Enoncé E582 (Diophante) Le trésor de La Buse
En l’an 1730, juste avant d’être pendu haut et court, le célèbre pirate Oli- vier Levasseur jeta un cryptogramme dans la foule en s’écriant : « Mon trésor à qui saura le prendre ! »
Il y a peu de temps, Diophante est enfin parvenu à déchiffrer ce texte. Il apparaît que La Buse aurait enterré son fabuleux magot quelque part sur une île circulaire ou à ses alentours. Sur le pourtour de cette île, comme sur chaque île qu’il investissait, il fit dresser un certain nombre de postes de guet. Les longueurs des arcs de cercle entre deux postes de guet adjacents, exprimées en hectomètres, prenaient les valeurs entières de 1 au nombre de postes de guet.1
La Buse avait coutume de dissimuler son trésor au croisement à angle droit de deux droites joignant chacune deux postes de guet. Avant de dissimu- ler sa fortune, il envoya donc Triple-Buse, son fidèle mais pas bien malin second, œuvrer à la construction des postes. Ce dernier respecta bien les différentes distances demandées, mais, ne sachant pas leur ordre précis, les distribua au hasard.
A force de recherches, Diophante a localisé pas moins de quatre îles circu- laires sur lesquelles La Buse s’est rendu et où le trésor pourrait se trouver...
La première comptait 9 postes de guet. Les autres en avaient 13, 15 et 18.
Seulement Diophante est pingre et n’a les fonds nécessaires que pour une seule expédition. C’est alors que Zig intervient, éliminant trois îles parmi les quatre en quelques minutes de réflexion.
Q1 : Lesquelles ? Et comment a-t-il fait ?
Et Puce de surenchérir. . . Très astucieux en effet ! Sur cette île, La Buse était certain de pouvoir dissimuler son trésor, quels que soient les choix de Triple-Buse.
Q2 : Comment Puce a-t-il pu affirmer ceci en quelques minutes de plus ? Q3 : Est-on assuré que le pirate ait pu cacher son trésor sur la terre ferme ?
1. C’est ainsi que sur un îlot circulaire d’un kilomètre de circonférence, il y aurait eu au maximum quatre postes de guet et les distances entre les postes successifs auraient été, par exemple, de 1,4,3,2 hectomètres.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Dans un cercle où les cordesABetCDse coupent à angle droit à l’intérieur du cercle, la somme des arcs AC et BD est la moitié du périmètre ; en effet, cette somme est invariante quand on déplace une corde parallèlement à elle-même, elle est la même que si les deux cordes passaient par le centre du cercle.
Pour éliminer trois îles, Zig considère que leur périmètre n’est pas un nombre pair d’hectomètres ; ce périmètre se déduit du nombregde postes de guet : le périmètre estg(g+ 1)/2 et l’île n’est utilisable que si g(g+ 1) est multiple de 4 ; parmi 9, 13, 15 et 18, seulg= 15 remplit cette condition avec 12 km de périmètre.
Question 2
Les postes de guetG1, G2, . . . , G15sont 15 sommets d’un polygone régulier à 120 côtés. Pour i = 1 à 14, je marque sur le rivage les points Ki tels que GiKi = G15Gi; les distances sont multiples de 2 hectomètres et ces points, avecG15=K0, sont certains sommets d’un polygone régulier à 60 côtés.
Les droites KiKj sont en nombre C152 = 105, mais leurs orientations (comme diagonales du 60-gone) sont au nombre de 60. Il existe donc des parallèlesKiKj//KmKp; alors les droites GiGj et GmGp sont perpendi- culaires.
Question 3
J’admets que par terre ferme on désigne l’intérieur de l’île, à l’exclusion de la mer, mais aussi du rivage, car ce serait en un poste de guet, intersection (aussi) de droites non perpendiculaires joignant deux postes de guet. La réponse sera négative si l’on trouve une distribution des 15 postes de guet où les seules intersections de cordes à angle droit sont sur le cercle ou extérieures.
Dans l’exemple cité, la séquence 1-4-3-2 ne fournit le demi-périmètre 5 que comme 1 + 4 et 2 + 3, les angles droits se situant aux postes de guet des jonctions 1-4 et 2-3 ; c’est la séquence 1-3-4-2 qui offre deux cordes se coupant à angle droit à l’intérieur de l’îlot.
Considérons le triangle formé par 3 postes de guet. L’orthocentre de ce triangle a, par rapport à chacun des côtés, un symétrique qui est sur le cercle circonscrit ; joignant ce symétrique au 3e sommet, on a une corde perpendiculaire au côté axe de la symétrie. Mais l’intersection de ces cordes est, ou non, intérieure au cercle selon la forme du triangle : si le triangle est acutangle, les 3 symétries donnent des intersections intérieures ; ce n’est le cas que pour une des symétries (celle par rapport au plus grand côté) si le triangle est rectangle ou obtusangle.
Avec g = 15, les symétriques sont comme les postes de guet des sommets d’un polygone régulier à 120 côtés. Sisi, sj, sksont les abscisses curvilignes de 3 postes de guet, le symétrique de l’orthocentre par rapport àGiGk, qui est aussi le symétrique de Gj par rapport au diamètre parallèle àGiGk a l’abscisse curviligne si−sj+sk+ 60 hectomètres. Au moins le tiers de ces symétriques donnent des intersections intérieures ; mais peut-on garantir qu’on va trouver des postes de guet parmi eux ?
A défaut d’analyse plus subtile, j’ai écrit un programme qui parcourt, à g donné, les répartitions desg distances sur le périmètre, et pour chaque répartition les trios de postes de guet ; cela permet d’identifier les réparti- tions pour lesquelles aucun trio ne fournit de croisement à angle droit. Le résultat est le suivant :
Pour g= 4, on retrouve le cas des distances 1 et 4 contiguës.
Pour g = 7, ce sont les 6 séquences 1245367, 1423567, 2146357, 2413657, 4126537, 4215637, à lire dans un sens ou dans l’autre.
Pourg= 8, c’est la séquence 51426378, à lire dans un sens ou dans l’autre.
Pour g= 11 ou 12, quelle que soit la répartition des distances, il existe un ou plusieurs croisements à angle droit pouvant accueillir le trésor en terre ferme.
Le temps de calcul se ressent néanmoins de l’explosion combinatoire (une minute pourg= 11, un quart d’heure pourg= 12). Sur cette base, le cas suivantg= 15 demanderait environ deux mois de calcul sans discontinuer, car le nombre des répartitions à examiner estg!, et le nombre des trios est Cg3.
Considérant les casg= 7 à 12, on a le sentiment que quandgaugmente, il est de plus en plus difficile pour une répartition de distances d’éviter tout croisement à angle droit en terre ferme. Plus précisément, si l’implantation par Triple-Buse donne la même probabilité aux différents ordres possibles des distances, la probabilité d’absence de croisement à angle droit en terre ferme est 2/3 pour g = 4, 1/60 pour g = 7, 1/2520 pour g = 8, 0 pour g= 11 ou 12.
Cela me fait conjecturer que, pour tout g ≥ 11, et en particulier pour g= 15, il existe des croisements à angle droit en terre ferme.
