D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Test 03 : Les suites - Terminale STG Mercatique
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Test 03 - Terminale STG Mercatique 55 minutes – calculatrice autorisée
Exercice 1 (7 points)
Le prix d’un véhicule en janvier 2006 est de 25000€. On estime qu’il perd chaque année 10%
de sa valeur.
On note
u
n le prix du véhicule en janvier 2006 + n.Les résultats seront arrondis à l’euro.
1. Déterminer
u u et u
1,
2 3.2. a. La suite
( ) un est une suite géométrique ou arithmétique ? En donner la raison.
b. Exprimer
u
n en fonction de n.3. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, à partir de quelle année N le véhicule aura atteint le ¼ de sa valeur ?
4. Déterminer, à 0.1% prés, le taux d’évolution annuel moyen entre l’année 2006 et l’année N.
5. Quelle est la limite de la suite quand n tend vers +∞ ? Justifier votre réponse.
Exercice 2 (6 points)
Les statistiques ont montré que, sur les dix dernières années précédent 1995, la population d’une commune près de Marseille augmentait en moyenne de 120 habitants par an.
On note
P
n la population du village dans l’année 1995 + n.1. Déterminer la nature de la suite (
P
n) en justifiant vos affirmations.2. Exprimer
P
n en fonction de n et de la population de la commune en 1995.3. Sachant qu’en 2006 la population de la commune est de 7300 habitants, déterminer sa population en 1995.
4. A partir de quelle année la population augmente-t-elle de 50% ? Exercice 3 (7 points)
Une entreprise commence cette année la fabrication de systèmes d’alarme pour piscines de particuliers.
La production sera la première semaine u1 = 2000.
Puis l’entreprise prévoit d’augmenter sa production chaque semaine de 10%.
On désigne par un, le nombre de systèmes fabriqués la nième semaine.
1. Calculer u2 , u3 , u4 .
2. a. Quel coefficient multiplicateur permet de passer de u1 à u2 ? de u2 à u3 ? b. Exprimer un+1 en fonction de un .
c. Quelle est la nature de la suite (un) ? Préciser sa raison.
3. Calculer la production la 20ième semaine (arrondir à l’unité).
4. Calculer la production totale au cours des 20 premières semaines.
Le résultat sera donné arrondi à l’unité.
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Test 03 -CORRIGE Terminale STG Mercatique
Exercice 1 (7 points)
Le prix d’un véhicule en janvier 2006 est de 25000€. On estime qu’il perd chaque année 10%
de sa valeur.
On note
u
n le prix du véhicule en janvier 2006 + n.Les résultats seront arrondis à l’euro.
1. D’après l’énoncé, le prix du véhicule en 2006 est :
u
0= 25000
.Pour baisser un nombre de 10%, on le multiplie par
10 1 100
−
.Par conséquent :
u
1= × u
00, 9 = 22500
,u
2= × u
10, 9 = 20250
etu
3= u
2× 0, 9 = 18225
.2. a. On peut résumer la situation dans le tableau précédent :
×
0,9×
0,9×
0,9×
0,9La suite
( ) un est géométrique de raison 0.9, puisque pour passer d’un terme au suivant on
multiplie toujours par 0,9. De plus, son premier terme est u
0 = 25000
.
b. La formule sur les suites géométriques nous permet d’écrire
0
0.9
n25000 0.9
nu
n= × u = ×
3. On cherche l’année à partir de laquelle le véhicule atteint le ¼ de sa valeur (initiale) :
25000 1 6250
→ × = 4
: avec la calculatrice, on cherche le plus petit n tel que25000 0.9 ×
n≤ 6250
.→
A la calculatrice, on remarque que25000 0.9 ×
13≈ 6354 > 6250
et25000 0.9 ×
14≈ 5719 < 6250
.C’est donc à partir de n = 14 que la suite passe en dessous de 6250€ ce qui correspond à l’année 2020.
4. D’après l’énoncé, la baisse annuelle est de 10 % ! Aucune calcul à faire, lisez l’énoncé…
Vérifions tout de même ce résultat.
En 2020, le prix du véhicule est donné par
25000 0.9 ×
14≈ 5719.2
(rappelons que nous ne sommes pas tombés exactement sur n = 14 pour avoir 75% de baisse) soit un taux d’évolution25000 5719.2
0.7712 25000
T = − ≈ . Soit t le taux moyen d’évolution annuel (10% normalement).
On a :
( )
1+t 14 = −1 0.7712⇔ =t 0.2288141 − ≈ −1 0.1 soit environ 10% de baisse annuelle (ouf !).25000 22500 20250 18225 … … …
u
0u
1u
2u
3 …u
nu
n+1 …D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Test 03 : Les suites - Terminale STG Mercatique
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5. La suite est géométrique de raison 0 < q < 1, donc d’après le cours, elle tend vers 0.
Exercice 2 (6 points)
Les statistiques ont montré que, sur les dix dernières années précédent 1995, la population d’une commune près de Marseille augmentait en moyenne de 120 habitants par an.
On note
P
n la population du village dans l’année 1995 + n.1. (
P
n) est une suite arithmétique de raison 120 : en effet, pour déterminer la population à une année donnée, on prend celle de l’année précédente et on ajoute 120.Autrement dit,
P
n+1= P
n+ 120
: son premier terme estP
0.2. Nous avons alors la formule suivante pour les suites arithmétiques :
0 0
120
P
n= P + × = n r P + n
, oùP
0 est la population initiale (de 1995).3.
→
2006 = 1995 + 11 donc la population en 2006 est donnée parP
11.→
L’énoncé nous dit queP
11= 7300
.→
Mais d’après la formule précédente,P
11= P
0+ 120 11 × = P
0+ 1320
.On résout donc l’équation
7300 = P
0+ 1320 ⇔ P
0= 5980
.La population en 1995 est donc de 5980 habitants.
4.
→ 5980 1 50 8970 100
× + =
. On veut donc savoir quand la population dépasse les 8970 habitants.→
On résout l’équation8970 5980
8970 5980 120 8970 24, 9
n
120
P = ⇔ + n = ⇔ = n − ≈
.C’est donc au cours de l’année 2019 que la population a augmenté de 50%, soit à partir de 2020.
Exercice 3 (6 points)
La production sera la première semaine u1 = 2000.
Puis l’entreprise prévoit d’augmenter sa production chaque semaine de 10%.
1. Pour augmenter un nombre de 10% on le multiplie par 1.1 donc : u2 =2000 1.1× =2200,
3 2200 1.1 2420
u = × = et u4 =2420 1.1× =2662.
2. a. Le coefficient multiplicateur qui permet de passer de u1 à u2 ou de u2 à u3 est 1.1.
b. De même pour passer de la production de la nième semaine à la suivante, on multiplie par 1.1 donc : un+1=1.1×un..
c. Par définition, d’après la question précédente, la suite (un) est géométrique de raison 1.1.
3. On a par conséquent un = ×u1 qn−1⇒u20 =2000 1.1× 19≈12232.
4. La production totale au cours des 20 premières semaines est donnée par
20 20
1 2 20 1
1 1 1.1
... 2000 114550
1 0.1
S u u u u q
q
− −
= + + + = = ≈
− − .
