Sur certains produits infinis

M. M

ENDÈS

F

RANCE

Sur certains produits infinis

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

1, n

o

_{1 (1989),}

p. 157-162

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1989__1_1_157_0>

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Ceci est un résumé d’un article à

paraître

écrit

conjointement

avec A. van der Poorten

[1].

On considère le

_{système dynamique plan}

où F et G sont deux fonctions

_homogènes

de

_degré

1. On se _propose

d’étudier le

_point

limite

_{(s’il existe)}

_{quand n}

tend vers l’ infini.

On _pose

Soit

_1&#x3E;1/

la ve itérée de

_0.

Alors

Par

_ailleurs,

De même

Supposons

que pour n

infini,

ces

produits

_convergent

ou du moins tendent vers des limites finies ou infinies :

Il

_s’agit

de donner -si

_possible-

une

_expression

"fermée’’ de ces

_produits.

Admettons -tout le

_problème

est là-

_qu’on

connaisse une

"intégrale

pre-mière" V du

_{système dynamique,}

c’est-à-dire un invariant

Dès lors

et sous réserve de

continuité,

Si donc est _connu, alors s’en déduit.

On a utilisé ce

principe pour retrouver

tous les

_produits

infinis contenus

dans deux très

_jolis

articles d’A. Ostrowski

_[2],[3].

Dans ce

résumé,

on se

contente d’en citer deux.

Exemple 1

(Euler)

En choisissant - 1) t) On trouve d’où on déduit

On obtient

Avec un _peu de

_patience,

on découvre _que

Pour

_Ixl

&#x3E;

_2,

on a _{zoe =} oo d’où on déduit

L’an dernier

_j’exposais

ces résultats à Oberwolfach. A. Schinzel

qui

était

présent

s’est souvenu _que le

produit

ci-dessus intervient de

façon

inattendue

dans un

problème d’arithmétique qu’il

avait étudié

vingt

ans

_auparavant

[4].

Soit

_q(m)

le

_plus

_grand

facteur

_premier

de l’entier m. Soit

f

E

_Z[X]

un

polynôme

de

_{degré v &#x3E;}

2. Schinzel montrait que

P(v)

désigne

le

_produit

infini

où uo - v - 1 et 2. En

_{posant Vn =}

on

_trouve,

à des

THÉORÈME.

_{Soit 0}

une fonction rationnelle sur un sous _corps k C C.

Supposons

que dans un domaine D C

_C,01(x)

tend vers une

indépendante

de x. Soit H une

application

continue définie dans D. Si

le

_produit

converge dans D et est

_algébrique

de

_degré

_r, alors est la racine r’ d’une fonction rationnelle.

PREUVE: Par

_hypothèse

_y =

y(x)

est solution d’une

équation

polynomiale

de

_degré

r

(minimal)

où les

_aj(x)

sont dans

_k(~).

On a aussi

Or

donc

Le

_polynôme

minimal étant

_unique,

on en déduit

Bref

Ceci

_implique

Remarque :

La condition

_{"~n(x) ~ .~"}

_peut

être

_remplacée

_par "H inversible". En

_effet,

_{la convergence du}

_produit

infini

_implique

-Apostille :

J. Fresnel me

signale

_que les seules courbes

V (x, y)

= const.

intéressantes dans notre contexte sont _{de genre zéro.}

RÉFÉRENCES

[1]

M. Mendès _France, A. Van der _POORTEN, From _geometry to Euler identities. _(à

paraître).

[2]

A. Ostrowski, Sur quelques généralisations du produit d’Euler

_{~03A003BD = 0}

_(1+x2v),,

CRAS

Paris, séance du 23 _janvier 1930. _(in Collected Math. _Papers, vol. 3, Birkhauser, 1984).

[3]

A. Ostrowski, Über einige Verallgemeinerungen des Eulerschen Produktes

~03A003BD=0 (1

+x203BD) =

_{1/(1 - x),}

Verh. Naturf. Ges. Basel 11, 1929, 153-214 _(in Collected Mathematical Papers, vol. _3, Birkhauser _1984).

Mo ts clefs -. Produits infinis, systèmes dynamiques

1980 Mathematics subject classifications: 11D23, 12D99.

Université Bordeaux 1

351, cours de la Libération 33405 Talence FRANCE.