E324 – Une seconde variante à trois du problème impossible[**** à la main]
Solution :
Soit (a,b) le couple de nombres à déterminer avec 2 a < b 99qui donne respectivement la somme S = a+b, la différence D = b-a et le rapport R = b/a qui est un entier > 1.
Examinons successivement chacune des déclarations de Robert, Damien et Sébastien.
Robert (le plus rapide dans ses calculs) : Je ne sais pas répondre
Il est facile de vérifier que si R > 33, Robert est en mesure de déterminer les deux nombres.
En effet, comme b = R*a , si R>33 et a 3, on a b 100 ce qui est impossible. Donc si R>33, Robert en déduit immédiatement a = 2, puis b = 2*R. Comme Robert ne peut pas répondre, le ratio R qu’il détient est compris entre 2 et 33. Le tableau (T) ci-après donne pour différentes valeurs de R les couples (a,b) possibles avec les sommes S=a+b et les différences D=b-a correspondantes. Il montre que pour R compris entre 25 et 33, il y a seulement deux couples (a,b) possibles puis pour les valeurs plus petites, le nombre de couples (a,b) possibles s’accroît régulièrement jusqu’à R=2.
Les différences D qui apparaissent au moins deux fois dans le tableau (T) sont dans des cases de même couleur. La différence D=58 est obtenue avec a=29 et b=87 soit R=3.
Damien : Moi non plus
Damien qui est presque aussi rapide que Robert a établi le même tableau (T) que lui. S’il ne peut pas répondre, c’est qu’il ne détient pas les différences égales à 96, 93, 92, 91, 87, 85, etc….et qui sont situées dans des cases bordées en noir.En effet, on peut vérifier que pour ces valeurs, il existe un couple (a,b) unique.
Robert : Dans ce cas, je sais répondre
R a b S D a b S D a b S D a b S D a b S D a b S D a b S D a b S D
11 2 22 24 20 3 33 36 30 4 44 48 40 5 55 60 50 6 66 72 60 7 77 84 70 8 88 96 80 9 99 108 90 12 2 24 26 22 3 36 39 33 4 48 52 44 5 60 65 55 6 72 78 66 7 84 91 77 8 96 104 88
13 2 26 28 24 3 39 42 36 4 52 56 48 5 65 70 60 6 78 84 72 7 91 98 84 14 2 28 30 26 3 42 45 39 4 56 60 52 5 70 75 65 6 84 90 78 7 98 105 91 15 2 30 32 28 3 45 48 42 4 60 64 56 5 75 80 70 6 90 96 84
16 2 32 34 30 3 48 51 45 4 64 68 60 5 80 85 75 6 96 102 90 17 2 34 36 32 3 51 54 48 4 68 72 64 5 85 90 80
18 2 36 38 34 3 54 57 51 4 72 76 68 5 90 95 85 19 2 38 40 36 3 57 60 54 4 76 80 72 5 95 100 90 20 2 40 42 38 3 60 63 57 4 80 84 76
21 2 42 44 40 3 63 66 60 4 84 88 80 22 2 44 46 42 3 66 69 63 4 88 92 84 23 2 46 48 44 3 69 72 66 4 92 96 88 24 2 48 50 46 3 72 75 69 4 96 100 92 25 2 50 52 48 3 75 78 72
26 2 52 54 50 3 78 81 75 27 2 54 56 52 3 81 84 78 28 2 56 58 54 3 84 87 81 29 2 58 60 56 3 87 90 84 30 2 60 62 58 3 90 93 87 31 2 62 64 60 3 93 96 90 32 2 64 66 62 3 96 99 93 33 2 66 68 64 3 99 102 96
D’après l’affirmation de Damien, Robert constate que pour les valeurs de R 25 qui étaient associées à 2 couples (a,b) possibles, il y a désormais trois valeurs de R= 30 ou 32 ou 33 qui sont obtenues avec un seul couple (a,b).
Si Robert peut répondre, c’est qu’il détient l’une des trois valeurs précitées mais l’auditeur extérieur au cercle des quatre amis est incapable de déterminer lequel des trois retenir. La déclaration ultérieure de Sébastien va permettre de lever l’ambiguïté.
Sébastien (qui vient à l’instant de terminer ses calculs) : Moi aussi et j’aurais pu le dire plus tôt.
Au même titre que Damien, Sébastien fait ses calculs pour identifier dans le tableau (T) les couples (a,b) qui donnent une valeur unique de S. Pour les valeurs de R25, il y a deux couples possibles (2,56) et (2,60) qui donnent les deux valeurs S=58 et S=62 qui
n’apparaissent qu’une fois chacune. Si Sébastien peut répondre, c’est qu’il détient l’un des deux couples (2,56) ou (2,60) et c’est vrai que s’il avait été plus rapide dans ses calculs, il aurait pu répondre immédiatement après la première déclaration de Robert.
Le couple (2,60) est le seul à faire partie de la liste des trois couples possibles (2,60), (2,64) et (2,66) détenus par Robert. C’est donc la solution unique cherchée.
Damien : Désormais moi aussi je sais répondre
Il n’y a plus d’ambiguïté possible pour Damien qui détient la différence D=58
Conclusion : solution unique avec (2,60) donnant une somme S=62, une différence D=58 et un rapport R=30.
PS On pourrait inverser les rôles de Damien et de Sébastien et faire intervenir ce dernier plus rapidement que l’autre. On aboutirait au même résultat :
On aurait le dialogue suivant :
Robert (le plus rapide dans ses calculs) : Je ne sais pas répondre Sébastien : Moi non plus
Robert : Dans ce cas, je sais répondre
Damien (qui vient à l’instant de terminer ses calculs) : Moi aussi et j’aurais pu le dire plus tôt.
Sébastien : Désormais moi aussi je sais répondre
