Fiche n°1 : Addition / Soustraction de deux entiers D’où ça vient

Fiche n°1 : Addition / Soustraction de deux entiers

D’où ça vient Monter puis monter = monter de beaucoup, donc 7 + 5 = 12

Descendre puis descendre = descendre de beaucoup, donc -7 – 5 = -12 (on calcule 7 + 5, mais dans les négatifs)

Monter puis descendre ou descendre puis monter, cela dépend :

 Si on monte plus qu’on ne descend, on finit en haut

 Si on descend plus qu’on ne monte, on finit en bas Et de combien ? De la différence (-) entre les deux valeurs

Ex : -7 + 13  je monte plus que je ne descends (car 13 est plus grand que 7)  résultat positif. Puis 13 – 7 = 6. Réponse : 6 (ou +6)

On retient

Lien vidéo

https://fr.khanacademy.org/math/arithmetic/arith-review-negative-

numbers/arith-review-sub-neg-intro/v/adding-and-subtracting-negative-number- examples (jusque 5’18)

ou https://www.youtube.com/watch?v=ZN-XP7AchLY +

https://www.youtube.com/watch?v=OsTftoZp8RQ (petits clip sympa)

Fiche n°2 : Multiplication / Division de deux entiers

D’où ça vient (-4) x 3, c’est comme -4 + (-4) + (-4), soit -12 3 x (-4), c’est pareil.

a) On détermine le signe du produit

Si les facteurs ont le même signe, alors le produit est positif.

Si les facteurs ont des signes différents, alors le produit est négatif.

b) On calcule le produit (ou le quotient) des valeurs absolues

Lien vidéo https://fr.khanacademy.org/math/arithmetic/arith-review-negative-numbers/arith-review- mult-divide-negatives/v/multiplying-positive-and-negative-numbers (pour multiplier) https://fr.khanacademy.org/math/arithmetic/arith-review-negative-numbers/arith- review-mult-divide-negatives/v/dividing-positive-and-negative-numbers (pour diviser, mais c’est vraiment similaire à la multiplication)

Fiche n°3 : Additionner / soustraire plusieurs nombres

D’où ça vient

On essaye de structurer un calcul comme -7 + 8 – 2 – 4 + 6 Comment faire Considérer chaque nombre avec le signe qui le suit.

Dans notre calcul -7 + 8 – 2 – 4 + 6, nous avons donc 5 blocs : -7 ; +8 ; -2 ; -4 et +6 (2 blocs positifs et 3 blocs négatifs)

Première étape, nous allons mettre ensemble les blocs positifs d’un côté et les blocs négatifs de l’autre :

8 + 6 -7 – 2 – 6 = 14 -15 (rappel : on additionne les valeurs car ces nombres sont de même signe).

Ensuite, on termine le calcul : 14 – 15 = -1

Sur ta feuille, n’hésite pas à utiliser des couleurs pour souligner les blocs positifs et les blocs négatifs.

Lien vidéo

https://www.youtube.com/watch?v=nNLqBCG4Hzg (exemple B, de 1’40 à 2’18)

Fiche n°4 : Multiplier des entiers

D’où ça vient La multiplication est associative, ce qui signifie que si on groupe certains facteurs, cela n’influe pas sur le résultat.

Par exemple :

6 . (-2) . 3 . (-5) = -12 . 3 . (-5) = -36 . (-5) = +180

Seuls les facteurs négatifs influent sur le signe de la réponse. Il suffit donc de compte combien il y en a pour déterminer le signe de la réponse.

Comment faire Pour multiplier des nombres entiers : a) On détermine le signe du produit

S’il y a un nombre pair de facteurs négatifs, alors le produit est positif.

S’il y a un nombre impair de facteurs négatifs, alors le produit est négatif.

b) On calcule le produit des valeurs absolues Lien vidéo

Pas de lien

Fiche n°5 : Puissances d’entiers

D’où ça vient Une puissance, c'est une multiplication déguisée : 5³ = 5 x 5 x 5 = 125

On se rappelle que dans la multiplication d'entiers, s'il y a un nombre pair de facteurs négatifs, le résultat est positif (voir fiche 7).

D'où : (-3)² = (-3) x (-3) = + 9

Comment faire Quand on effectue une puissance dont la base est négative : Si l'exposant est pair, le résultat est positif

Si l'exposant est impair, le résultat est négatif Exemples :

(-6)² = + 36 (car la base est négative et que l'exposant 2 est pair) (-2)³ = - 8 (car la base est négative et que l'exposant 3 est impair) 3³ = 27 (car la base est positive, donc le résultat est forcément positif) Lien vidéo https://www.youtube.com/watch?v=Y40ckmsKslg (jusque 3'00, même si la

fin est intéressante à voir aussi).

Fiche n°6 : Signes successifs

D’où ça vient Que se passe-t-il quand on additionne un négatif ? Quand on soustrait un positif ? Quand on soustrait un négatif ?

Comment faire Si dans une addition/soustraction de nombres entiers, plusieurs signes

3 + (-5) = 3 – 5 3 – (+5) = 3 – 5 3 – (-5) = 3 + 5

Autrement dit, si deux signes identiques se suivent, cela se transforme en « plus », sinon, c’est un « moins ».

Lien vidéo https://www.youtube.com/watch?v=TNG2uDT8oy0

Fiche n°7 : Priorités des opérations

D’où ça vient Dans les exercices comprenant plusieurs opérations, une question se pose : par laquelle dois-je commencer ? Chacun ne peut choisir de résoudre un énoncé comme il le souhaite sans quoi pour un même calcul, plusieurs solutions seraient possibles. Les mathématiciens ont donc décidé d’un ordre de priorité entre les opérations.

Comment faire

1. Effectuer les opérations à l’intérieure des parenthèses.*

2. Calculer les exposants.

3. Effectuer les multiplications et les divisions (de gauche à droite).

4. Effectuer les additions et les soustractions.

*A l’intérieur des parenthèses, il faut également respecter l’ordre des opérations.

On utilise parfois le mot « PEMA » (ou « PEMDAS ») pour s’aider à retenir cet ordre :

P arenthèses E xposants

M ultiplications et divisions A dditions et soustractions Lien vidéo

https://www.youtube.com/watch?time_continue=90&v=sRVNXIdU470

Fiche n°8 : Valeurs numériques

D’où ça vient Il est parfois nécessaire de calculer la valeur d’une expression littérale pour un nombre donné.

Par exemple, calculer l’aire de ce rectangle si tu sais que a = 8cm et que b = 3cm

Pour cela, on va remplacer le a par 8 et le b par 3.

L’aire sera donc 3 . 8 = 24

Comment faire Pour calculer une valeur numérique, il faut remplacer chaque lettre par sa valeur.

REMARQUES

1) Si la valeur d’une lettre est un nombre négatif, mets le nombre entre parenthèses quand tu la remplaces.

2) N’oublie pas qu’entre un nombre et une lettre, l’opération est une multiplication

Exemple : si a = -2 et b = 3

3a²+2b−a=3.(−2)²+2.3−(−2)=3.4+6+2=20 Lien vidéo

https://www.youtube.com/watch?v=-3vDQ9OP-sc

On commence par les bases. Pour chaque exercice, se référer à la fiche correspondante.

1) Additions / soustractions d’entiers (fiche n°1) Calcule :

a) -7 – 8 = b) 17 – 21 = c) -19 + 8 = d) 23 – 17 =

e) -32 + 17 = f) 19 – 34 = g) -11 – 19 = h) 186 – 223 =

2) Multiplications / divisions d’entiers (fiche n°2) Calcule :

a) 5 x (-4) = b) (-3) x (-4) = c) 18 : (-2) = d) -42 : 7 =

e) 8 x (-7) = f) -125 x (-8) = g) 8 x (-12) = h) -7 x 5 =

Semaine 2

On revoit d’abord les éléments essentiels de la semaine passée. Essaye de répondre sans consulter les fiches dans un premier temps.

1) Calcule : a) -7 + 11 = b) 14 – 20 = c) -15 – 17 =

d) -42 + 7 = e) 21 – 35 = f) -187 – 58 =

2) Calcule : a) 10 . (-3) = b) (-7) . (-4) = c) 16 : (-2) =

d) 9 . (-4) = e) -56 : (-7) = f) -8 x (-11) =

3) Additions / soustractions de plus de deux entiers (fiche n°3) Calcule :

a) -8 + 7 – 11 + 4 = b) 21 – 9 + 19 – 7 = c) 4 – 2 – 5 + 3 + 7 – 8 =

d) -11 + 13 – 25 + 14 = e) 16 – 4 – 5 + 3 = f) 18 – 9 – 11 – 5 + 1 =

4) Produits de plus de deux entiers (fiche n°4) Calcule :

a) 10 . (-3) . (-2)=

b) (-7) . (-4) . (-2) = c) 16 : (-2) : (-4) =

d) 9 . (-4) . (-1)=

e) -56 : (-7) : (-2) = f) -1 . (-2) . 3 . (-4) = g) Quel sera le signe d’un produit de 12 facteurs égaux à (-1) ? Explique.

h) Quel sera le signe d’un produit de 15 facteurs égaux à 2 et de 13 facteurs égaux à (- 2) ? Explique.

On revoit d’abord les éléments essentiels des deux premières semaines. Essaye de répondre sans consulter les fiches dans un premier temps.

Calcule (les opérations sont mélangées) : a) -15 + 17 =

b) (-21) : (-3) = c) (-4) x (-5) = d) 7 x (-1) x 2 x (-3) =

e) 9 – 11 + 7 – 13 = f) -8 – 9 =

g) (-5) x (-2) x 3 =

h) -125 + 250 + 100 – 225 =

Et maintenant, un peu de nouveauté …

Puissances de nombres entiers (fiche n°5) Calcule :

a) (-3)² = b) 4³ = c) (-10)⁴ =

d) (-5)³ = e) (-2)⁵ = f) (-1)¹⁷ =

Au terme de ces trois premières semaines, complète le tableau suivant : Les opérations / techniques

que je maîtrise bien

Les opérations / techniques que je maîtrise mal ou que

je ne comprends pas

En calcul numérique (avec les négatifs)

Si tu éprouves de réelles difficultés pour quelque chose de précis, tu peux nous envoyer tes questions sur l’adresse mail de ton professeur : renaud.coche@saintdominique.be,

kathleen.jouniaux@saintdominique.be , morgane.jungers@saintdominique.be,

laure.collard@saintdominique.be. Tu peux également y laisser un numéro de téléphone si tu souhaites qu’un professeur de mathématique de l’école te contacte.

Semaine 4

Il est temps de mélanger toutes les opérations, en calcul numérique (avec des nombres) pour commencer.

Prend le temps de relire les fiches 4-5-6-7-8 pour les opérations qui te posent problème (voir dans le tableau de fin de la semaine 3).

1) Calcule (les opérations sont mélangées) : a) (-5)² =

b) 18 – 29 = c) 36 : (-4) = d) -28 + 14 = e) 4 x (-9) = f) 29 – 48 =

g) (-1) x (-2) x (-1) x (-2) x (-1) x 2 = h) (-4) x (-2) =

i) 9 – 18 + 27 – 4 = j) -114 – 257 = k) 4³ =

l) 4 x (-3) – 9 =

Et les nouveautés de la semaine …

2) Utilise la règle des signes successifs pour transformer le calcul puis calcule (regarde l’exemple si nécessaire) (fiche n°6)

7 – (-4) + (-9) – 8 = 7 + 4 – 9 - 8

= 11 – 17 (je regroupe les positifs d’une part et les négatifs de l’autre) = -6

a) 18 + (-7) =

b) 14 – (+13) + 9 + (-7) = c) – (-14) + 11 =

d) -30 + (+10) – (+ 40) – (-60) = e) -23 + (+15) – (+18) – 7 + (-13) = f) -7 + (-3) – (-8) + 4 – (+6) + 4 = g) 57 + (-21) + 64 + (-57) = h) 26 – 24 – (-13) + 11 – (+10) = i) -12 + (-88) + 15 – (-85) = j) – (-7) + 13 – (+24) – (-11) – 6 =

Et maintenant, que se passe-t-il lorsque les différentes opérations sont mélangées dans un même calcul ?

1) Calcule en respectant la priorité des opérations. Laisse bien la trace de tes différentes étapes (fiche n°7).

a) 5 + (-2) . 7=

b) 4 + (-2) . 5 + 7=

c) 2 . (-6) + (-5) . (-3)=

d) -2 . 5 + (-4) . 7=

e) 5 – 3 . 2² = f) -4 + 5 . (-3)² = g) 6 . (-7 + 4) : (-3) = h) 7 + (3 – 6)² =

Semaine 6

1) Calcule : (attention à la priorité des opérations – tout est mélangé) a) -7 – 9 =

b) (-4)² = c) 12 – (-8) = d) (-5) . (-8) = e) 4 – 3 . 2 =

f) 15 – 13 – 11 + 9 – 7 =

g) 7 . (-10) – (-8) . (-5) = h) 8 – 3² =

i) (8 – 3)² = j) 42 : (-6) = k) -18 – (-9) =

l) 7 – (-8) + (-11) – (+5) = m) -14 + (-22) – (-18) + 17 + 4 =

n) (-8) . (-1) . (-3)² = o) 8 – (2 – 3 . 4) =

2) Calcule les valeurs numériques suivantes (fiche n°8 ; attention à la priorité des opérations) :

Si a = 4 b = -3 c = -2 d = 5 calcule : Exemple : ab + d = 4 . (-3) + 5 = -12 + 5 = -7

a) a – b = b) 2b = c) ac =

d) b – a = e) c² =

f) a + b – c – d = g) a² - 2ab =

h) -d - (a + bc) = i) -b + b³ + a =

3) Réponds à la question ci-dessous (extraite de l’examen de juin 2019)

Pour un jeu de société, on fabrique trois sortes de pièces dont les bords sont des bâtonnets bleus ou jaunes.

La figure 1 est formée de 5 bleus et de 8 jaunes La figure 2 est formée de 8 bleus et de 4 jaunes La figure 3 est formée de 7 bleus et de 6 jaunes

CLASSE ces trois figures par ordre croissant de périmètre en laissant apparaitre tes calculs si tu sais qu’un bâtonnet bleu mesure 8cm et qu’un bâtonnet jaune mesure 5cm.

1) Calcule : a) 5 - 3 . 2²=

b) -4 + 5 . (-3)²=

c) 2 . (-5)² - 4 . (-3)³=

d) 3 – 3 . (-2)³ + 5=

e) 3 . (-2)³ - (-5)² . 2=

f) 4 . (-5 + 3)³=

g) -24 + 18 – (-8) + (-21) = h) (-1) . 2 . (-3) . 4 = i) (-8) : (-4) : (-1) =

j) 34 – (-23) + (-19) – (+31) = k) (-2)⁵ =

2) Calcule les valeurs numériques suivantes pour a = 3, b = -5 et c = 2 a) a + c =

b) a – b = c) 3b² - bc = d) c³ + 2 . (c - b) =

e) 2b = f) 2 a – a² =

Semaine 8 (c’est la dernière !)

Rappel : pas de correctif cette fois-ci. Fais de ton mieux en étant concentré et en essayant de mettre en pratique tout ce que tu as appris durant les 7 semaines précédentes.

1. CALCULE a) -7 – 8 = b) 13 × (-3) = c) 18 – (-13) = d) 8 × (-2) × (-1) = e) (-5)² =

f) 11 – 15 + (-7) – (+5) = g) -2019 – 528 + 2019 = h) -42 : (-6) =

i) 13 – 2 × 8 = j) 2⁵ =

2. COMPLÈTE la pyramide suivante sachant que chaque brique est égale à la somme des deux briques sur lesquelles elle repose :

3. Calcule les valeurs numériques suivantes pour a = -3, b = 3 et c = -1

a) a+b−c=¿

b) 3a c) c⁵

d) 2b−3a²=¿

e) (a+b)³−ac

ENTOURE ta réponse finale.

a) - 6 + 3² . 0 + 9 . ( - 4 ) =

b) 20 – 4 . 3 + 1⁷ =

c) 10 – ( 3² – 6 . 2 ) =

d) 96 – 4 . ( 4 + 8 . 2 ) – 16 =

Et pour finir, une petite évaluation de ce travail de vacances.

1) Pour chaque phrase, indique une croix dans la case qui correspond le mieux (cela nous permettra aussi d’améliorer ce travail pour les années prochaines):

Non, (presque) jamais

Non, sauf quelques fois

Oui, le plus souvent

Oui, (presque) tout le temps J’ai fait mon travail

régulièrement, en respectant le découpage en semaines J’ai fait mon travail de manière sérieuse

Les fiches de théories m’ont bien aidées

J’ai visionné les vidéos J’ai mieux compris grâce aux vidéos

Je me suis corrigé en utilisant le correctif

J’ai repéré mes erreurs les plus fréquentes afin d’essayer d’éviter de les refaire

J’ai compris des choses que je n’avais pas comprises durant l’année

2) As-tu utilisé l’adresse mail disponible ? Cela t’a-t-il aidé ? Rassuré ?

3) As-tu encore quelque chose à dire à propos de ce travail de vacances ?

Nous espérons vraiment que ce travail t’aura été utile et te permettra de bien profiter des apprentissages l’année prochaine !

Bonne route en deuxième !

R. Coché, L. Collard, K. Jouniaux et M. Jungers.

Correctif

Semaine 1

1)

a) -15 b) -4 c) -11 d) 4

e) -15 f) -15 g) -30 h) -37

2)

a) -20 b) 12 c) -9 d) -6

e) -56 f) 1000 g) -96 h) -35

Semaine 2

1) a) 4 b) -6 c) -32

d) -35 e) -14 f) -245 2)

a) -30 b) 28 c) -8

d) -36 e) 8 f) 88

3)

a) -8 b) 24 c) -1

d) -9 e) 10 f) -6 4)

a) 60 b) -56 c) 2 d) 36 e)

f) -24

g) Positif car il y a un nombre pair (12) de facteurs négatifs

h) Négatif car il y a un nombre impair (13) de facteurs

négatifs.

Semaine 3

1) a) 2 b) 7 c) -20 d) 42

e) -8 f) -17 g) 30 h) 0 2)

a) 9 b) 64 c) 10 000

d) -125 e) -32 f) -1

Semaine 4

1)

f) 25 g) -11 h) -9 i) -14 j) -36 k) -19

l) -8 h) 8 i) 14 j) -371 k) 64 l) -21

2)

a) 18−7=11 b) 14−13+9−7=3 c) 14+11=25

d) −30+10−40+60=0 e) −23+15−18−7−13=−46

f) −7−3+8+4−6+4=0 g) 57−21+64−57=43 h) 26−24+13+11−10=16 i) −12−88+15+85=0 j) 7+13−24+11−6=1

1)

a) 5−14=−9 b) 4−10+7=1 c) −12+15=3 d) −10−28=−38

e) 5−12=−7 f) −4+45=41 g) 6.(−3):(−3)=6 7+9=16

Semaine 6

1)

a) −16

b) 16

c) 20

d) 40

e) −2

f) −7

g) −70−40=−110 h) 8−9=−1

i) 5²=25

j) −7

k) −9

l) 7+8−11−5=−1 m) −14−22+18+17+4=3

n) 8.9=72

o)

8−(2−12)=8−(−10)=8+10=18

2)

a) 4−(−3)=4+3=7 b) 2.(−3)=−6 c) 4.(−2)=−8

d) −3−4=−7

e) (−2)²=4

f) 4+(−3)−(−2)−5=4−3+2−5=−2 g) 4²−2.4.(−3)=16+24=40

h) −5−(4+(−3).(−2))=−5−(4+6)=−5−10=−15 i) –(−3)+(−3)³+4=3−27+4=−20

3)

Figure 1 : 5.8+8.5=40+40=80cm Figure 2 : 8.8+4.5=64+20=84cm

Figure 3 : 7.8+6.5=56+30=86cm Classement : Figure 1 < figure 2 < figure 3

Semaine 7

1)

a) 5−3.4=5−12=−7 b) −4+5.9=−4+45=41

c) 2.25−4.(−27)=50+108=158 d) 3−3.(−8)+5=3+24+5=32 e) 3.(−8)−25.2=−24−50=−74

f) 4.(−2)³=4.(−8)=−32 g) −24+18+8−21=−19

h) 24

i) −2

j) 34+23−19−31=7

k) −32

2)

a) 3+2=5

b) 3−(−5)=3+5=8 c)

3.(−5)²−(−5).2=3.25−(−10)=75+10=85

d) 2³+2.(2−(−5))=8+2.7=8+14=22 e) 2.(−5)=−10

f) 2.3−3²=6−9=−3