Détermination de la taille des lots : cas d une production cyclique et d une demande dynamique

(1)

Projet effectué en collaboration avec Domtar, Windsor

Détermination de la taille des lots : cas d’une production cyclique et

d’une demande dynamique

Équipe de projet :

Hanen Bouchriha, post-doctorat en génie industriel

(2)

Mise en situation

Mills, Converters and DC Product Mix and Capacity, Paper Machine Production Sequences Suppliers, Mills, Converters, DC Network with Available Capacity and Selected Product-Markets wth Price-Sevice Policy

Supply Contracts (fiber, chemicals...)

Procurement quantities

Production Plan

Daily production plan Daily Shipments

Shipments Availability

Current Orders Daily Forecasts, Safety Stocks

Procurement Production Distribution Sales

Strategic Network Planning (Design)

(Sourcing decisions, externalization decisions, technology-capacity decisions, transportation means decisions, mills-DCs deployment and mission, product-market selection)

Aggregate Planning

(On a seasonal basis: Product family assignment and sequencing for paper machines, external converter contracts, product mix for pulp mills, converting facilities and distribution centers, sourcing contracts...)

Material Procurement Planning

Syncronized Production-Distribution Lot-Sizing (Paper machines daily production plan, mills daily carrier selection and shipping plan and plant-DCs inventory planning)

Logs-Chips Transportation

Scheduling

Production Scheduling Picking, Loading and Transportation

Scheduling

Demand Fulfilment (Stock) and ATP (Make)

Long- Term

Mid- Term

Short- Term

Execution

Long Term Forecasts for Potential Product-Markets

Mid-Term Forecasts

Demand Planning (forecasting, forecast error

distributions, safety stocks,

life cycle management)

FORAC Platform

Mills, Converters and DC Product Mix and Capacity, Paper Machine Production Sequences Suppliers, Mills, Converters, DC Network with Available Capacity and Selected Product-Markets wth Price-Sevice Policy

Supply Contracts (fiber, chemicals...)

Procurement quantities

Production Plan

Daily production plan Daily Shipments

Shipments Availability

Current Orders Daily Forecasts, Safety Stocks

Procurement Production Distribution Sales

Strategic Network Planning (Design)

(Sourcing decisions, externalization decisions, technology-capacity decisions, transportation means decisions, mills-DCs deployment and mission, product-market selection)

Aggregate Planning

(On a seasonal basis: Product family assignment and sequencing for paper machines, external converter contracts, product mix for pulp mills, converting facilities and distribution centers, sourcing contracts...)

Material Procurement Planning

Syncronized Production-Distribution Lot-Sizing (Paper machines daily production plan, mills daily carrier selection and shipping plan and plant-DCs inventory planning)

Logs-Chips Transportation

Scheduling

Production Scheduling Picking, Loading and Transportation

Scheduling

Demand Fulfilment (Stock) and ATP (Make)

Long- Term

Mid- Term

Short- Term

Execution

Long Term Forecasts for Potential Product-Markets

Mid-Term Forecasts

Demand Planning (forecasting, forecast error

distributions, safety stocks,

life cycle management)

FORAC Platform

(3)

Le procédé de fabrication du papier

chip

log Che-

micals

pulp

Final product

Chip making

Pulp making

Paper making

Reel finishing

Sheet finishing

Paper

Pa re n t r o lls

Rolls/ Parent rolls Rolls/

Parent rolls

Jumbo rolls

Recovered

paper Recovered paper Recovered

paper

Fini she d pa pe r

Chips

Logs Che-

micals

Pulp

Products

Chip making

Pulp making

Paper making

Reel finishing

Sheet finishing

Paper

Pa re n t r o ll s

Rolls / Parent rolls Rolls / Parent rolls

Jumbo rolls

Pa re n t r o lls

Rolls/ Parent rolls Rolls/

Parent rolls

Jumbo rolls

Recovered

paper Recovered paper Recovered

paper

Fini she d pa pe r

Chips

Logs Che-

micals

Pulp

Products

Chip making

Pulp making

Paper making

Reel finishing

Sheet finishing

Paper

Pa re n t r o ll s

Rolls / Parent rolls Rolls / Parent rolls

Jumbo rolls

Fin is h ed pr od u ct s

chip

log Che-

micals

pulp

Final product

Chip making

Pulp making

Paper making

Reel finishing

Sheet finishing

Paper

chip

log Che-

micals

pulp

Final product

Chip making

Pulp making

Paper making

Reel finishing

Sheet finishing

Paper

Pa re n t r o lls

Rolls/ Parent rolls Rolls/

Parent rolls

Jumbo rolls

Recovered

paper Recovered paper Recovered

paper

Pa re n t r o lls

Rolls/ Parent rolls Rolls/

Parent rolls

Jumbo rolls

Recovered

paper Recovered paper Recovered

paper

Fini she d pa pe r

Chips

Logs Che-

micals

Pulp

Products

Chip making

Pulp making

Paper making

Reel finishing

Sheet finishing

Paper

Fini she d pa pe r

Chips

Logs Che-

micals

Pulp

Products

Chip making

Pulp making

Paper making

Reel finishing

Sheet finishing

Paper

Pa re n t r o ll s

Rolls / Parent rolls Rolls / Parent rolls

Jumbo rolls

Pa re n t r o ll s

Rolls / Parent rolls Rolls / Parent rolls

Jumbo rolls

Pa re n t r o lls

Rolls/ Parent rolls Rolls/

Parent rolls

Jumbo rolls

Recovered

paper Recovered paper Recovered

paper

Pa re n t r o lls

Rolls/ Parent rolls Rolls/

Parent rolls

Jumbo rolls

Recovered

paper Recovered paper Recovered

paper

Fini she d pa pe r

Chips

Logs Che-

micals

Pulp

Products

Chip making

Pulp making

Paper making

Reel finishing

Sheet finishing

Paper

Pa re n t r o ll s

Rolls / Parent rolls Rolls / Parent rolls

Jumbo rolls

Paper

Pa re n t r o ll s

Rolls / Parent rolls Rolls / Parent rolls

Jumbo rolls

Fin is h ed pr od u ct s

(4)

Le procédé de fabrication du papier

La machine à papier

Finition

Entrepôt automatisé

(5)

Présentation générale du problème

(6)

Présentation du problème

P ₁ P ₃

Set- up P

₁

- P

₂

P ₂

Set- up P

₂

– P

₃

Set- up P

₃

– P

₁

P ₁ …

Set- up P

₁

- P

₂

P ₂

Set- up P

₂

– P

₃

Un cycle

Quelle est la longueur du cycle ?

P ₃

Set- up P

₃

– P

₁

…

Doit-on produire tous les produits à tous les cycles ?

Quelle quantité à produire de chaque produit à chaque cycle ?

(7)

Description du problème

• L’usine produit le papier sur 2 machines différentes,

– Une seule machine est considérée avec la possibilité d’avoir des stocks en aval.

• La machine fabrique trois types de papier (P1, P2 et P3).

• Les coûts et les temps de set-up

dépendent de la séquence de production.

(8)

• La séquence normalement utilisée est P1-P2- P3

• Nous connaissons les coûts de set-up seulement pour cette séquence

Les données sur les set-up

¾P1 – P2 Coût : 30 tonnes

¾P2 – P3 Coût : 20 tonnes

¾P3 – P1 Coût : 20 tonnes

) Calcul des coûts de set-up pour chaque produit et pour la séquence fixée au préalable fonction du coût de production unitaire

) Calcul des temps de set-up pour chaque produit

(9)

Description du problème

• La demande est dynamique et déterministe,

• La demande est regroupée par produit et par période (jour, semaine, mois, année),

• Les données sur la demande

correspondent à celles des livraisons

directes aux clients (les livraisons vers les

entrepôts ne sont pas disponibles),

(10)

Les pratiques actuelles

Exemple de la production sur près d’un mois

P ₁ P ₂ P ₃ P ₃

P ₃ P ₂ P ₃ P ₁

P ₁ P ₂ P ₃ P ₁ P ₃

P P

(11)

Objectif de l’étude

Trouver la taille des lots et la durée du

cycle optimum minimisant les coûts

de set-up et d’entreposage.

(12)

Revue de la littérature

(13)

Caractérisation du problème

• Plusieurs produits,

• Un seul échelon,

• Demande dynamique et déterministe,

• Capacité finie.

)Single level, Capacitated, Multi-item lot Sizing Problem

CLSP

(14)

Modélisation mathématique du CLSP

Les indices :

i : Indice de produits t : Indice de période

Les variables de décisions :

- x

it

, s

it

la quantité à produire et le stock final en la période t,

- y

it

indique si un set up doit être comptabilisé ou pas pour le produit i en la période t,

Les données :

- d

it

: la demande du produit i en la période t,

- p

it

: le coût de stockage du produit i en la période t, - f

it

: le coût de set-up du produit i en la période t, - L

t

est la capacité de production de la machine en la période t.

- M

it

un infiniment grand

it it I

1 i

T 1 t

it

it s f y

p

min ∑∑ +

= =

it it

it t

i x d s

s _, ₋ ₁ + = + ∀ i,t

t I

i

it

i x L

a ≤

∑ = 1

∀ t

it it

it M y

x ≤ ∀ i,t 0

, _it ≥

it s

x y _it ∈ { } 0 , 1 ∀ i,t

Complexité (NP complet )

(15)

Méthodes de résolution

Solution exacte Heuristique

CLSP est NP hard

Application limitée dans certains cas réel

« period-by-period » heuristic

« item-by-item » heuristic

« common sense » heuristic Heuristiques basées sur la

programmation mathématique

(Eisenhut, 75)(Maes and Wassenhove, 88)

(Dixon et Silver, 81)(Dogramaci et al., 81)

(Eppen et Martin, 87)(Barany et al., 84)

(16)

Exemple d’heuristique

period by period [Eisenhut, 75]

Définir la taille des lots en considérant une période à la fois de 1 à T, et ceci en se basant sur la satisfaction d’un critère de minimisation des coûts.

Pour une période donnée, la demande future des produits est produite jusqu’à ce qu’il ne soit pas

possible de réaliser des économies supplémentaires des coûts ou que la capacité de la période est

totalement épuisée.

Deux règles :

– Le choix des produits est effectué sur la base d’un indice de

priorité qui dépend de l’heuristique proposée [Silver et Meal, 73]

[Kirca et Kökten, 94].

– La fabrication de la demande d’une période ne peut être

fractionnée

(17)

Exemple d’heuristique

Item by item [Kirca et Kökten, 94]

Initialisation

Détermination d’un ensemble de produits candidats à planifier selon une règle de sélection spécifique

Résoudre le CLSP pour cet ensemble de produits candidats avec les contraintes de faisabilité Mise à jour des données : ensemble des produits à

planifier, capacité résiduelle, etc.

(18)

Lot sizing and scheduling with sequence dependent set-up problem

Coûts de set-up dépendent de la séquence

Coûts et temps de set-up dépendent de la séquence Capacités

infinies (Dilts and Ramsing, 1989) (Dobson, 1992) Capacités

finies (Haase, 1994) (Haase and Kimms, 1996)

(19)

L’approche de Hasse et Kimms, 1996

• Déterminer les séquences efficientes en se ramenant à un problème de voyageur de commerce

• Utiliser un programme linéaire mixte pour définir :

– Quelle séquence efficiente à utiliser pour chaque période ?

– La quantité de chaque produit à fabriquer ?

(20)

Limites des approches existantes

• Absence

d’approche globale qui tient compte

– Caractère très variable dans le temps de la

demande.

– Contrainte sur la séquence

– Séquence pré- etablie

Graphique des livraisons regroupées en deux sem aines (à l'exception de celles vers les entrepôts)

0 1 2 3 4 5 6 7

2/28/2001 7/28/2001 12/25/2001 5/24/2002

Date

Q u an ti tés p o n d ér ées

P1 P2 P3

P 1 P 2 P 3 P 2 P 1 P 3 P 2 P 3 P 1 ...

(21)

Une première modélisation du

problème

(22)

Étape 1 : Déterminer la longueur du cycle Hypothèses :

- Demande constante (moyenne annuelle)

Étape 2 : Détermination du plan de production

Hypothèses :

- Demande dynamique - Le cycle est fixe

Étape 3 : Évaluation du plan de production Hypothèses :

- Demande dynamique - Le cycle n’est pas fixe

Borne supérieure sur les coûts

Borne inférieure sur les coûts

Approche proposée

(23)

Étape 1

∑

∑ = =  

 



 − +

= ^m

1 i i

i i i m

1 i

i P

1 D D 2N H

A 1 N

TC

– Hypothèse : Demande continue, stable et connue.

Le coût total

– Objectif : Déterminer la durée d’un cycle moyen.

(24)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 5 10 15 20 25 30 35

Nombre de cycle par mois

C o ûts nor m al is és 1

2 4 8 16 1 cycle / 2 semaines

1 cycle / semaine 1 cycle / 2 jours

1 cycle / jour

• Le cycle idéal est de 2 semaines pour des coûts d’entreposage réels

Impact de la variation des coûts

d’entreposage

(25)

Impact de la diminution des coûts de set-up

2 4 6 8 10 12 14 16 18

Coûts normalisés ($)

0 10 25 50 75 Pourcentage de réduction des coûts de

setup

1 cycle / 2 semaines

1 cycle / semaine

1 cycle / 2 jours

1 cycle / jour

(26)

Étape 2

Variables de décision :

Horizon de planification : une année Cycle :

2 semaines/1 semaine

X

_i,t

, Z

_i,t

?

I

_i,t-1

? I

_i,t

?

D

_i,t

Fonction objectif :

)

( _, _, _i _i _, _t

t

t i i i

t

i C X S Z

hI

Min ∑∑ ⁺ ⁺

Coût de production Coût de set-up

Coût de possession des

(27)

Contraintes :

, = 3

∑ i t

Z i _∀ t

t i t

i t

i I I D

X _, + _, ₋ ₁ = _, + _, _∀ _t,i

– Sur le cycle

– Conservation du flux

– Respect des capacités de production

t i

t i i t

i i

i Z + X = Cap

∆ ∑

∑ ^, ^δ ^, ^∀ ^t

– État des stocks en fin de période – Stock initial

i t

i SS

I _, ≥ ∀ t,i

K

I _i _, ₀ = ^∀ ⁱ

(28)

Détermination du plan de production

La définition des tailles des lots dans le cas d'un cycle de deux semaines

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1 4 7 10 13 16 19 22

Période

Quantité à produire normalisée

I : Sans contrainte sur le cycle II : Avec contrainte sur le cycle

Cycle de 2 semaines

(29)

Comparaison des coûts

Comparaison de s coûts

1.02138095

1 0.985 0.99 0.995 1 1.005 1.01 1.015 1.02 1.025

C o û ts nor m al is és

Borne inférieure Borne Suprieure P 1 P 2 P 3 P 1 P 2 P 3 P 1 P 2 P 3 ...

P 1 P 2 P 1 P 2.. P 1 P 2 P 3 P 2 P 3 ...

Période de 2 semaines

(30)

Comparaison des coûts

Variation du coût total pour les différents scénarios

1 1.002 1.004 1.006 1.008 1.01 1.012 1.014 1.016

Avec cycle, même quantité de chaque produit à tous les

cycles

Avec cycle Avec cycle, 2 produits seulement par cycle

Sans cycle

9 Le gain potentiel en supprimant le cycle est de

(31)

Comparaison des deux bornes sur les coûts pour un cycle de deux semaines et d'une semaine

1 1.14387344 1.07520896

1.313467473

0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4

Co û ts n o rm al is és

Comparaison de la taille du cycle : Impact sur les coûts

7.52%

14.83%

(32)

Comparaison des durées de set-up pour un cycle de 2 semaines et un cycle de 1 semaine

1 1,953081271

1,230752346

2,51278604

0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5

Cycle 2 semaines Cycle 1 semaine

Co û ts n o rm al isés

Borne Inférieure Borne supérieure

Comparaison de la taille du cycle : Impact sur les temps de set-up

23.08%

28.66%

(33)

Effet de la variation des coûts d’entreposage sur les coûts

Comparaison des coûts suite à la variation des coûts des inventaires

$0.00

$5.00

$10.00

$15.00

$20.00

$25.00

$30.00

1 2 4 8 16 32

C o û t no rm alis é ( $)

0.00%

2.00%

4.00%

6.00%

8.00%

10.00%

12.00%

14.00%

16.00%

18.00%

% d es éc ar ts e n tr e l es bor ne s

Période de 2 semaines

(34)

Effet de la variation de la quantité minimale à produire : Impact sur la taille des lots

Période de 2 semaines

Effet de la variation de la quantité minimale à produire sur la taille des lots dans le cas avec contrainte sur le cycle

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Période

Q u an ti té à pr odui re

P1 P2 P3

Quantités minimales à produire : 1 - 1 tonne normalisée

2 - 10 tonne normalisées

(35)

Leçons tirées

• Le cycle idéal est de 2 semaines

– La considération d’un cycle de 1 semaine entraîne un surcoût de 22.16% par rapport à un cycle de 2 semaines.

• Des économies (en coût et en temps) sont possibles en supprimant la contrainte sur le cycle

– 14.83% en coût de set-up et d’entreposage

– Le montant du gain est sensible à la précision sur les données relatives au coût des inventaires, au coût de set-up et à la taille minimale à produire.

• Plus les coûts d’entreposage sont importants, plus on a

tendance à faire des set-up

(36)

Une modélisation plus simple du

problème

(37)

Une autre approche pour modéliser le problème

2 3

1

2 3 1

2 3

1

2 3 1

Capacity

P roduc tion ti m e

2 3

1

2 3 1

2 3

1

2 3 1

Capacity

2 3

1

2 3 1

2 3

1

2 3 1

Capacity

P roduc tion ti m e

2 3

1

2 3 1

2 3

1

2 3 1

Capacity

2 3

1

2 3 1

2 3

1

2 3 1

Capacity

P roduc tion ti m e

2 3

1

2 3 1

2 3

1

2 3 1

Capacity

2 3

1

2 3 1

2 3

1

2 3 1

Capacity

P roduc tion ti m e

2 3

1

2 3 1

2 3

1

2 3 1

Capacity

(38)

Les horizons de planification pour les produits intermédiaires et produits finis

Intermediate product

SC

i

i ' ∈ SC

i

i '' ∈

IP i ∈

Finished products

Planning period

1 2 3 4 5 6 7 T

1 2 p … P

1 2 3 4 5 6 7

∑

∈

=

1

1 T t

t i

i

d

x

_' _'

I

_i’p

d

_i’t

t

Production

lead-time (τ) I

_i’’p

x

_i’p

I

_i’’p-1

I

_i’p-1

IP i ∈ Q

ip

i p

i

i SC

R

_'

, ' ∈

T T

₁

= {4,5,6,7}

Intermediate product

SC

i

i ' ∈ SC

i

i '' ∈

IP i ∈

Finished products

Planning period

1 2 3 4 5 6 7 T

1 2 p … P

1 2 3 4 5 6 7

∑

∈

=

1

1 T t

t i

i

d

x

_' _'

I

_i’p

d

_i’t

t

Production

lead-time (τ) I

_i’’p

x

_i’p

I

_i’’p-1

I

_i’p-1

IP i ∈ Q

ip

i p

i

i SC

R

_'

, ' ∈

T

₁

= {4,5,6,7}

(39)

Modélisation

• La notion de demande effective

• `

(40)

Le nouveau modèle

(41)

Perspectives

• Risques : Si le cycle obtenu est très grand

• impossibilité de satisfaire la demande à temps (la demande est livrée à la fin du cycle)

9 Ne pas considérer la contrainte sur le cycle tout en maintenant une séquence fixe.

• Étendre l’étude dans le cas de plusieurs

machines, tout en synchronisant les flux