Théorème du bicommutant démontré de manière

Théorème du bicommutant démontré de manière

élémentaire (sans passer par les modules ou je sais pas quoi (cf cobicommutant.pdf)

Pierre Lissy May 7, 2010

On considère la réduction de Frobenius de noter endomorphismeu. Eest somme directe desEi

avecfi l'endomorphisme induit qui est cyclique engendré par un vecteur notéxietπile polynôme minimal defi avecπ1|. . .|πs. On a donc une base deE qui est formée de desxi et d'un certain nombre de leur itérés. Disons queEi est de dimensionni (qui est le degré du polynôme minimal) et que du coup une base deEi est (xi, u1xi, . . . , un_i−1(xi)). Toutxs'écrit donc de façon unique commePs

1Ri(u)xi avecRi de degré inférieur àni−1.

Commençons par un lemme qui nous donne une classe d'isomorphie du commutant d'un endo- morphisme.

Lemme 1.C(u)est isomorphe en tant qu'espace vectoriel àKer(π1)×. . .×Ker(πs), l'isomorphisme étant donné parv7→(v(x1), . . . v(xs)).

Proof. D'abord, l'application est bien dénie à valeurs dans ce qu'on souhaite puisqu'un endo- morphisme commutant avecustabilise tous les sev deE u-stables, notamment il stabilise lesEi. Ensuite, elle est clairement linéaire.

Elle est injective car si pour tout i, v(xi) = 0, alors pour tout i et pour tout j 6 ni −1, u^j(v(xi)) = v(u^j(xi)) = 0. famille génératrice de E (car pour tout i par dénition (u^j(xi)) engendreEi), donc v est nul sur une base deE est est identiquement nul.

Elle est surjective. En eet, prenons (y1, . . . ys) ∈ Ker(π1)×. . . ×Ker(πs). On pose v l'endomorphisme qui àu^j(xi)associeu^j(ui), pour tout iet toutj 6ni−1. Celà déterminev de manière unique. On a du coup clairement quev(x_i) =y_iet le tour est joué pourvu quevcommute bien avecu. Mais en fait on remarque que pour tout P ∈K[X], on av(P(u)x_i) =vP(u)(y_i). En eet, par division euclidienne, on écritP =Qπ_i+S avecS de degré inférieur ou égal à n_i−1. Du coup comme x_i ∈ Ker(π_i) on a v(P(u))(x_i) = v(S(u)(x_i)) = S(u)(y_i) = (Qπ_i+S)( (car y_i∈Kerπ_i)et le tour est joué. Du coup, on a queu(v(x)) =Ps

1uv(R_i(u)x_i) =Ps

1(RX)(u)(y_i) = Ps

1v(RX)(u)(xi) =v(u(x)).

Théorème 1. K[u] =C(C(u)).

Proof. l'inclusion directe est évidente. En eet, on prouve très facilement queC(C(u))est une sous- algèbre deL(E). On a que six∈C(C(u)), y∈C(C(u)), λ∈k, et siv∈C(u), alorsxv=vxdonc (λx)v=v(λx), de plusyv=vy, d'oùxyv=xvy=vxyet(x+y)v=xv+yv=vx+vy=v(x+y). L'identité appartient trivialement àC(C(u))vu que l'identité commute avec tout le monde. Du coup, pour montrer que C(C(u)) contient K[u], comme ce dernier ensemble est la plus petite algèbre contenantu, il sut de montrer queu∈C(C(u))mais c'est une tautologie.

Il reste donc à démontrer le sens dicile, à savoirC(C(u))⊂K[u]. Soitw∈C(C(u))et p_i le projecteur surE_i parallèlement aux autresE_j. p_i commute trivialement avecu. En eet, si l'on décomposexenx₁+x₂ avecx₁∈E_ietx₂∈ {E_j}, alorsp_i(u(x₁+x₂)) =p_i(u(x₁)) +p_i(u(x₂)) = u(x1) car les deux sous-espaces en somme directe sont u-stables. Enn, u(x1) = u(pi(x)) par dénition. Ainsi, w doit commuter avec tous les pi. Du coup, l'image de pi est stable parw, ie w(Ei)⊂Ei, notammentw(xs)∈Es. Il existe donc un polynômeRtel quew(xs) =R(u)xs. Notre but ultime est de démontrer quew=R(u), ce qui achévera notre preuve.

1

Décomposonsxsous la formePPi(u)xi avecPi polynôme de degré inférieur àni−1. Si l'on arrive à démontrer pour toutiquew(xi) =R(u)(xi), alors on aura gagné car commewcommute avec les polynômes deu on aura w(x) = w(PPi(u)xi) = PPi(u)w(xi) = PPi(u)R(u)(xi) = R(u)P

Pi(u)(xi) =R(u)(x), et ceci pour toutx, doncw=R(u).

Pour démontrer w(xi) = R(u)(xi), on va utiliser l'isomorphisme précédent. Soit i ∈ [1, s]. Comme(x1, . . . x_s−1, xi)∈Im(F) (vu que πs est le polynôme minimal deule dernier noyau est Etout entier), on a existence et unicité de v∈C(u)tel quev(xk) =xk pour k < setv(xs) =xi. Du coup, on a

w(xi) =w(v(xs)) =v(w(xs)) =v(R(u))(xs) =R(u)v(xs) =R(u)xi, Ceci achève la preuve.

2