Juin 2013

(1)

PanaMaths

[ 1-4 ]

Juin 2013

Soit Γ la courbe paramétrée définie par :

( ) ( ) ( )

2 3 2

2 3

M 3 6

x t t t

t y t t t

= +

1. Montrer que Γ admet un point de rebroussement A (on en précisera l’espèce).

2. Calculer la longueur de l’arc

^q

OA .

Analyse

Exercice direct d’application du cours. Un point de rebroussement étant un point stationnaire, on commence par déterminer pour quelle(s) valeur(s) du paramètres les dérivées des fonctions x et y s’annulent simultanément. Ensuite, il convient classiquement de déterminer le premier vecteur dérivé non nul et le premier vecteur dérivé qui ne lui est pas lié. Pour la deuxième question, à partir des coordonnées du vecteur dOM

dt JJJJG

, on obtient facilement sa norme dOM dt JJJJG

et il convient alors d’effectuer un calcul intégral.

Résolution

Question 1.

On a immédiatement :

( ) ( )

' 62 6 6 1 OM

' 6 6 6 1

x t t t t t

d

y t t t

dt

= + = +

= + = + JJJJG

.

On a ainsi :

( )

6 1 0

OM 0 1 0 1

6 1 0

d t t

t t

dt t

⎧⎪ + =

= ⇔⎨ ⇔ + = ⇔ = −

⎪⎩ + = JJJJG

G .

On a : ^x

( )

^{− = × −}¹ ²

( )

¹ ³^{+ × −}³

( )

¹² ^{= − + =}^{2 3 1}^et^y

( )

^{− = × −}¹ ³

( )

¹ ²+ × − = − = −⁶

( )

¹ ^{3 6} ³. D’où :

A 1

−3

(2)

PanaMaths

[ 2-4 ]

Juin 2013

On a alors :

( ) ( )

2 2

'' 12 6 OM

'' 6

x t t

d

y t dt

= +

= JJJJG

et donc ²^OM₂

( )

¹ ⁶

6 d

dt

− − JJJJG

qui est, pour t= −1, le premier vecteur dérivé non nul. Comme l’ordre de dérivation est pair, on a bien affaire à un point de rebroussement.

Il vient alors

( )

3 3

OM 12

0

x t

d

dt y t

=

= JJJJG

et donc ³^OM₃

( )

¹ ¹²

6 d

dt −

JJJJG

.

Les vecteurs ^d²^OM₂

( )

¹

dt −

JJJJG

et ^d³^OM₃

( )

¹

dt −

JJJJG

ne sont pas colinéaires (^x^{( )}³

( )

^{− = − ×}¹ ² ^x^''

( )

⁻¹ ^mais

( )³

( )

¹ ² ^''

( )

¹

y − = − ×y − ). On a donc, en reprenant les notations classiques : p=2 et q=3. Comme 3 est impair, nous avons affaire à un point de rebroussement de 1^ère espèce.

La courbe paramétrée Γ admet un point de rebroussement de 1^ère espèce.

Question 2.

Comme :

( ) ( )

' 6 1

OM

' 6 1

x t t t

d

y t t

dt

= +

= + JJJJG

, il vient :

( ( ) ) ( ^{( )} ) ( ⁽ ⁾ ) ( ⁽ ⁾ ) ⁽ ⁾ ( )

2

2 2 2 2 2 2

OM ' ' 6 1 6 1 36 1 1

d x t y t t t t t t

dt = + = + + + = + +

JJJJG

D’où : OM ²

6 1 1

d t t

dt = + +

JJJJG

.

L’origine du repère correspond à la valeur 0 du paramètre t. En notant ^l

( )

^OAp la longueur de l’arc OA , on a donc : p

( )

p 0¹ 0¹ ² ⁰1

⁽ ⁾

²

OA dOM 6 1 1 6 1 1

l dt t t dt t t dt

dt

− −

=

∫

=

∫

+ + =

∫

− + +

JJJJG

On a :

∫

₋⁰₁

(

^t⁺¹

)

^t²⁺¹^dt⁼

∫

₋⁰₁^{t t}²⁺¹^dt⁺

∫

₋⁰₁ ^t²⁺¹^dt^.

(3)

PanaMaths

[ 3-4 ]

Juin 2013

Æ Calcul de ⁰ ²

1t t 1dt

− +

∫

Comme la dérivée de la fonction ^t⁶

(

^t²⁺¹

)

³² est la fonction ^t⁶³^{t t}

(

²⁺¹

)

¹² ⁼³^{t t}²⁺¹^{, on a}

immédiatement :

( )

³ ⁰ ³

( )

0 2 0 2 2 2 2

1 1

1

1 1 1 1

1 3 1 1 1 2 1 2 2

3 3 3 3

t t dt t t dt t

− −

−

⎛ ⎞

⎡ ⎤

+ = + = ⎢ + ⎥ = ⎜ − ⎟= −

⎣ ⎦ ⎝ ⎠

∫ ∫

Æ Calcul de ⁰ ²

1 t 1dt

− +

∫

On effectue le changement de variable classique (bijectif de \ dans \) : ^t⁼^sinh

( )

^u ^.

On a alors : ^dt⁼^cosh

( )

^{u du}^{et :}

( ( ) ) ^{( )}

( ) _{( )}

( ) ( )

( ( ) )

( ) _{( )}

( ( ) )

( )

( ) ( )

_{( )}

( ) ( ( ) )

( )

0 2 0 2 0

1 arg sinh 1 arg sinh 1

0 2 0

arg sinh 1 arg sinh 1

0

0 arg sinh 1 arg sinh 1

2 0

arg sinh 1

1 sinh 1 cosh cosh cosh

cosh 1 cosh 2 1

2

1 1 1

sinh 2 sinh cosh

2 2 2

1 sinh 1 sinh 2

0

t dt u u du u u du

u du u du

u u u u u

u u u

− − −

− −

−

+ = + × = ×

= = +

⎡ ⎤

= ⎢⎣ + ⎥⎦ = ⎡⎣ + ⎤⎦

⎡ + + ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( ( ) ) ( ( ^{( )} ) ) ^{( )}

( ) ( )

( )

( ( ) )

2

1 sinh arg sinh 1 1 sinh arg sinh 1 arg sinh 1 2

1 1 1 1 arg sinh 1

2

1 2 arg sinh 1 2

⎛ ⎞

− ⎜⎝ − + − + − ⎟⎠

= − − × + − + −

= − − + −

Comme : ^{arg sinh}

( )

^x ⁼^ln

(

^x⁺ ^x²⁺¹

)

^{, on a :}

( ) ( ( )

²

) ⁽ ⁾

arg sinh − =1 ln − +1 −1 + =1 ln 2 1−

D’où : ⁰1 ²

( ( ) ) ( ( ) )

1 1

1 2 ln 2 1 2 ln 2 1

2 2

t dt

− + = − − + − = − −

∫

^.

On a donc :

( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )

0 2

1

1 1 1

1 1 1 2 2 2 ln 2 1 2 2 3ln 2 1

3 2 6

t t dt

− + + = − + − − = − − −

∫

(4)

PanaMaths

[ 4-4 ]

Juin 2013

Puis, finalement :

( )

OAp 6 ⁰1

⁽

1

⁾

² 1 2 2 3ln

⁽

2 1

⁾

l t t dt

=

∫

− + + = − − −

Pour la courbe paramétrée définie par :

( ) ( ) ( )

3 2

2

2 3

M 3 6

x t t t

t y t t t

= +

la longueur ^l

( )

^OAp ^{de l’arc}^OA^p, entre l’origine du repère et le point de rebroussement de la courbe, vaut :

( )

^OAp ² ² ^3ln

⁽

^{2 1}

⁾

l = − − −

Complément

A titre de complément, nous fournissons ci-dessous une représentation de la courbe Γ (en bleu) et de sa tangente (en rouge) au point de rebroussement ^{A 1 ; 3}

(

⁻

)

^.

Juin 2013

PanaMaths

Juin 2013

Soit Γ la courbe paramétrée définie par :

( ) ( ) ( )

2 3

M 3 6

x t t t

t y t t t

= +

= +

1. Montrer que Γ admet un point de rebroussement A (on en précisera l’espèce).

2. Calculer la longueur de l’arc

OA .

Analyse

Résolution

Question 1.

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

PanaMaths

Juin 2013

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Question 2.

( ) ( )

( ) ( )

( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( )

( )

( )

( )

∫

∫

∫

∫

(

)

∫

∫

PanaMaths

Juin 2013

∫

(

)

(

)

( )

( )

∫ ∫

∫

( )

( )

( ( ) ) ( )

( ) ( )

( ( ) )

( ( ) )

( )

( ) ( )

( ) ( ( ) )

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( ( ) ) ( ( ( ) ) ) ( )

( ) ( )

( )

( ( ) ) ( ^{( )} ) ( ⁽ ⁾ ) ( ⁽ ⁾ ) ⁽ ⁾ ( )

⁽ ⁾

( ( ) ) ^{( )}

( ( ) ) ( ( ^{( )} ) ) ^{( )}

) ⁽ ⁾

⁽

⁾

⁽

⁾

⁽

⁾