Document d’accompagnement cycle 3

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Ce document est commun aux deux niveaux.

Cette année, nous vous proposons d’aborder les champs suivants :

-la numération à travers les petites énigmes mathématiques du cycle 3, -le calcul mental,

-les grandeurs et mesures, -la géométrie.

L’organisation préconisée est celle du groupe mais rien ne vous empêche d’adapter le dispositif. Cependant la nature des sujets vise une collaboration et une répartition des tâches entre les membres du groupe.

Des éléments de correction sont proposés afin de vous aider à structurer les mises en commun.

Chaque sujet a été conçu de manière à ce que chaque groupe puisse réussir une partie des exercices.

Un système de points est proposé afin d’organiser un challenge autour de cette semaine mais rien ne vous empêche de l’abandonner.

De même le temps de recherche n’est pas défini, nous vous laissons libre de l’apprécier et de l’adapter à vos élèves.

Il est également possible de n’aborder qu’une partie des exercices proposés.

Notre objectif est que les élèves aient envie de résoudre ces problèmes et qu’ils prennent plaisir à participer à cette semaine des mathématiques.

Les compétences travaillées à travers cette semaine des mathématiques sont les suivantes¹ :

Chercher

 Prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes, tableaux, diagrammes, graphiques, dessins, schémas, etc.

 S’engager dans une démarche, observer, questionner, manipuler, expérimenter, émettre des hypothèses, en mobilisant des outils ou des procédures mathématiques déjà rencontrées, en élaborant un

raisonnement adapté à une situation nouvelle.

 Tester, essayer plusieurs pistes de résolution.

Modéliser

 Reconnaître et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, de proportionnalité.

 Utiliser des propriétés géométriques pour reconnaître des objets.

1Programme d'enseignement du cycle de consolidation (cycle 3) BO du 26 11 2015

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Représenter

 Utiliser des outils pour représenter un problème : dessins, schémas, diagrammes, graphiques, écritures avec parenthésages, ...

 Analyser une figure plane sous différents aspects (surface, contour de celle-ci, lignes et points).

 Reconnaître et utiliser des premiers éléments de codages d’une figure plane ou d’un solide.

Raisonner

 Résoudre des problèmes nécessitant l’organisation de données multiples ou la construction d’une démarche qui combine des étapes de

raisonnement.

 En géométrie, passer progressivement de la perception au contrôle par les instruments pour amorcer des raisonnements s’appuyant uniquement sur des propriétés des figures et sur des relations entre objets.

 Progresser collectivement dans une investigation en sachant prendre en compte le point de vue d’autrui.

 Justifier ses affirmations et rechercher la validité des informations dont on dispose.

Calculer

 Contrôler la vraisemblance de ses résultats.

Communiquer

 Utiliser progressivement un vocabulaire adéquat et/ou des notations adaptées pour décrire une situation, exposer une argumentation.

 Expliquer sa démarche ou son raisonnement, comprendre les explications d’un autre et argumenter dans l’échange.

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1/La numération

Au cycle 3, l’étude des grands nombres permet d’enrichir la compréhension de notre système de numération (numération orale et numération écrite) et de mobiliser ses propriétés lors de calculs.

Les fractions puis les nombres décimaux apparaissent comme de nouveaux nombres introduits pour pallier l’insuffisance des nombres entiers, notamment pour mesurer des longueurs, des aires et repérer des points sur une demi-droite graduée. Le lien à établir avec les connaissances

acquises à propos des entiers est essentiel.

Avoir une bonne compréhension des relations entre les différentes unités de numération des entiers (unités, dizaines, centaines de chaque ordre) permet de les prolonger aux dixièmes, centièmes...²

Les petites énigmes ont été conçues dans cet esprit et visent l’exploration des unités de numération.

2/ Le calcul mental

« Le calcul mental, le calcul posé et le calcul instrumenté sont à construire en interaction.

Ainsi, le calcul mental est mobilisé dans le calcul posé et il peut être utilisé pour fournir un ordre de grandeur avant un calcul instrumenté. Réciproquement, le calcul instrumenté peut permettre de vérifier un résultat obtenu par le calcul mental ou par le calcul posé. Le calcul, dans toutes ses modalités, contribue à la connaissance des nombres ». Ainsi, même si le calcul mental permet de produire des résultats utiles dans différents contextes de la vie quotidienne, son enseignement vise néanmoins prioritairement l’exploration des nombres et des propriétés des opérations. Il s’agit d’amener les élèves à s’adapter en adoptant la procédure la plus efficace en fonction de leurs connaissances mais aussi et surtout en fonction des nombres et des opérations mis en jeu dans les calculs. Pour cela, il est indispensable que les élèves puissent s’appuyer sur

suffisamment de faits numériques mémorisés et de modules de calcul élémentaires automatisés »..^{.3 »}

Le calcul mental se construit à travers deux éléments : la mémorisation des tables et l’apprentissage de procédures de calcul reposant sur des résultats connus et mobilisables.

On distinguera parmi les objectifs pratiques : - L’automatisation des calculs simples.

- La maîtrise du calcul approché.

- La diversification des stratégies de calcul complexe⁴.

Les exercices proposés visent l’utilisation de résultats mémorisés et les propriétés des

opérations. (Comment augmenter les résultats intermédiaires (ou les diminuer) pour parvenir au résultat final…)

3/ Grandeurs et mesures

« Les notions de grandeur et de mesure de la grandeur se construisent dialectiquement, en résolvant des problèmes faisant appel à différents types de tâches (comparer, estimer, mesurer)⁵. »

Les problèmes proposés visent à la fois la mobilisation des connaissances sur les unités de mesures et la mise en œuvre de compétences de recherche.

2 Programme d'enseignement du cycle de consolidation (cycle 3) BO du 26 11 2015

4 Le calcul mental au quotidien cycle 2 et 3 SCEREM

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4/ Géométrie

À l’articulation de l’école primaire et du collège, le cycle 3 constitue une étape importante dans l’approche des concepts géométriques. Prolongeant le travail amorcé au cycle 2, les activités permettent aux élèves de passer progressivement d’une géométrie où les objets (le carré, la droite, le cube, etc.) et leurs propriétés sont contrôlés par la perception à une géométrie où ils le sont par le recours à des instruments, par l’explicitation de propriétés pour aller ensuite vers une géométrie dont la validation ne s’appuie que sur le raisonnement et l’argumentation.[ …]

Les situations faisant appel à différents types de tâches (reconnaître, nommer, comparer, vérifier, décrire, reproduire, représenter, construire) portant sur des objets géométriques, sont privilégiées afin de faire émerger des concepts géométriques (caractérisations et propriétés des objets, relations entre les objets) et de les enrichir.⁶

Nous avons essayé de couvrir l’ensemble des activités décrites qu’il s’agisse de reproduire une figure complexe, suivre un programme de construction ou résoudre un problème de tracé.

Les situations proposées visent la collaboration et l’exploration, les grilles d’évaluation associées sont indicatives et peuvent ne pas être utilisées.

5/ Les problèmes.

Ils sont présents dans la plupart des champs proposés.

Deux types de problèmes peuvent être proposés aux élèves de cycle 3 :

- des problèmes dont le mode de résolution est connu des élèves comme les problèmes relevant de la mise en œuvre d’une technique opératoires,

- des problèmes dont la procédure n’est pas identifiée.⁷ Notre choix s’est porté sur cette deuxième catégorie.

La résolution des problèmes proposés suppose une recherche fondée sur des essais, des hypothèses, des tâtonnements.

Elle implique également une solution argumentée à travers la trace des recherches réalisées.

L’organisation retenue est celle du travail en groupe de production, c'est-à-dire que la tâche à mener entraîne une collaboration entre les élèves afin que la recherche puisse aboutir.

Quelques suggestions pour cette mise en recherche :

- définissez un temps suffisamment long pour permettre aux élèves de chercher mais suffisamment court pour les contraindre à s’organiser et à se partager les tâches à mener,

- vérifiez que les élèves ont bien compris ce qu’ils cherchaient et n’hésitez pas à recentrer les recherches,

- faites expliciter les méthodes de recherche (le résultat n’est pas forcément ce qu’il y a de plus intéressant).

En espérant que ce document vous ait été utile, passez, vous et vos élèves, une bonne semaine des mathématiques !

7 Le nombre au cycle 3, http://media.eduscol.education.fr/file/Mathematiques/44/9/NombreCycle3_web_VD_227449.pdf