TD 12 – Circuits

Langages formels, calculabilité et complexité ENS Paris – A1S1 2018-2019

20 décembre 2018 Grosshans Nathan

TD 12 – Circuits

1 Classe AC

Un circuit booléen avec n bits d’entrée est un graphe orienté acyclique (DAG) où les feuilles sont les nnœuds représentant l’entrée, la sortie est l’unique nœud dont le degré sortant est nul et chaque nœud est soit un nœud∧ ou∨ (qui peuvent être d’arité quelconque) soit un nœud¬ (unaire). Étant donné un mot w ∈ {0,1}^∗ de taille n et un circuit dont la taille d’entrée est n, on peut évaluer le circuit surw en remplaçant lai-ème feuille d’entrée par>quand w_i = 1 et⊥quand w_i = 0.

On dit qu’unefamille de circuits(Ci)i∈Ndécide un langageL⊆ {0,1}^∗lorsque pour chaquen∈N, C_n an bits d’entrée et décide{w∈L| |w|=n}.

On définit la classeACⁱ comme la classe des langages sur{0,1} décidés par une famille de circuits booléens(Ci)i∈Ndont la taille du circuit est polynomiale et dont la profondeur est en O(log(n)ⁱ), c’est à dire qu’il existek tel que pour toutn∈N, la profondeur deC_n est majorée park·log(n)ⁱ. La taille de C_nest majorée par P(n) pourP un certain polynôme.

Exercice 1.Justifier pourquoi l’on ne s’intéresse qu’aux circuits de taille polynomiale (et non pas exponentielle ou illimitée).

Exercice 2.Montrer que le langage PARITY={w∈ {0,1}^∗| |w|₁= 1 mod2} est dans AC¹. Exercice 3.Montrer que le langage

ADD={abc∈ {0,1}^∗ | |a|=|b|=|c|,a+b=cavec a, b, c en binaire petit-boutiste} est dans AC⁰.

Exercice 4.Montrer que le langage

MULT={abc∈ {0,1}^∗ |2|a|= 2|b|=|c|,a·b=cavec a, b, c en binaire petit-boutiste} est dans AC¹.

Exercice 5.Montrer que tout langage rationnel sur {0,1}est dans AC¹.

2 Classe NC

On note NCⁱ la classe des langages sur{0,1} décidés par une famille de circuits booléens(C_n)n∈N

où l’arité des portes∨et∧est limitée à deux et où la famille de circuits est de profondeur O(log(n)ⁱ) avec une taille polynomiale.

Exercice 6.Montrer que pour tout inous avons l’inclusion NCⁱ⊆ACⁱ⊆NCⁱ⁺¹. Exercice 7.Montrer que NC⁰6=AC⁰.

3 Classe TC

La classe TC⁰ correspond à la classe des langages sur{0,1} décidés par une famille de circuits où les portes sont¬ ainsi que des portes de typeT_k(x1, . . . , xn) avecT_k(x1, . . . , xn) =|{i|xi =>}| ≥k.

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Exercice 8.Montrer que tout circuit avec des portes¬,∧,∨et MAJ, où MAJ(x1, . . . , x_n) =>quand la moitié de ses entrées au moins (c’est-à-dire au moins dn/2e de celles-ci) sont à>, se réécrit comme un circuit de même profondeur avec des portes ¬etTk.

Exercice 9.Montrer qu’à l’inverse TC⁰ correspond aussi à la classe des langages sur {0,1} décidés par des circuits de profondeur bornée avec les portes∧,∨,¬ et MAJ (d’arités non bornées).

Exercice 10. Montrer queTC⁰⊆NC¹. Exercice 11. Montrer que PARITY∈TC⁰. Exercice 12. Montrer que MULT∈TC⁰.

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