J147. Le chevalier errant
Un cheval est condamné à errer indéfiniment sur un échiquier (8 x 8) en sautant aléatoirement d'une case à une autre case accessible.
Au départ d'une case, toutes les cases accessibles en un saut (selon la marche du cavalier du jeu d'échecs) ont la même probabilité.
Calculer les proportions exactes du temps passé sur chaque case.
Grâce aux propriétés des chaines de Markov, notamment la propriété dite
« stationnaire » , on sait que sur un graphe connexe, fini, simple, sans boucles, et ou les arêtes partant d'un même sommet sont équiprobables, le temps de présence sur un sommet est proportionnel au degré du sommet, avec pour coefficient de
proportionnalité le double du nombre d'arêtes ( somme des degrés de chaque case ).
Le graphe de la marche du cavalier sur un échiquier peut donc être traité à partir du degré des 64 cases ci-dessous, dont la somme vaut 336.
Pour une case en coin, par exemple, le temps passé dessus sera de 2 / 336.
Ce qui donne le récapitulatif suivant pour le temps passé , en proportion, sur chaque case, la valeur exacte étant degré / 336
