G209-Sommets rouges et sommets bleus sur un arc de cercle

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G209-Sommets rouges et sommets bleus sur un arc de cercle

Solution

Il y a 2n arcs de cercle qui contiennent chacun 2p sommets et qui sont désignés par

2n i 2

1,A ,...,A,...A

A . On passe de A à _i A_i_₁ en opérant un décalage d’un sommet dans le sens des aiguilles d’une montre. On suppose que pour l’arc A , il y a _i r sommets rouges et _i

n sommets bleus aveci r + _i n = 2p. Quand on passe de l’arc _i A à l’arc _i A_i_₁, le nombre de sommets rouges reste stable ou varie d’une unité (1) et l’on a r_i_₁ = r - 1 ou bien _i r_i_₁ = r _i ou bien r_i_₁ = r + 1. _i

Si l’on considère la différence d_i r_ib_i 2r_i2p, on en déduit que d_i_₁d_i2.

Comme sur les 2n arcs de cercle, il y a au total 2n*2p = 4np sommets qui sont décomptés dont 2np rouges et 2np bleus. Il en résulte que (r_i b_i)

2n i

1 i



^ 



= 0 =



^

 2n i

1 i

d . i

On suppose pour commencer que d₁ 2. Soit j le premier indice rencontré tel que d_j< 0 . Cet indice existe nécessairement car



^

 2n i

1 i

d =0. Le terme précédent de rang j-1 est tel que i d_j_-₁ = 0 ce qui signifie que l’arc de cercle A_j_₁ contient p sommets rouges et p sommets bleus.

Si l’on suppose ensuite que d₁ 2, on trouvera toujours un premier indice k tel que d >0 et _k

1

dk_ =0.

Enfin, si d₁ 0, il existe toujours un premier indice l pour lequel d = _l 2et l’on est ramené aux cas précédents.