La première étape du modèle était consacrée

What IF: Liability-Asset Management

Gabriele Farei-Campagna

Université de Lausanne

Résumé

Ce document interne au groupe de travail du Think Tank 2013 a pour but de préparer la séance qui aura lieu Mercredi 14 août. Il explique un peu plus en détail les aspects quantitatifs du modèle. La séance, quant à elle, sera dédiée à la discussion des résultats et à vos feedbacks. Je commence par un aperçu général du modèle. J’introduis ensuite le modèle Black-Litterman et son utilisation pour conduire une analyse par scénario de marché. Enfin, je vous propose une démarche qui intègre les engagements dans la construction même du portefeuille, en visant la réduction de la volatilité du surplus. Ces deux dernières parties étant essentiellement quantitatives, je mentionne les résultats intermédiaires dans le corps du texte, alors que les dérivations figurent en annexe.

L

^apremière étape du modèle était consa- crée à la modélisation du passif. Il est très important d’étudier et de projeter les engagements, car ils seront par la suite le véritable benchmark de l’allocation d’actifs. Le modèle développé permet de simuler des scé- narios sur toutes les variables clés de la caisse ainsi que sur l’ensemble du 2ème pilier (ma- trice des scénarios économiques). L’étude d’im- pact, à travers une analyse de sensibilité, a comme but d’être une aide à la décision sur les paramètres de pilotage de la caisse. Tout en restant dans l’esprit d’un modèle d’aide à la décision, je vais par la suite détailler comment intégrer des scénarios de marché et finalement, comment réunir les scénarios sur le passif et sur l’actif pour trouver la composition du por- tefeuille optimale qui en découle.

I. Analyse par scénario : Black-Litterman

Le modèle Black-Litterman (Black & Litter- man (1992)) est un modèle d’optimisation de portefeuille sous contraintes qui a été présenté par Fischer Black et Rober Litterman en 1992.

Parmi les caractéristiques qui ont rendu ce mo- dèle si populaire, la possibilité de combiner les anticipations des investisseurs et leur intervalle de confiance avec l’équilibre de marché est par- ticulièrement intéressante. Elle nous permet

en effet de trouver à la fois l’allocation qui re- flète le mieux les anticipations des investisseurs et des résultats plus intuitifs de l’optimisation par rapport aux techniques d’optimisation stan- dard. Pour ce faire, je vais utiliser le framework de Black-Litterman pour agréger l’équilibre et les anticipations, mais je vais également de- voir modifier l’optimisation prévue dans le mo- dèle de base (optimisation moyenne-variance de Harry Markovitz) pour intégrer le profil de la caisse sous forme de surplus.

I.1 Pourquoi Black-Litterman ?

Les modèles d’optimisation de portefeuille, tel que celui développé par Markovitz en 1952, souffrent d’un déficit de crédibilité lié aux résultats parfois extrêmes qu’ils produisent.

De plus, une variation minimale des inputs peut provoquer des changements considérables dans la composition des portefeuilles optimaux.

Parmi les solutions trouvées par la finance moderne, le modèle Black-Litteman a été l’un des plus appréciés par l’industrie. L’utilisation d’un modèle d’équilibre (MEDAF), à la place des rendements historiques, permet en effet de résoudre le "paradigme de Markovitz". Le modèle du MEDAF (ou CAPM en anglais) re- pose sur l’idée que les marchés s’équilibrent pour ajuster l’offre à la demande en se basant sur l’hypothèse que tous les investisseurs ré- solvent le même problème d’optimisation et

visent à garder un portefeuille optimal. Ce mo- dèle d’équilibre, introduit par Sharpe et Lint- ner, indique que l’équilibre est obtenu avec le portefeuille de marché, donc un portefeuille dont les pondérations sont données par leur capitalisation de marché.

Le MEDAF est à interpréter comme un point de départ sur lequel nous allons construire nos anticipations. L’idée est intui- tive. Si l’on a aucune vision du marché (anti- cipation), il n’y a aucune raison de dévier du portefeuille de marché.Imaginons que le monde soit la Suisse et le SMI soit le portefeuille de marché, un investisseur qui n’a pas d’anticipation spécifique a intérêt de garder un portefeuille qui réplique le SMI ; par contre, s’il devait avoir des visions diffé- rentes sur les attentes de rendement des titres du SMI, les poids du portefeuille varieraient. En outre, si tout le monde a la même idée, les pondérations du SMI vont converger vers ce portefeuille, car tout le monde va détenir ce portefeuille et la capitalisation des titres va changer. ¹

I.2 Un exemple

Supposons que les investisseurs ont un uni- vers d’investissement de 4 actifs : A₁,A2,A3,A₄. La capitalisation boursière étant la même pour les 4 actifs, le portefeuille de marché est équi- pondéré avec le même excès de rendement de 5%. L’investisseur a des opinions différentes par rapport au portefeuille de marché et des niveaux de confiance associés à ces opinions.

– L’investisseur, d’après ses analyses, anti- cipe que A1va avoir un excès de rende- ment absolu de 3% ; par contre il n’est pas complètement convaincu que ce scé- nario va se produire et il associe donc un intervalle de confiance de 25% à son anticipation.Anticipation absolue – Il est un peu plus convaincu que A2va

surperformerA3de 2% avec un intervalle de confiance de 50%.Anticipation rela- tive

– Il anticipe aussi que, pour des raisons macroéconomiques, le portefeuille formé par A2&A3va surperformer A1&A4de 2% avec un intervalle de confiance de

75%.Portefeuille d’anticipation relative Les outputs des scénarios Les dérivations sont présentées dans l’annexe 1, une fois les à priori (anticipations) et l’équilibre réunis, je vais me référer aux outputs de Black-Litterman avec :

– µ_q = E[R] le vecteur d’excès de rende- ment du marché (à posteriori)

– s_q=S_pla matrice variance-covariance (à posteriori)

je garde intentionnellement une notation scalaire pour simplifier la lecture

L’univers d’investissement, à ce stade, devrait être le plus complet possible, de façon à per- mettre des scénarios complexes. Il faut souli- gner que même si certains actifs ne sont pas dans l’univers d’investissement, le fait d’avoir des opinions sur ces derniers peut impacter l’univers d’investissement.

II. Liability Asset Framework

Jusqu’ici, le modèle de simulation du pas- sif permet simuler des scénarios sur toutes les principales variables de la caisse de pension.

Le résultat du scénario se matérialisera dans la projection des engagements. La version pré- sentée de Black-Litterman permet d’intégrer des scénarios de marché et leurs intervalles de confiance à partir d’un point neutre. L’output sera le vecteur révisé d’excès de rendement at- tendu et la matrice variance-covariance révisée.

Dans cette section je vais formaliser les ré- sultats précédents pour les intégrer dans un framework commun.

II.1 Liability Model

Littérature

Bookstaber & Gold (1988) Meder & Staub (2007) Waring (2008)

En regardant les projections des engage- ments d’un point de vue financier, j’obsèrve un flux de cash flows avec des caractéristiques similaires à ceux qu’on peut trouver sur le marché. Ces flux sont divisés en deux parties.

La première partie est déterministe, compo- sée par les engagements à verser aux rentiers et le capital d’épargne des assurés actifs. Par principe, ces types de cash flows sont expo- sés à l’inflation et à la limite au risque sys- témique Suisse. Hormis ces derniers, les flux déterministes dans une institution qui vise la pérennité (sans risque de crédit en principe) devraient être sans risque. Si, par contre, on élargit le concept du passif à la composante incrémentale, i.e. les engagements à détermi- ner dans le futur et pas seulement les flux déterministes, l’analyse devient plus intéres- sante. Pour prendre en compte l’évolution des cotisations, l’évolution des salaires, les cycles d’entrée et sortie, les actions deviennent inté- ressantes car elles capturent cette composante de risque liée à l’éventuelle augmentation de la productivité et de la croissance. Pour commen- cer, supposons que nous prenons en considé- ration uniquement la partie déterministe des engagements sans la partie incrémentale. Il est dès lors possible de modéliser les engagements de la façon suivante :

RL=RF(L)+b_Lµ_Q+a_L (1) – RLest défini comme :RLL0=L1 L0(L0

est la valeur actuelle des engagements aujourd’hui actualisés selon leur risque de marché²)

– b_Lµ_Qcapture les composantes de risque de marché

– a_Lcapture les risques non liés au marché, comme les différences effectives entre projections actuarielles et réalité (sous- évaluation de la mortalité,...)

En utilisant cette même notation, la volatilité sera :

s²_A=b²_Ls_Q²+w²_L (2) – w_L représente l’écart-type prévu des

risques non liés aux marchés

– bLs_Q le risque de marché dépend de notre scénario BL

En considérant a_L comme " impossible à couvrir" sur le marché³, cette formulation sug- gère que le vrai taux d’escompte est caracté- risé par le portefeuille qui capture le mieux les risques de marché (RF+b_Lµ_Q).

II.2 Asset Model

RA=RF(A)+b_Aµ_Q+a_A (3) – R_Aest défini comme : R_AA0= A₁ A0.

(A0est la valeur de marché des actifs au- jourd’hui)

– a_A est la composante résiduelle du rendement attendu non capturé par l’exposition au portefeuille de mar- ché. Par la suite, je vais supposer que E[a_A,i|Manager_i] 6= 0 mais que E[Ei[a_A,i|Manageri]] = 0 ⁴. Par contre, pour le cas général, je vais laisser de coté la composante résiduelle du rendement et je vais me concentrer sur leb.

La volatilité prévue sera :

s²_A=b²_As_Q² (4) – µ_Qands²_Qsont les outputs du scénario

BL.

II.3 Surplus

Littérature

Waring & Whitney (2009) Waring & Merton (2011)

Si l’on considère le problème des caisses de pension comme étant l’optimisation de l’alloca- tion d’actifs sous la contrainte d’une position à découvert (les engagements), le surplus est un élément crucial pour établir l’optimisation(les dérivations sont disponibles dans l’annexe 2).

Le surplus est la différence entre la valeur économique des actifs et des passifs. Dans le cas où la valeur est négative (déficit :A0<L0), je vais garder la même notation. Le rendement du surplus, dans ce cas, vise à réduire le déficit et pas à augmenter le surplus.

S0=A0 L0 (5)

Je peux reformuler (5) en terme de rende- ments :

RS=RA L0

A0RL (6)

en utilisant (1) et (3) (sansa), le rendement du surplus sera :

RS = (RF(A) L0

A0RF(L)) + (b_A L0

A0b_L)µ_Q (7) et la volatilité du surplus :

V[RS] =



b_A L0

A0b_L

2

s_q² (8)

II.4 Surplus : La fonction d’utilité

On peut écrire la fonction objectif de la caisse de pension de cette façon :

maxb_A US =RS ls_S² (9) Le portefeuille optimal qui découle de cette optimisation sera :

b^⇤_A= L0

A0b_L+ µ_Q

2ls_Q² (10) D’après (8), on peut voir que lorsque :

b_A= ^L_A⁰₀b_LalorsV[RS] = 0.

Je définis dès lors le portefeuille qui minimise la variance comme :

b_A,LMAP= ^L_A⁰₀b_L ( Liability Matching Asset Portfolio). La composante restante de (10) est réduite par l, l’aversion au risque. Cette partie de la solu- tion optimale peut être définie comme : b_A,RAP = _2ls^µQ₂

Q ( Risky Asset Portfolio).

Intuitivement, lorsque l’aversion au risque tend vers l’infinie,b_A!^bA,LMAP.

b^⇤_A =b_A,LMAP+b_A,RAP (11) La frontière efficiente du surplus peut être re- présentée de la manière suivante :

Ecart-Type Surplus

Rendement Attendu

Engagements LMAP Frontière Asset-Only

Frontière Surplus

Portefeuille optimale

Choix de risque actif

Le portefeuille qui arrive à hedger les risques de marché des engagements avec le minimum de variance du surplus

Figure1 – Frontière efficiente du surplus On trouve ainsi la formule qui donne le rendement optimal du surplus :

R^⇤_S= (R_F(A) L0

A0R_F(L)) (12) + (b_A,LMAP L0

A0b_L)µ_Q +b_A,RAPµ_Q

Il est intéressant de relever que si l’on ar- rive à couvrir complètement les engagements (b_A,LMAP = _A^L0₀b_L), le problème d’optimisation se réduit à une optimisation asset-only.

II.5 Généralisation du modèle

On peut généraliser le modèle en introdui- sant, au lieu d’une simple exposition beta à l’univers d’investissement, un modèle multi- facteur qui décrit l’exposition des engagements au risque de marché avec plus de granula- rité. La démarche reste par contre la même.

SoitF le vecteur des facteurs (la duration, la convexité....) La formule peut donc être généra- lisée par facteurs :⁵

F_A^⇤ = L0

A0FL+ V_Q¹r_Q 2

!T

1

l (13)

– F_A^⇤ est l’exposition optimale à l’univers d’investissement.

– rQest le rendement attendu des facteurs Par la suite, avec cette formulation, on peut re- dériver la formule classique du MEDAF avec le LMAP qui est substitué au rendement sans risque. Il apparaît que tout portefeuille effi- cient, en présence d’une position à découvert, sera toujours la combinaison entre, d’une part, le portefeuille qui matche le mieux les enga- gements et, d’autre part, le portefeuille risqué.

Dans ce contexte, la vraie décision à prendre se réduit donc à choisir le degré d’agressivité ou de conservation satellitaire (le portefeuille risqué RAP)

II.6 L’aversion au risque

La définition de l’aversion au risque est cru- ciale pour définir le portefeuille optimal basé sur la capacité à prendre des risques ; dans le modèle lambda est la combinaison de 4 fac- teurs qui définissent le profil de la caisse :

– Le coussin de performance/ Ampleur de- ficit

– Le trade-off entre assurés et sponsors (aversion vers le refinancement)

– La composante structurelle (distribution d’âges, assurés actifs/rentiers)

– La composante incrémentale des engage- ments prenant en considération les futurs développements prévus de la caisse.

En ce faisant, l’aversion au risque est fonction de la capacité financière actuelle de la caisse, mais elle prend aussi en considération les pers- pectives introduites dans le modèle de simula- tion du passif.

Implications Une caisse en forte sous- couverture (70% en termes économiques) avec des perspective de croissance faibles, aura unl très élevé et un budget de volatilité du surplus très faible, car dans l’optimisation, le prix en terme d’utilité d’une unité-d’écart type addi- tionnelle devient trop chère en terme de risque.

Risquer de perdre 5% pour en gagner 5% est en effet plus coûteux pour une caisse en forte sous-couverture. Une implication qui en dé-

rive directement : l’optimisation ne permettrait jamais à une caisse en forte sous-couverture d’avoir un portefeuille risqué. La propension au risque ne pourrait être positive que si la caisse était re-financée par des sources externes (sponsors).

Avec ce document, j’ai voulu introduire les concepts théoriques qui fondent la partie ac- tive et de congruence de "WhatIF". En tant que futur jeune diplômé en finance, et à titre per- sonnel, j’émets quelques remarques relatives à l’un des éléments clé de la problématique qui me laisse perplexe. Le chapitre suivant ques- tionne les faits, mais ne critique ni les acteurs de l’industrie, ni les sciences actuarielles en général.

III. Le taux d’escompte : l’illusion

Littérature

Waring & Merton (2011) Andonovet al. (2012) Broeders (2010) Waring (2012) Novy-Marx (2012)

L’analyse empirique présentée lors de la première séance du groupe de travail, montre que le profil de risque structurel et financier des IP n’est pas pris en considération lors de l’allocation d’actifs (aussi bien dans l’échan- tillon romand que dans l’échantillon suisse).

Il y a donc un problème soit dans l’identifi- cation du profil de risque, soit dans le choix de l’objectif lors de la définition de l’alloca- tion d’actifs. Ce manque de congruence est à mon avis facilité par un élément clé : le taux d’intérêt technique.

Je suis de l’avis que l’une des sources des problèmes des IP est de ne pas disposer des instruments nécessaires pour prendre les dé- cisions, soit au niveau "technologique" (rejet des ALM et du quantitatif), soit au niveau des chiffres utilisés comme base décisionnelle (comptable vs économiques). Un taux d’inté- rêt fixé sur la base des attentes de rendement

ou tout simplement "fixe" n’est pas un taux approprié pour escompter les engagements.

Quelques éléments de réflexion :

Le lissage des engagements réduit le risque du sponsor... ?

– L’une des raisons qui incite à adopter un taux d’intérêt fixe réside probablement dans la volonté, bien intentionnée, d’en- lever du risque aux sponsors de fonds de pensions en réduisant la volatilité des passifs. Or, le résultat observé est bien plutôt une distorsion des possibilités d’in- vestissement. Il serait plus judicieux de lisser le surplus (réduire la volatilité de la différence actifs - passifs) plutôt que de lisser le passif. La façon la plus di- recte d’inciter les caisses à maîtriser leurs risques passe par l’évaluation de leurs engagements. Il n’est vraisemblablement pas correct de penser qu’une adaptation à la valorisation de marché des engage- ments augmente le risque pour le spon- sor. Ce type de valorisation permet plutôt de réduire la volatilité du surplus grâce à une allocation d’actifs qui prend en consi- dération les risques susceptibles de faire fluctuer les engagements.

– Utiliser un taux d’intérêt fixe, sans volati- lité et donc sans marché, occulte la pos- sibilité offerte aux caisses de pension de couvrir l’exposition au risque de marché de leurs engagements et de lisser leur surplus. On ne peut pas se hedger sur un 3.5% fixe. On peut essayer de le cou- vrir, mais le prix, dans un environnement à faible rendement, sera d’ajouter de la volatilité au surplus, une volatilité pro- portionnelle à l’écart entre les attentes qui dictent le taux technique et la réalité (expected vs actual). Et si cet environne- ment devait se maintenir, la prévoyance professionnelle suisse n’encourt-elle pas un risque systémique en se basent sur des attentes ?

Un taux fixé sur les attentes de rende- ment reste un concept abstrait et vu que je ne suis pas un devin, mais un étudiant

en finance, j’ai appris qu’il faut toujours se préparer au pire. Être optimiste n’est pas une stratégie d’investissement.

Le taux technique reflète-t-il les attentes de rendement du marché... ?

Le taux technique est fixé sur une évaluation à long terme des rendements financiers ; il peut donc s’écarter du taux d’intérêt dit financier, "la chambre des actuaires"

– Utiliser le rendement espéré des actifs d’un débiteur comme taux d’escompte, c’est du jamais vu dans le monde de la finance.

– Souvent ce taux d’intérêt fixe est basé sur les "attentes de rendement", justifiées par le fait que les marchés vont converger vers des niveaux attendus. En tant qu’in- vestisseurs à long terme les IP peuvent se permettre d’attendre que cela se passe.

Cette vision du marché est-elle toujours d’actualité ? Aujourd’hui, les marchés ne sont-ils pas plutôt reconnus comme un random walk (mouvement aléatoire) avec un certain niveau de persistance qui va- rie dans le temps ? Dans le doute et en l’absence de certitude, il est préférable de se baser sur la réalité plutôt que sur des attentes.

– D’après un rapport de la chambre des actuaires⁶, le rendement d’un benchmark qui réplique le placement typique d’une caisse de pension est utilisé comme base de calcul pour une partie de ce taux tech- nique. Cette approche laisse songeur et incite à réfléchir sur le comportement de benchmarking qu’on observe parmi les caisses.

– Cette méthodologie a fonctionné sur les 15 premières années d’existence du 2ème pilier, car,à l’époque, le portefeuille était quasiment entièrement obligataire. Or, depuis le début des années 2000, l’en- vironnement a changé et incité de nom- breux pays à converger vers l’évaluation de marché. Il en va de même pour les standards internationaux. Maintenant, on

regarde parfois avec envie les pays qui ont opté pour l’évaluation de marché lorsque les conditions étaient encore at- tractives.

– Le fait d’être des investisseurs de long terme qui visent la pérennité ne dispense pas les IP de se confronter aux défis du court terme et à la force de gravité finan- cière.

C’est la pire période pour passer à une valo- risation de marché... ?

– La crainte est fondée. La transition est coûteuse, prend du temps et constitue sans doute l’une des principales barrières à l’adaptation des standards de marché.

Les adaptations du cadre légale figurent parmi les étapes les plus difficiles. Par contre, si un tel changement peut aider l’entier du système à survivre à des pé- riodes telles que celle que l’on vit mainte- nant, le changement est sans doute sou- haitable.

Le processus décisionnel devrait se baser sur les valeurs actuarielles, car, en ce moment, c’est la réalité à laquelle nous devons rendre des comptes... ?

– Non, le processus décisionnel devrait utiliser des valeurs économiques, car le choix d’investissement lui-même est un choix économique et non pas comptable.

Les normes comptables vont suivre l’éco- nomie, tôt ou tard. Le processus déci- sionnel, par contre, ne devrait pas être complètement basé sur les normes comp- tables. Prendre des décisions d’investis- sement économiques, sur le long terme, est la meilleure façon de procéder.Imagi- nez une compagnie qui profiterait d’un règle- ment local pour cacher des coûts et augmenter leur bénéfice pour attirer des investisseurs. La compagnie est pourtant consciente de sa situa- tion, car, dans son bilan interne, les chiffres sont reportés à leur vraie valeur. Les bonnes informations amènent à des bonnes décisions.

C’est un principe de base de la finance d’en- treprise. Dans le processus décisionnel, les va- leurs utilisées sont économiques. Imaginons maintenant que ça ne soit pas le cas.Cette ap- proche est peut être intéressante dans le court terme et parfaitement légale, mais les cash flows ne vont pas mentir et, tôt ou tard, les problèmes vont réémerger, soit à cause de la compagnie elle-même (faillite, insolvabilité) , soit à cause d’une mise à jour de la réglemen- tation.

"Today, we spend a great deal of time on distractions, such as justifying policy allocations to hedge funds and “exotic asset classes,” when there is an investment strategy elephant in the room that we are only slowly beginning to acknowledge. That elephant, the economic liability, needs to be attended to. If attention is not paid to it, investors of all types are focusing on the wrong issues and carrying excess and uncompensated risks."

Barton Waring - Waring & Whitney (2009)

IV. Annexe I : Black-Litterman

Voici les étapes qui permettent d’intégrer les anticipations avec le modèle d’équilibre.

Reverse Optimisation : trouver les excès de rendements implicites du portefeuille de marché Si tout le monde a les mêmes anticipations et résout la même optimisation moyenne-variance :

maxw w⁰µ lw⁰Sw

2 (1)

le portefeuille de marché optimal aura la composition suivante : w_mkt= PS ¹

l (2)

Cependant, si on cherche à déterminer l’excès de rendement⁷ implicite du portefeuille de marché, il faut résoudre pourPpour trouver :

P=lSw_mkt (3)

A noter que :

– w_mkt= TotMarketCap^MarketCapi est un vecteur (Nx1)

– lest un scalaire et représente l’aversion au risque – Sest la matrice variance-covariance (NxN)

La formule Black-Litterman E[R]=h

(tS) ¹+P⁰W ¹P)i 1 h

(tS) ¹P+P⁰W ¹Q)i

(4) avec

– E[R]Le nouveau vecteur d’excès de rendement (Nx1)

– tun scalaire, inversement proportionnel à la confiance qu’on donne àP – Sest la matrice variance-covariance (NxN)

– Pest la matrice qui identifie le/s asset/s qui fait/font partie de l’anticipation (VxN), une ligne pour chaque anticipation

– West la matrice diagonale qui identifie le terme d’erreur des anticipations (VxV) – Qest le vecteur qui spécifie les anticipations (Vx1)

Les inputs Une fois que les anticipations, sous les trois types de formes décrites dans l’exemple, sont établies, il faut les adapter à la spécification de Black-Litterman : (P QW)

P= 0

@ 1 0 0 0

0 1 1 0

0.5 0.5 0.5 0.5 1

Aanticipation1 anticipation2 anticipation3

(5)

Q= 2 43

2 2 3

5anticipation1 anticipation2 anticipation3

(7) La matrice diagonaleWest basée sur une modification, proposée par Idzorek (2004), qui permet d’insérer la confiance relative aux anticipations sous forme d’un intervalle 0-100% plutôt que de

spécifier la distribution d’erreurs comme dans le modèle original. PourtantWest endogène et dépendant de l’intervalle.

Supposons un intervalle de confiance de 75 %. Pour calculer les éléments deW, Idzorek propose de calculer les déviations causées par une anticipation parfaite (sans erreur doncw_i = 0) par rapport à l’équilibre. Avec l’intervalle de confiance, on va donc trouver la valeurw_i qui provoque un écart du portefeuille qui sera le 75% de l’écart en cas d’anticipation parfaite :

Ecart(w_i) =Con f iance_i[Ecart(w_i= 0) Equilibre] (8) on peut ensuite retrouver la valeur dew_i de l’anticipation_i qui comporte cet écart.

En reformulant l’équation (4), on peut arriver à une forme plus intuitive : E[R]=P+tSP⁰⇥

PtSP⁰+W⇤ 1

[Q PP] (9)

À partir de cette formulation, on constate intuitivement que :

– si l’investisseur n’est pas sûr de ses anticipations, alorsW!^•etE[R]=P

– si l’investisseur a des anticipations parfaites, alorsW!0 et les excès de rendement attendu vont s’éloigner complètement dePvers les anticipations.

On peut aussi vérifier l’impact de nos anticipations sur la matrice variance-covariance qui est ajustée de la variance additionnelle qui résulte de nos anticipations :

Sp=S+h

(tS) ¹+P⁰W ¹Pi 1

(10)

V. Annexe 2 : Surplus

En partant de la définition du rendement actif/passif et en l’absence desa_A,L

RL =RF(L)+b_Lµ_Q (1)

R_A=R_F(A)+b_Aµ_Q (2)

On peut reformuler la définition du surplus en terme de rendements :

S0=A0 L0 (3)

S1 S0= (A1 A0) (L1 L0) S1 S0=RAA0 RLL0

S1 S0

A0 =RA L0

A0RL

R_S=R_A L0

A0RL

En remplaçant par les définitions deRA,L :

R_S =R_F(A)+b_Aµ_Q L0

A0(R_F(L)+b_Lµ_Q) (4)

RS = (RF(A) L0

A0RF(L)) + (b_A L0

A0b_L)µ_Q RS =R_F(S)+b_Sµ_Q

La volatilité du surplus sera :

V[R_S] =V[R_A] +✓L0

A0

◆2

V[R_L] 2cov[R_A,R_L] (5)

V[RS] =



b_A L0

A0b_L

2

s_q² V[RS] =b²_Ss_q²

Surplus : La fonction d’utilité On peut écrire la fonction objectif, de façon qu’elle vise à mini- miser la volatilité de son surplus tout en maximisant le rendement.

maxb_A U_S =R_S ls_S² (6)

∂US

∂b_A =µ_Q 2lb_As_Q² + 2lL0

A0b_Ls_Q² b^⇤_A= L0

A0b_L+ µ_Q 2ls_Q² b^⇤_A=b_A,LMAP+b_A,RAP

En remplaçant le portefeuille optimalb^⇤_Adans la définition du rendement du surplus on aura : RS= (RF(A) L0

A0RF(L)) + (b^⇤_A L0

A0b_L)µ_Q (7)

RS= (RF(A) L0

A0RF(L)) + (L0

A0b_L+ µ_Q

2ls_Q²) L0

A0b_L

! µ_Q R_S= (R_F(A) L0

A0R_F(L)) +✓

(b_A,LMAP+b_A,RAP) L0

A0b_L

◆ µ_Q R^⇤_S= (RF(A) L0

A0RF(L)) + (b_A,LMAP L0

A0b_L)µ_Q+b_A,RAPµ_Q

V.1 Généralisation avec un modèle multi-facteur

maxb_A US =RS ls_S² (8)

maxb_A US = (RF(A) L0

A0RF(L)) +✓

FA L0

A0FL

◆ rQ l

✓

FA L0

A0FL

◆ VQ

✓

FA L0

A0FL

◆₀

∂US

∂FA =rQ 2lVQF_A⁰ + 2lL0

A0VQF_L⁰ = 0 F_A^⇤ = L0

A0FL+ V_Q¹r_Q 2

!0

1 l F_A^⇤ =F_A,LMAP^⇤ +F_A,RAP^⇤

with

– F_A^⇤ est le vecteur d’exposition aux facteurs du portefeuille – rQest le vecteur des rendements associé aux facteurs

– VQest la matrice variance-covariance de l’univers d’investissement

En utilisant les mêmes dérivations que dans l’exemple à un facteur, je peux dériver le rendement optimal du surplus :

R^⇤_S= (RF(A) L0

A0RF(L)) + (b_A,LMAP L0

A0b_L)rQ+b_A,RAPrQ (9)

Notes

1Souvent, dans la pratique, on utilise comme point neutre l’allocation courante ou stratégique à la place du portefeuille de marché. Le but est d’évaluer l’impact des anticipations sur la composition courante du portefeuille ou d’utiliser cette méthodologie pour justifier l’écart par rapport au benchmark sur lequel on est jugé. La suite du modèle va par contre utiliser le MEDAF comme point de départ neutre.

2à la fin de ce document, j’ai adressé la thématique valeurs actuaires vs économiques

3aux Etats-Unis, des produits structurés ont été développés pour assurer ce type de risque

4je me réfère par exemple à l’étude de P.Brinsonet al. (1991) sur les drivers de performance

5pour la formule générale je dois maintenant passer à la notation matricielle

6prise de position à propos du taux d’intérêt technique pour les IP, 2005

7le MEDAF est spécifié en excès de rendement, c’est-à-dire l’excès de rendement par rapport au rendement non risqué

Références

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