CALCULATRICES INTERDITES

TSI 2

DEVOIR SURVEILLE - Circuits électriques

Consignes de présentation OBLIGATOIRES

Faire une marge à DROITE de 5 cm de large.

Laisser un espace de 8 cm de haut au début de la première copie, pour les appréciations et la note.

ENCADRER les résultats littéraux et numériques.

Dessiner un canard en page 3

Tracer un trait en travers de toute la feuille entre deux questions.

Démarrer chaque exercice en haut d'une page

Tout résultat sera soigneusement DEMONTRE (pas de justification = pas de points)

LE SUJET EST volontairement LONG : votre objectif est de BIEN REDIGER les questions que vous traitez, pas d’essayer de TOUT traiter MAL.

Préliminaire : cette question fait intégralement partie de votre interrogation de cours et sera évaluée.

Aujourd’hui : Polytech Orléans . . .

Dans quelle ville et quelle région se situe l’école ? . . . Statut de l’école (source Etudiant.fr) :

Public Frais de scolarité (par an) : . . . Privé Frais de scolarité (par an) : . . . Modalité de recrutement : Concours CCS Concours CC-INP Dossier

Nombre de places offertes (Source SCEI) : Moins de 5 de 6 à 10 de 11 à 20 de 21 à 40 Citer deux spécialités de l’école :

(1) . . . (2) . . .

Partie 1 - Etude du régime transitoire d’un circuit RLC – ENAC 2020

Le condensateur d’un circuit RLC série, de capacité C = 20µF est mis en court-circuit par un

interrupteur K depuis une durée suffisamment longue pour que le régime soit établi (permanent). Le circuit est alimenté par une source de tension stationnaire idéale de force électromotrice E. On ouvre K à un instant pris comme origine temporelle. La bobine du circuit possède une inductance L = 50mH.

On note R la résistance du résistor, i l’intensité du courant électrique qui traverse la bobine et uC la tension aux bornes du condensateur.

i L R

C

E K uC

Lorsque K est ouvert, le facteur de qualité du circuit vaut Q = 10

Pour les questions en mode QCM :

- on donnera la réponse SANS JUSTIFICATION.

- il y a une ou deux réponses exactes

- réponse exacte : 2 pts réponse fausse : -1pt pas de réponse : -1pt

- on notera sur la copie la réponse exacte complète (pas seulement 2. c)) , parmi les réponses a), b), c) et d) proposées par l’énoncé

1. L’équation différentielle vérifiée par la tension uC est de la forme a) uC ’’ + ^Q

ω0 uC’ + ω0² u = ω0² E b) uC ’’ + ^ω0

Q uC’ + ω0² u = ω0² E c) uC ’’ + ^ω0

Q uC’ - ω0² u = ω0² E d) uC ’’ + ^Q

ω₀ uC’ + ω0² u = 0

2. Établir l’équation différentielle vérifiée par uC en fonction de E, L, R et C à t > 0.

3. Déterminer l’expression littérale de ω0 et Q en fonction de R, L et C 4. Calculer numériquement R :

a) R = 0,002 Ω b) R = 0,2 Ω c) R = 5 Ω d) R = 500 Ω 5. Quelle est l’expression de la pseudo-pulsation ωa ?

a) ωa ≈ ω0 (1 – ¹

8𝑄²) b) ωa ≈ ω0/Q c) ωa ≈ ω0 (1 + ¹

4𝑄²)1/2 d) ωa ≈ Qω0

6. que valent l’intensité i(0⁺) et la tension uc(0⁺) succédant immédiatement à l’ouverture de K ? a) i(0⁺) = 0 b) i(0⁺) = E/R c) uc(0⁺) = 0 d) uc(0⁺) = E

7. que valent l’intensité i(∞) et la tension uc(∞) lorsque le régime permanent est établi ? a) i(∞) = 0 b) i(∞) = E/R c) uc(∞) = 0 d) uc(∞) = E

à partir de t = 0, la tension aux bornes du condensateur évolue selon uc = exp(^−t

2 τ ) ( A cos(ωa t) + B sin( ωa t)) 8. Exprimer A

a) A = E b) A = -E c) A = 0 d) A = E/2

On attend suffisamment longtemps que le régime s’établisse puis, à un instant pris comme nouvelle origine temporelle, on ferme K

On retiendra par convention, comme durée du régime transitoire, la durée nécessaire pour que i atteigne 95% de sa valeur finale (on indique que ln20 ≈ 3)

9. déterminer la durée τrt du régime transitoire succédant à la fermeture de K une démonstration précise est attendue ici

a) τrt ≈^{3 L}

R b) τrt ≈ 3RC c) τrt ≈ 30ms d) τrt ≈ 300µs

Partie 2 - Cours ALI

1. Tracer la caractéristique statique d’un ALI idéal de gain infini

2. Rappeler les valeurs des intensités i⁺, i^- , de la résistance d’entrée Re et de la résistance de sortie Rs d’un ALI idéal.

On considère le montage à ALI ci-dessous

3. L’ALI peut-il fonctionner en régime linéaire (on demande une phrase) ?

4. Dans le cas où l’ALI est idéal, de gain infini et en régime linéaire, établir la relation entre us et ue

Quelle est la fonction réalisée par ce montage ?

On prend désormais en compte le fait que us vérifie l’équation différentielle us (t) +  ^dus(t)

dt = µ0 (t) avec τ = 10 ms et µ0 = 10⁵

5. Etablir l’équation différentielle vérifiée par ue et us

Quelle est la limite de la solution usH de l’équation homogène quand t → ∞ ? que peut-on dire du montage ?

6. On inverse les bornes + et – de l’ALI dans le montage ci-dessus Etablir l’équation différentielle vérifiée par ue et us

Quelle est la limite de la solution usH de l’équation homogène quand t → ∞ ? que peut-on dire du montage ?

us

ue

Partie C - Banque PT 2019 - Amplificateur de différence

Les signaux issus des électrodes d’un appareil d’ophtalmologie ne sont pas exploitables directement et doivent être amplifiés.

Les électrodes sont reliées à l’amplificateur d'instrumentation représenté sur la figure ci-dessous Celui-ci comporte 3 ALI (notés AL1, AL2, AL3), supposés idéaux, de gain infini et en régime linéaire R = 100 kΩ R’ = 2 kΩ

1. Exprimer les potentiels des entrées V1- et V1+ en fonction de Ve1

2. En étudiant les montages des AL1 et AL2, démontrer que V2 – V1 = (Ve2 – Ve1) (1 + ^2R

R^′ ) 3. En étudiant le montage de AL3, déterminer une relation (simple) entre Vs, V1 et V2

4. Le gain différentiel Ad de l'amplificateur est défini par Ad =

|

V_e2 − V_e1

|

5. Les électrodes branchées en entrée du montage fournissent une différence de potentiel Ve2 – Ve1 ayant une amplitude de l'ordre de 100 µV.

Quel est l'ordre de grandeur de l'amplitude du signal en sortie de l'amplificateur ?

CORRIGE DS 11 septembre 2020 Régime transitoire et ALI

Polytech Orléans

Orléans, Centre Val de Loire (111 km au sud de Paris) Ecole publique

602 euros par an

Concours CC-INP (groupe Polytech) Nb de places :15

Spécialités : Génie physique et systèmes embarqués, Génie civil et géo-environnement, Génie industriel, Innovation en Conception et Matériaux, Technologies pour l'Énergie, l'Aérospatial et la Motorisation

Partie I

1. a) Forme canonique d’un oscillateur amorti : uC ’’ + ^ω0

Q uC’ + ω0² u = ω0² E 2. loi des mailles : E = L ^di

dt + Ri + uc

i = C ^d𝑢𝑐

dt

donc ^d²𝑢𝑐

dt² + ^R

L du_c

dt + ^uc

LC = ^E

LC

3. en identifiant les coeff des équa diff de 1 et 2 ^ω0

Q

=

L et ω0² = ¹

LC

soit ω0 =

√

LC et Q = ¹

R

√

C

4. c) R = ¹

Q

√

C = ¹

10

√

2.10⁻⁵

=

10 √2500 = 5Ω

5. l’énoncé parle de pseudo-pulsation : cela signifie que le déterminant de l’équation caractéristique est négatif

on cherche ucH sous la forme exp(rt) avec r qui vérifie r² + ^ω0

Q r+ ω0² = 0 Δ = ^ω0²

Q² - 4 ω0²

L’équation a deux racines complexes conjuguées : r = - ^ω0

2Q +/- j ^√−∆

2

La pseudo-pulsation est ωa =^√−∆

2 = ω0 √1 −_4𝑄¹₂ Q = 10 donc ¹

4𝑄²= 1/400 <<1

on peut faire un DL de la racine , sachant que √1 + 𝑥 ≈ 1+ x/2 a) ωa = ω0 1 − ¹

8𝑄²

6. A t<0 on a un circuit série R, L, générateur

La bobine équivaut à un fil, le condensateur est court-circuité Donc i(t<0) = E/R et uc(t<0) = 0

L’intensité du courant traversant une bobine est une fonction continue du temps b) Donc i(t = 0+) = i(t=0-) = E/R

La tension aux bornes d’un condensateur est une fonction continue du temps c) Donc uc (t = 0+) = uc (t=0-) = 0

7. Au bout d’un temps « infini » la bobine équivaut à un fil et le condensateur à un interrupteur ouvert

a) i(∞) = 0 d) uc(∞) = E 8. à t=0 : uc (t = 0+) = 0 = A

réponse c)

9. K fermé le circuit est : i L R

E

Loi des mailles : E = Ri + L ^di

dt

Solution i(t) = ^E

R + K exp(- ^R

Lt) A t = 0 : i = 0 donc i(t) = ^𝐸

R (1- exp(-^R

Lt) )

Le (nouveau) régime permanent est atteint pour i(τrt) = 0,95 ^E

R , soit exp(- ^R

Lτrt) = 0,05 = 1/20 Donc : τrt = - ^L

R ln(1/20) = 3 ^L

R= 30 ms réponses a) et c)

Partie II

1. Caractéristique ALI

2. ALI idéal : i⁺ = i^- = 0 Re infinie Rs =0

3. rétroaction de la sortie sur l’entrée inverseuse E-, donc ALI peut fonctionner en régime linéaire 4. V⁺ = R’ i⁺ = 0

Rég lin : V⁺ = V ^–

i ^- = 0 donc R1 et R2 en série donc : ^{ue− V−}

R₁ = ^V−−us

R₂ donc

u

= −

R₁ u_e amplificateur inverseur

5. us (t) +  ^dus(t)

dt = µ0 (t) = µ0 (V⁺ - V ^–) on a toujours V⁺ = R’ i⁺ = 0

de la loi des nœuds ^{ue− V−}

R₁ = ^V−−us

R₂ on obtient R₂ ( u_e− V⁻) = R₁(V⁻− u_s) soit V^- = ^{R2 ue+ R1us}

R₁+ R₂

L’équa diff devient us (t) +  ^dus(t)

dt = µ0 ( 0 - ^{R2 ue+ R1us}

R₁+ R₂ )  ^dus(t)

dt + ( 1 + µ0 ^R1

R₁+ R₂ ) us (t) = - µ0 ^{R2 ue}

R₁+ R₂

Posons a = 1 + µ0 ^R1

R₁+ R₂ a est positif

La solution de l’équa homogène se met sous la forme exp(-at/), elle tend vers 0 quand t tend vers l’infini

Donc le montage est stable

L’ALI peut fonctionner en régime linéaire

6. us (t) +  ^dus(t)

dt = µ0 (t) = µ0 (V⁺ - V ^–)

on inverse les bornes + et – donc on a V^- = 0 et V⁺ = ^{R2 ue+ R1us}

R₁+ R₂

L’équa diff devient us (t) +  ^dus(t)

dt = µ0 ^{R2 ue+ R1us}

R₁+ R₂

 ^dus(t)

dt + ( 1 - µ0 ^R1

R₁+ R₂ ) us (t) = µ0 ^{R2 ue}

R₁+ R₂

Posons a = 1 - µ0 ^R1

R₁+ R₂ a est négatif car µ0 >>1

La solution de l’équa homogène se met sous la forme exp(-at/),

Partie III

1. l’ALI 1 est idéal et en régime linéaire donc V1+ = V1–

l’ALI 1 est idéal donc i1+ =0, donc V1+ = Ve1

Finalement V1+ = V1– = Ve1

De même V2+ = V2– = Ve2

2.

i1- = 0 et i2 - = 0 donc les résistance R, R’ et R dessinées entre AL1 et AL2 sont en série notons i l’intensité du courant traversant ces résistances, du haut vers le bas

i = ^{𝑉1−𝑉e1}

𝑅

=

𝑅′

=

R₁

de la deuxième égalité on tire V1 = ….

de la troisième égalité on tire V2 = ….

en faisant la différence on obtient : V2 – V1 = (Ve2 – Ve1) (1

+

R^′

)

3. Pour le montage à AL3, là encore on applique la loi des nœuds :

𝑅

=

A l’entrée - : ^{𝑉2−𝑉3−}

𝑅

=

𝑅

Finalement Vs = V1 – V2

4. Ad = 1 + 2R/R’ = 101 i