(حول نظرية القياس و المكاملة (تمارين و مسائل محلولة

‡JJ« ­ƒñK XAJƒB@

éJ.®Ë@ è YKAƒCË AJʪË@ éƒPYÖÏ@

HAJ “AKQË@ т¯

éÊÓA¾ÖÏ@ð €AJ®Ë@ éKQ ¢ Èñk

øQ ¢ Q» YK ÉjÊË ÉKA‚Óð áKPAÖß éʒ ®ÖÏ@ AêËñÊg ©Ó øQ k@ð

2009

ð

QK@ Qm.Ì'@ éJ.®Ë@

úÍð

B@ éªJ.¢Ë@

QKY’

,YªK.ð ÕºJÊ« ÐC‚Ë@ ,( é)J.ËA¢Ë@

ù( K) QK Q«

!ÉKA‚ÖÏ@ð áKPAÒJË@ áÓ é«ñÒj.ÖÏ@ è Yë Q ’m' ZA J« IÊÒm' ½Êg.@ áÓ A® ¯QÓ AKQ ¢ @Q» YK Èð

B@ Õ愮Ë@ Õæ ” .ÐA‚¯

@ éKCK úÍ@ é«ñÒj.ÖÏ@ è Yë I҂¯

HA KAjJÓB@ ©J “@ñÓ ùëð èPAJ jÖÏ@ ©J “@ñÖÏ@ ‘ªK. ú GAJË@ Õ愮Ë@ Õæ ”ð ÉjÊË áKPAÒJK.

éJ.Ê£ ÉJ’m' PAJ.J kB ^1997–96 ð ^1996–95 áJƒ@PYË@ áJ ‚Ë@ ú ¯ AîDÓY¯ úæË@

.(³⁰⁴ PY«) éÊÓA¾ÖÏ@ð €AJ®Ë@ éKQ ¢

½Jƒ@PX ZA JK

@ ¼YJ ®K Y¯ èPAJ jÖÏ@ ©k.@QÖÏ@ ‘ªJ.K. éÖßA¯ IËAJË@ Õ愮Ë@ éKAî E ú ¯ Ym.'ð . éÊÓA¾ÖÏ@ð €AJ®Ë@ éKQ ¢ ú ¯ ½KAÓñÊªÓ ‡JÒªK áÓ ½ JºÖß YJ»AK ɾK. ù ëð Ég ZA JK

@ ¼Y«A‚ ( àAëQK. ø

@ àðYK. èA JÓY¯ ø YË@) ø Q ¢ JË@ Q» YJË@ à

@ Y®Jª K A J K@

€AJ®ÖÏ@ AêËñÊg XAm.'@ ú ¯ ½gAm. 'ð àA¾Öß. éÒêÓ AêÊmÌ ½KBðAm× Q.JªK úæË@ áKPAÒJË@

.€ðPYÊË ½Òê ¯ Õæ®K ø YË@ YJkñË@

@ Yë ! HA KAjJÓB@ ú ¯ ½ JÓ Q ¢J JÓ ñë AÔ« èQº ¯ ½J¢ªK Aî EA ¯ èPAJ jÖÏ@ ©J “@ñÖÏ@ AÓ éKñK.QË@ YK@ñ ®Ë@ éÓA« é ®’. A JJ«@P @ X@ AÓ @

@ !¡® ¯ HA KAjJÓB@ á« A JKYm' @ X@

:Èñ® J ¯ ½KYK áK. áKPAÒJË@ áÓ é«ñÒj.ÖÏ@ è Yë ÉJÓ © “ð Z@Qk. áÓ èQ ¢J JÖÏ@

úÍ@ ½Ëñ ’ ¯ ½ª ¯YK à

@ áÓ YK. B é K

B ;ÉÒªÊË øQ k

@ é“Q ¯ ½J¢ªK Aî E@ ,Bð

@ ÉJÓ øñJ‚Óð ½ ¯ðQ £ ÉJÓ ¬ðQ £ ú ¯ éJ.Ê¢Ë IJ¢«@ úæË@ ©J “@ñÖÏ@ úΫ ¨C£B@

.¼@ñJ‚Ó áKPAÒJË@ è Yë É¿ à@ IJk ,É ’ ¯

@ éJ ®JºK. ½ƒðPX Ñê ¯ úΫ ¼Y«A‚ƒ Aî E@ ,AJ KAK . AêËñÊm'. é® ¯QÓ ð

@ áKQÒJË@ ‘ èZ@Q®K. IJ ®J»@ @ X@ ! èA¢ªÖÏ@ ÈñÊmÌ'@ áÓ ZA¿ YK. YJ ®J‚ à@ ½JÊ«

2 ‡JJ« ­ƒñK XAJƒB@

á« éJ ¯A¿ èYÓ ½‚ ® JK. Ij.Kð éJ ¯ Q º ®K à

@ àðX èQå…AJ.Ó AêË ‡ ¯@ñÖÏ@ ÉmÌ'@ Õç' éË A‚ÖÏ@

ø

@ Ég úΫ ¨C£B@ ÉJ.¯ à X@ ù ªJ. K .éÓðYªÓ ð

@ éÊK Që ½KYKA ¯ àñºJ ¯ ,ÉmÌ'@ @ Yë áÓ ø

@ , àAjJÓB@ èYÓ áKQÓ †ñ ®K èYÓ éJ ¯ ¼Qº ®Kð é J« ½Jm'. †Q ªJ‚ à

@ ¨ñ “ñÓ

! HA«Aƒ Iƒ úÍ@ ©K.P

@ .½JK.ñk.@ QKQm' éJ ®J» ÕΪJK ú¾Ë é“Q ®Ë@ è Yë Õ æJ ªK à@ I.m.' úÍ@ éÖßY®JK. I.ËA¢Ó ½ K

A¿ð éJË@ IʓñK AÓ QKQjJK. èQJ.» éKA J« úÍñK à@ I.m.'ð .ÉmÌ'@ H@ñ¢ k áÓ èñ¢ k É¿ ú ¯ é¯YK. éʪ ¯ YKQK AÓ Q» X@ !¼ XAJƒ@

Õί á‚k

@ ( àAjJÓB@ ú ¯ð È Q ÖÏ@ ú ¯ ½ÊÔ« ZA JK@) ½JK.ñk.@ éK.AJºË PAJ m' à@ I.m.' . ¡ k á‚k

@ð

©Ó é¯XA“ à X@ ú Gñ» ! éÊJÔg. ½‚ ® K áKQK ½ K

@ YK. B ! I K

@ Ѫ K , I K

@ ùªÖޅ@ úæË@ àAjJÓB@ é¯Pð éJ ¯ AÖß. ,CJÔg. ½ JÓ PY’ AÓ É¿ úΪk.@ !Yg ú支@ úÍ@ ½‚ ® K

:úæ. JJÖÏ@ I.J¢Ë@ úG.

@ Èñ¯ ú ¯ ø Qº ¯ !ij’ÖÏ@ úÍ@ Aî DJÓY®K .Q.mÌ'@ AëPñ K áÓ ‘J.K I.J» @ X@ éKñJK. XA¾K Qª ƒ áÓ Iʯ AÓð

I.J¢Ë@ úG.

@ Èñ¯  K B !¼Y J« AÓ É ’ ¯

@ ÐY¯ ,½ÊÔ« ú ¯ AÒJƒð á» ,ÕæƒñË@ AîE

@ I K

@ð :úæ. JJÖÏ@

ÐPA¾ÖÏ@ Ð@QºË@ PY¯ úΫ úGAKð Õç'@ QªË@ úGAK Ð QªË@ Éë@ PY¯ úΫ

.Õç'A ¢ªË@ Õæ ¢ªË@ á« ú ¯ Q ª’ð AëPA ª“ Q ª’Ë@ á« ú ¯ Ñ ¢ªKð Õç'Y¯ ÕΫ (€AJ®Ë@) éÊÓA¾ÖÏ@ à@ ½Ë Èñ¯

@ à

@ ÉJ.¯ @ Yë ú×C¿ úæî E@ à@ I.k

@ B , èñʓð

A ¯ , èQ¯AJ.ªË@ ,Èñj ®Ë@ áÓ YKYªË@ èYJJ ‚ð 邃

@ © “ð ú ¯ ÑëAƒ @Yg. I.ª“ð Qº ®JË@ð ÉÒªË@ áÓ QJºË@ ½ JÓ I.Ê¢JK †@P øñJ‚Ó úÍ@ ,A KQ¯ áKQ儫 áÓ Q»

@ YªK.

. éJËð

B@ èPA¾ ¯

AK. ÐAÖÏB@ ¡® ¯ ñë ½ ¯Yë àA¿ ñËð

3 ‡JJ« ­ƒñK XAJƒB@

È@ñk

B@ áÓ ÈAg ø

AK. áºÖß B é K

@ ñëð ,@Yg. AJîEYK. @QÓ

@ PQ»

@ úæ„ ® K Yg.B ú G@

.ÉKA‚ÖÏ@ð áKPAÒJË@ ÉmÌ Q.JªÓ I¯ð ‘J’ m' àðX Aë@ñJ‚Ó àA¿ AÒêÓ HAJ “AKQË@ Õ ÎªK

! HAJ “AKQË@ Õ

ΪK ú ¯ ½J“Q ¯ ½JKA ¯ QÓB@ @ Yë I‚ à@

úG.@ñ“ àA¿ ÉÒªK. IÔ¯ ú G

@ Q» X

@ B ú æ K@ úÍ@ ZøPA®Ë@ éJ. K

@ à

@ úæ.k.@ð áÓ @Q g@ð éJKCÓB@ ZA¢ k

BAK. à X@ ZñÊÜØ ¼YK áK. Xñk.ñÖÏ@ ÉÒªË@ à@ !ø

A¢ k áÓ Q»

@ éJ ¯ úæîDJ. K ú ¯ XXQK Bð Aê ¯A ‚»@ Y J« I.j.ªJK C ¯ ^... AëQ «ð éJªJ.¢ÖÏ@ð éJKAJ “AKQË@ð

!¼PA ¢J K@ ú ¯ ú G@ .AîDË@

ÈAÔ«

B@ úΫ Aê ¯@Qå…@ ZA JK

@ AîD ® ‚»@ ZA¢ k

@ èY« úÍ@ ÈñJ.ë ék.ðX è XAJƒ

B@ ú æJîD. K

!AêË CK Qk. @Qº ‚ ¯ éêk.ñÖÏ@

ÉÒªË@ é® ‚Ó ÉÒm' úΫ àAªJ‚ÖÏ@ é<Ë@ð ,ÉJÔg. Q.“ð YJªƒ ¡k Ó 1997 QK.ñJ»

@ 30 ú ¯ QK@ Qm.Ì'@

‡JJ« ­ƒñK

éJ KAJË@ éªJ.¢Ë@

QKY’

­J “

@ . HA ¯A “@ I ¯Q« éKCJË@ AëZ@ Qk.

@ à@ IJk áÓ AîD®K.Aƒ á« éªJ.¢Ë@ è Yë ­ÊJ m' H@ZA ’ ¯ð ú æJK.ñ ¯ é JëQ.Óð é ®«A ’ÖÏ@ HCÓA¾JËAK. ‡ÊªJK HA’ jÊÓ Èð

B@ Z Qm.Ì'@ úÍ@

¬Q«ð .@YKYg. (@PAJ.J k@) A«ñ “ñÓ ³² ú GAJË@ Z Qm.Ì'@ ú ¯ ­J “@ AÒ» .AîD•@ñ kð ^Lp ©JK.ñË . ¹⁵ AëXY«ð èYKYm.Ì'@ ©J “@ñÖÏ@ ‘ªJ.Ë (é“ñ® JÓ ð

@ éÊÓA¿) BñÊg é ¯A “@ IËAJË@ Z Qm.Ì'@

Z Qm.Ì'@ ú ¯ð Q k@ úÍ@ ág áÓ ‡ ¯Q K éªJ.¢Ë@ è Yë ú ¯ ám ' , HAÓñʪÖÏ@ ¡.QË CJîD„

.úæ„ Q ®Ë@ iÊ¢’ÖÏAK. úG.QªË@ iÊ¢’ÖÏ@ (Q» YJË@) Èð B@

PñÓQË@ Ð@Y jJƒ@ É ’ ® K A J KA ¯ ©K.@ñJË@ ‘ªK. úÍ@ èPA ƒCË éÓY jJ‚ÖÏ@ PñÓQË@ ‘ m' AÒJ ¯ : éJËAJË@ PñÓQË@ ÐY jJ‚ ÈAJÖÏ@ ÉJ.ƒ úΫ A J K@ . ^TEX ¼AJË@ AêÓY j‚ úæË@

è QÓP ©K.AJË@ Õæ…@

arccos úæÊJÖÏ@ I.Jj.JË@ €ñ¯

arcsin úæÊJÖÏ@ I.Jm.Ì'@ €ñ¯

arctan úæÊJÖÏ@ É ¢Ë@ €ñ¯

cos úæÊJÖÏ@ I.Jj.JË@

cosh ùª¢®Ë@ I.Jj.JË@

cot úæÊJÖÏ@ É ¢JË@

coth ùª¢®Ë@ É ¢JË@

è QÓP ©K.AJË@ Õæ…@

exp úæ…

B@ ©K.AJË@

ln ùªJJ.¢Ë@ ÕæKQ «ñ ÊË@

sin úæÊJÖÏ@ I.Jm.Ì'@

sinh ùª¢®Ë@ I.Jm.Ì'@

tan úæÊJÖÏ@ É ¢Ë@

tanh ùª¢®Ë@ É ¢Ë@

5 ‡JJ« ­ƒñK XAJƒB@

: é ¯ñË

AÖÏ@ X@Y«

B@ HA«ñÒm.× úÍ@ èPA ƒCË éÓY jJ‚ÖÏ@ PñÓQËAK. Q» Y Kð . ^{N?={1,2,3, . . .}} ; ^{N={0,1,2,3, . . .}} éJªJJ.¢Ë@ X@Y«B@ é«ñÒm.× ^◦

. ^{Z={· · ·,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}} éjJj’Ë@ X@Y«B@ é«ñÒm.× ^◦ . ^Q=np_q ^{|p∈Z, q∈N?o} 鮣A JË@ X@Y«B@ é«ñÒm.× ^◦ . ^R éJ®J®mÌ'@ X@Y«B@ é«ñÒm.× ^◦ . ⁱ²⁼⁻¹ , ^{C={z=x+iy|x, y∈R}} éKY®ªË@ X@Y«B@ é«ñÒm.× ^◦

:Aî DÓ Q» Y K H@PA’J kB@ ‘ªK. ,Q k

@ úÍ@ ág áÓ ,ÐY jJ‚ ¬ñƒ

úæ„ Q ®Ë@ ÉK.A®ÖÏ@ ú æªÖÏ@ PA’J kB@

p.p. (presque partout) AJÊ¿ éJ. ƒ ½ ƒ AJ.KQ®K àA¿ AÓ IJk ½ ƒ = Iºk

partout = pour tout àA¿ AÒêÓ ½Ó

ssi (si et seulement si) @ X@ ¡® ¯ð @ X@ @@ X@

éJJ. K

Õ愯 ú ¯ IÓY¯ HA KAjJÓ@ (ú GAJË@) H. Z Qm.Ì'@ ú ¯ AêÓY® K úæË@ ©J “ñÖÏ@ ÉJÖß -1 ám ' . HAJ “AKQË@  A‚Ë éJ.Ê¢Ë éJ.®ËAK. è YKAƒ

CË AJʪË@ éƒPYÖÏAK. HAJ “AKQË@

@ X@ . èP YªÔ ¯ , H@P@QºJË@ ‘ªK. AîD ¯ Ym.' Y® ¯ @ YËð AJ.KQ®K ù ë AÒ» AîD•ñ’ A JÓY¯

ÉJÓ , éÒj. JK. éÔ¯P ©J. J ¯ (k. Z Qm.Ì'@ ú ¯) éÊg ÐY® K ÕËð ¨ñ “ñÖÏ@ A JÓY¯

ÉJÓ ,‘¯A K èPA ƒAK. Õ¯QË@ ‡ ¯Q ¯ A“ñ® JÓ ÉmÌ'@ ÐY¯ @ X@ð "^?15 Ë@ ¨ñ “ñÖÏ@\

àðX , éÔ¯P Q» YK. ù ®Jº J ¯ éÊm'. A® ¯QÓ ¨ñ “ñÖÏ@ àA¿ @ X@ ."⁻¹⁷ Ë@ ¨ñ “ñÖÏ@\

.øQ k

@ èPA ƒ@

: HBXAªÖÏAK. Q

» Y K .ú¯Qå„ÖÏ@ð úG.Q ªÖÏ@ AîDʾ ‚. éJK.QªË@ ÐA¯P

B@ I.Jº K ám ' -2 , ^{4 =} 4 , ^{3 =} 3 , ^{2 =} 2 , ^{1 =} 1 , ^{0 =} 0

. ^{9 =} 9 , ^{8 =} 8 , ^{7 =} 7 , ^{6 =} 6 , ^{5 =} 5

@Q®K à

@ ½JÊ« ,Q g

B@ ú ¯ Xñk.ñÖÏ@ ,H.AJºË@ HAKñJm× ÈðYg. ú ¯ ,ÈAJÖÏ@ ÉJ.ƒ úΫð á« ½Jm'. Y J« úG.Q ªÖÏ@ ɾ ‚Ë@ úÍ@ AJ Jë X éËñm'ð ú¯Qå„ÖÏ@ ɾ ‚ËAK. éj ®’Ë@ Õ¯P

. éK.ñÊ¢ÖÏ@ éj ®’Ë@

é<Ë@ é»QK. úΫð

ÉÒªË@ é® ‚Ó ÉÒm' úΫ àAªJ‚ÖÏ@ é<Ë@ð ,ÉJÔg. Q.“ð YJªƒ ¡k Ó ²⁰⁰⁹ QK.ñJ»

@ ³¹ ú ¯ QK@ Qm.Ì'@

‡JJ« ­ƒñK XAJƒB@

. Klaus Lagally úÍA «B €ðC¿ XAJƒCË _ArabTEX Ð@Y jJƒAK. ÉÒªË@ @ Yë Y ’

1 ɒ ®Ë@

Q» YK

úÍ@ ø

@ ,ÉÒJºÖÏ@ éJ®J®mÌ'@ X@Y«B@ É®k úÍ@ èPA ƒCË ^R QÓQË@ úÎK AÓ úο ú ¯ ÐY jJ‚

éJ®J®mÌ'@ X@Y«B@ É®k úÍ@ ^−∞ ð +∞ áKQå” JªË@ é ¯A “AK. AîDÊ« ɒjÖÏ@ é«ñÒj.ÖÏ@

áKXAªË@ H.Qå ”Ë@ð ©Òm.Ì'AK. èXð Q Kð ^R3x àA¿ AÒêÓ ^−∞< x <+∞ A JKYË IJk à@ úΫ iÊ¢’ ð

(±∞) + (±∞) =x+ (±∞) = (±∞) +x= (±∞), ∀x∈R;

(±∞)×(±∞) = +∞, (±∞)×(∓∞) =−∞;

x×(±∞) = (±∞)×x = ±∞, x >0

= 0, x= 0

= ∓∞, x <0.

.(∓∞) + (±∞) Ë ú æªÓ ZA¢«@ ÐY« ©Ó

AJʪË@ð úÎ ®‚Ë@ HAKAî DË@

•

X@Y«B@ éËAg ú ¯

lim inf

n→∞ x_n= lim

n→∞x_n= sup.

n≥0

{inf

k≥nx_k}

8 ‡JJ« ­ƒñK XAJƒB@

àAK. AîE@ X éJËAJJÒÊË AJʪË@ éKAî DË@ ¬Qª Kð

lim sup

n→∞ x_n= lim

n→∞x_n= inf.

n≥0{sup

k≥n

x_k}·

•

HA«ñÒj.ÖÏ@ éËAg ú ¯

lim inf

n A_n .

= [

n≥0

n \

k≥n

A_k o .

= sup

n≥0

n

k≥ninf A_k o

ð

lim sup

n A_n=. \

n≥0

n [

k≥n

A_k

o= inf.

n≥0

n sup

k≥n

A_k o

·

úG Qm.Ì'@ I.KQË@ é¯C« úÍ@ éJ.‚ øñʪË@ð úÎ ®‚Ë@ áKYmÌ'@ Y g@ ÈAmÌ'@ éªJJ.¢. I.m.' . ^X Z@ Qk.

@ áK. ^⊃ Z@ñJkB@ ú ¯ éÊJÒJÖÏ@

AJʪË@ð úÎ ®‚Ë@ AëAJKAî E AJ KA¿ @ X@ éK.PA®JÓ Aî E@ ^X áÓ Z@ Qk.

@ éJËAJJÓ á« Èñ® K . ^lim_∞ ^An K. é»Q ‚ÖÏ@ AÒîDÒJ¯ úÍ@ Q ‚ ð áJKðA‚Ó . éK.PA®JÓ ^X Z@ Qk.

@ áÓ éJ.KP éJËAJJÓ É¿ à

@ áÓ Y»

AK ð ^X áÓ @Qå” J« ^x0 ð AKQÓ ZA ’ ¯ ^{(X, d)} áºJË ^•

©K.@ñJË@ éËAg ú ¯

­’ ð ^x0 Q»QÖÏ@ H@ X è PðQ jÖÏ@ éÊm.Ì'@ úÍ@ ^{B?(x0, ρ)} K. Q ‚ .AJ®J®k @XY« ^{0< ρ} à@ ø

@ , ^ρ Q¢®Ë@

B^?(x₀, ρ) ={x∈X|0< d(x₀, x)< ρ}·

© ’ JË . ^D Z Qj.ÊË Õ»@QK 颮 K ^a áºJËð ^R ú ¯ ^X áÓ ^D Z Qm.Ì A®JJ.¢ ^f áºJË

M(a, ρ) = sup{f(x)|x∈B^?(x₀, ρ)∩D}

ð

m(a, ρ) = inf{f(x)|x∈B^?(x₀, ρ)∩D}·

. ^ρ úÍ@ éJ.‚ èYK@ QÓ ^{M(a, ρ)} à@ð 钯A JJÓ ^{m(a, ρ)} à@ áÓ Y»AK

9 ‡JJ« ­ƒñK XAJƒB@

àAK. ^a 颮 JË@ Y J« ^f ©K.AJÊË úÎ ®‚Ë@ éKAî DË@ ¬Qª K ^• ­KQªK ^1.3.1.1

lim_af .

= lim

ρ↓0m(a, ρ) = sup

ρ>0m(a, ρ)

àAK. ^a 颮 JË@ Y J« f ©K.AJÊË AJʪË@ éKAî DË@ ¬Qª Kð

lima f .

= lim

ρ↓0M(a, ρ) = inf

ρ>0M(a, ρ).

ð ^R ú ¯ ^X áÓ ^D Z Qm.Ì A®JJ.¢ ^f ð AKQÓ ZA ’ ¯ ^{(X, d)} áºJË ^• ­KQªK ^2.3.1.1 Y J« (semi-continu inf´erieurement) AJÊ ®ƒ QÒJ‚Ó ­’ ^f à@ Èñ® K ^{.D 3a} I KA¿ @ X@ ^a 颮 JË@

lim_af ≥f(a)

àA¿ @ X@ ^a 颮 JË@ Y J« AKñÊ« QÒJ‚Ó ­’ é K@ Èñ® Kð

lim_af ≤f(a).

é K@ A Jʯ ^D áÓ é¢® K É¿ Y J« (úÍ@ñJË@ úΫ AKñÊ«) AJÊ ®ƒ @QÒJ‚Ó ­’ ^f àA¿ @ X@ð . ^D úΫ (úÍ@ñJË@ úΫ AKñÊ«) AJÊ ®ƒ QÒJ‚Ó ­’

èQÒJ‚Ó ­’ ¹ ð ⁰ áK. èPñ’jÖÏ@ 鮣A JË@ X@Y«CË è QÒÖÏ@ éË@YË@ à

@ áÓ Y»

AK .ZAÖޕ 颮 K É¿ Y J« AKñÊ« èQÒJ‚Óð 鮣A K 颮 K É¿ Y J« AJÊ ®ƒ

áÓ D Z Qk. úΫ é ¯QªÓ éJ®J®k ©K.@ñK é«AÔg. ^{fi}i∈I áºJË • ­KQªK ^3.3.1.1

infi∈If_i ©K.AJË@ é«AÒm.Ì'@ è YêË (úÍ@ñJË@ úΫ øñʪË@) úÎ ®‚Ë@ ¬C ªË@ ù҂ .ø QÓ ZA ’ ¯ àAK. ^D3x 颮 K É¿ Y J« ¬QªÖÏ@

³úÍ@ñJË@ úΫ ^³sup

i∈I

f_i

´

(x) = sup

i∈I

f_i(x)

´ ³ infi∈If_i

´

(x) = inf

i∈If(x)

•A®Ê¢Ó èQÒJ‚ÖÏ@ ©K.@ñJË@ð éK QJ ‚.J

ÊË@ ©K.@ñJË@ ^4.3.1.1

R áÓ ^D Z Qk. úΫ ¬QªÓ ^g ù®J®k ©K.AK á« Èñ® K ^• ­KQªK 1. ^4.3.1.1 IK.AJK. ú«YK) ^{0< C} IK.AK Yg.ð @ X@ (ø QJ ‚.JË é K@ ð

@) QJ ‚.JË  Qå… ‡®m' é K@

‡®m' (^Lipschitz QJ ‚.JË

|g(x)−g(y)| ≤C|x−y|, ∀x, y∈D.

10 ‡JJ« ­ƒñK XAJƒB@

IJm'. ^]0,1[3α XY«ð ^{0< C} IK.AK Yg.ð @ X@ð

|g(x)−g(y)| ≤C|x−y|^α, ∀x, y∈D

øðA‚ IK.AJK. ^D úΫ (øP@YËñë é K@ ð

@) ^H¨older P@YËñë  Qå… ‡®m' ^g à@ Èñ® J ¯

.α øðA‚ € AK.ð ^C

√x←x ©K.AJË@ à@ð ^R úΫ QJ ‚.JË  Qå… ‡®m' ^arctanx←x ©K.AJË@ à

@ áÓ Y»

AK . ¹₂ øðA‚ €

AK. ^R+ úΫ P@YËñë  Qå… ‡®m'

R áÓ ^{[a, b]} ÈAm.× úΫ ¬QªÓ ^f ù®®k ©K.AK á« Èñ® K ^• ­KQªK 2. ^4.3.1.1 É¿ é® ¯@QÓ áºÓ

@ @ X@ ÈAj.ÖÏ@ @ Yë úΫ ^(absolˆument continue) A®Ê¢Ó QÒJ‚Ó é K@

骣A®JÖÏ@ Q « HBAj.ÖÏ@ áÓ éJîD JÖÏ@ é«AÒm.Ì'@ I KA¿ AÒêÓ , IJm'. ^{0< ρ} XYªK. ^{0< ε}

{]a₁, b₁[, ]a₂, b₂[, ..., ]a_n, b_n[}

A JKYË àñºK , ^Pn

i=1

(b_i−a_i)≤ρ úξË@ Èñ¢Ë@ð ^{[a, b]} ú ¯ øñJm× XAm'@ H@ X

Pn i=1

|f(b_i)−f(a_i)| ≤ε.

©K.@ñJË@ àñºJ ¯ ^{[a, b]} úΫ A®Ê¢Ó áKQÒJ‚Ó ^g ð ^f àA¿ @ X@ ^•é JëQ.Ó 3. ^4.3.1.1 IK.AK ^k ©Ó ^kf , ^{f g} , ^{f +g}

.A®Ê¢Ó @QÒJ‚Ó ¹_f àñºJ ¯ ^{f ≥m >0} àA¿ @ X@ ,½Ë Y»ð .A®Ê¢Ó èQÒJ‚Ó

•©K.@ñJË@ HAJ.

Ê®Kð HAK. YK. YK ^5.3.1.1

f àA¿ @ X@ ^.R áÓ ^D Z Qk. úΫ ¬QªÓ ù®J®k ©K.AK ^{f •} ­KQªK 1. ^5.3.1.1 I.k.ñÖÏ@ XYªË@ àA ¯ é ®KQªK à@YJÓ áÓ ^A Z Qk. úΫ @XðYm×

Ω_Af = sup

A

f −inf

A f

à@ Q ® JËð ^D áÓ é¢® K ^c áºJË ^{. A} úΫ ^f ©K.AJË@ (oscillation) H. YK. YJK. ú«YK è Q»QÓ ø YË@ hñJ ®ÖÏ@ ÈAj.ÖÏ@ ñë ^{I(c, ρ0)} IJk , ^{Aρ0 =. D∩I(c, ρ0)} úΫ XðYm× ^f

f I.

Ê®JK. ^{ωcf =.} _0<ρ≤ρ^inf ₀^ΩAρf K. ¬QªÖÏ@ ^ωcf XYªË@ ú«YK . ^ρ0 èQ¢¯ ­’ ð ^c

. c 颮 JË@ Y J«

11 ‡JJ« ­ƒñK XAJƒB@

.|lim

c+ f−lim

c− f| ≤ω_cf à@ áÓ ½Ë Y»ð ^{. ω}cf = lim

ρ↓0Ω_Aρf à@ áÓ Y»AK

•

øðA‚ ÖÏ@ P@QÒJƒB@

Aî E@ ^R áÓ ^D Z Qk. úΫ é ¯QªÓ ^{fn} ©K.@ñK éJËAJJÓ á« Èñ® K ^•­KQªK ^1.4.1.1 XYªK. ^{0< ε} XY« É¿ ‡ ¯P áºÓ

@ @ X@ ^D úΫ ^(´equicontinue) P@QÒJƒB@ éKðA‚Ó : à

@ éJ ®J“ ^{0< δ}

|f(x)−f(y)| ≤ε, ∀x, y∈D, |x−y| ≤δ, ∀n∈N.

AîDË@ AÓð HAKAî DË@ Èñk áKPAÒK

É¿ Ég.

@ áÓ ^R ú ¯ àAKXñk.ñÓ AJʪË@ð úÎ ®‚Ë@ áJKAî DË@ à@ áÓ Y»AK ⁽ @ .1 . ^{xn} éJ®J®k éJËAJJÓ : ÐAªË@ AëYm'. èA¢ªÖÏ@ HAJËAJJÒÊË AJʪË@ð úÎ ®‚Ë@ áJKAî DË@ I.‚k

@ ⁽ H.

1. a_n= (−1)ⁿ, 2. b_n= (1 + sinnπ

2 )ⁿ¹, 3. c_n= (−1)ⁿ+ 1 n, 4. d_n= 1

n+(−1)ⁿ

n² , 5. e_n= 2 +(−1)ⁿ n ·

, ⁿ àA¿ AÒêÓ , x_n≤y_n àA¿ @ X@ é K

@ I.K

@ . àAJJ®J®k àAJJËAJJÓ ^{yn} , ^{xn} .2 I KA¿

lim sup

n→∞ x_n≤lim sup

n→∞ y_n, lim inf

n→∞ x_n≤lim inf

n→∞ y_n.

à@ , {b_n} ð {a_n} áKXðYm× áJJ®J®k áJJËAJJÓ É¿ Ég.

@ áÓ , I.K

@ .3

lim inf

n→∞ a_n+ lim inf

n→∞ b_n ≤ lim inf

n→∞ (a_n+b_n)

≤ lim inf

n→∞ a_n+ lim sup

n→∞ b_n

≤ lim sup

n→∞ (a_n+b_n)≤lim sup

n→∞ a_n+ lim sup

n→∞ b_n.

12 ‡JJ« ­ƒñK XAJƒB@

. éÓAK àñºK à

@ é®K.A‚Ë@ HA JKAJ.JÒÊË áºÖß é K

@ áJ.K éÊJÓ

@ ¡«

@ à@ áJ. ¯ éK.PA®JÓ ^{an} Q ®K. . àAJJ®J®k àAJJËAJJÓ ^{bn} ð ^{an} .4

lim inf

n→∞ (a_n+b_n) = lim

n→∞a_n+lim inf

n→∞ b_n, lim sup

n→∞ (a_n+b_n) = lim

n→∞a_n+lim sup

n→∞ b_n. .lim sup

n→∞ a_n=−lim inf

n→∞ {−a_n} à@ áK. ^.5 ð

@ ^limxn6= 0 à@ A “Q ®Ó , áK. ^.R+ áÓ AÒëQå•A J« àAJJËAJJÓ ^{bn} ð ^{an} .6

.limx_ny_n≤¡

limx_n¢

limy_n à@ , limy_n6=∞

àñºK à

@ ù ®ºKð Ð QÊK ^` ñm ' ^{xn} éJ®J®mÌ'@ éJËAJJÖÏ@ H.PA®JK úæk é K@ I.K@ ^.7

.lim supx_n= lim infx_n=` A JKYË à@ áK. .AÓAÖß @YK@ QÓ A®JJ.¢ ^{p:N? 7−→N?} ð éJ®J®k éJËAJJÓ ^{an} áºJË .8

lim inf

n→∞ a_n≤lim inf

n→∞ a_p(n)≤lim sup

n→∞ a_p(n)≤lim sup

n→∞ a_n.

éK.PA®JÓ Aî DÓ ék.Q jJ‚Ó éJËAJJÓ É¿ àA ¯ éK.PA®JÓ ^{an} éJËAJJÖÏ@ I KA¿ @ X@ é K

@ i.J‚ Jƒ@

. éKAî DË@  ® K ñm ' H.PA®JKð ùë ^lim∞An AJʪË@ AîDKAî E à

@ áÓ Y»

AK ^{. X} é«ñÒm.× Z@ Qk.@ áÓ éJËAJJÓ ^{{An} .9} AîDKAî E à

@ð ^An Z@ Qk.B@ áÓ éKAî EBAÓ úÍ@ ùÒJ K úæË@ ^X Qå•A J« áÓ é KñºÖÏ@ é«ñÒj.ÖÏ@

Z@ Qk.

B@ É¿ úÍ@ ùÒJ K úæË@ ^X Qå•A J« áÓ é KñºÖÏ@ é«ñÒj.ÖÏ@ ùë ^lim∞An úÎ ®‚Ë@

.Aî DÓ éJ JÓ XY« @Y« ^An

AJʪË@ð úÎ ®‚Ë@ áJKAî DË@ á« .Aî DÓ áK Qk. ^B ð ^A ð é«ñÒm.× ^X áºJË .10 . ^N3n , ^A2n+1 =B ð ^A2n=A K. é ¯QªÖÏ@ ^{An} éJËAJJÒÊË : éJËAJË@ ^R Z@ Qk.

@ HAJËAJJÖÏ AJʪË@ð úÎ ®‚Ë@ áJKAî DË@ á« ^.11 . ^N3n , ^A2n+1 = [1,2] ð ^A2n= [0,1] ( @ , ^Bn= [0,1 +⁽⁻¹⁾_nⁿ] ( H.

13 ‡JJ« ­ƒñK XAJƒB@

. ^N3n , ^A2n+1 =]−2−_n¹,1] ð ^A2n= [−1,2 +_n¹[ ( k.

éJ®J®k éJËAJJÓ ^{an} IJk ^an ð ⁰ èA ¯Q£ ø YË@ ‡Ê ªÖÏ@ ÈAj.ÖÏ@ ñë ^{An (} X . é JºÒÖÏ@ HBAmÌ'@ ¯A K . ^{0< a} éKAî E ñm ' éK.PA®JÓ : à

@ I.K

@ ^{. X} é«@ñÒm.× Z@ Qk.@ áÓ éJËAJJÓ ^{An} áºJË .12

cA_n IJk , ^{c(lim sup}_∞ ^An) = lim inf

∞

cA_n (H. . ^{lim inf}_∞ ^{An⊂lim sup}_∞ ^An (@

. ^{c(lim inf}

∞ A_n) = lim sup

∞

cA_n (k. ^{. X} úÍ@ éJ.‚ ^An éÒÒJÓ úÍ@ Q ‚ ,CJÓ à@ I.K

@ .AîE@ Qk.

@ áÓ áJJËAJJÓ ^{Fn} ð ^{En} ð é«ñÒm.× ^X áºJË .13

(limE_n)∪limF_n ⊂ lim(E_n∪F_n)

⊂ (limE_n)∪limF_n

⊂ lim(E_n∪F_n) =¡

limE_n¢

∪limF_n.

à@ð

(limE_n)∩limF_n = lim(E_n∩F_n)

⊂ (limE_n)∩limF_n

⊂ lim(E_n∩F_n)⊂¡

limE_n¢

∩limF_n.

I KA¿ ^F ñm ' éK.PA®JÓ ^{Fn} I KA¿ð ^E ñm ' éK.PA®JÓ ^{En} I KA¿ @ X@ é K

@ i.J Jƒ@

. E∪F ñm ' éK.PA®JÓ ^{En∪Fn} I KA¿ð ^E∩F ñm ' éK.PA®JÓ ^{En∩Fn} à@ áK. .AîE@ Qk.

@ áÓ éJËAJJÓ ^{An} ð Aî DÓ @Z Qk. ^B ð é«ñÒm.× ^X áºJË .14

; ^{B\lim sup}nA_n= lim inf_n(B\A_n) ( @ . ^{B\lim inf}nA_n= lim sup_n(B\A_n) ( H.

: à

@ I.K

@ ⁽ k.

³_∞S

n=1

A_n

´

∩ ^c h_∞T

n=1

A_n i

= ^∞S

n=1

(A_n∆A_n+1)

áK. øQ £A JJË@ †Q ®ËAK. ú«YK ø YË@ ^{An∆An+1= (An\An+1)∪(An+1\An)} IJk . ^{lim sup}

n A_n\lim inf

n A_n= lim sup

n (A_n∆A_n+1) à@ i.J Jƒ@ . áKQ.JªÖÏ@ áJ«ñÒj.ÖÏ@

14 ‡JJ« ­ƒñK XAJƒB@

p:N^? 7−→N^? ð ^X é«ñÒm.× áÓ Z@ Qk.@ AëQå•A J« éJËAJJÓ ^{An} áºJË .15 à@ áK. .AÓAÖß @YK@ QÓ A®JJ.¢

lim inf

n→∞ A_n≤lim inf

n→∞ A_p(n)≤lim sup

n→∞ A_p(n)≤lim sup

n→∞ A_n.

ék.Q jJ‚Ó éJËAJJÓ É¿ àA ¯ éK.PA®JÓ ^{An} éJKA«ñÒj.ÖÏ@ éJËAJJÖÏ@ I KA¿ @ X@ é K

@ i.J Jƒ@

. éKAî DË@  ® K ñm ' H.PA®JKð éK.PA®JÓ Aî DÓ à@ ø

@ ; ¹ ð ⁰ áK. èXñk.ñÖÏ@ 鮣A JË@ X@Y«CË è QÒÖÏ@ éË@YË@ ^Ψ áºJË .16 Yg.ð

@ . ^[0,1]\Q3x àA¿ @ X@ ^{Ψ(x) = 0} ð ^[0,1]∩Q3x àA¿ @ X@ ^{Ψ(x) = 1} . ^[0,1]3a 颮 K Y J« ^Ψ ©K.AJÊË AJʪË@ð úÎ ®‚Ë@ áJKAî DË@

@ X@ ^{f(x) = x1} àAK. ¬QªÖÏ@ ^f ©K.AJË@ úÍ@ éJ.‚ ËAK. , ^{0 =a} 颮 JË@ Y J« ,È@ñ‚Ë@  ® K . ^0≥x àA¿ @ X@ ^{f(x) = 0} ð ^{0< x} àA¿

g(x) = ¹_q àAK. ¬QªÖÏ@ ^g ©K.AJË@ úÍ@ éJ.‚ ËAK. , ^R3a 颮 JË@ Y J« ,½Ë Y» È@ñ‚Ë@  ® K . ^R\Q3x àA¿ @ X@ ⁰ ð ^{0< q} ©Ó È Q jÖÏ@ éʾ ƒ ú ¯ ^{Q3 p}_q ^=x àA¿ @ X@

a ð ^R ú ¯ X áÓ ^D Z Qm.Ì á®JJ.¢ ^g ð ^f ð AKQÓ ZA ’ ¯ ^{(X, d)} áºJË ^.17 I.K

@ . ^D Ë Õ»@QK 颮 K . àAJîD JÓ à@XY« ^limaf ð ^limaf àA ¯ @XðYm× ^f àA¿ @ X@ é K

@ ⁽ @

. ^lim_a^{f ≤lim}af à@ ⁽ H.

. éÓAK é JKAJ.JÖÏ@ è Yë àñºK IJk BAJÓ ¡«

àA¿ ^D úΫ ^{f ≤g} àA¿ @ X@ é K @

@ ⁽ k.

lim_af ≤lim_ag, lim_af ≤lim_ag.

.lim_af =−lim_a(−f) à@ ( X à@ ( ë

lim inf

a f+ lim inf

a g ≤ lim inf

a (f +g)

≤ lim inf

a f+ lim sup

a g

≤ lim sup

a f + lim sup

a g≤lim sup

a (f+g).

15 ‡JJ« ­ƒñK XAJƒB@

.lim_af = lim_ag àñºK à@ ù ®ºKð Ð QÊK èXñk.ñÓ ^limaf àñºK úæk é K@ ⁽ ð

.lim_af = lim_af = lim_af I KA¿ èXñk.ñÓ ^limaf I KA¿ @ X@ é K

@ ½Ë Y» I.K

@ áÓ ^{f(x) =x−n} ð ^{f(0) = 0} àAK. ¬QªÖÏ@ ©K.AJË@ ^f ð AJªJJ.£ @XY« ⁿ áºJË ^.18

.0 =a 颮 JË@ Y J« ø ñʪË@ð úÎ ®‚Ë@ f ©K.AJË@ P@QÒJƒ@ ­’ €PX

@ ^.06=x Ég.

@

.D3a ð ^R ú ¯ ^X øQÓ ZA ’ ¯ áÓ ^D Z Qm.Ì ‡JJ.¢ ^{f .19} Ég.

@ áÓ , é K

@ ù ®ºK ð Ð QÊK ^a Y J« AJÊ ®ƒ @QÒJ‚Ó ­’ ^f áºK úæk é K

@ áK. ⁽ @ ùë ^{f(B(a, ρ))} ; ^{f(B(a, ρ))> λ} IJm'. ^{0< ρ} XY« Yg.ñK , ^{f(a)> λ} XY« É¿

. f ©K.AJË@ ‡ ¯ð ^ρ Q¢®Ë@ ­’ ð a Q»QÖÏ@ H@ X ékñJ ®ÖÏ@ éÊm.Ì'@ èPñ“

­’ úÍ@ éJ.‚ éjJm• éJ ’¯ úΫ ɒm ' HA JKAJ.JÖÏ@ É¿ ºªK. é K@ I.K@ ⁽ H.

.øñʪË@ P@QÒJƒB@

àñºK à

@ ù ®ºKð Ð QÊK ^a Y J« AJÊ ®ƒ @QÒJ‚Ó ^f àñºK úæk é K

@ I.K

@ ⁽ k.

f(a) = lim_af.

àñºK à

@ ù ®ºKð Ð QÊK ^a Y J« AKñÊ« @QÒJ‚Ó ^f àñºK úæk é K

@ I.K

@ ⁽ X

f(a) = lim_af.

úΫ ^f ©K.AJË@ H. YK. YK à@ áK. ^.R áÓ A Z Qk. úΫ ¬QªÓ ù®J®k ©K.AK ^{f .20} . ^ΩAf = sup

x,y∈A

|f(x)−f(y)| èPAJ.ªËAK. ù¢ªK ^A à@YJÓ áÓ ^c 颮 K Y J« @QÒJ‚Ó f ù®J®mÌ'@ ©K.AJË@ àñºK úæk é K@ I.K@ ^.21

.AÓðYªÓ 颮 JË@ è Yë Y J« éJ.

Ê®K àñºK à

@ ù ®ºKð Ð QÊK ^D é ®KQªK XY« É¿ Ég.

@ áÓ , áºJËð ^{[a, b]} ÈAm.× úΫ A ¯QªÓ AJ®J®k AªK.AK ^f àñºJË ^.22 . é®Ê ªÓ ^Tn é«ñÒj.ÖÏ@ à@ áK. ^{.Tn={x∈[a, b]|ωxf ≥} n¹} é«ñÒj.ÖÏ@ , ⁿ ùªJJ.£

ÈAj.ÖÏ@ @ Yë ú ¯ éJÊ g@X 颮 K ^c áºJËð ^{[a, b]} úΫ XðYm× ù®J®k ©K.AK ^{f .23}

·¹₂ω_cf †ñ ®K ^{[c, b]}ð

@ ^{[a, c]} áËAj.ÖÏ@ Yg

@ úΫ ^f H. YK. YK à@ I.K@ ^{.0< ωcf} IJk

16 ‡JJ« ­ƒñK XAJƒB@

àAK. ^R úΫ é ¯QªÖÏ@ éJ®J®mÌ'@ ©K.@ñJÊË øñʪË@ð úÎ ®‚Ë@ á ¯C ªË@ á« ^.24

1. f₁(x) =x, f₂(x) =x², f₃(x) =|x|, f₄(x) = 1

x, x6= 0, f₄(0) =−1.

2. f₁(x) = sinx, f₂(x) = cosx, f₃(x) =x³.

­’ JË@ éJ®J®mÌ'@ ©K.@ñJË@ áÓ ^{fi}i∈I é«AÔg. É¾Ë øñʪË@ ¬C ªË@ à

@ I.K

@ .25

é ®KQªK à@YJÓ úΫ AKñÊ« QÒJ‚Ó ­’ é JÓ Z Qk. ð

@ øQÓ ZA ’ ¯ úΫ AKñÊ« èQÒJ‚Ó QÒJ‚Ó AJÊ ®ƒ èQÒJ‚Ó ­’ JË@ éJ®J®mÌ'@ ©K.@ñJË@ áÓ éJîD JÓ é«AÒm.Ì úÎ ®‚Ë@ ¬C ªË@ à@ð . é ®KQªK à@YJÓ úΫ AJÊ ®ƒ

@ Yë úΫ A®Ê¢Ó QÒJ‚Ó ^{[a, b]} ÈAm.× úΫ ø QJ ‚.JË ù®J®k ©K.AK É¿ à@ I.K@ ^.26 .ÈAj.ÖÏ@

áKQÒJ‚Ó áªK.AK ^g ð ^f àA¿ @ X@ é K

@ I.K

@ ø

@ , ^4.3.1.1.3 é JëQ.ÖÏ@ I.K@ ^.27

©K.@ñJË@ àñºJ ¯ @QÓ ÈAm.× úΫ A®Ê¢Ó

IK.AK ^k ©Ó kf ð ^{f g} ð ^{f +g}

ÈAj.ÖÏ@ úΫ A®Ê¢Ó QÒJ‚Ó f¹ àñºJ ¯ ^{f ≥m >0} àA¿ @ X@ ,½Ë Y»ð .A®Ê¢Ó èQÒJ‚Ó . é‚ ® K éJ ®Ë@ IËYJ.ƒ@ @ X@ QJ ªK àðYK. ù®J.K ‡Ê¢ÖÏ@ P@QÒJƒB@ Ðñê ®Ó à

@ I.K

@ .28

áÓ éJîD JÓ Q « èXðY« éJ ®K. ­KQªJË@ ú ¯ èXP@ñË@ 骣A®JÖÏ@ Q « HBAj.ÖÏ@ áÓ éJîD JÖÏ@

. éJ JÓ Q « ¨ñÒj.Öß. AîE. ‡ ¯QÖÏ@ úæîD JÖÏ@ ¨ñÒj.ÖÏ@ ÈYJ.ƒ@ð 骣A®JÖÏ@ Q « HBAj.ÖÏ@

ú ¯ èXP@ñË@ ^Pn

i=1

|f(b_i)−f(a_i)| ≤ε é JKAJ.JÖÏ@ ‘ñªK áºÖß é K@ I.K@ ^.29

@ Yëð ^¯¯¯Pⁿ

i=1

[f(b_i)−f(a_i)]

¯¯

¯≤ε Aî DÓ ­ª “B@ é JKAJ.JÖÏAK. ‡Ê¢ÖÏ@ P@QÒJƒB@ ­KQªK . ­KQªJË@ ú æªÓ QJ ªK àðX

. f(x) =xsin¹_x ©K.AJÊË ^{0< a} ©Ó ^[a,1] úΫ ‡Ê¢ÖÏ@ P@QÒJƒB@ €PX

@ .30

17 ‡JJ« ­ƒñK XAJƒB@

ð ^{f(x) =√x} àAK. ^]0,1] úΫ á ¯QªÖÏ@ áªK.AJË@ ^g ð ^f áºJË ^.31 QÒJ‚Ó Q « ^f◦g à@ B@ A®Ê¢Ó èQÒJ‚Ó ^g◦f , ^g , ^f à@ áK. . ^{g(x) =x2|sin}x¹|

.A®Ê¢Ó AªK.AK ^f áºJËð ^{[c, d]} ÈAj.ÖÏ@ ùë éKPñ“ð [a, b] úΫ A ¯QªÓ AªK.AK ^g áºJË ^.32

f◦g àA ¯ AJ.KP ^g àA¿ð A®Ê¢Ó áKQÒJ‚Ó ^g ð ^f àA¿ @ X@ é K

@ I.K

@ ^{.[c, d]} úΫ A ¯QªÓ .A®Ê¢Ó QÒJ‚Ó P@QÒJƒB@ éKðA‚Ó ©K.@ñK éJËAJJÓ ^{fn} I KA¿ @ X@ :PA ‚ KB@ é JëQ.Ó I.K

@ .33

è Yë àA ¯ D áÓ ­JJ» Z Qk. úΫ é£A‚.K. éK.PA®JÓ I KA¿ð ^R áÓ ^D @QÓ Z Qk. úΫ

. D úΫ ÐA ¢J KAK. éK.PA®JÓ éJËAJJÖÏ@

©K.@ñK AëQå•A J« ÐA ¢J KAK. èXðYm× éJËAJJÓ ^{fn} I KA¿ @ X@ :@QË@ é JëQ.Ó I.K

@ .34

éJK Qk. éJËAJJÓ Aî DÓ h.@Q jJƒ@ áºÒJ ¯ ^R áÓ ^D @QÓ Z Qk. úΫ P@QÒJƒB@ éKðA‚Ó

. D úΫ ÐA ¢J KAK. éK.PA®JÓ ^{fν} AªK.AK ^f áºJËð ^{[c, d]} ÈAj.ÖÏ@ ùë éKPñ“ð [a, b] úΫ A ¯QªÓ AªK.AK ^g áºJË ^.35 A®Ê¢Ó @QÒJ‚Ó ^f àA¿ ð [a, b] úΫ AK QJ ‚.JË ^g àA¿ @ X@ é K

@ I.K

@ . ^{[c, d]} úΫ A ¯QªÓ . ^{[a, b]} úΫ A®Ê¢Ó QÒJ‚Ó ^f◦g àA ¯ ^{[c, d]} úΫ

(Int´egrale de Riemann)

àAÖßP ÉÓA¾K

[a, b] Ë AÒJ‚®K ù҂ .@XðYm×ð A®Ê ªÓ BAm.× ^{[a, b]} áºJË ^•

ÈAm.× HAÒJ‚®K

. b=x_n> . . . > x₁> x₀ =a IJm'. ^{P ={x0, x1}, . . . , x_n}

©¢®K. , ^P Õ悮JË@ 颃@ñK. é JJªÖÏ@ , ^{[xn−1, xn]} , ^{. . .} , ^[x0, x₁] HBAj.ÖÏ@ ù҂ ð

n , ^{. . .} , ^{1 =i} , ^δxi =x_i−x_i−1 I.Jº Jƒ ^{. n} øðA‚ ©¢®Ë@ XY« ,Õ悮JË@ @ Yë Èñ£ úÍ@ ^δP K. QÓQ K ^{.[xi−1, xi]} 骢®Ë@ Èñ¢. ^δxi AÓAÖß I.k.ñÖÏ@ XYªË@ ù҂ ð

à@ ø

@ , ^P Õ悮JË@ ú ¯ 骢¯ Èñ£@

δP = max{δx_i|i= 1, . . . , n}