Jeux et logique

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Cours MPRI 2005-2006

Jeux et logique

Chevaleret, mardi 12h45-15h45

http://mpri.master.univ-paris7.fr/C-2-20.html

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Jeux et logique - Enseignants 2005-2006

Olivier Carton (Prof. P7, LIAFA) Anca Muscholl (Prof. P7, LIAFA)

Jean-Eric Pin (Dir. rech. CNRS, LIAFA) Wieslaw Zielonka (Prof. P7, LIAFA)

Olivier Serre (CR CNRS, LIAFA)

http://liafa.jussieu.fr/

~carton, ~anca, ~jep, ~zielonka, ~serre

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Formation à la recherche au LIAFA

• LIAFA (Laboratoire CNRS/P7, directeur J.-E.

Pin), Equipe Automates et Equipe Vérification

• Groupe de travail sur les automates le vendredi de 14h 30 à 15h 30 à Chevaleret.

• Groupe de travail Vérification le lundi de 11h à 12h 30 à Chevaleret.

• Séminaires "Thésards" tous les mois environ.

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Formation à la recherche au LIAFA

• Projets scientifiques nationaux (CNRS, ANR, ACI, etc.)

• Projets scientifiques internationaux : projet

européen GAMES (responsable français Anca

Muscholl), programme Européen AutoMathA,

responsable J.-E. Pin)

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Formation à la recherche au LIAFA

• Ecoles de jeunes chercheurs (GDR ALP, resp.

Ch. Frougny)

• Ecole de printemps d'informatique théorique Cette année "Jeux", fin mai, à l'île de Ré.

Organisateurs: Anca Muscholl et Pierre-André

Melliès (PPS)

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Autres centres de formation à la recherche

• LABRI (Bordeaux) : B. Courcelle, D. Janin, I.

Walukiewicz, P. Weil, M. Zeitoun,

• LSV (Cachan, Vérification) : tout le labo...

• ENST (Paris, Automates) : J. Sakarovitch

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Objectifs

Les jeux constituent un formalisme mathématique puissant utilisé dans des sciences très variées:

économie, théorie de la décision, sciences politiques, recherche opérationnelle, mathématiques, informatique, etc.

Dans ce module on s'intéresse principalement aux aspects liés à l'informatique et aux mathématiques, en particulier la théorie des automates, la vérification et la logique, trois domaines étroitement reliés.

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Jeux et logique

• But du cours

Présenter divers types de jeux ayant des applications en théorie des automates, en vérification et en logique informatique.

• Domaines d'application

Modélisation des systèmes réactifs (automate

bancaire, système-environnement), problèmes de contrôle, théorie de la décision, problèmes de

routage sur Internet, économie, etc.

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Plan du cours (1)

Automates et mots infinis

Cette partie du cours s'appuiera sur le livre Infinite Words de D. Perrin et J.-E. Pin. Utiliser les automates finis pour reconnaître des mots infinis est une idée un peu surprenante en soi. Les différentes façons d'y parvenir (automates de Büchi, de Muller et de Rabin) font partie des prérequis. On étudiera les algorithmes correspondants. On montrera ensuite comment les approches algorithmique, algébrique, topologique et logique se combinent entre elles de façon particulièrement attractive.

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Plan du cours (2)

Automates d'arbres et logique

Cette partie du cours s'appuiera sur les chapitres de livres Automata on infinite objects (Handbook of Theoretical Computer Science) et Languages, automata, and logic (Handbook of Formal Languages), de W. Thomas, ainsi que sur le livre Tree Automata Techniques and Applications, de H. Comon et al. On montrera les liens entre les automates d'arbres et la logique du second ordre, ainsi qu'entre les jeux et les automates d'arbres alternants.

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Plan du cours (3)

Jeux de Fraïssé-Ehrenfeucht

Cette partie du cours s'appuiera sur le nouveau livre Elements of Finite Model Theory de Lipkin (2004).

Les jeux de Fraïssé-Ehrenfeucht sont un outil puissant de théorie des modèle, qui ont aussi des applications sur la théorie des bases de données. On donnera notamment une application de ces jeux à la logique du premier ordre du successeur sur les mots finis.

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Plan du cours (4)

Jeux de parité et jeux stochastiques

Cette partie du cours montrera le lien entre le mu-calcul et les jeux de parité, ainsi que les algorithmes récents proposés pour décider le gagnant dans les jeux de parité sur les graphes finis. S'il reste assez de temps, on introduira la théorie des jeux stochastiques, qui jouent un rôle clé dans les problèmes de contrôle, et les algorithmes permettant de déterminer le gagnant pour des conditions simples de victoire.

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Plan du cours (5)

Jeux et graphes infinis

Cette partie du cours sera dediée aux jeux sur des graphes infinis. On montrera le théorème de determination et de l'existence de stratégies sans mémoire pour les jeux à condition de chaine de Rabin (Gurevich/Harrington, McNaughton, Zielonka). Ensuite on montrera les résultats de décidabilité et de construction de stratégies pour les jeux sur les graphes d'automates à pile et sur des modèles étendus.

Jeux et internet

Modèle continu de Tim Roughgarden. Modèle de Papadimitriou.

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Différents types de jeux

On classe les jeux suivant différents critères:

• Le nombre de joueurs (de 0 à l'infini !)

• Jeu à somme nulle (ce qui est gagné par l'un est perdu par l'autre et réciproquement) ou non.

• Jeu déterministe (pas de hasard) ou non

• Jeu synchrone (les joueurs jouent simultanément) ou non

• Jeu fini ou non

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Jeux sans joueur

Certains systèmes dynamiques très simples constituent des jeux sans joueur. L'un des plus célèbres est le problème de la fourmi de Langton.

Une fourmi se déplace sur un plateau quadrillé initialement rempli de cases blanches. La fourmi se déplace à chaque tour d'une case. Si elle tombe sur une case blanche, elle la peint en noir et tourne à droite. Si la case est noire, elle la peint en blanc et tourne à gauche.

On peut changer la configuration initiale en noircissant certaines cases avant de commencer.

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La fourmi de Langton

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Jeux à un joueur

De nombreux jeux combinatoires sont de ce type. Par exemple le solitaire

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Jeux à somme nulle

Ce qui est gagné par l'un est perdu par l'autre, et réciproquement.

Les exemples les plus connus de ce type sont les échecs, le go, le poker, mais aussi le jeu

"Pierre, Feuille, Ciseaux".

Un jeux est à somme non-nulle si certaines issues sont globalement plus profitables pour tous, ou plus dommageables pour tous.

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Un jeu à somme non nulle

Deux suspects sont arrêtés par la police. La police n'a pas suffisamment de preuves contre eux et leur propose

séparément le marché suivant:

 si vous avouez et que votre complice refuse

d'avouer, il aura 10 ans de prison et vous serez libre;

 s'il avoue et que vous ne dites rien, ce sera l'inverse;

 si aucun de vous n'avoue, on pourra seulement vous coller 3 ans à tous les deux;

 et si vous avouez tous les deux, vous écoperez de 6 ans chacun.

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Le dilemne du prisonnier

Le dilemne du prisonnier se retrouve souvent dans la vie courante. Par exemple, lors de l'échappée de deux coureurs dans le tour de France...

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Equilibre de Nash

John Nash (Prix Nobel d'économie en 1994, avec Reinhard Selten et John Harsanyi).

Deux stratégies, S₁ du joueur I et S₂ du joueur II, sont dans un équilibre de Nash lorsque:

• si le joueur I adopte S₁, le joueur II ne peut pas faire mieux que d'utiliser S₂.

• si le joueur II adopte S₂, le joueur I ne peut pas faire mieux que de d'utiliser S₁.

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Jeu des Euros

Deux joueurs choisissent simultanément un nombre entre 0 et 10 compris. Les deux joueurs remportent autant d'euros que le plus petit des deux nombres annoncés. De plus, celui des deux qui a choisi le plus grand nombre doit donner 2 euros à l'autre joueur.

L'unique équilibre de Nash de ce jeu est que les deux joueurs annoncent zéro! Dans toutes les autres paires de stratégies, le joueur qui annonce plus ou autant peut améliorer son résultat en déclarant moins.

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Marchands de glace

Deux marchands de glace doivent choisir un emplacement sur une plage de longueur donnée. Les prix et les produits étant les mêmes, chaque client ira vers le marchand le plus proche de lui.

Le seul équilibre de Nash pour ces deux marchands sera celui où ils sont tous deux côte à côte au centre de la plage, bien que ce soit la position la moins adéquate pour la satisfaction

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Plusieurs équilibres de Nash

On modifie la règle du jeu des Euros: les deux joueurs gagnent la somme correspondante s'ils choisissent le même nombre, et rien sinon: il y a alors 11 équilibres de Nash.

Théorème. Dans le cas d'un jeu à somme nulle à deux joueurs, il existe un unique équilibre de Nash.

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Jeux de l'ange et du démon

Le jeu se joue sur un plan quadrillé initialement rempli de cases blanches. A chaque tour, le diable noircit une case de son choix, qui est alors interdite à l'ange pour toujours.

L'ange se déplace de deux cases (ou de N cases, pour un ange de puissance N...) dans n'importe quelle direction.

Le diable peut-il capturer l'ange ?

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Jeux de l'ange et du démon

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Le jeu des mots

On fixe un ensemble fini P de mots. Si un mot de P

a

a a

b

b b

b

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Le jeu des mots

a

a a

b

b b

I joue a

b

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Le jeu des mots

a

b a

a

a a

b

b b

II joue aa

Si P = {aba, baa}, I gagne.

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Le jeu des mots

a

a a

b

b b

I joue aab

b

(31)

Le jeu des mots

a

a a

b

b b

II joue aabb

b

(32)

Le jeu des mots

a

a a

b

b b

I joue aabba

b

(33)

Le jeu des mots

a

a a

b

b b

II joue aabbab

b

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Le jeu des mots

a

a a

b

b b

I joue aabbaba

b

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Le jeu des mots

a

a a

b

b b

I joue a

Si P = {aaa, baa}, II gagne.

b

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Le jeu des mots

a

a a

b

b b

II joue ab

b

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Le jeu des mots

a

a a

b

b b

I joue abb

b

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Le jeu des mots

a

a a

b

b b

II joue abbb

b

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Le jeu des mots

a

a a

b

b b

I joue abbba

b

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Le jeu des mots

a

a a

b

b b

II joue abbbab

b

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Le jeu des mots

a

a a

b

b b

I joue

abbbabb

b

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Jeux sur les graphes

Le système d'un côté et l'environnement de l'autre peuvent être représentés par deux joueurs S et E qui jouent respectivement sur les sommets verts et jaunes du graphe.

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Jeux sur les graphes

Le système d'un côté et l'environnement de l'autre peuvent être représentés par deux joueurs S et E qui jouent respectivement sur les sommets bleus et jaunes du graphe.

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Jeux sur les graphes

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Jeux sur les graphes

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Jeux sur les graphes

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Jeux sur les graphes

• Jeux finis. Soit X un ensemble de sommets. Le joueur S est déclaré vainqueur si le jeton arrive dans un sommet de X.

• Jeux infinis. Le joueur S gagne si le jeton passe infiniment souvent par des sommets de X

• Jeux avec poids sur les arêtes (notion de gain)

• Jeux probabilistes.

• Stratégies gagnantes ? De quelle type ? Avec ou sans mémoire ? Complexité ?

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Jeux de Nim

On dispose des paquets d'allumettes sur une table.

Chaque joueur, à tour de rôle, prend autant d'allumettes qu'il veut (au moins une) dans l'un des paquets. Le gagnant est celui qui prend la dernière allumette.

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Chump : le jeu de la tablette de chocolat

Le coin supérieur gauche d'une tablette de chocolat est empoi- sonné ! Chaque joueur choisit à tour de rôle un carré et le croque ainsi que tous les morceaux situés à sa droite et en dessous.

Problème: Trouver une stratégie gagnante.

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Un jeu infini

I et II jouent alternativement une lettre. I gagne si le chemin obtenu passe infiniment souvent par chacun des états.

I a une stratégie gagnante, mais pas de statégie sans mémoire.

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Jeux de Wadge

On se donne deux ensembles de mots infinis X et Y.

Les joueurs jouent alternativement des lettres:

I choisit a₀, II choisit b₀ I choisit a₁, II choisit b₁

I choisit a₂, II choisit b₂, etc.

A la fin, on examine les mots x = a₀a₁a₂... et y = b₀b₁b₂...

Le joueur II gagne si x est dans X et y est dans Y ou si x n'est pas dans X et y n'est pas dans Y.

Sinon c'est I qui gagne.

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Jeux de Wadge

Théorème de Wadge

Soient X et Y deux parties de A^ω.

Le joueur I a une stratégie gagnante dans le jeu G(X, Y) si et seulement si il existe une fonction continue f de A^ω dans A^ω telle que Y = f^-1(X).

Ce résultat donne un lien très important entre jeux et topologie.

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Jeux de va et vient

Jeu à deux joueurs sur deux mots

u = a₀a₁a₂... et v = b₀b₁b₂...

Le joueur I cherche à prouver que les deux mots sont différents, le joueur II qu'ils se ressemblent. Chaque joueur a r jetons x₁, ..., x_r. A l'étape i,

• Le joueur I place x_i sur une des lettres d'un des mots

• Le joueur II place son jeton x_i sur une des lettres de l'autre mot.

Le jeu s'arrête au bout de r étapes. II gagne si u et v sont indiscernables, sinon I gagne.

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Deux exemples de jeu de va et vient

Règles : les jetons doivent être posés sur des lettres identiques et l'ordre des positions des jetons doit être respecté.

(1) On joue sur les mots

u = ab et v = baa Le joueur I gagne en 2 coups.

(2) On joue sur les mots

u = babbba et v = babbbb

Le joueur I gagne en 2 coups en placant x₁ sur la dernière lettre de u. II place son jeton sur le a de v. Le joueur I

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Jeux

• Jeux de Wadge. Applications aux mots infinis

• Jeux d'Ehrenfeucht-Fraïssé

Méthode générale pour le problème de définissa-

bilité logique de structures finies ou infinies par des formules ayant un nombre fixé de quantificateurs.

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Bibliographie (1)

Automates, Jeux et Logique

[1] Dominique Perrin et Jean-Éric Pin, Infinite Words, Academic Press, Pure and Applied Mathematics Vol 141, 2004.

[2] Erich Grädel, Wolfgang Thomas et Thomas Wilke, Automata, Logics, and Infinite Games, Springer, Lecture Notes in Computer Science 2500, 2002.

Jeux finis

[1] E.Berlekamp, J.H.Conway, R.Guy, Winning ways for your mathematical plays, vol.1 et 2.

[2] John H. Conway, On Numbers and Games.

[3] Bernd Kummer, Spiele auf Graphen, Deutscher Verlag d.

Wissenschaften, Berlin und Birkhäuser Basel 1979 (ISNM Series, Vol 44)

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Bibliographie (2)

Jeux boréliens et jeux de Wadge

[1] A. Kechris, Classical Descriptive Set Theory [2] Y. Moschovakis, Descriptive Set Theory

Jeux d'Ehrenfeucht-Fraïssé

[1] H-D Ebbinghaus, J.Flum, Finite Model Theory [2] L. Libkin, Elements of Finite Model Theory

Jeux stochastiques

[1] J. Filar, K. Vrieze, Competitive Markov decision processes, Springer, 1997.

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Bibliographie (3)

Théorie classique des jeux

[1] N.N. Vorob'ev, Game theory, Springer Verlag

Mine de cours sur les jeux

http://www.games.rwth-aachen.de/Events/Springschool/index.htmll http://www.games.rwth-aachen.de/Events/Springschool/index.html

Présentations en anglais par P. Abdulla, L. de Alfaro, P.

Bouyer, J. Duparc, E. Grädel, L. Ong, W. Thomas, I.

Waluliewicz, Th. Wilke

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Bibliographie (4)

Jeux et Internet

[1] Modèle de Tim Roughgarden. Voir http://theory.stanford.edu/~tim/

[2] Modèle de Papadimitriou. Voir

http://www.cs.berkeley.edu/~christos/

En particulier deux papiers a consulter:

• Algoritms, games and the internet

• Worst-case equilibria

[3] http://europar.upb.de/tutorials/tutorial01.html

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Un petit problème pour finir...

Matériel : Un plateau avec 4 jetons blancs d'un côté, noirs de l'autre. Configuration initiale inconnue.

But du jeu : retourner les 4 jetons du côté blanc.

Règles du jeu

(a) Le joueur a les yeux bandés.

(b) A chaque tour de jeu, le joueur peut retourner 0, 1, 2 ou 3 jetons.

(c) Le maître de jeu annonce si le joueur a gagné, puis tourne le plateau de 0, 1, 2 ou 3 quarts de tour...

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Configurations

A une rotation près, le plateau peut avoir 6 configurations différentes. Seule la configuration 0 est gagnante.

0 1 2 3 4 5