Sixième séanceSixième séance

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financières financières

Sixième séance

Sixième séance

Le taux moyen

• Soient N capitaux placés à intérêts simples à des taux variables iN et pendant des durées différentes n(=jN/360):

• Le taux moyen de ces N placements est un taux unique qui, appliqué à l’ensemble de ces N placements et pour leurs durées respectives de placement donne le même intérêt global.

• On calcule l’intérêt global qui est la somme des intérêt (I=C*i*n) I_G =I₁+ I₂ +….+ I_N = C₁*i₁*n₁ + C₂*i₂*n₂ +…+ C_N*i_N*n_N

• Or:

I_G = C₁*i_m*n₁ + C₂*i_m*n₂ +…+ C_N*i_m*n_N (avec i_m le taux moyen)

• Donc:

C1*i1*n1 + C2*i2*n2 +…+ CN*iN*nN = C1*im*n1 + C2*im*n2 +…+ CN*im*nN

• Donc:

C1*i1*n1 + C2*i2*n2 +…+ CN*iN*nN = im*(C1*n1+ C2*n2 +…+ CN*nN)

• Par conséquent:

im= (C1*i1*n1 + C2*i2*n2 +…+ CN*iN*nN)/(C1*n1+ C2*n2 +…+ CN*nN)

Exemple

• Trois capitaux sont placés à intérêts simples le 15 mars de l’année N mais à des conditions différentes:

Le premier : 100 à 8% jusqu’au 30 juin de l’année N Le second : 112 à 7% jusqu’au 20 mai de l’année N

Le troisième : 200 à 5% jusqu’au 10 septembre de l’année N On calcule le taux moyen de ces trois placements.

im= (C1*i1*n1 + C2*i2*n2 + C3*i3*n3)/(C1*n1+ C2*n2 + C3*n3) On calcule d’abord les durées jk de chaque placement:

J1 est le nombre de jour qui sépare le 15 mars du 30 juin

Donc J1=16+30+31+30=107jours (avril, mai et juin + 16 derniers jours de mars)

J2 est le nombre de jour qui sépare le 15 mars du 20 mai

Donc J2=16+30+20=66jours (16 derniers jours de mars+Avril+20 premiers jours de Mai)

J3 est le nombre de jour qui sépare le 15 mars du 10 septembre

Donc J3=16+30+31+30+31+31+10=179jours (avril, mai, juin, juillet et août + 16 en mars et 10 en septembre)

On remplace dans la formule et on obtient :

im = (100*8%*107/360 + 112*7%*66/360 + 200*5%*179/360)/

(100*107/360 + 112*66/360 + 200*179/360) im = 5,87%

Chapitre 3 Chapitre 3

Annuités

Annuités

Le remboursement d’une dette peut se faire de différentes façons.

• Une façon très courante est d’échelonner le remboursement sur plusieurs années au moyen de versements égaux jusqu’à l’extinction de la dette. À chaque fin de période, l’emprunteur remet un montant invariable: une partie sert à payer les intérêts, le reste sert à réduire (amortir) la dette.

• On peut aussi, dans le but de constituer un capital, verser à période fixe un montant constant. C’est le cas, par exemple, de ceux qui veulent se constituer un fonds de retraite.

Dans l’un et l’autre cas, les versements s’appellent des annuités.

Définition

 On appelle annuité une suite de règlements « versements » effectués à intervalles de temps égaux

 La période est l’intervalle de temps entre deux règlements consécutifs

 Si les versements sont égaux, on parle d’annuité constante

 Si la période est différente de l’année, on parle de semestrialités, mensualités…

 Lorsqu’on parle de semestrialités, mensualités, etc., il faut utiliser les taux d’intérêts équivalents appropriés.

 On considère une suite de n versements

A

effectués aux époques k. Soit i le taux d’intérêt correspondant à la période. Sur un axe de temps, on peut représenter la succession des versements de la manière suivante :

A_n i

0 1 2 3 n

A₃ A₂

A₁ ^…….

…….

A_n i

0 1 2 3 n

A₃ A₂

A₁ ^…….

…….

V

V



V



V

a) Annuités de placement

Valeur acquise « Constitution d’un capital »:

Elle se calcule à la date du dernier versement : c’est la somme capitalisée des n versements.

La valeur acquise

V

k

) n

i 1 A

A

(

1

V

_

^





Valeur actuelle «Remboursement d’une dette »:

Elle se calcule à la date 0: c’est la somme actualisée des n versements

b) Annuités de remboursement

) k

i 1 ( a

A

V _

^





 La valeur actuelle

V

Remarque Remarque

On vérifie que :

et

)

i 1 ( V

V

V

V

( 1

i )

0 n

V

V

1 2 …….

On calcule la valeur actuelle dans le cas d’un

emprunt tandis que dans le cas d’un placement, on calcule la valeur acquise.

 Quelque soit k,

A

a

c) Cas particulier c) Cas particulier

« annuités constantes »



 

^



k

) n

i 1 A

A

(

1

V

^{( 1 i ) n k}

k

a



^



) )

i 1 ( )

i 1 ( ) i 1

(

1

a

(



i 1 )

i 1

(

a





La valeur acquise est donnée par la formule :

i i

a ^{( 1  )  1}



n

V A

On peut calculer la valeur actuelle directement à partir de la valeur acquise calculée

précédemment :

n n n

A

( 1 i )

i 1 )

i 1 ) (

i 1

a V ( a

V

^

i i ) 1

(

1

a

 



La valeur actuelle est donnée par la formule :

i i

a ⁿ

V a ^

^{1  ( 1  ) -}

La septième séance sera consacrée à des exercices

d’application