω

v u u

t

1 − 1

4 Q

la pseudo- pulsation, et A et B des constantes.

La solution particulière est : u

= E.

La solution générale est donc : u

(t) = e

ω0 2Qt

[A cos (ω t) + B sin (ω t)] + E.

Comme la tension évolue de façon continue aux bornes d’un condensateur, on a : u

(0) = 0 = A + E, d’où : A = −E.

Comme l’intensité traversant une bobine évolue de façon continue, on a : i(0) = 0 = C du

dt

0

, avec : du

dt = − ω

2 Q e

[A cos (ω t) + B sin (ω t)] + e

[−ω A sin (ω t) + ω B cos (ω t)], soit : 0 = C

"

− ω

2 Q A + ω B

#

, d’où : B = − ω

E

2 Q ω = − E

√ 4 Q

− 1 . Au final, on obtient : u

(t) = E − E e

"

cos (ω t) + 1

√ 4 Q

− 1 sin (ω t)

#

.

On obtient l’équation différentielle vérifiée par l’intensitéi(t) en dérivant l’équation différentielle sur la tensionuC(t), puisquei(t) =Cdu_C

dt , soit :

d²i dt² +ω₀

Q di

dt +ω²₀i= 0. Réalisons un bilan énergétique au cours de la charge du condensateur :

• l’énergie fournie par le générateur est : E =

ˆ ∞ 0

E idt= ˆ ∞

0

E C duC

dt dt=E C[uC]^E0 =C E²,

• l’énergie stockée dans le condensateur est : EC=

ˆ ∞ 0

d dt

1 2C u²_C

dt=1 2C u²_C

^E

0

= 1 2C E²,

• l’énergie stockée dans la bobine est : EL=

ˆ ∞ 0

d dt

1 2L i²

dt=1 2L i²

⁰

0

= 0,

• l’énergie dissipée par la résistance peut être déduite par le bilan énergétique (plutôt que de réaliser le calcul) : ER=E − EC− EL= 1

2C E².

On remarque que la moitié de l’énergie fournie par le générateur est dissipée par effet Joule, tandis que l’autre moitié est stockée dans le condensateur, et que la bobine ne stocke pas d’énergie.

IV. Circuit linéaire en régime sinusoïdal forcé

IV.1. Le régime sinusoïdal forcé

Lerégime sinusoïdal forcéest le régime permanent obtenu lorsqu’un système est soumis à une excitation sinusoïdale de la formee(t) =Ecos (ω t).

Pour un circuit linéaire, on peut alors montrer que les différents signaux du circuit (tension et intensité notamment) seront de la formes(t) =Scos (ω t+ϕ), avec :

• une moyenne nulle sur une période :hs(t)iT = ˆ

T

s(t) dt= 0,

• une valeur efficace sur une période :S_eff = s1

T ˆ

T

s(t)²dt= S

√2.

IV.2. Représentation complexe

En représentation complexe, on associe à tout signal sinusoïdal réel de la formes(t) =Scos (ω t+ϕ) un signal complexe s(t) =Se^{j(ω t+ϕ)}=Se^{jω t}, avecS=Se^jϕ son amplitude complexe.

On peut alors exprimer la dérivée par rapport au temps telle que : ds

dt = (jω)s, et plus généralement : dⁿs

dtⁿ = (jω)ⁿs. Par analogie avec la loi d’Ohm, on définit l’impédance complexed’un dipole en

convention récepteur :

Z = u i .

i Z

u

On définit de même l’admittance complexed’un dipole en convention récepteur : Y = i

u. L’impédance complexe d’une résistance est :

Z

= R .

L’impédance complexe d’un condensateur est :

Z

= 1 j C ω .

L’impédance complexe d’une bobine est :

Z

= j L ω .

Les lois linéaires de l’électrocinétique restent valables en régime sinusoïdale forcé avec la représentation complexe :

• les lois de Kirchhoff sont valables,

• les lois d’association des résistances sont généralisables avec les impédances complexes,

• les lois des ponts diviseurs sont généralisables avec les impédances complexes.

IV.3. Résonance en intensité d’un circuit RLC

On considère un circuit RLC série où un générateur de tension délivre une tensione(t) =Ecos (ω t).

Déterminons l’amplitude de l’intensitéi(t) en représentation complexe, puis la pulsation de résonance en intensité du circuit.

i

R C L e(t)

uR

uC

uL

En représentation complexe, la loi des mailles donne : E e

= u

+ u

+ u

= R i + 1

j C ω i + j L ω i =

"

R + j L ω − 1 C ω

!#

i, d’où :

i = E

R + j

L ω −

e

.

Comme i = I e

, son amplitude complexe est : I = E

R + j

L ω −

. En posant ω

= 1

√ L C et Q = 1 R

v u u t

L

C , on obtient : I = E R

1 1 + j Q

ω

ω0

−

. Son module est : I = E

R

1

s

1 + Q

ω

ω0

−

= E R

1

r

1 + Q

x −

, avec x = ω ω

. La résonance correspond au maximum de I , et donc au minimum du dénominateur, soit : x

− 1

x

!2

= 0, d’où : x

= 1, et on en déduit la pulsation : ω

= ω

.

Larésonance en intensité existe toujours:

• la pulsation de résonance estωr=ω0,

• l’amplitude à la résonance estIr=I(ω0) = E R,

• l’intensitéi(t) est en phase avec la tensione(t) à la résonance carI est réelle.

ω I

0 ωr

Ir

I_r

√2

∆ω

Lalargeur de la résonance, oubande passante, est la bande de pulsation ∆ωtelle que :I> Ir

√2. On peut montrer que ∆ω= ω0

Q.

L’acuitéde la résonance est :Ar= ω_r

∆ω, d’où :Ar=Q.

IV.4. Résonance en tension d’un circuit RLC

On peut réaliser une étude analogue de la résonance en tension aux bornes du condensateur.

On obtient une amplitude complexe :U_C= E 1−x²+ j_Q^x. Le module de l’amplitude est :U_C= E

r

(1−x²)²+

x Q

2, il ne présente un maximum que lorsqueQ > 1 2. Larésonance en tension n’existe pas toujours:

• la condition de résonance estQ >1 2,

• la pulsation de résonance estωr=ω0

r 1− 1

2Q²,

• l’amplitude à la résonance estUC,r=UC(ωr) = E Q q1−_4Q¹2

.

ω UC

0 E

ω_r U_C,r

Q= 1 Q= 1/4

V. Filtrage linéaire

V.1. Décomposition de Fourier d’un signal périodique

Lethéorème de Fourierindique que tout signal périodiques(t) de périodeT₀=2π

ω0 peut s’écrire comme une somme de fonctions sinusoïdales de la forme :

s(t) =c0+

∞

X

n=1

cnsin (n ω0t+ϕn).

• Le coefficientc0 est lacomposante continuedu signal, c’est-à-dire sa valeur moyenne.

• Le termen= 1 de la somme est lefondamental, il est de pulsationω0.

• Le termende la somme est l’harmoniquede rangn, il est de pulsationn ω0. Lespectre de Fourierd’un signal est l’ensemble de ses coefficientscn.

On obtient par exemple pour les premières harmoniques d’un signal créneau :

n ω0

c_n

0 ω0 3ω₀ 5ω₀ 7ω₀ 9ω₀

V.2. Généralités sur les filtres linéaires

Un filtre estlinéairesi la tension en entréeue(t) et la tension en sortieus(t) sont reliées par une équation différentielle à coefficients constants.

Lafonction de transfertdu filtre linéaire est :

H (ω) = u

u

.

• Son module est legaindu filtre : G(ω) =|H(ω)|,

• Son argument est laphasedu filtre, c’est-à-dire le déphasage entreus(t) etue(t) :ϕ(ω) = arg (H(ω)).

On définit également legain en décibels :

G

(ω) = 20 log G(ω) = 20 log |H (ω)| .

Pour caractériser un filtre, on représente habituellement sondiagramme de Bode, composé des tracés de son gain en décibelsGdBet de sa phase ϕen fonction de la pulsationω en échelle logarithmique.

Lespulsations de coupureω_c d’un filtre correspondent aux pulsations telles queG(ω_c) =Gmax

√2 , avecG_maxle gain maximal du filtre, soit avec le gain en décibelsGdB(ωc) =GdB,max−3.

Labande passante∆ω d’un filtre est l’intervalle de pulsation tel queG(ω)>G(ω_c).

On distingue principalement quatre types de filtres :

• unfiltre passe-baslaisse passer les basses fréquences mais coupe les hautes fréquences,

• unfiltre passe-hautlaisse passer les hautes fréquences mais coupe les basses fréquences,

• unfiltre passe-bandene laisse passer qu’une bande de fréquences intermédiaires,

V.3. Exemples de filtres passifs Filtre passe-bas d’ordre 1

Exprimons le gain et la phase du filtre RC série en prenant la tension de sortie aux bornes du condensateur.

i

R C

u_e(t) u_s(t)

Le pont diviseur de tension donne : u

(t) = Z

Z

+ Z

u

(t) = 1

1 + j R C ω u

(t).

La fonction de transfert du filtre est : H = u

u

= 1

1 + j R C ω . Son gain est : G(ω) = |H | = 1

√ 1 + R

C

ω

.

Sa phase est : ϕ(ω) = arg(1) − arg(1 + j R C ω) = − arctan (R C ω).

On retrouve bien la forme canonique d’un filtre passe-bas d’ordre 1 : H(x) =H0 1

1 + jx, avecx= ω

ω0 la pulsation réduite, en posantH₀= 1 etω₀= 1 R C.

Pour tracer son diagramme de Bode, on étudie son comportement asymptotique :

• aux basses fréquences (x1), on a :H→H0, d’où :GdB→20 logH0 et ϕ→0,

• aux hautes fréquences (x1), on a :H → −jH₀

x , d’où : G_dB→20 logH₀−20 logxetϕ→ −π 2. PourH₀= 1, soit logH₀= 0, le diagramme de Bode obtenu est :

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

0

−3

−10

−20

x=ω/ω0

GdB(dB)

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

−1.5

−1

−0.5 0

x=ω/ω0

ϕ(rad)

Filtre passe-haut d’ordre 1

La forme canonique d’un filtre passe-haut d’ordre 1 est :

H(x) =H₀ jx 1 + jx.

On l’obtient par exemple avec un filtre RC série en prenant la tension de sortie aux bornes de la résistance, ou avec un filtre RL série en prenant la tension de sortie aux bornes de la bobine.

Son diagramme de Bode est de la forme :

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

0

−3

−10

−20

x=ω/ω0

GdB(dB)

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

0 0.5 1 1.5 2

x=ω/ω0

ϕ(rad)

Filtre passe-bas d’ordre 2

La forme canonique d’un filtre passe-bas d’ordre 2 est :

H(x) =H₀ 1 1−x²+ j_Q^x. On peut alors montrer que le gain présente une résonance siQ > 1

√2.

On l’obtient par exemple avec un filtre RLC série en prenant la tension de sortie aux bornes du condensateur.

Son diagramme de Bode est de la forme :

10⁻¹ 10⁰ 10¹

10 0

−10

−20

−30

x=ω/ω₀ GdB(dB)

Q= 5 Q= 0,5

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

0

−1

−2

−3

x=ω/ω₀

ϕ(rad)

Q= 5 Q= 0,5

Filtre passe-bande d’ordre 2

La forme canonique d’un filtre passe-bas d’ordre 2 est : H(x) =H0

j_Q^x

1−x²+ j_Q^x =H0 1

1 + jQ x−¹_x.

Son diagramme de Bode est de la forme :

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

0

−10

−20

−30

x=ω/ω0

GdB(dB)

Q= 5 Q= 0,5

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

1

0

−1

x=ω/ω0

ϕ(rad)

Q= 5 Q= 0,5

V.4. Modélisation de l’entrée et de la sortie d’un filtre

L’entrée d’un filtre peut être modélisée par une impé- dance d’entréeZ_e définie telle que :

Z

= u

i

.

La sortie d’un filtre peut être modélisée par ungénéra- teur de Théveninde force électromotriceH u_e en série avec uneimpédance de sortieZ_s.

i_e

Z_e

•

•

u_e

Z_s

H u_e

• i_s

•

filtre

u_s

En association plusieurs filtres les uns à la suite des autres, les impédances d’entrées et de sorties de chaque filtre peuvent influencer les filtres voisins.

Application :

Déterminons les conditions pour que la fonction de transfert de cette association de deux filtres soit égale au produit des fonctions de transfert de chaque filtre, soitH =H₁H₂.

Z_e1

•

•

u_e1

Z_s1

H₁u_e1

Z_e2

Z_s2

H₂u_e2

•

•

u_s2

filtre 1 filtre 2

u_s1 u_e2

La fonction de transfert totale est : H = u

u

= u

u

u

u

, avec u

= Z

Z

+ Z

H

u

par le pont diviseur de tension et u

= H

u

à vide, soit : H = H

H

Z

Z

+ Z

.

On retrouve H = H

H

uniquement si |Z

| |Z

|.

V.5. Stabilité d’un système linéaire

La résolution de l’équation différentielle reliant la tension en entréeue(t) et la tension en sortie us(t) d’un système linéaire mène à une solution générale de la formeus(t) =us,h(t)+us,p(t), avecus,h(t) la solution de l’équation homogène etus,p(t) une solution particulière.

On admet que le système eststablesius(t) tend versus,p(t) au cours du temps, c’est-à-dire si us,h(t) tend vers zéro.

Application :

Déterminons la stabilité d’un système obéissant à l’équation différentielle dus

dt −1

τ us= ue(t)

τ , puis d’un système obéissant à l’équation différentielle dus

dt +1

τus= ue(t) τ .

Pour le premier système, la solution de l’équation homogène est de la forme : u

(t) = A e

, avec A une constante. Comme elle diverge lorsque t → +∞, ce système n’est pas stable.

Pour le second système, la solution de l’équation homogène est de la forme : u

(t) = A e

, avec A une constante. Comme elle s’annule lorsque t → +∞, ce système est stable.

On peut montrer qu’un système du premier ou du second ordre est stable si l’une de ces propriétés est vérifiée :

• tous les coefficients de son équation différentielle homogène sont de même signe,

• tous les coefficients au dénominateur de sa fonction de transfertH sous forme canoniquesont de même signe.

On rappelle qu’une fonction de transfert sous forme canonique s’exprime :H(x) =H₀ b₀+b₁jx+b₂(jx)²+...

a0+a1jx+a2(jx)²+.... Application :

Déterminons la stabilité d’un système dont la fonction de transfert est H(x) =H0 1

1 + jQ x−_x¹.

Il faut exprimer H sous forme canonique : H (x) = H

1

1 + j Q

x −

= H

j x

h

1 + j Q

x −

j x = H

j x

Q + j x + Q (j x)

.

Tous les coefficients au dénominateur sont de même signe, le système est donc

stable.