TRANSFERTS DE MATIERE ET DE CHALEUR

Filière Master Chimie des Matériaux

Semestre II

TRANSFERTS DE MATIERE ET DE CHALEUR

Département de Chimie

Le responsable :

Prof. M. BOUALLOU

Table des matières

OBJECTIFS DE LA FORMATION INTRODUCTION GENERALE

Chapitre I : LES TRANSFERTS DE CHALEUR ET DE MATIERE PAR CONDUCTION I. DEFINITION

II. CONCEPTS FONDAMENTAUX DE LA CONDUCTION

1. Champs de température et de concentration dans un corps immobile 2. Surface iso-température (= isotherme) et iso-concentration

3. Quantité de chaleur, flux et densité de flux de chaleur 4. Quantité de matière, flux et densité de flux de matière 5. Lignes et tube de courant

III. EQUATIONS RELATIVES AUX TRANSFERTS DE CHALEUR ET DE MATIERE : LOIS DE LA CONDUCTION

1. Premières lois de Fick et de Fourier 1.1. Cas d’un transfert unidirectionnel 1D

1.1.1. Première loi de Fick : Transfert de matière (de masse) 1.1.2. Première loi de Fourier (1822): Transfert de chaleur 1.1.3. Remarque

1.2. Etablissement du régime stationnaire (ou permanent)

1.2.1. Mur simple à faces isothermes : transfert unidirectionnel ¹D 1.2.2. Murs simples accolés

1.2.3. Cylindre creux à surfaces latérales isothermes 1.2.4. Sphère creuse à surfaces isothermes

1.3. Isolation thermique 1.3.1. Définition

13.2. Qualité des isolants thermiques 1.3.3. Pourquoi isoler ?

2. Deuxième loi de Fick et de Fourier

IV. RESOLUTION DES EQUATIONS DE TRANSFERT DE CHALEUR ET DE MATIERE

1. Régime stationnaire dans des corps immobiles

2. Régime non stationnaire (transitoire ou variable) dans des corps immobiles

2.1. Modèle de corps semi-infini

2.2. Corps infini limité par deux plans parallèles ou modèle de tranche de matière ou de la plaque

2.3. Modèle de cylindre de longueur infini 2.4. Modèle de la sphère

2.5. Remarque très importante 3. Autres modes de résolution

3.1. Expression de Newman (méthode exacte) 3.2. Résolution par discrétisation

3.3. Méthode de simulation

Chapitre II : LES TRANSFERTS THERMIQUES ET MASSIQUES PAR CONVECTION : TRANSFERT DE CHALEUR ET DE MATIERE ENTRE PHASES EN MOUVEMENT TURBULENT

I. GENERALITES - DEFINITIONS 1. Définition

2. Régimes de convection

3. Couche limite ou couche limite équivalente C.L.E

II. EQUATION DE TRANSFERT DE CHALEUR ENTRE DEUX PHASES DE NATURE DIFFERENTES

III. EQUATION DE TRANSFERT DE CHALEUR ENTRE DEUX PHASES EN MOUVEMENT TURBULENT (transfert par convection)

VI. EQUATION DE TRANSFERT DE MATIERE ENTRE PHASES EN MOUVEMENT TURBULENT (transfert par convection)

Chapitre III : LES TRANSFERTS THERMIQUES PAR RAYONNEMENT I. INTRODUCTION

II. LOI DE STEGAN-BOLTZMANN

III. CHALEUR NETTE EMISE PAR UN CORPS TRES PETIT PLACE DANS UN ENVIRONNEMENT QUI EMET, DE SON COTE, UNE QUANTITE DE CHALEUR

Chapitre IV : LES TRANSFERTS MIXTES

OBJECTIFS DE LA FORMATION

Cet enseignement a pour but d'étudier les différents modes de transfert de matière et de chaleur (conduction, convection et rayonnement) afin de déterminer comment améliorer ou limiter ces transferts dans le cadre du choix d’un réacteur industriel ou d'un système d'isolation thermique.

Il permettra à l’étudiant d’acquérir des connaissances de base en phénomènes de transfert souvent impliqués dans de multiples procédés exploités dans l’industrie.

Une connaissance opérationnelle des systèmes étudiés et un contact avec les domaines d’application seront assurés par des illustrations.

INTRODUCTION GENERALE

La technologie chimique industrielle a pour but de fabriquer à partir de matières premières brut toute une variété de matières élaborées (utiles) pour une fin déterminée : consommation, matériaux de construction etc.… .

Ce cours est donc consacré à l’étude de la conception des mécanismes et des lois qui régissent ces différentes transformations ainsi qu’au calcul des réacteurs chimiques où ces différentes transformations sont réalisées. C’est-à-dire, il désigne l'application de la chimie à l'industrie.

La plus part de ces opérations unitaires sont basés sur un seul principe celui de transfert.

On distingue différents type de transfert :

▪

Transfert de chaleur : tous les traitements thermiques.

Exemple stérilisation, pasteurisation, réfrigération, congélation, ….

▪

Transfert de matière (ou de masse) : échange de matière entre phases différentes. Exemple : diffusion en sucrerie, vaporisation de l’eau de mère,….

▪

Transfert de quantité de mouvement : passage d’un liquide dans une canalisation, transport hydraulique des betteraves, traitement des eaux usées, centrifugation (écrémage du lait)

▪

Transfert mixte : en réalité chaque opération n’est pas un seul type de transfert qui vient d’être cité, mais une combinaison des deux ou de l’ensemble de ces transferts. Exemple : le séchage statique est le transfert simultané vers le produit à sécher de la quantité de chaleur nécessaire à évaporer l’eau.

Le transfert de chaleur (ou de matière) intervient naturellement entre deux systèmes dès qu'il existe entre eux une différence de température (ou de concentration).

Le deuxième principe de la thermodynamique admet que la chaleur (ou énergie thermique) ne peut passer que d'un corps chaud vers un corps froid; c'est-à-dire d'un corps à température donnée vers un autre à température plus basse.

La thermodynamique ne s'attache qu'à des états d'équilibre. Elle établit les conditions de cette transmission de chaleur et détermine les conséquences qui en résultent, mais elle ne se préoccupe pas de la manière et de la vitesse de cette transmission. Le but de ce cours est justement d'étudier et analyser les mécanismes de ces transferts et déterminer comment améliorer ou limiter ces transferts.

Comme on va le voir par la suite, les transferts de matière et de chaleur représentent beaucoup d’analogies.C’est pour cela qu’on s’est proposé de les étudier en parallèles.

Les transferts de chaleur et de matière se produisent selon 3 modes (3 mécanismes):

• Les transferts par conduction : se font de proche en proche c’est le cas du transfert dans les solides (corps immobiles)

• Les transferts par convection : se font en générale dans les liquides et les gaz (fluides) par l’intermédiaire de mouvement dus à la différence de densité (corps mobiles).

• Les transferts par rayonnement : Tous les corps solides, liquides et gazeux, émettent de l’énergie sous forme d’ondes électromagnétiques. Plus un corps est chaud et plus l’énergie émise est importante. Cette énergie rayonnée se transforme en chaleur à la rencontre d’un autre corps.

Chacun de ces trois modes est lié à un processus physique bien déterminé

Nous allons considérer, ci-dessous, séparément les trois modes de base des échanges de chaleur et de matière. Dans la réalité les différents modes sont, le plus souvent, intimement liés: en effet, la plupart des problèmes techniques qui se posent font intervenir une combinaison des différents modes de transfert. Toutefois, soit l'un des modes est prépondérant, et l'on néglige alors les autres, soit les différents modes ont une importance comparable, mais ils peuvent être découpler et traiter séparément.

Dans ce cours, nous allons donc :

➢ Traiter ces notions de transfert qui constituent la base de ce module et caractérisent le facteur cinétique de séparation des produits quand le temps t tend vers l’infini ; les divers processus peuvent atteindre un état d’équilibre.

➢ Comprendre les mécanismes de transfert de chaleur, de matière et de quantité de mouvement.

➢ Déterminer comment améliorer ou limiter ces transferts.

➢ Utiliser ces notions de transfert pour le calcul des réacteurs chimiques

➢ Appliquer ces méthodes dans certains procédés industriels tel que : - la dialyse,

- les échangeurs thermiques, - les réacteurs chimiques, - l’isolation thermique, …

Chapitre I :

LES TRANSFERTS DE CHALEUR ET DE MATIERE PAR CONDUCTION

I. DEFINITION

Ce mode transfert de chaleur est le seul que l'on puisse rencontrer dans les solides (corps immobiles).

Soit un solide immobile, on dit que la chaleur est transmise par conduction entre M0 et M1 lorsque le transfert est effectué par l’intermédiaire de tous les points entre M0 et M1 (les points doivent être en contact).

En effet, en milieu solide les atomes, dont les positions d'équilibre sont fixes dans l'espace, transfèrent de la chaleur sans transfert de matière.

Donc, dans ce mode de transfert, la propagation de la chaleur s'effectue, sous l'influence d'un gradient (d'une différence) de température, d'atome en atome, de proche en proche, par transmission d'énergie d'agitation thermique sans qu’il y ait transfert de matière.

II. CONCEPTS FONDAMENTAUX DE LA CONDUCTION

1. Champs de température et de concentration dans un corps immobile

Dans un corps immobile, les concentrations et les températures sont fonction de l’espace (x,y,z) et du temps t.

Champs scalaire :

Les transferts de matière et de chaleur dans des corps considérés comme immobiles sont des processus qualifiés « difusionnelles » (par diffusion)

. .

M0 M1

T0 T1

En se référant à une position de l’espace, la variation de la température et de la concentration constituent un champ scalaire : une fonction scalaire est donc une fonction de plusieurs variables qui à chaque point M de l’espace on fait correspondre un scalaire f(M) = f(x, y, z).

Lorsque la température (ou la concentration) dépend du temps, on dit que le régime thermique (ou massique) est variable. Dans le cas contraire, on dit qu'il est permanent.

Champs vectoriel :

Un champs vectoriel est une fonction vectorielle de plusieurs variables qui, à chaque point M de l’espace on fait correspondre un vecteur .

Gradient de température et de concentration :

On appelle gradient (d’une fonction scalaire) de température ou de concentration, à un instant t, le vecteur (voir figure ci-dessus):

) (M V

→

T

⎯→

⎯

grad

→

V (M)

'

→

V (M’)

x

y z

qui décrit le changement de la température ou de laconcentration.

Remarque:

Si le corps est isotrope; c-à-d ses propriétés sont indépendantes de la direction considérée, on a:

2. Surface iso-température (= isotherme) et iso-concentration C'est le lieu des points ayant à chaque instant la même température.

Solide (S) Solide (S)

En régime variable, les surfaces isothermes sont mobiles et déformables; en régime permanent, elles sont invariantes.

3. Quantité de chaleur, flux et densité de flux de chaleur

Considérons un plancher chauffé de manière uniforme sur toute sa surface d’aire A. Soit dQ la quantité de chaleur échangée entre ce plancher et l'air ambiant pendant le temps dt. Dans le système d'unités SI, dQ s'exprime en Joules. On appelle:

Flux thermique: La puissance échangée par la surface d’aire A du plancher:

donnée à

t c

zk j c y i c x gradc c

T z k

j T y i T x gradT T













 = +

 +



= 



 = +

 +



= 

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→











 =

= 





 =

= 





....

....

y c x c

y T x T

toriel champs vec T et c constituen t doncun

→

→ 





Surface isotherme T uniforme

iso-concentration c uniforme

dt

= dQ

 (unité Joules/secondes = Watts)

Densité de flux thermique: La puissance échangée par unité de surface de ce plancher:

Adt dQ J = A =

(unité Watts/m²)

D'une façon plus générale, pour un élément de surface dA orienté par sa normale unitairen

, le flux élémentaire d peut être considéré comme le flux d'un vecteur ^→J à travers dA, d'où:

dA J

dA n J

d cos

→

→ =

= 

Le vecteur

→

J représente la densité locale du flux thermique au point M. Il caractérise, en chaque point du milieu, la direction, le sens et l'intensité du flux de chaleur. L'ensemble des vecteurs

→

J constitue un champ de vecteurs.

4. Quantité de matière, flux et densité de flux de matière

Flux massique : Le flux de matière c’est la quantité de matière échangée entre deux milieux par unité de temps :

dt m . = dm

^B

(kg.h^-1) mB : masse de la matière (B) traversant la section A ;

dmB : variation de la quantité de matière.

C’est un débit de matière.

Densité de flux massique : La densité de flux massique (ou de matière) c’est la quantité de matière transférée entre ces deux milieux, à des concentrations différentes, par unité de temps et par unité de surface A séparant les deux milieux :

n



M dA

→

J

Adt

J = dm

^B (kg.h^-1m^-2)

Elle s’exprime aussi fréquemment dans l’industrie en kg.h^-1m^-2. 5. Lignes et tube de courant

Connaissant les vecteurs densité de flux ^→_J, on peut tracer, à chaque instant, les courbes tangentes à ces vecteurs. On les appelle lignes de courant (ou lignes de flux).

L'ensemble des lignes de courant s'appuyant sur un contour fermé constitue un tube de courant.

III. EQUATIONS RELATIVES AUX TRANSFERTS DE CHALEUR ET DE MATIERE : LOIS DE LA CONDUCTION

1. Premières lois de Fick et de Fourier

Ces lois expriment pour des corps immobiles, isotropes, et à masse volumique () constante : - La quantité de matière du corps B diffusante mB : c’est la loi de Fick;

- ou la quantité d’énergie thermique Q transférée: c’est la loi de Fourier.

Ces quantités doivent passer perpendiculairement au travers des surfaces iso-concentration ou iso- température par unité de temps et de surface.

1.2. Cas d’un transfert unidirectionnel 1D

1.1.1. Première loi de Fick : Transfert de matière (de masse)

Soient deux solutions de concentration c1 et c2 (c1 > c2) séparées par une paroi poreuse d’épaisseur dx. Au cours du temps, il s’établie un flux de matière du milieu le plus concentré vers le milieu le moins concentré.

Fick montre que :

x D c Adt J dm^B



− 

=

= 1^ère loi de Fick J : densité de flux de matière ;

c : concentration du corps B exprimé en kg/m3, x : distance mesurée perpendiculairement à la surface,

x c



 : accroissement de la concentration par unité de longueur (gradient de c),

D : coefficient de diffusion ou diffusivité exprimé en m²/s, ses valeurs sont données dans les tables I et II (voir annexe).

Remarques :

1) Le signe (-) provient du fait que la diffusion se fait dans le sens de diminution de la concentration (c-à-d du milieu le plus concentré vers le milieu le moins concentré); c-à-d pour rendre J positif.

2) Coefficient de diffusion

C'est la propriété qu'ont les corps de transmettre la matière. C'est un coefficient qui donne des informations sur la nature de la matière diffusante (c-à-d pourquoi un corps B diffuse mieux dans un milieu et pas dans l'autre.. etc). Il dépend de la température, de la viscosité (c’est un paramètre qui caractérise le glissement des molécules les unes contre les autres), du rayon des particules diffusantes et de la concentration de la façon suivante :

R

D=6kT (Loi de diffusion d’Einstein) où : k : constante de Boltzmann,

c1

dx

A

c2

Flux de matière

c1 > c2

Transport de matière



T : température,

 : viscosité dynamique,

R : rayon des particules diffusantes.

3)  La densité de flux de matière est proportionnelle au gradient de la concentration.

 L’existence d’un gradient de concentration est nécessaire pour qu’il y ait une densité de flux de matière.

1.1.2. Première loi de Fourier (1822): Transfert de chaleur

Supposons par exemple une barre de fer chauffée à l'une de ses extrémités par une source de chaleur, telle qu'une flamme. Les différentes régions de la barre se chauffent peu à peu, y compris celles qui sont éloignées de la flamme et qui ne pourraient donc pas être chauffées directement par elle. Il y a transfert de chaleur par conduction, d'un bout (x) à l'autre bout de la barre (x + dx) sans que celle-ci ou une partie de celle ci soit bougée (corps immobile).

Le transfert de chaleur s'effectue ici sous l'influence d'un gradient de température et sans qu'il y a déplacement appréciable de la barre. Fourrier (1822) admet que :

Fourier de

èreloi 1 x T Adt

J dQ





−

=

=

J : densité de flux de chaleur ; T : température ;

x : distance mesurée perpendiculairement à la surface d’échange A;

x T



 : l’accroissement de la température par unité de longueur.

 : constante de proportionnalité appelée conductivité ou conductibilité thermique du matériau exprimée en Js^-1m^-1K^-1 ou Wm^-1K^-1. Les valeurs de  sont données dans les tables III, IV et V (voir annexe).

A

T+dT T

x x+ dx

x

Remarques:

1) Le signe (-) vient de la convention en thermique qui considère des flux positifs. C-à-d que le transfert de chaleur s’effectue du milieu le plus chaud vers le milieu le moins chaud.

2) - Conductivité ou conductibilité thermique

C'est la propriété qu'ont les corps de transmettre la chaleur par conduction.

C'est une caractéristique pour chaque corps : Plus  est grand, plus le matériaux est conducteur; plus

 est petit et plus le matériau est isolant.

On retiendra que généralement que la conductivité des solides est plus élevée que celle des liquides. La conductivité des gaz est encore plus faible. Le vide est d’ailleurs un isolant parfait car il n’y a pas de molécules pour la conduction.

 n'est jamais nulle; ce qui montre qu'un matériau isolant ne peut arrêter totalement le passage de la chaleur, il ne fait que le ralentir.

Le  d’un matériau est fonction de :

- sa densité : Plus un matériau est léger, plus est il isolant.

- sa température : Plus un matériau est chaud plus il est conducteur.

- sa teneur en humidité : Plus le matériau est humide, plus il est conducteur.

3) Signification physique de la première loi de Fourier:

 La densité de flux de chaleur transmis à travers la section A de la barre et proportionnelle au gradient de température;

 L’existence d’un gradient thermique est nécessaire pour qu’il y ait une densité de flux calorifique.

4) Analogie loi d’Ohm - loi de Fourrier :

Il convient de remarquer l'analogie qui peut être faite entre la loi de Fourrier et la loi d'Ohm en électricité j E .grad(V)



 =−

= . Cette analogie nous permet d'introduire ce qu'on appelle Résistance thermique. Considérons, en effet, l'intersection d'un tube de courant par deux surfaces isothermes de températures T1 et T2 (T1 > T2)

Les parois du tube de courant étant normales aux isothermes, aucun flux ne les traverse: ces parois sont adiabatiques. Ce qui implique que, en régime permanent le flux ₁entrant par S1 est égal au flux

2 sortant par S2 :₁=₂ =

On définit la résistance thermique par la relation:

 R T T₁− ₂ =

On reconnaît dans cette équation la forme générale de la loi d'OhmE₁−E₂ =RI , dans laquelle les potentiels E sont remplacés par les températures et l'intensité I par le flux thermique



Le concept des résistances est très fréquemment utilisé dans l'étude des phénomènes conductifs, en régime permanent. La loi d'association en série ou en parallèle des résistances thermiques sera aussi largement utilisée dans ce type de problèmes.

Résistances thermiques en série:

Les surfaces isothermes S1, S2 et S3 ont pour températures T1, T2 et T3.

EntreS₁etS₂, le milieu conductif est noté A, entreS₂etS₃ le milieu conductif est noté B.



 _B

A T T R

R T

T₁− ₂ = ; ₂ − ₃ = S1

S2 S³

A B

série en chaleur de

flux de Tubes

T1

S1

S2

T2

courant de

Lignes

isothermes Surfaces

1

2

Par suite:



 _équiv

B

A R R

R T

T₁− ₃ =( + ) =

Les deux milieux sont en série, la résistance thermique équivalente est la somme des résistances thermiques de chacun des milieux.

Résistances thermiques en parallèle:

Les surfaces isothermes S₁etS'₁d'une part et les surfaces S₂etS'₂ont pour températureT₁etT₂ EntreS₁etS₂, le milieu conductif est noté A, entreS'₁etS'₂ le milieu conductif est noté B.

B B A

A T T R

R T

T₁ − ₂ =  ; ₂ − ₃ = 

équiv B

A B

A R

T T R T R

T_{1 2} 1 1 ) ^{1 2}

)(

( −

= +

−

= +

= 



Les deux milieux sont en parallèle, l'inverse de la résistance thermique équivalente est égal à la somme des inverses des résistances thermiques de chacun des milieux.

1.1.3. Remarque

- Les transferts (de matière, de chaleur, etc ….) se font toujours du milieu le plus riche (en matière, Q, T, P, ….) vers le milieu le moins riche.

- Les transferts étudiés ci-dessus sont supposés perpendiculaires à la surface iso-concentration ou isotherme. Si ce n’est pas le cas, ces relations restent valables en tenant compte tout simplement du produit scalaire (

→

nest un vecteur unitaire perpendiculaire à la surface);

S1

'1

S

S2

'2

S A

B

parallèle en

chaleur de

flux de Tubes

Ainsi:

- Les relations que nous avons vu ci-dessus sont facilement généralisables aux tridimensionnelles (dans gradient placer x,y,z).

1.2. Etablissement du régime stationnaire (ou permanent)

1.2.1. Mur simple à faces isothermes : transfert unidirectionnel ¹D

Le mur simple est un milieu limité par deux plans parallèles, dans lequel la chaleur se propage uniquement suivant la normale à ces plans. Le gradient de température est porté donc par cette normale. Les isothermes sont des plans parallèles aux faces. Un tel champ thermique est unidimensionnel: la température n'est fonction que de x.

Soit un mur simple de largeur

x

et de conductivité thermique 

Les parois sont maintenues à des températures T1 et T2 uniformes, constantes et connues. Supposons que T1 > T2.

Les isothermes sont des plans parallèles aux parois. La température ne dépend que de la variable x.

L'axe des x est l'axe de propagation de la chaleur.

dx







x



x1 x2

x









−

=



−

=

→

→

→

→

•

•

n Adt T

dQ

n c Adt D

dm_B



Le régime stationnaire (ou permanent) est supposé être atteint lorsque en tous les points du système les températures ne varient plus en fonction du temps. Le flux de chaleur qui traverse chaque surface entre ces deux plans est donc identique. C’est-à-dire :

En effet, régime stationnaire: (le temps n’intervient pas)

ou tout simplement :

t A

x T

Q T 





= −

 ( _{1 2})

Avec x = x2 – x1 = épaisseur traversée.

 C’est la première loi de Fourier, dans un transfert unidirectionnel ¹D en régime stationnaire.

Par analogie, on peut écrire aussi pour un transfert de matière (de masse) en régime permanent : t

AD x

c m_B = c− 

 ( _{1 2})

 C’est la première loi de Fick, dans un transfert unidirectionnel ¹D en régime stationnaire.

Remarque :

- On a montré que :

Rth

T A

x T T t

Q = 



= −







2 1

Ce flux est d’autant plus faible que la paroi est épaisse et que le matériau est isolant (c-à-d que  du matériau est plus petite). On dit que le matériau d’épaisseur x et de conductivité  oppose (résiste) au passage de la chaleur une résistance thermique Rth :

t cste Q dt cste dQ x tg

T x T



=

=



=

 =

=



 

2 1

2 2 1

2

1 1

x x x dt x

dQ dt x

dQ dt x

dQ

x x A T dt x

dQ

x x A T dt x

dQ

x x A T dt x

dQ

i i

i i



 



 



=



 



=



 





















 







− 

 =



 







 







− 

 =



 







 







− 

 =



 











A R

_th

x



= 

Résistance thermique

 La résistance thermique est donc l’aptitude du matériau à s’opposer au passage de la chaleur.

 Plus Rth est grande, plus le matériau est isolant (la chaleur transférée sera d’autant plus faible).

L’inverse de la résistance thermique représente ce que l’on appelle la conductance thermique.

1.2.2. Murs simples accolés

Lorsqu’on a plusieurs parois, constituées de matériaux différents, en contact parfait les unes contre les autres ; d’épaisseur différentes e1, e2, e3,… et de conductivité thermiques différentes 1, 2, 3,…, on a :

x

A A

T1 T²

 .

=R

− ₂

1 T

T

Pas de génération de chaleur :

(

_{1 2 3}

)

3 3 2

2 1

1 3 2 1 4 1

R R R

t Q A

x A x A x t Q

T T T T T T

+

 +

= 



 



 

 +

 +



= 

 +

 +



=

−

=











Rtot

T A x A x A x

T t

Q 

 =

 +

 +

= 





3 3 2

2 1

1  



Et par conséquent : R_tot =R₁ +R₂ +R₃

Donc, le résultat important et général est que l’association de résistances thermiques en série est équivalente à la somme des résistances thermiques rencontrées.

Pour analyser un problème thermique, on pourra donc effectuer une transposition en construisant le schéma électrique correspondant (circuit en série, en parallèle) et adopter le même type de calcul :

➢ Résistances thermiques en séries:

Rtot= R1 + R2 + R3

NB : Les conductivités thermiques ne s’ajoutent jamais, mais c’est les résistances thermiques qui s’ajoutent lorsqu’elles sont montées en série.

Rtot

T R

R R

T T t

Q = 

+ +

= −



 

3 2 1

4 1

















= 

−

=





= 

−

=





= 

−

=





















= −

= −

= −







A e t T Q

T T

A e t T Q T T

A e t T Q

T T

A e

T T

A e

T T

A e

T T t Q

3 3 4

3 3

2 2 3

2 2

1 1 2

1 1

3 3

4 3

2 2

3 2

1 1

2 1













R1 R2 R3

T1 T2 T3 T4

➢ Résistances thermiques parallèles :

Lorsque les résistances thermiques sont montées en parallèle, on montre que :

3 2 1

1 1 1 1

R R R

R_éq = + +

1.2.3. Cylindre creux à surfaces latérales isothermes

On considère la conduction dans un milieu homogène et isotrope entre deux cylindres concentriques de rayon R1 et R2 et de longueur l à des températures uniformes T1 et T2.

On suppose que l’écoulement de la chaleur s’effectue radialement (la température est identique sur une surface cylindrique quelconque entre des deux cylindres). On suppose qu’il n’y a pas de pertes de chaleur aux extrémités latérales de cylindre.

l T1

R1

R2

T1 > T2

T2

Cylindre creux R3

R2

R1

Le régime permanent est supposé être atteint lorsqu’en tous les points du système les températures ne varient plus en fonction du temps. Le flux de chaleur qui traverse chaque surface entres les deux cylindres est alors identique :

Régime stationnaire :

cste

dR l dT dt R

dQ =



 



− 

= 2 

( )

1 2 1

2 ln

2

R R dt

dQ T T

l − =

− 

1 2 2 1

2 ln 1

R R l

T T t

Q dt dQ



= −



= 

 C’est la première loi de Fourier qui gouverne le transfert radial (cylindrique) de chaleur en régime stationnaire.

- De même dans le cas d’un transfert de masse à travers une coquille cylindrique on a:

1 2 2 1 B

2 ln t 1

R R lD

c c m



= −





 C’est la première loi de Fick, dans un transfert radial (cylindrique), en régime stationnaire.

2 i 1 1 2

Ri 1

2 2

R2 1

2

1 1 1 1

1

R R R 2

2

2



 



 



=



 



=



 



⎯ 

⎯ →

⎯















 =



 



− 

 =



 





 =



 



− 

 =



 





 =



 



− 

 =



 





Ri R

R R Ri

Ri

R R R

R R R

R

dt dQ dt

dQ dt

dQ

Ril dR A

A dT dt

dQ

l R dR A

A dT dt

dQ

l R dR A

A dT dt

dQ

RS













constantes et

si R

cste l 

dt

dQ = 





⁼



− ²

1

2 1

2 ^T

T

R

R R

dT dR dt

dQ

l

Remarques :

1) On a montré que dans le cas d’un transfert dans une coquille cylindrique :

2 ln 1

1 2 2 1

Rth

T R R l

T T dt

dQ = − = 



2 ln 1

1 2

R R R_th l

= 



2) Pour un niveau Rx on peut calculer Tx :

l R R t Q T

T ^x

x 



 







 +

= 2

ln

1

1

Dans ce cas, le profil de transfert de T est donné ci-dessous : Rx

R R1 R2

R

2

T1

T2

Profil de transfert de température

3) On peut traiter le cas de plusieurs cylindres accolés (cylindres en série) constituées de matériaux différents comme le cas de murs en série en considérant une résistance thermique qui est la somme des résistances thermiques de chaque cylindre.



 



= 

















 

 + 



 

 + 



 





= −

= −



1 1 3

4 2

3 1

2

4

1 ln

2 1

1 ln

1 ln 1 ln

2

1 i

i n

i i

tot

C B

A

R R R l

R R R

R R

R l

T T dt

dQ













1.2.4. Sphère creuse à surfaces isothermes

Dans le cas d’un transfert radial entre deux couches sphériques concentrique, l'aire de transfert dépend du rayon de la sphère.

Dans ce cas, la 1^ère loi de Fourier s’écrit:

Régime stationnaire:

T4

T1

B _C

A

dR AdT dt

dQ =−

T1 T2

Sens de transfert T1 > T2

R1

R2

 

 



 −

= −

=

2 1

2 1

1 1

4 1

R R

T T t

Q dt

dQ







 C'est la première loi de Fourier, dans un transfert radial (sphérique), en régime stationnaire.

- De même, dans le cas d'un transfert de masse:











 −



= −

2 1

2 1

1 1 4

1

R R D

c c dt

dm_B

 C'est la première loi de Fick, dans un transfert radial (sphère), en régime stationnaire.

NB : Si la conduction s’effectue sans génération de chaleur, entre plusieurs couches sphériques concentriques constituées de matériaux différents et assurées par un contact parfait on a :

A B T1

T2

T3

T4

C dR cste

R dT dt

dQ =− =

 4 ²

cstes et

R  



= 

=

 t

cste Q dt

dQ





₁^{2 2 =−4} T^T₁² R

R dT

dt R dQ

dR



(

_{1 2}

)

2 1

4 1

1 T

dt R dQ

R − =  ^T −

1.3. Isolation thermique 1.3.1. Définition

C’est tout procédé qui a pour effet de diminuer notablement la valeur de la quantité de chaleur transmise d’un milieu dans un autre fait partie de l’isolation thermique.

 Utiliser des isolants : ce sont des matériaux qui ont  petite et par conséquent des matériaux qui ont une résistance grande.

Les isolants sont donc des matériaux qui ont  petite et par conséquent des matériaux qui ont une résistance au transfert de chaleur grande.

Les isolants les plus utilisés sont : la laine de verre, le liège, les fibres minérales, les polystyrènes, mousses minérales, l’air (emprisonné entre les 2 vitres ; double vitrage).

tot C

B A

R T R

R R

R R

R

T dt

dQ T = 











 



 



 −

+



 



 −

+



 



 −

= −

4 3 3

2 2

1

4 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 4

1



















 −

=



−

i

i R R

R

i tot

i

1 1 4

1



1

13.2. Qualité des isolants thermiques

La qualité des isolants joue sur les paramètres suivants :

◼ Conductivité thermique

◼ Résistance mécanique (traction et compression)

◼ Etanchéité à l'air

◼ Résistance à la diffusion de vapeur d'eau

◼ Résistance au feu

◼ Qualités acoustiques

◼ Comportement à la chaleur

◼ Prix

1.3.3. Pourquoi isoler ?

 Pour assurer un certain confort dans les locaux ; il est nécessaire sous nos latitudes de chauffer les locaux pendant la saison froide :

- Prévoir un générateur de chaleur ;

- Freiner les déperditions de chaleur (qui sont inéluctables)

 Par économie : La production de chaleur coûte cher, pour réduire la consommation il faut limiter les déperditions.

 A cause du mode constructif moderne qui tend à limiter l’épaisseur des parois opaques et à augmenter les surfaces vitrées.

 Pour éviter qu’il se produise de la condensation sur les parois et dans les parois.

2. Deuxième loi de Fick et de Fourier

Ces lois expriment dans le cas d’un corps immobile et isotrope les variations : - de concentration : lois de Fick

- de température : lois de Fourrier

à un endroit donné en fonction du temps ou inversement.

Etablissement (démonstration) de la 2^nd loi de Fick : transfert de matière (de masse) : On considère le changement de concentration dans une zone de section A et d’épaisseur x .

C’est-à-dire, on cherche à faire le bilan de matière dans cet élément de volume.

Tout d’abord, on suppose qu’il n’y a pas de changement d’état (transformation de matière) :

 A l’état stationnaire Jin=Jout ;

 Si Jin >Jout la quantité de matière s’accumulant dans le volume compris entre x=0 et x=x est : mB = c.Ax

D’autre part, d’après la première loi de Fick :

et en considérons que D est indépendant des petits changements de concentration, on a:

c

1

x A

c

2

Flux de matière c

1

> c

2

J

out

J

in

x D c

J 

− 

=

t A x x

c x

x x D c

t x A

c x

D c

t A x x x

D c x x

D c t

A J J m

x x x

out B in

 







 =



 







− 



 =



 





 + 

=

 





 



 







− 



 







− 

=

 













 =



 







− 

= −



 







− 

=



=





=

=

−

0

0 )

(

0

( ) ^{( )}

( )

2 .

1 0











=



 











 =



 







− 



 =



 





 + 

=



−

=



x A c m

t A x x

c x

x x D c t A J J m

B

out B in

Les équations (1) et (2) donnent le bilan massique; et donc :

0

0

lim lim

x dx dc D t x

c

t 



 





→

=





→





dx dx d dc dt D

dc 



 







=

2 2

dx c Dd dt dc =

 C’est la seconde loi de Fick (à une seule dimension).

 La seconde loi de Fick c’est une équation différentielle qui décrit la concentration d’un système en fonction du temps et de la position. La solution de cette équation dépend des limites du problème et de D.

Remarque :

A trois dimensions on a :

Mais en général on se limite à des systèmes unidimensionnels ; c-à-d à une seule dimension.

c z D

c y

c x

D c t

c = 









 +

 +



= 





2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )







=

=

− = +

→

→



→



dx x dc f x dx f df dx

x f dx x f dx

t x

Or ( ) ' ;

0

0

0

, lim

un pour ceci et

2 2



 



 =

 dx

c Dd dt dc

x x dx dc x

dx x D dc













 =



 



− 



 =



 

 + 

 =

  1

0

t c

. 0

) 2 ( ) 1

( A t cA x

x x c x

x x

D c  = 













 =



 







− 



 =



 







 

=

()

 + 

=





 

−



−

=





































 

−



+

  −

−







=−

−

T dx Adt

x dx dx AdtdT

x dx dx AdtdT dx

AdtdT dx

AdtdT

2

) 2 ( ) 1 (











Etablissement de la 2^nd loi de Fourier : Transfert de chaleur

Soit l’élément de volume dV et S(x) la section traversée par le flux de chaleur cf. à la figure suivante :

Supposons qu’il n’y a pas de transformation de chaleur en travail mécanique ni de déperdition thermique..

 En régime permanent on a Jin = Jout.

 En régime transitoire, si Jin > Jout l’équation du bilant énergétique s’écrit :

Qin - Qout= Qaccumulée

- la quantité de chaleur qui entre (en x) dans dV est :

- la quantité de chaleur qui sort par la face x =x + dx est :

- la quantité de chaleur accumulée dans dV (compris entre x et x + dx) est donc la différence : c’est le bilant thermique.

J

out

S

T+dT T

x x+dx x

J

in

( )

¹



−

dx AdtdT



(2)





















 

−



+

 

− dx

x dx AdtdT dx

AdtdT





(4)

T dt

t AdxCp T AdxCpd

dVCpdT mCpdT



 

=



=



=

D’autre part, si  est la masse volumique et Cp est la chaleur spécifique à pression constante, la capacité calorifique de l’élément de volume dV = Adx est :

D’où l’égalité (3) = (4) :

Après simplification, on obtient :

2 2

x T Cp t

T







= 





Cp est appelée diffusivité thermique (ou diffusibilité) du solide et est une caractéristique du solide.

Elle a pour dimension m²/s. Ses valeurs sont données dans les tables II, IV et V (voir annexe).

 C’est la seconde loi de Fourier à une seule dimension.

 La seconde loi de Fourier c’est une équation différentielle qui décrit la température d’un système en fonction du temps et de la position.

A trois dimensions, la seconde loi de Fourier s’écrit :

IV. RESOLUTION DES EQUATIONS DE TRANSFERT DE CHALEUR ET DE MATIERE

1. Régime stationnaire dans des corps immobiles t dt AdxCp T x dx

Adt T



 

 = + ²₂

t Cp T x

T



 

 =



2

 2



 











= 



  ²₂

x T Cp t

T

Cp T t

T z

T y

T x

T Cp t

T = 



 



 



 

 





 +

 +



= 













 ₂

2 2 2 2 2

Nous avons vu ce que devenaient les premières lois de Fick et de Fourier dans le cas d’un régime stationnaire.

Dans le cas du régime stationnaire, le temps n’intervient pas ; c-à-d c/t =0. La 2^nd loi de Fick devient alors :

0 = D

c



c

= 0 Dans le cas unidirectionnel ¹D :

Dans ce cas, la 2^nd loi de Fick n’apporte rien de nouveau, elle confirme le résultat de la 1^ère loi dans le cas d’un transfert unidirectionnel dans un régime stationnaire.

2. Régime non stationnaire (transitoire ou variable) dans des corps immobiles

Dans cette partie, afin de simplifier l'exposé, on se limite à deux variables: une variable spatiale x et le temps t.

Les 2^nd lois (de Fick et de Fourrier) ce sont deux équations différentielles du 2^nd degré. Leur résolution nécessite la détermination :

- des conditions initiales;

- des conditions aux limites;

- du modèle géométrique.

Pour cela, nous considérons le cas des corps isotropes à diffusivité (D) et conductivité () constantes, et pour lesquelles les variations des grandeurs  et T dues aux réactions chimiques sont négligeables.

Dans le cas du transfert unidirectionnel ¹D non stationnaire dans des corps immobiles on a les équations de transfert:

Nous allons choisir des différents modèles pour résoudre ces équations.



















= 



= 



= 



= 

•

•

2 2 2 2

x T Cp t

T T

x D c t

c c





x c cste c

dx dc dx

c d



= −

=



=



=

1 2 ère

2 2

cste dérivée 1

0