E556. Convexité oblige
Prouver que si l’on choisit neuf points dans le plan tels que trois d’entre eux ne sont jamais sur la même droite, cinq de ces points forment un polygone convexe.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
En guise d’introduction, montrons tout d’abord que si l’on choisit cinq points dans le plan tels que trois d’entre eux ne sont jamais sur la même droite, quatre de ces points forment un polygone convexe.
Considérons les points situés sur le contour convexe des cinq points.
Si les sont au moins au nombre de quatre, on peut en extraire un quadrilatère convexe, et on conclut immédiatement.
Si les sont au nombre de trois points, notons les points restants à l’intérieur du triangle . La droite coupe nécessairement deux des côtés du triangle. On peut supposer sans perte de généralité que coupe et coupe .
Le quadrilatère est alors convexe. Ce qui permet de conclure.
En procédant de façon analogue, montrons maintenant que si l’on choisit neuf points dans le plan tels que trois d’entre eux ne sont jamais sur la même droite, cinq de ces points forment un polygone convexe.
Considérons les points situés sur le contour convexe des neuf points.
Si les sont au moins au nombre de cinq, on peut en extraire un pentagone convexe, et on conclut immédiatement.
Si les sont au nombre de quatre :
On considère les points situés sur le contour convexe des points intérieurs aux .
Si les sont au nombre de cinq, on conclut immédiatement.
Si les sont au nombre de trois ou quatre, on note l’un des points restant, intérieur aux .
Les demi droites , et forment avec les côtés du triangle , trois régions extérieures au triangle (voir figure ci-contre).
Selon le principe des tiroirs, puisque les sont au nombre de quatre, deux au moins d’entre eux sont situés dans la même région. On peut supposer sans perte de généralité que et sont situés dans la région La droite ne coupe pas le segment car est l’un des côtés du contour convexe de l’ensemble des points.
Quitte à échanger le rôle de et , on peut alors former un pentagone convexe . Ce qui permet de conclure.
A1 A2 B3
B1
B2
A1 B3
B2 R2
R3
B1
R1
A1 B3
B2 R2
R3
B1
R1
C1
C2
Si les sont au nombre de trois :
On considère les points situés sur le contour convexe des points intérieurs aux .
Si les sont au moins au nombre de cinq, on conclut immédiatement.
Si les sont au nombre de trois ou quatre, on note et deux des points restants, intérieurs aux , et I le milieu de .
Comme dans l’introduction, on peut supposer sans perte de généralité que coupe et coupe .
Les demi droites , et forment avec les côtés du triangle , trois régions extérieures au triangle (voir figure ci- contre).
Supposons que l’un des , qu’on notera soit dans . Alors on peut alors former un pentagone convexe . Ce qui permet de conclure.
Sinon, s’il n’y a aucun dans , alors, selon le principe des tiroirs, puisque les sont au nombre de trois, deux au moins d’entre eux sont situés dans l’une des deux autres régions. On peut supposer sans perte de généralité que et sont situés dans la région
La droite ne coupe pas le segment car est l’un des côtés du contour convexe de l’ensemble des points.
Quitte à échanger le rôle de et , on peut alors former un pentagone convexe . Ce qui permet de conclure.
A1 A2 B3
B2 R2
R3
B1
R1
B3
B2 R2
R3
B1
R1
C1
A1 A2
B3
B2 R2
R3
B1
R1
C1
C2
A1 A2
