E50405. Dix-sept champions
17 champions d’échecs participent à un championnat. Beaucoup d’entre eux se sont déjà affrontés par le passé, en sorte que, quelle que soit la façon dont on en prend 5, au moins l’un des 5 a déjà rencontré les quatre autres.
Montrer qu’au moins un des 17 champions a déjà rencontré les seize autres.
Solution
Si chaque champion a rencontré déjà tous les autres, la propriété est vérifiée par chacun d’eux. Si la propriété n’est pas vérifiée, on peut trouver deux champions, A et B, qui ne se sont pas rencontrés.
Qu’en est-il des 15 autres ? Supposons que leur groupe réduit vérifie la pro- priété.
– Si c’est parce que les 15 se sont tous rencontrés, prenons-en trois, C, D et E. Parmi les 5 champions A, B, C, D, E, l’un au moins a rencontré tous les autres, selon l’énoncé. Ce n’est ni A ni B, et celui parmi C, D, E qui a rencontré les 4 autres a rencontré tous les champions et la propriété est bien vérifiée par les 17 joueurs.
–Si la propriété est vérifiée pour les 15 alors que deux de ces champions, disons C et D, ne se sont pas rencontrés, il existe un champion E qui a rencontré les 14 autres. Parmi les 5 champions A, B, C, D et E, l’un a rencontré les 4 autres et ce ne peut être que E, qui a donc rencontré les 16 autres champions et réalise la propriété pour le groupe complet.
Donc si le groupe de 17 champions ne vérifie pas la propriété, le groupe privé de A et B ne la vérifie pas non plus. Le raisonnement se répète pour fournir des groupes de 13, 11, 9, 7 champions ne vérifiant pas la propriété, . . .et finalement 5 champions, violant la condition de l’énoncé.
La propriété vaut donc non seulement pour 17 joueurs, mais pour un nombre impair quelconque. Au contraire, la propriété n’est pas assurée si le nombre des joueurs est pair, par exemple 6 joueurs à qui manquent les rencontres A contre B, C contre D et E contre F : pris 5 par 5, l’un a rencontré les 4 autres, mais c’est faux pour les six pris ensemble, aucun n’a rencontré les 5 autres.
