OPTIMISME ET PESSIMISME SUR LES MARCHES FINANCIERS
Dimitri SLUYS Emmanuel BRANLARD
8 novembre 2006
Table des matières
1 Introduction 3
2 Le modèle de Kyle 4
2.1 Dénition du modèle . . . 4
2.2 Résultats et interprétations . . . 4
3 Dridi et Germain 6 3.1 Le modèle . . . 6
3.2 L'équilibre et ses propriétés . . . 6
3.3 Le cas symétrique . . . 7
3.4 Particularités du modèle . . . 8
4 Marchés Financiers, Optimisme et Pessimisme 9 4.1 Présentation générale du modèle . . . 9
4.2 Dénition de l'équilibre du marché . . . 10
4.3 Modélisation de l'irréalisme des acteurs . . . 10
5 Simulations 12 5.1 Optimisme pur . . . 12
5.1.1 Objectifs et cadre de travail . . . 12
5.1.2 Market maker réaliste . . . 12
5.1.3 Market maker irréaliste . . . 19
5.1.4 Conditions pour satisfaire aux objectifs - Bilan . . . . 23
6 Annexe 24 6.1 Modèle de Kyle . . . 24
6.2 Prise en compte des traits de caractère du market maker . . . 26
6.3 Surconance . . . 29
6.4 Optimisme et surconance . . . 33
7 Synthèse 40
1 Introduction
Un marché nancier est un système déni par un ensemble de règles, qui régissent la façon dont les titres sont échangés et la façon dont le prix est xé. L'investisseur, pour qui l'information est un élément capital de la com- préhension du marché, y joue un rôle prépondérant.
Plusieurs modèles vont être présentés, du plus fondamental au plus so- phistiqué. Nous étudierons tout d'abord le modèle de Kyle, qui met en jeu un unique investisseur informé et non compétitif, servant de point de dé- part à l'étude des autres modèles. Dans un second temps, nous verrons le Dridi-Germain, où l'on considère cette fois N investisseurs, chacun ayant une information perturbée par la présence des autres. Enn dans le modèle Optimisme/Pessimisme, on prend en compte le trait de caractère des inves- tisseurs, dont l'inuence a été observée sur des simulations dans une dernière partie.
2 Le modèle de Kyle
2.1 Dénition du modèle
Le modèle de Kyle est essentiel puisque les modèles de Dridi-Germain et de l'optimisme/pessimisme en découlent.
Dans ce modèle, les agents sont stratégiques. Un seul investisseur est informé (initié), il dispose d'une information parfaite, et se comporte de fa- çon non compétitive. Les autres investisseurs, quant à eux, sont neutres au risque et ne disposent que de la quantité totale demandée (i.e. la diérence entre l'ore brute et la demande de l'investisseur informéx).
Dénissons les notations que nous utiliserons par la suite : x est l'ordre au mieux choisi par l'initié
u est la quantité soumise par les non-initiés. C'est la réalisation de u˜, variable aléatoire distribuée selon une loi normale avec E[˜u] = 0 et V ar(˜u) =σu2.
v˜ est la valeur de liquidation d'un actif risqué non bruité, distribuée selon une loi normale avec E[˜v] =p0 etV ar(˜v) =σv2.
ω est la quantité totale demandée (par les initiés et non-initiés) : ω=u+x
2.2 Résultats et interprétations
Nous recherchons un équilibre oùxest une fonction ane de la valeur et où le prixp est une fonction ane de la quantité. Posons alors, avecβ etλ deux constantes à déterminer :
x=β∗(v−p0) etp=λ∗ω+p0
Etant donné que la demande de l'investisseur doit maximiser son prot π(x) donc l'expression E[x∗(v−p(x))|˜v =v] =v∗x−λ∗x2−p0∗x, on obtientv−p0−2λ∗x= 0 qui nous permet alors de trouver β = 2∗λ1 .
A l'équilibre, le prix de l'actif doit nécessairement vérier p = E[˜v|˜ω]. Pour les market makers, le prix est la meilleure estimation de la valeur de l'action conditionnellement à la quantité demandée. Ainsi, puisqu'ils
connaissent toutes les demandes, pour eux :
p=E[v|ω] =p=E[v] +Cov(v, ω) V ar(ω) ω Or :
Cov(v, ω) =βσv2 etV ar(ω) =β2σv2+σu2 donc p= β2σβσ2v+σ2v u2 ∗ω+p0
d'oùλ= β2σβσv2+σv2 u2. Ainsi,
β= σσu
v etλ= 2σσv
u
Le contenu informationnel du prix est : Σ1 =V ar(˜v|˜p) = 1
2∗σv2 .
L'initié ne révèle donc que la moitié de son information à travers ses échanges.
Les prots espérés de l'initié sont :
E[˜(π)] =E[(˜v−˜(p))∗x]] =˜ f rac12σuσv
. Cela montre qu'ils sont proportionnels àσuetσv:σumesure le bruit dans le prix etσv l'avantage informationnel de l'initié.
3 Dridi et Germain
3.1 Le modèle
On considère un marché nancier d'actif risquév normalement distribué.
N investisseurs informés observent avant la réalisation du marché un signal S˜i = ˜v+ ˜i, où ˜i est donc une perturbation propre à chaque investisseur selon une loi normalement distribuée, et soumettent des ordres de marché selon une stratégie Xi( ˜Si) = ˜xi.
Les autres investisseurs sont rationnels et soumettent un ordre de mar- ché global u, aussi selon une loi normale.
Le volume observable par le "market maker" (qui est neutre au risque) pour qu'il xe le prix est
˜ ω = ˜u+
N
X
1
˜ xi
On notera l'indépendance de toutes les variables (sauf bien sà»r de S etv). On associe p˜=P(˜ω), la fonction prix. Un prot s'exprime alors par
˜
πi = (˜v−p) ˜˜xi. Les initiés (investisseurs informés) cherchent à maximiser leur prot.
3.2 L'équilibre et ses propriétés D'après la condition d'équilibre :
E[(˜v−p)|˜˜ ω] = 0
il existe un unique équilibre linéaire pour le modèle :
˜
xi =argmaxxE[ ˜πi|S˜i] =βi∗(σ) ˜Si
˜
p=E[˜v|˜ω] =λ∗(σ)˜ω où σ est le bruit.
Il est intéressant de remarquer que les fonctions de prot et de liquidité ne sont pas toujours monotones en fonction du bruit.
A l'équilibre, on a βi∗ et πi qui croient si σi = V ar(i) décroà®t, donc plus l'information de i est précise. A l'opposé les fonctions décroient quand l'information des autres est plus précise.
Pour la liquidité, on distingue trois cas selon le niveau de bruit.
Quand le bruit est fort, la liquidité décroà®t avec la précision de l'infor- mation collectée ; si le bruit est plus faible, les deux variations sont possibles ; si le bruit est encore plus faible, alors la fonction est croissante avec la pré- cision.
On peut justier ces variations de la manière suivante : Plus le bruit est fort, plus la compétition est faible, car l'information n'est pas révélée.
3.3 Le cas symétrique
Ici, ∀i= 1..N, σi =σ0 et on observe alors l'équilibre linéaire de la même façon.
Pour N < 4 on observe un prot d'ensemble décroissant avec le bruit, alors que dans l'autre cas il existe un phénomène de "bruit optimal" :
Pour N ≥4, pour augmenter les prots le bruit est préférable jusqu'à σ =σv
p(N + 1)(N−3) 2
et les prots individuels sont maxima pour la valeur
σ∗0(N) =σv
s N −3
2
Pour ce bruit optimal, on remarque trois phénomènes particuliers :
Nlim→∞π˜i∗ = σuσv 2√
2
Nlim→∞λ−1 = σu
σv
2
√ 2
Nlim→∞[I∗ =V ar(˜v|˜ω)−1] = 2 σ2v
Le prot à espérer pour les initiés est donc positif, et ils ne révèlent pas leur information dans sa totalité, même à un grand nombre de participants.
3.4 Particularités du modèle
Comparaison avec l'information parfaite
On retrouve le modèle de Kyle pour σ = 0etN = 1. D'ailleurs dans l'hypothèse de l'information parfaite, on a
N→∞lim π˜i∗ = 0
Nlim→∞λ−1 =∞
Nlim→∞[I∗ =V ar(˜v|˜ω)−1] =∞
Nombre optimal d'informés
Si on appelle σ0 la précision de l'information dans le cas symétrique, on peut montrer qu'il existe un nombre optimal de participants initiés
N∗ =Inth1 + 2σ20 σ2v i
pour maximiser les prots, la fonction prot étant croissante avantN∗ et décroissante après, à σ xé.
Ce modèle nous montre que les préjugés qu'on peut avoir quant à l'utilité de l'information et l'eet du bruit ne sont pas toujours des vérités. En eet, il y a un véritable jeu tactique et complexe à cause des stratégies employées et des informations révélées par les initiés, le tout étant bruité.
4 Marchés Financiers, Optimisme et Pessimisme
4.1 Présentation générale du modèle
On traite ici du modèle qui sert de substrat aux modélisations de la partie suivante. Il consiste en l'introduction de traits de caractère prêtés aux inves- tisseurs et au(x) market maker(s), qui seront alors qualiés d'irréalistes, par rapport aux acteurs traditionnels de Kyle et Dridi-Germain.
Le protocole d'investissement est le même que pour les modèles précé- dents. Ainsi donc, on considère un marché animé par des investisseurs et un ou plusieurs tenancier(s) de marché. Ceux-ci échangent un actif risqué, dont la valeur de liquidation estv˜, distribuée selon une loi normale.
Les investisseurs non informés, qui investissent donc sur l'information première et anticipent de manière rationnelle, émettent un ordreu˜, exogène, de varianceσ2u.
L' investisseur informé k reçoit un signal s˜k = ˜v+ ˜k.˜k est le bruit du signal, dont la varianceσ est identique pour tous les investisseurs.
Les investisseurs réalistes estiment que l'espérance de la variable gaus- sienne ˜v est nulle : ils sont au nombre de N. Les investisseurs irréalistes pensent, en revanche, que cette espérance vauta.aest alors positif ou néga- tif selon que le trader est optimiste ou pessimiste. Ces investisseurs sont au nombre deM.
Tout investisseur anticipe de manière rationnelle le comportement du te- nancier et des autres investisseurs. Tous les agents savent qui est réaliste et qui ne l'est pas, et le cas échéant s'il est optimiste ou pessimiste. Ils prennent tous en compte l'impact de leur ordre sur l'évolution du marché.
La stratégie adoptée par chaque investisseur est dénie comme dans les modèles précédents. Elle sera notéex˜i, pour les investisseurs réalistes, etx˜j
pour les traders irréalistes. C'est ainsi que le volume général de la demande s'écrit :
˜ y=
N
X
k=1
˜ xi+
M
X
k=1
˜ xj+ ˜u
On peut alors dénir le prix, comme étant une fonction dey˜:p˜=P(˜y). Le tenancier de marché est neutre au risque et agit de manière compé- titive. Il peut être réaliste ou non. Il observe uniquement y et ne peut en
discerner les composantes.
4.2 Dénition de l'équilibre du marché Le marché est à l'équilibre si, par dénition :
˜
p=E[˜v|˜y]
pour i= 1..N, Xi,r appartient à
arg(max(xi,rreel)E[(˜v−p(˜y))xi,r|s=si])
pour i= 1..M, Xi,un appartient à
arg(max(xi,unreel)Eun[(˜v−p(˜y))xi,un|s=si])
Cet équilibre est soumis à conditions, comme on le verra dans les si- mulations. L'indiceun sert ici à rendre compte du fait que l'espérance des traders irréalistes est aussi inuencée par leurs opinions.
4.3 Modélisation de l'irréalisme des acteurs
Le caractère irréaliste des acteurs est modélisé par trois paramètres dis- tincts donnés ci après.
Tout d'abord, le caractère de l'investisseur ou du tenancier se manifeste dans son évaluation de la réalisation de˜v, comme on l'a vu ci-dessus dans la présentation du modèle, avec le coecienta.
Les deux autres paramètres de caractère sont liés à la mauvaise percep- tion des variances de l'information privée et du bruit du marché. C'est ainsi qu'on distingue deux nouveaux traits de caractère :
L'optimisme (pessimisme) pur qui consiste en l'évaluation faussée de la variance de v. Pour ce type d'investisseur on a alors :˜
˜v−→N(a, κ1σ2v)
La surconance (sousconance) est quant à elle relative à une éva- luation biaisée de la variance du bruit dans le marché. Pour ce type d'investisseur on a donc :
˜
k−→N(0, κ2σ2)
Un investisseur peut bien sà»r combiner ces deux types de comportement, comme on le verra dans les simulations suivantes.
Un investisseur optimiste s'identie généralement par 0 < κ1 < 1 et 0 < κ2 < 1, alors que le trader pessimiste vériera quant à lui κ1 > 1 et κ2 >1.
5 Simulations
5.1 Optimisme pur
5.1.1 Objectifs et cadre de travail
Nous nous plaçons dans le cas d'équilibre d'un marché où nous pouvons alors calculer ses diérents paramètres et ne considérons que des agents op- timistes (les relations étant soit les mêmes, soit linéaires par rapport àa, on en déduit les autres cas) mais non sur/sous conants (κ2 = 1).
Fig. 1 Fonction caractéristique de l'équilibre du marché
Il y a équilibre du marché lorsque la fonction caractéristique est positive et on observe donc l'existence de conditions de domaine de validité sur tous nos paramètres. Ceci explique le choix des intervalles choisis pour chaque courbe.
Pour les initiés réalistes et irréalistes le but est évidemment de maximiser leurs prots. Le market maker n'a à priori pas pour but d'intervenir dans le marché mais nous prendrons en compte ce modèle dans un second temps.
Son rôle est de xé un prix de l'actif risqué en évitant une crise du marché.
5.1.2 Market maker réaliste
On se place dans le cas d'un market maker observant v selon une loi normale centrée en 0 et de varianceσ2v. Pour toutes les simulations de cette partie :σu = 1 σv = 1 σ= 2 ¯κ1= 1 ¯a= 0
Il existe deux paramètres interressants à faire varier dans notre modèle :
le nombre d'initiés irréalistes et le rapportτ. Nous allons voir que diérentes zones et diérents phénomènes existent.
Fig. 2 Prot d'un initié réaliste en fonction deτ
Les prots On remarque que quandτ grandit, c'est-à-dire lorsque l'initié le bruit sur l'information aussi et l'irréaliste va perdre au prot du réaliste.
κ1 petit signie que le non réaliste croit à son information même malgré le bruit (τ) il va donc investir d'une manière mauvaise : le réaliste fait plus de prot puisque la somme des deux est nulle.
Fig. 3 Prot d'un initié réaliste en fonction deM
De la même manière un nombre croissant d'initiés irréalistes diminue le prot des réalistes. Un phénomène simillaire s'observe avec le nombre de réalistes N. Leur prot est d'autant plus grand qu'il y a peu d'initiés.
Cependant dans les deux cas, la fonction n'est pas monotone selonκ1 : on observe un minimum du prot àτ xé.
Les réalistes ont donc intérêt à être en surnombre et/ou en petit comité pour maximiser leur prot.
Fig. 4 Prot d'un initié irréaliste
Il existe une valeur caractéristique deκ1et trois comportements du pro- t. Sur un certain intervalle autour de cette valeur caractérisque le prot uctue peu et est maximal, alors qu'en ses abords il a tendance à chuter for- tement, parfois même jusqu'à devenir négatif. En eet, on peut interprèter ceci comme l'existence d'une valeur optimale de la précision de l'information (κ1) pour laquelle l'initié ne révèle pas son information extrêmement précise (κ1<<1) mais n'est pas non plus informé de manière imprécise (κ1>>1).
On observe encore une chute siτ est grand etκ1 aussi, l'irréaliste hésite et perd au prot du réaliste.
Fig. 5 Prot d'un initié irréaliste
D'une manière générale, le prot des irréalistes est une fonction décrois- sante de M malgré un cas limite lorsqu'on se rapproche du market breakdown (ici,κ1>3). Les irréalistes sont donc victimes d'une perte de prot lorsque le nombre d'initiés augmente.
La fonction n'est pas non plus monotone selonκ1: c'est ici un maximum que l'on observe.
Concernant la diminution des prots suite à l'augmentation du nombre d'ini- tiés, elle s'explique de manière analogue au modèle Dridi-Germain.
Il est interressant de regarder la diérence de prot des traders irréalistes et réalistes pour faire apparaître les cas où il est avantageux de ne pas être réaliste.
Fig. 6 Diérence de prot entre les irréalistes et les réalistes, vue globale On constate d'après cette vue globale que les prots des investisseurs ir- réalistes et réalistes tendent à avoir une même valeur à mesure que le nombre d'investisseurs augmentent. Sur cette vue on peut penser que le prot des réalistes est toujours supérieur à celui des irréalistes, mais ce n'est pas tou- jours le cas.
Fig. 7 Diérence de prot entre les irréalistes et les réalistes, vue précise Sur cette gure nous avons tracé la zone, de petite taille, pour laquelle le prot des irréalistes est supérieur à celui des réalistes. Il existe donc un
intervalle de valeurs pour κ1 (c'est-à-dire un intervalle de précision sur l'in- formation reçue), tel que le fait d'être irréaliste est avantageux (en terme de prot). Cet intervalle est toujours proche d'un zone où κ1≥ 1 et se trouve avant la valeur caractéristiqueκ10=κ22τ(1+τ)2τ2−1) ≈ 43 et après κ2.
Fig. 8 λen fonction deτ etκ1
Evolution des paramètres d'équilibre du marché nancier λ mul- tiplie directement l'ordre du marché dans le prix que xe le market maker.
Pour des grandes valeurs de κ1, λ est décroissant, sinon il commence par croire puis décroitre selon τ. Le résultat est le même pour des valeur de τ grandes et lorsque κ1 croît. On traduit ceci par le fait que si κ1 et τ sont grands, les irréalistes sont peu sûrs dans du bruit : ils ne sont plus compétitifs et la liquidité est plus grande.
Si κ1 est faible, quand τ augmente depuis zéros la liquidité diminue car le bruit fausse les idées des irréalistes ils bloquent le marché.
Fig. 9 Beta un, indépendant de a
β caractérise l'intensité de la demande d'un investisseur, son étude per- met de voir en fonction des diérents paramètres s'il augmente ou diminue son ordre ( nous passons ici sous silence l'existence d'un termeα de transla- tion de la demande des acteurs irréalistes).
Pour les irréalistes, le coecient directeur de la demande de l'initié en fonc- tion du signal reçu est croissante selonτ : il échange selon son information privée. Quandκ1etτ sont trop grands on s'approche du market breakdown.
Fig. 10 Beta r, indépendant de a
Pour les réalistes, ils n'échangent pas beaucoup sur leur information pri- vée car ils la révèlent. Cependant on en déduit que l'intensité de la demande d'un réaliste augmente quand on se rapproche des bords du domaine d'étude car il peut alors se comporter comme un irréaliste.
5.1.3 Market maker irréaliste
Dans ce deuxième mouvement le market maker observe v d'espérance ¯a et de varianceκ1.σ¯ 2v. C'est cette loi qu'il pense que les investisseurs observent.
Cette mauvaise perception de l'information modie les résultats précédents.
Nous allons voir l'inuence de l'optimisme et du pessimisme d'un market maker sur notre marché d'invstisseurs réalistes et irréalistes.
Pour toutes les simulations de cette partie :σu= 1 σv = 1 σ= 2
Fig. 11 Prot des réalistes
Evolution des prots On constate que le prot des réalistes est d'autant plus grand que la valeur absolue dea¯ est grande (c'est-à-dire que le market maker est irréaliste). En eet ce prot fait intervenir le terme a¯2. On re- marque également queκ1¯ doit être proche de zéro pour que ceux-ci aient un prot maximal. Ceci s'interprète par le fait que le market maker persiste dans sa mauvaise perception de l'actif risqué, le prot espéré vient donc de cette asymétrie.
Fig. 12 Prot des irréalistes
Pour les irréalistes : on peut montrer que le prot est maximum quand κ1¯ est proche de zéro. On remarque qu'il faut aussi que κ1 soit proche de zéro ( c'est-à-dire qu'ils soient en optimisme pur).
Aussi il faut a¯a < 0 (par exemple ici,le prot des irréalistes optimistes est maximum quand le market maker est pessimiste). On comprend ceci de la manière suivante : un market maker optimiste xe son prix avec d'autres otpimistes et des réalistes cela revient à eectuer une translation d'espé- rance de l'actif risqué.
Fig. 13 LambdaM = 500 Evolution des paramètres du marché
Fig. 14 LambdaM = 5
On remarque que s'il y a beaucoup ou peu d'irréalistes dans les parti- cipants, les eets ne sont pas les mêmes sur l'intensité des variations de λ. QuandM = 5,κ1 n'a que peu d'inuence et c'est la mauvaise perception du market maker qui xeλ, alors que siM = 500c'estκ¯1 qui en a moins etκ1 joue un rôle majeur puisque les irréalistes sont en surnombre.
On observe queλ(qui est l'inverse de la liquidité) est une fonction crois- sante deκ1¯ . En eet un marker maker optimiste pense que les participants se basent sur l'information première plutôt que sur l'information privée, et donc
il ajuste son prix moins agressivement. C'est aussi une fonction décroissante deκ1.
Fig. 15 µ
On notera queµne dépend pas de κ¯ 1.
µ (ordonnée à l'origine du prix xé) est une fonction ane de¯a. Ceci s'ex- plique par le fait que¯aest l'erreur faite par le market maker sur l'espérance de l'actif. Donc siv est décalé de zéro àa¯ il en sera de même du prix (dans ses variations). Le signe deµdépend de l'irréalisme du market maker et des investisseurs (aet¯a).
5.1.4 Conditions pour satisfaire aux objectifs - Bilan
Si le market est réaliste... Les réalistes ont intérêt à se baser sur leur
"`prior information"' et à investir dans un marché où les irréalistes sont des optimistes (pessimistes) purs (κ1 << 1). Les irréalistes qui gagnent le plus sont ceux dont l'erreurκ1appartient un certain intervalle[κ2, κ10]. S'ils ap- partienent à cet intervalle alors ils doivent se concentrer sur leur information première, sinon sur leur information privée. Pour les deux types d'investis- seurs, un grand nombre de participants implique un petit prot. Dans notre intervalle caractéristique, on gagne à être irréaliste, et d'une manière géné- rale,ce sont les réalistes les plus pénalisés par une augmentation du nombre de participants.
Si le market maker est irréaliste... Pour les réalistes, le prot est maxi- misé quand le market maker a une tendance prononcée à être irréaliste (¯a 6= 0) et qu'en plus il pense que l'information première des investisseur est précise (¯κ1<<1). C'est quand il est réaliste qu'ils font le moins de pro- t. Les irréalistes préfèrent que le market maker soit d'une croyance opposée à la leur (aa <¯ 0) et que chacun (eux et le market maker) pensent détenir une information sûre (κ1,κ1¯ <<1).
D'une manière générale, dans le cas du market maker irréalistes, les pro- ts des initiés sont supérieurs à ceux du cas où le marker maker est réalistes.
6 Annexe
6.1 Modèle de Kyle
On observe qu'àσvxé, l'espérance du prot est proportionnelle àσu, que l'on peut interpréter comme le bruit dans le prix, c'est-à-dire l'incertitude sur la quantité d'actifs soumise par les non-initiés. En eet, lorsque le bruit diminue, l'avantage de l'initié par rapport aux autres investisseurs se réduit, il est donc normal que son prot global diminue. Par contre, lorsque le bruit augmente, il prote davantage de l'information qu'il détient.
De même, quand on xe σu, l'espérance du prot est proportionnelle à σv, qui représente l'avantage informationel de l'initié, c'est-à-dire l'incerti- tude sur la valeur de liquidation de l'actif risqué. Eectivement, plus cette imprécision augmente, plus l'information des non-initiés est brouillée, et donc plus le prot de l'initié augmente.
On retrouve à travers ces deux interprétations le rôle symétrique joué par σuetσv.
6.2 Prise en compte des traits de caractère du market maker
* k−1 = 1,5 eta−= 0,1.
* k−1 = 0,5 eta−= 0,1.
* k−1 = 1,5 eta−=−0,1.
* k−1 = 0,5 eta−=−0,1.
Globalement, on retrouve le même prol que pour Kyle pour des valeurs de σv assez grandes : cela s'explique par le fait que l'impact du trait de caractère du market maker est eacé par le bruit concernant la valeur de liquidation de l'actif risqué.
En ce qui concerne les petites valeurs deσv, on note un phénomène parti- culier : le prot de l'initié augmente très fortement. On peut noter également que lorsque a− augmente en valeur absolue, celui-ci augmente encore plus vite. En eet, le market maker donne une information de plus en plus erronée aux non-initiés, ce qui prote à l'investisseur informé.
Quant au paramètre k1−, lorsqu'il augmente, le prot global diminue, car l'erreur due à l'irrationnalité du market maker est atténuée par l'augmen- tation du bruit dans le prix. Et quand il diminue, on observe le phénomène inverse.
6.3 Surconance
Fig. 16 Evolution deλen fonction deκ2 etτ
Comme lambda est l'inverse de la liquidité, il est logique de constater que plus il y a du bruit, moins il y a d'échanges sur le marché, le rendant ainsi peu liquide, ce qui a pour conséquence de faire apparaître un lambda élevé. De même lorsque le bruit diminue.
Fig. 17 Evolution deµ en fonction deκ2 etτ
Lorsque tau est grand, i.e. lorsque l'information est oue, le prix initial de vente a tendance à être sous-évalué. En revanche lorsque tau est petit, l'information est précise et on peut donc se permettre d'augmenter le prix de vente initial. Ce sont bien les résultats que l'on retrouve sur cette courbe.
Fig. 18 Evolution du prot des investisseurs réalistes en fonction deκ2 et τ
Le prot des investisseurs réalistes est peu dépendant de la sensibilité au bruit de l'investisseur, ce qui est cohérent puisqu'un investisseur réaliste ne tient pas compte du bruit. En revanche son prot est fortement dépendant de la précision de l'information : leur prot est important lorsque l'information est précise.
Fig. 19 Evolution du prot des investisseurs non réalistes en fonction de κ2 etτ
Le prot des investisseurs irréalistes est peu dépendant de la sensibilité au bruit de l'investisseur, mais plus que dans le cas d'un investisseur réa- liste puisqu'un investisseur irréaliste accorde de l'importance à l'information
qu'il reçoit, qui est elle-même bruitée. En revanche son prot est fortement dépendant de la précision de l'information : leur prot est important lorsque l'information est précise, puisque, comme ils font conance à l'information qu'ils obtiennent, ils se permettent de plus échanger.
Fig. 20 Evolution du prot des investisseurs réalistes en fonction du nombre d'investisseurs irréalistes et deκ2
Lorsque le nombre d'investisseurs irréalistes augmente, le prot des in- vestisseurs réalistes diminue, tout comme lorsque la sensibilité au bruit des investisseurs augmente. Ceci est en accord avec la théorie puisque les irréa- listes sont à l'origine de beaucoup de bruit. En revanche, le maximum des prots des réalistes est obtenu pour K2 tendant vers zéro.
Fig. 21 Evolution du prot des investisseurs non réalistes en fonction du nombre d'investisseurs irréalistes et deκ2
Lorsque le nombre d'investisseurs irréalistes augmente, leur prot dimi- nue tout comme lorsque la sensibilité au bruit des investisseurs augmente.
En revanche, les investisseurs irréalistes présentent un maximum de prot pour K2 non nul, ce qui signie que le bruit peut avoir un eet positif sur le prot des investisseurs irréalistes, ce qui n'est pas le cas pour les investisseurs réalistes.
6.4 Optimisme et surconance
0 2
4 6
8 10
0 5
10 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
k1 k2
lambda
Fig. 22 Liquidité du marché avec des investisseurs non réalistes
0 2
4
6 8
10
0 5
10 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95
k1 k2
lambda
Fig. 23 liquidité du marché avec des investisseurs non réalistes et un market maker pessimiste
La liquidité du marché qui est l'inverse de lambda augmente lorsque K1 augmente et diminue avec K2. En eet un investisseur pessimiste sera plus enclin à échanger de nombreux actifs car il craint la dévaluation de ces derniers, alors que l'investisseur sousconant conserve ses actifs car il sousé- value la précision de ses informations. On remarque également que le market maker optimiste a tendance a accentuer les eets du manque de réalisme des investisseurs.
0 5
10 15
20 25
0 5
10 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
k1 tau
Profit des investisseurs non réalistes
Fig. 24 Esperance du prot des investisseurs non réalistes avec un market maker optimiste
0 5 10 15 20 25
0 5
010 0.005
0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
tau k1
Profit des investisseurs non réalistes
Fig. 25 Esperance du prot des investisseurs non réalistes avec un market maker réaliste
0 5
10 15
20 25
0 5
10 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012
k1 tau
Profit des investisseurs non réalistes
Fig. 26 Esperance du prot des investisseurs non réalistes avec un market maker pessimiste
Les trois courbes ci-dessus sont très similaires. Sur chaque courbe on remarque que le prot est maximal pour une certaine valeur de K1 et τ qui de ne dépend pas du caractère du market maker. De plus, on peut voir que plus le market maker est pessimiste, plus le prot des investisseurs non réalistes diminue.
0 5
10
15 20
25
0 5
10 0 0.05 0.1 0.15 0.2
k1 tau
Profit des investisseurs réalistes
Fig. 27 Esperance du prot des investisseurs réalistes avec un market maker optimiste
0 5
10 15
20 25
0 5
10 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04
k1 tau
Profit des investisseurs réalistes
Fig. 28 Esperance du prot des investisseurs réalistes avec un market maker réaliste
0 5
10
15 20
25
0 5
10 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 0.013 0.014
k1 tau
Profit des investisseurs réalistes
Fig. 29 Esperance du prot des investisseurs réalistes avec un market maker pessimiste
On obtient une nouvelle fois trois courbes similaires. Mais ici le maximum est obtenu lorsqueK1tend vers0. On retrouve également le fait que le prot des investisseurs réalistes diminue lorsque K¯1 augmente.En eet, le market maker pessimiste a tendance a diminuer la quantité des actifs échangés sur le marché et donc à réduire les prots de investisseurs.
0 2
4 6
8 10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 01 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
tau Proportion d investisseurs non réalistes
Profit des investisseurs non réalistes
Fig. 30 Esperance du prot des investisseurs non réalistes en fonction de la proportion d'investisseurs non réalistes
0
5
10
0 0.5 01
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
tau Proportion d investisseurs non réalistes
Profit des investisseurs non réalistes
Fig. 31 Esperance du prot des investisseurs non réalistes en fonction de la proportion d'investisseurs non réalistes avec¯a >0
0
5
10
0.2 0 0.6 0.4
1 0.8 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035
tau Proportion d investisseurs non réalistes
Profit des investisseurs réalistes
Fig. 32 Esperance du prot des investisseurs réalistes en fonction de la proportion d'investisseurs non réalistes
0
5
10
0 0.5 1 0 0.02 0.04 0.06 0.08
Proportion d investisseurs non réalistes tau
Profit des investisseurs réalistes
Fig. 33 Esperance du prot des investisseurs réalistes en fonction de la proportion d'investisseurs non réalistes avec¯a >0
Les 4 courbes ci-dessus sont tracées pour des investisseurs sousconants et pessimistes. Sur la gure 6.4 on peut voir que le prot des investisseurs non réalistes diminue lorsqueτ augmente. Lorsque l'information est erronée l'investisseur sousconant voit ses prots diminuer car l'importance du bruit cummuler avec son caractère sousconant le pousse à minimiser ses échanges d'actifs. De plus lorsque le market maker est optmiste la baisse des prots pour τ grand devant 1 est nettement plus importante. On retrouve donc le même phénomène que sur la gure 6.4, page 33 : le market maker optimiste
a tendance à accentuer les eets liés au manque de réalisme des investisseurs.
Sur la gure 6.4, on remarque que les investisseurs réalistes maximise leur prot pour une valeur deτ non nulle. En eet il existe un degré d'information optimal pour lequel ils protent au mieux de leur avantage stratégique sur les investisseurs non réalistes. De plus, leur prot diminue plus vite lorsque τ augmente car les investisseurs réalistes manquent de sensibilité au bruit par rapport aux investisseurs sousconants.
Dans tous les cas plus la proportion d'investisseurs non réalistes est faible plus les prots sont élevés car un trop grand nombre d'investisseurs non réalistes fausse complètement le marché et empèche une analyse correcte des informations.
7 Synthèse
Contre toute attente l'information n'est pas le facteur prédominant dans l'évolution du prot sur les marchés nanciers, tout comme le bruit qui peut s'avérer avantageux pour les investisseurs. En eet, le problème pour un in- vestisseur est la révélation de son information au travers de ses échanges dans un marché ecient.
Ainsi un investisseur bien informé passe une commande fonction de son information et donc la révèle, comme par exemple dans le modèle de Kyle, où l'initié révèle la moitié de son information et orchestre du même coup une diminution de ses prots. C'est ainsi que le bruit peut servir de bouclier à l'investissement, il peut même optimiser les prots dans le cadre du bruit optimal étudié dans le modèle de Dridi-Germain. L'information est alors masquée par le bruit et les autres investisseurs ne peuvent pas agir car elle n'est plus révélée. C'est d'ailleurs pourquoi les demandes sont plus grandes lorsque le bruit est élevé : les investisseurs ne craignent pas de perdre le pri- vilège de leur information et la compétition est faible.
On observe d'une manière générale la diminution des prots de chaque investisseur lorsque le nombre d'initiés augmente. Le caractère exclusif de l'information est alors une donnée capitale en terme d'investissement sur le marché. Plus précisément, le prot des investisseurs réalistes diminue avec une proportion croissante d'investisseurs non réalistes, dans le modèle Op- timisme/Pessimisme. C'est aussi vrai dans le modèle de Dridi-Germain, les prots diminuent si le nombre d'initiés augmente, mais ne tend pas forcé- ment vers zéro, malgré l'existence d'un maximum pour un nombre idéal de participants.
Plus sophistiqués sont les modèles d'Optimisme/Pessimisme Pur et de Sur/Sousconance où il existe des cas pour lesquels être optimiste est avan- tageux. C'est le cas dans un milieu de désinformation légère où les investis- seurs réalistes ne prennent pas le risque d'investir alors que cela peut s'avérer protable. Par contre, un excès d'optimisme ou de pessismisme est toujours pénalisant pour l'investisseur. Dans un milieu de désinformation, le prot des investisseurs sousconant diminue moins vite que celui des investisseurs réalistes, car ils sont sensibilisés au bruit. On voit ainsi que le manque de réalisme ne détermine pas nécessairement l'évolution des prots.
Mais le teneur de marché peut lui aussi être irréaliste, accentuant ainsi les phénomènes liés au manque de réalisme des investisseurs. On remarque aussi que les investisseurs irréalistes augmentent leurs prots avec un teneur de marché de tendance opposée. Les investisseurs réalistes font toujours un meilleur prot, croissant avec l'erreur que fait le teneur de marché sur l'es-
pérance en valeur absolue. On notera que les irréalistes dans une zone de désinformation sont toujours perdant car on ne se base alors que sur son information première, complètement faussée chez les non réalistes.
