Première STG Devoir maison n ° 6. 2007 2008 Exemple de corrigé.
Partie I : étude de deux modèles
1. Première hypothèse de croissance
En analysant l'évolution récente, on fait d'abord comme hypothèse que le nombre d'utilisateurs réguliers d'internet va augmenter de 150 personnes par an. On note u0 = 500 la population en 2005, et
un la population en ( 2005 + n ).
a. Le nombre d'utilisateurs réguliers d'internet augmente de 150 personnes par an.
Donc on passe du terme un à son suivant un+1 en ajoutant 150.
Donc la suite ( un ) est une suite arithmétique de premier terme u0 = 500 et de raison a = 150.
b. Exprimons un en fonction de n. La formule donnant le terme général d'une suite arithmétique est un = u0 + n a = 500 + 150 n.
c. Pour trouver l'année le nombre d'utilisateurs atteindra 1600, je cherche n tel que un = 1600 ⇔ 500 +150 n = 1600 ⇔ 150n = 1600 − 500 = 1100 ⇔ n = 1100
150 ≈ 7,33.
u7 = 500 + 150 × 7 = 500 + 1050 = 1550.
u8 = 500 + 150 × 8 = 500 + 1200 = 1700.
C'est donc en 2013 que le nombre d'utilisateurs réguliers atteindra 1600.
2. Deuxième hypothèse de croissance
On travaille avec l'hypothèse d'une augmentation de 1,5 % par an.
On note vn le nombre d'utilisateurs réguliers en ( 2005 + n ). Nous avons alors v0 = 500.
a. On travaille avec l'hypothèse d'une augmentation de 1,5 % par an.
Donc on passe du terme v0 au terme v1 en multipliant par 1 + 1,5 % = 1,015.
v1 = 500 × 1,015 = 507,5. Donc le nombre d'utilisateurs réguliers en 2006 est proche de 508.
v2 = 508 × 1,015 = 515,62. Donc le nombre d'utilisateurs réguliers en 2007 est proche de 516.
b. On passe du terme vn à son suivant vn+1 en multipliant par 1,015.
Donc la suite ( vn ) est une suite géométrique de premier terme v0 = 500 et de raison b = 1,015.
Exprimons vn en fonction de n : vn = v0× bn = 500 × 1,015n .
c. Calculons le nombre d'utilisateurs réguliers en 2020 : 2020 = 2005 + 15. Donc n = 15.
v15 = 500 × 1,01515 ≈ 625,11. En 2020, il y aura environ 625 utilisateurs réguliers.
En examinant l'évolution de villes comparables, des experts ont estimé que le nombre d'utilisateurs réguliers de la ville Suite allait doubler en 15 ans.
d. D'après les experts, le nombre d'utilisateurs réguliers de la ville Suite sera donc de 500 × 2 = 1000.
Or, d'après les calculs, en 2020, il y aura 625 personnes.
Donc le résultat ne correspond pas à ce que pensent les experts.
Partie II : analyse des résultats sur tableur
On veut utiliser un tableur pour comparer l'évolution de la population suivant les deux modèles :
A B C
1 Année un vn
2 2005 500
3 2006 650
4 2007 800
5 2008 950
6 2009 1100
7 2010 1250
8 2011 1400
9 2012
10 2013
11 2014
12 2015
1. Une formule possible à entrer en B3, pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite ( un ) est
= B2 + 150.
2. Une formule possible à entrer en C3, pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite ( vn ) est
= C2 × 1,015.
3. En cellule B8, le résultat affiché sera 140. Voir les calculs dans le tableau ci-dessus.
