L'existence de certaines spécialisations de courbes projective

A

UGUSTO

N

OBILE

L’existence de certaines spécialisations de courbes projective

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

2, n

o

_{1 (1990),}

p. 31-39

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1990__2_1_31_0>

© Université Bordeaux 1, 1990, tous droits réservés.

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L’existence

de

certaines

_{spécialisations}

de courbes

_projectives.

par AUGUSTO NOBILE

Introduction. Dans une famille

_(plate)

de courbes de Pn il _y a une

inégalité qui

minore le _genre

_{(géométrique)}

de la fibre

_générale

en fonction

des genres

(géométriques)

et des

_{multiplicités}

des

_composantes

irréductibles d’une fibre en un

_point

fermé

_{(formule (2)}

du

_§1).

On s’intéresse ici au

problème

inverse. On se donne un fermé connexe

de

_{équidimensionnel}

de dimension

_1,

de

_composantes

irréductibles

_Ci

dont le _genre

_{(géométrique)}

est _{gai pour} 1 i _s, on se donne en

plus

des entiers mi &#x3E; 0 pour 1 i s, et un

_{entier g}

_qui

satisfait

l’inégalité

évoquée ci-dessus ;

existe-t-il une famille de courbes de IPn dont la fibre

générale

soit de _{genre g}

_(et

aussi bonne _que

_possible)

et dont la fibre en un S

point

fermé a _pour

_cycle

associé

_{l’élément 2:}

_{miCi ?}

i=1

Au

_1,

on énonce de

façon précise

ce

_problème,

on commente les résulta,ts

déjà

connus et on énonce deux théorèmes

qui

répondent

à la

question

da,ns

des cas

_particuliers

_(théorème

1 et

_2).

Au

_§2,

on

interprète

les résultats en termes de lissification d’une courbe

et au

§3

on donne une

esquisse

des démonstrations des théorèmes 1 et 2.

On trouvera des démonstrations détaillées des résultats

_principaux

de cet

exposé

(ainsi

que des

généralisations)

dans

[N3].

lfles remerciements les

_plus

vifs à J. Fresnel et M.

_Matignon

_qui

ont

corrigé

le texte en

français

et à 11nle Sedeau _pour son travail de

frappe.

0 - Notations et

_{terminologie.}

Dans tout cet

_{exposé k}

sera un _corps

alg’ébriquelnel1t

clos de

caracté-ristique

nulle. Par schéma sur k on entendra schéma de

_type

fini sur

_k,

une va.riété

a.lgébrique (sur ,)

est un schéma

_(de

_type

fini)

sur k

intègre.

Une courbe

_algébrique

sur k est un schéma sur

k, équidimensionnel

de

dimension 1. Une courbe C de

_{l’espace projectif}

_fDk

est un sous-schéma

fermé de

_qui

est

_{équidimensionnel}

de dimension

_1,

on écrira souvent

C C

_pn.

Un fermé V de

_pn

est dit

_dégénéré

s’il est contenu dans un

existe L E

_{~~Xo, X1, ~ ~ ~ ,}

_Xn]

_homogène

de

_degré

1 avec V C

_{~(L)) ;}

un

fermé V de

_pn

_qui

ne

possède

_pas la

propriété

précédente

est dit non

dégénéré,

en

particulier

une courbe C C

_pn

est dite non

dégénérée

si le

fermé associé est non

_{dénégéré.}

Soit T un schéma si r

k,

une famille de courbes de

_{PT (ou}

pn)

est un

sous-schéma fermé C de

_P~

=

pn

x k

T,

plat

sur T tel _{que pour} tout t E T la fibre

_Ct

soit une courbe

_algébrique

sur

_{k(t) :}

ici

_k(t)

_désigne

le _corps résiduel

de l’anneau local

_{OT,t et}

Ct

:= C _XT

Spec(k(t».

on a donc le

diagramme

commutatif suivant

où i est une immersion

fermée,

_p est la deuxième

_projection

et

_f

est

_plat.

Du

_point

de vue ensembliste on a donc

Ct

= Si t est un

_point

fermé on a

k(t)

= 1~ et

_Ct

est donc une courbe

algébrique

de

Pk.

Soient C C

_pn

une courbe

algébrique

de

_P’k,

Ci,

1 i s les

com-posantes

irréductibles de

_C,

mz la

longueur

de l’anneau local

CJC,Xi

où xz

_ s

est le

_point

_générique

de

Ci

=

Ci ),

alors le

cycle

.3(C)

_{:_}

E

- t=i

s’appelle

le

_cycle

associé à la courbe

_algébrique

C.

Soit C une courbe

_intègre

sur

k,

on

appelle

_genre

_{géométrique}

de C

(ou

plus simplement

genre)

le nombre où X est la

norma-lisation de C

_(i.e.

le _genre

_{géométrique}

de C est _par définition le _genre

arithmétique

de sa

normalisation).

I. Les résultats

_principaux

Soient T un schéma sur k

intègre,

C une famille de courbes

algébriques

de

P~..

On suppose

qu’il

existe un

point

fermé _tl E T tel que

Ctt

soit

intègre

alors il existe un ouvert non vide

_U1

C T tel _{que pour} tout

_point

fermé t E

U1

la fibre

_Ct

soit

_{intègre ;}

on

_peut

alors montrer

_qu’il

existe un ouvert U C

Ul

non vide tel _que le _genre

_{(géométrique)}

de

Ct

soit constant _pour tout

_point

fermé t E

~7,

soit _g ce _genre

[N2].

Alors toute fibre

_Ct

avec t fermé et t e U

_s’appelle

une fibre

générale

et ₉

_s’appelle

le _genre de la fibre

générale.

Si o e T est

_{un point}

_fermé,

on dit _{souvent que} la fibre

Co

est une

s

Soit oe T un

_point

_fermé,

_{3(Co) _ ~}

le

_cycle

_{associé, 9i}

_{le genre}

t=1

(géométrique)

de

_l’unique

courbe

_intègre

associée au fermé irréductible

_Ci,

on a alors la formule

s

(2) g

mi +

_1),

où ci =

i=l

et

_{où g}

est _{le genre} de la

_{(ou d’une)}

fibre

_{générale (cf.}

_{[M], N1,}

la formule

_apparaît

aussi dans la littérature

_classique

cf.

_[A]).

On aimerait un résultat

_réciproque.

Soient

_Ci

des fermés irréductibles de dimension 1 de le _genre

_{(géométrique)}

de la courbe

_intègre

associée à

Ci

pour 1 i s

(on

suppose en

plus

_que

Ci

U

_C2

U ... U

_Ces

est

_{connexe) ;}

soient mi &#x3E; 0 _pour des entiers

_qui

satisfont

_{l’inégalité}

(2).

Alors

_peut-on

trouver un schéma T sur k

intègre

et une famille de

courbes

_algébriques

C de

_P~.

telle _que la fibre

_générale

soit de _genre g et

qu’il

existe un

_point

fermé o E T tel

_{que E}

_miCi

soit le

_cycle

associé à la

spécialisation

Co.

Il conviendra de demander que les fibres

générales

soient "bonnes" e.g. lisses ou avec des

_{singularités simples.}

Dans le cas n =

2,

_on obtient le meilleur résultat

possible

si g (d

-s

"

1)(d - 2)

où d

_{Mi li}

et où

_di

est le

_degré

de la courbe

_intègre

associée

i=l

à

_Cz.

On trouve alors une famille dont la fibre

_générale

est une courbe avec

des

_points

doubles ordinaires. La

_présence

de

_{singularités}

est ici inévitable

parce

qu’on

ne

_peut

trouver dans

_Pk

une courbe lisse de

degré

d et de genre g, sauf

si g

= 1(d -

1)(d - 2).

Si donc on veut des familles à courbe

_{générale lisse,}

il faudra _supposer n &#x3E; 3. Le résultat idéal serait l’énoncé suivant

ENONCÉ 1. Soient

_Ci

_pour 1 i s des fermés irréductibles de dimension

1 de

_Pk

tels _que le fermé

_Cl

U ~ ~ ~ ... U

Cs

soit connexe et non

dégénéré ;

soient gi le genre

(géométrique)

de la courbe

_intègre

associée à

_Ci,

mi &#x3E; 0 pour

1 i s et g &#x3E; 0

des entiers

qui

satisfont

l’ingégalité

(2).

Soient

di

s

le

_degré

de la courbe

_intègre

associée à

_{Ci, d}

on _suppose

qu’il

i=l

existe des courbes lisses de

_P’

_{de genre g} et de

_degré

d. Alors il existe un

schéma

_intègre

T sur k et une famille de courbes

algébriques

C de telle

que la fibre

générale

soit, lisse de _{genre g} et il existe un

point

fermé o E T

s

tel _que le

_cycle

associé à la fibre

_spéciale

Co

soit

;=i

"inégalité

de Casteliiuovo" :

où m =

~=1

et f est le reste de la division de

_{(d -}

_{1 )}

_par

_{(n -}

_{1 )}

soit

satisfaite,

cette dernière étant satisfaite _par toutes les courbes

_lisses,

non

dégénérées,

de

_degré

d et de _{genre 9} dans

_Pk.

Mais il _y a des

‘‘lacunes",

si

0 g

¡( d,. n),

il _peut arriver

_qu’il

n’existe _pas de courbe lisse dans de _{genre 9} et de

_degré

d

_(cf.

_p.

_354).

Il _y a des résultats

complets

pour

n

5

(mais

ils sont

compliqués

et la théorie

rigoureuse

est

récente,

[GP], [H2], [R], ~P~,~C~ ).

Pour n &#x3E;

_6,

il y a seulement des résultats

partiels

Dans cet

_exposé

on veut

_{présenter quelques}

résul tats de base dans cette

direction,

on verra _que {’énoncé 1 est vrai dans des ca.s

spéciaux. Je

ne sais pas si il est vrai en

général.

THÉORÈME

1 . Soient C un fermé irréductible dirncllsioll 1 de

Pk,

non

dégénéré.

Notons aussi C la courbe

_nitègre

associée a

_{C ,}

soient _{17 :} - (7

sa

normalisation, 9

le _genre de X

(Le.

le genre

g;é0111étriquc

de

C’), ,L;

=

q*(Oc(1)).

0 n _suppose est Ull très existe un schéma

_intègre

T sur

k,

une falnille de courbes (~ de

PT

de

fibre

_générale

_lisse,

de _{g’el1re 9} et il existe un

_{jJoilJt fë.:rll1é}

OE T tcl _que le diviseur associé à la fibre

_spéciale

Co

soit 1C dit la. courbe

Co

a C _{pour espace}

_topologojque

associé E’t (’)",t réduit si x est le

_point

génénque

de CG ;

en revanche

Co

_peut a."oir des

_points

THÉORÈME 2. Soient C une courbe réduite de

_Pk,

non

n

3,Ci,C2,...,Cr

cOlnposantes irréducti bles de

_C,

_{i le genre}

(géomé-trique)

de la. courbe

_fntégre

.s,sociée à.

_(fi

_(celle-ci

est aussj notée

_C

77z :

Yi

2013

Ct

la l1orlnalisation de On

suppose que

Ci

n

0

pour

1 ~

i

~

r - ] et _que 0 où

_,L’.~

i =

7~(0c’.(l)),

_pour

1 ~ i ~

r. Alors il existe un schéma. T sur k et une famille

de courbes

_{alg’ébriques}

(,’ de

_Pj,

dont la fibre

_générale

est lisse de _genre

9 = 91

+j72

’f’ ... existe

un

_point

ferlné OE T tel _que lE’

_cycle

associé à la fibre

_spéciale

_Co

.soit

_{Cf 1}

-1-

_Cf2

-1- ~ ~ y-

Cfr

(Le.

Co

est

_{génénquement}

réduit et

_{(Co)red -}

_C).

Remarque.

Les

_hypothèses

du théorème 1 sont

_toujours

valables si

satisfaites

_{spi 9 = 0, g =}

1. En utilisant

_{l’inégalité}

de Castelnuovo on

peut

trouver

_beaucoup

d’autres situations

_{favorables ;}

_e.g. dans

_P~,

si

pa(C) -

2 ou 3

(donc

d &#x3E;

5)

ou si

pa(C)

= 4 _et

~(C) &#x3E; 2( b(C) _

EpEe

où

_désigne

la clôture

_intégrale

de

_OC,p,

les

hypothèses

du théorème 1 sont satisfaites.

A _propos du théorème 2 nous avons les résulta.ts suivants :

PROPOSITION 1. On lltllise les l1ota.tions du tl1éorènle 1. S’l

DÉMONSTRATION:

On a la suite exacte 0 -

Oe

-~ .~ -- 0 où le

support

de .~’ est le lieu

_singulier

de C. En tensorisant _par et en

considérant la

_longue

snite exacte de

_cohornologie

oit obtieiit la suite exacte

- -

après

l’identification

Hi(C, C7C

00c

([11],

p.

124,

et le fait que 1] est

_fini).

La conclusion est claire.

PROPOSITION 2. On utilise les notations du théorème 2. Si

=

0,

alors

0,

_pour tout i

donc,

= 0.

d’api-ès la

Prop.

1.)

DIMONSTRATION:

Si

_7j

est le faisceau d’idéaux définissant

_Ci

C

C,

alors

on a une suite exacte 0 ~

Oc -

0~ ’~

0. En tensorisant avec

Oc(1)

et en

_prenant

la suite exacte de

_coliomologie

on a une suite exacte

Comme C est une

_courbe,

I~~ (C, ~~ ( 1 ) )

=

0,

ce

_qui

implique

la.

proposi-tion.

Pour finir cette

_partie,

on _remarquera

du’il

_y a une version

plus

faible du

problème

de "réali ser

_{gc.c,rnétri quement" l’inégalité}

_(2),

où ni les courbes

ni "n" dans F~n sont

_{spéficifiés}

au

préalable.

Alors,

nous avons le résultat

suivant :

PROPOSITION 3. Soient des entiers

_{positifs. Alors il}

existe

une courbe lisse T et une famille de courbes

algébi-iqties

C de

_P’

_(n

assez

grand)

d e fibre

_générale

lisse de _{g en re g} et il exis t e u u

_{p oi n t}

ferm é oE T

dont la fibre

_spécial

_Co

a _pour associé

G’1

+

C2

+ ... +

Cr

où

Ci

est

une courbe

intègre

de _genre

(géométrique)

_~i.

DÉMONSTRATION:

_D’a.près

_[N2]

_(ou

_[NI])

il existe une courbe lisse T suer k

de

_plus

la fibre

_générale

D et les courbes

_{Di , ..,}

Dr

sont nodales de _genres

respectifs

F?Fi9"?Fr- On

prend

la normalisation q : C -1- D.

D’après

~N2~,

p.

742, r~

induit un

_morphisme

birationnel des fibres

spéciales

Co --~ Do

(i.e.,

il induit un

isomorphisme

d’ouverts

denses).

Il est clair que la famille p C - T a les

propriétés

voulues

(où

_{p :} D -~ T est le

_morphisme

canonique).

II -

_{Quelques rappels}

et commentaires

Les

_problèmes

considérés au

§I

sont reliés au

problème

de la

"lissifica-tion" des courbes. On dit

_qu’une

courbe C C P°n est "lissifiable"

₍

"smooth-able",

en

anglais),

s’il existe une famille C C

_PÇ

_(où

T est

_intègre)

telle

que la fibre

générale

Ct

soit lisse et une fibre

spéciale

Co

est C

_(après

l’identification

_PT

X

_{{0} =}

Bien

_sûr,

_d’après

la théorie des familles

plates,

p~(Ct)

=

pa(Co) (p.

_est le

genre

arithmétique).

Donc si

Co

est aussi

intègre

et si

_Co

est

_singulière,

on aura

_g(Ct)

&#x3E;

_{g(Co) (inégalité stricte).}

Si

dans ce cas

(Co

est

_intègre)

on veut

_{l’égalité}

dans la formule

₍₂₎

du

_§1,

la fibre

_Co

sera nécessairement non

réduite ;

elle aura des

"points

immergés".

Autrement dit le théorème 1 dit _que si l’on "modifie" de manière

conven-able la structure de C en

changeant

le faisceau structural de telle

façon

qu’il

y ait

quelques

points

immergés,

alors cette nouvelle courbe C’

_peut

être lissifiée. On

_peut

de même donner une

interprétation

semblable au

théorème 2.

Rappelons

que, pour

l’instant,

presque tous les résultats sur la

lissifica-tion des courbes

_{s’appliquent}

seulement au cas de courbes avec des

_points

doubles ordinaires.

Par

_exemple,

on a le théorème sui vant :

’THÉORÈME

3

_([HH],

Section

_1).

Si C est une courbe dans

_P’,

connexe

et nodale

_{(c’est-à-dire,}

toutes les

_{singularités}

sont des

_points

doubles

ordi-naires),

qui

satisfait =

0,

alors C _est lissifiable. D’ailleurs le

point

dans le schéma de Hilbert

_{correspondant}

à C est lisse.

Il _y a des

_{généralisations}

de ce résultat

([HH], ~CR~,~S~)

assez

techniques

et

_{compliquées,}

mais

_qui

ne réussissent _pas à éliminer

_{l’hypothèse}

"C est nodale," .

On

_rappelle

_que le schéma de Hilbert

_Hn,d,g

_paramétrise

les courbes de

pn

de

_degré

d et de _genre

_{arithmétique}

_g, en ce sens _{que si D} C

_PT

est une

famille de courbes de _{genre g et} de

_{degré d,}

il existe un

morphisme

(unique)

p : T --; avec =

Dt.

celle de la variété de Chow : elle

_paramétrise

les

_cycles

de

_degré

d

_(et

dimension

₁₎

dans

_P’~,

i.e. les combinaisons linéaires formelles

_{¿ mi Ci,}

avec

Ci

courbe

intègre

de

degré

di

dans

P’,

_mi &#x3E; 0 des entiers nuls sauf

pour un nombre fini d’indices et

_E

_{midi =}

d. Avec cette

_{terminologie,}

les théorèmes 1 et 2 donnent des conditions _pour

_qu’un

_cycle

soit

_{spécialisation}

d’un

_{cycle premier 1 C,}

avec C lisse.

III - Les démonstrations

On

_esquissera

la démonstration du théorème 1.

D’abord,

on

_peut

décrire

explicitement

le

morphisme

de normalisation _{q :}

J~ 2013~ C de la

_façon

suivante. Il _y a une

injection canonque

Î : --~

HO(X,f-)

(on

utilise le fait _que C n’est _pas

con-tenue dans un

_hyperplan

et la "formule de

_projection",

_p.

_{124) ;}

l’image

Vo

de y

définit un

i.e.,

un

système

linéaire de

degré

d et de dimension n.

_{D’ailleurs,}

"les coordonnées" _{xo, ..., xn} définissent des

sec-tion

~~°~ -

(o~ô°~ ~ ... ~

de V C

_{L) ;}

le

_couple

ao =

(j~o, ~f °~ )

détermine un

_{morphisme X}

2013~ Pn

(cf.

[H],

II.7),

ce

qui

induit _q. Pour

achever la démonstration on fait varier le

_morphisme.

Plus

_{précisément}

on

considère

_l’espace

Z dont les

_points

sont des

_systèmes

a =

(V, oo, - an)

où V E

_G,

la

_{grassmanienne}

des dans

_{H° (X,}

_,C),

et ~°, ~ ~ ~ , Un

est une base de V. A

chaque point

de Z

correspond

une

application

ra-tionnelle P n . Soit Z l’ouvert des a tels _que soit une

immer-sion fermée. On voit immédiatement _{que Z} est

_{irréductible,}

de

_plus

Z est

non

vide,

donc dense

(in

fait,

en utilisant

l’hypothèse

"£ très

ample",

on

construit aisément un élément de

_Z).

Maintenant,

on

prend

une courbe

irréductible r dans

_Z,

contenant ao et telle que

fla

:=

P B

C Z. Les courbes

_{Da =}

E

_Fo,

définissent une famille

paramétrée

_par

Fo.

En

_changeant

la base _par la normalisation de F si besoin _est, on

_peut

sup-poser que la courbe F des

paramètres

est lisse. On

prolonge

à r

(cf

[H],

9.8.1),

il est clair _que la fibre en _ao,

réduite,

est

précisément C,

c’est donc

la famille cherchée.

Maintenant on considère la démonstration du théorème 2. D’abord on

regarde

le cas r = 1. La démonstration est dans ce cas semblable à

celle du théorème 1.

_D’abord,

_par la _remarque du

_§1,

on

_peut

_supposer

que

g &#x3E;_

2. On commence comme au théorème

1,

on trouve le

_système

(VO,u(O»,

Vo

C

_HO(X,£).

Le faisceau £ n’est pas nécessairement très

am-ple mais,

selon un théorème

classique

de

Halphen

([H],

_p.

349),

le faisceau

inversible

_général

de

_degré

d est non

spécial

et très

_ample.

_Donc,

dans

ce cas il convient d’utiliser

l’espace

dont les

_points

correspondent

à des

s’identifie à

_(C’,

_V’,

_u’)

s’il _y a un

isomorphisme

_envoyant

Il da,ns 1/’ et (1 dans

(1’).

On voit _que c’est un fibré sur la variété irréductible

donc

_{irréductible ;}

le

_point

_(£,

_{(COI-r_espondallt}

_{à 17:} ii - C _C

P’ )

appartient

à U. 1/ensembleZV

_{= ( , V, a)}

E est très

_ample

est ouvert

non vide

(donc dense) :

c’est le théorèrne de

IIalphen.

Maintenant on

_peut

_copier

le reste de la démonstration du théorème 1.

Considérons le cas r &#x3E; 1. En utilisant le caa r =

_1,

_on

_peut

_trouver des

courbes lisses

_Di,

de

_{degré di}

et de _{genre gi,} ‘‘très

_proche"

de

_{Ci, i}

=

_{1,... ,}

_r

où

_êi

est une courbe

généralement

réd ui te,

telle _que

(Ct)red =

Ci .

On vérifie

r

que l’on

peut

choisir les

Di

de telle

_façon

_que D =

U

Di

soit

nodale,

avec t=i

r - 1

_points

doubles ordinaires

_(tel

_que

Di

U

_0,

_pour tout

_{i) :}

c’est

une

conséquence

de la théorie de Kleiman sur "les translations

générales

de

sous-variétés"

_(cf.

_~Ii~,

_p.

_273,

ou

_~It~).

On voit aussi _que cette courbe D

se

spécialise

en une courbe

Û

telle _que

~( G’)

Ci

+ ... +

Cr.

La courbe D

est

_nodale,

_{de genre}

_{arithmétique g}

= _{~1 + ... + 9r}

(c’est

un calcul

_facile).

Mais on

_peut

montrer _que

_{l’hypothèse implique}

_{O}.

.

Donc,

selon le théorème

3,

D est

spécialisation

d’une courbe lisse

il,

de

genre

91 + ... + gr.

Donc,

finalement

_"pa.r

tiansi ti;i té" Cf sera

spécialisation

d’une courbe du

_type

cherché.

Remarque.

On voit _que les nombres ~1, ~ ~ ~ ,

qui

apparaissent

a.u

théorème 2 doivent satisfaire :

(le

nombre de

_{Casteliiuovo),}

une

inégalité numérique

_qui

ne selnble _pas

évidente.

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