Quasicristaux : un pont entre informatique théorique, mathématiques discrètes et physique de la matière condensée
Un cristal est un arrangement d'atomes périodique dans trois directions indépendantes. C'est un matériau ordonné, au sens (physique) où sa gure de diraction est essentiellement discrète (ce qu'on peut formaliser mathéma- tiquement, voir, e.g., [BG13], Chap. 9). Bien que la communauté scientique ait longtemps pensé que cette notion d'ordre était équivalente à la pério- dicité, la découverte en 1982 de matériaux ordonnés mais non-périodiques, bientôt appelé quasicristaux, provoqua un changement de paradigme (of- cialisé en 1992 par l'union internationale de cristallographie) et ouvrit un nouveau champ de recherches, notamment théoriques. Je distinguerai ici trois questions fondamentales, chacune conduisant à plusieurs axes de recherche qui structurent ce projet :
Structure : à quoi ressemble une structure non-périodique ordonnée ? Formation : comment une telle structure peut-elle se former ?
Propriétés : quelles propriétés a-t-elle ?
Ce projet est résolument pluridisciplinaire, mais l'informatique y tient une place particulière. En eet, si physique et mathématiques ont marché de pair pour l'étude des quasicristaux dès leur découverte, cette symbiose s'est petit-à-petit étiolée (ce que déplorent plusieurs scientiques, dont Denis Gratias, co-auteur de l'article ocialisant le découverte des quasicristaux). Et l'informatique théorique me semble orir la possibilité de raviver et renouve- ler cette interdisciplinarité, d'une part parce qu'elle combine le pragmatisme de la physique avec la rigueur des mathématiques, d'autre part parce que certains résultats très récents montrent que des caractérisations calculatoires apparaissent naturellement dans ce domaine (par exemple, [FS16]).
Ce projet est articulé en plusieurs axes. Les axes 1, 2 et 3 gravitent autour de la question de la structure des quasicristaux. Les axes 5 et 6 sont centrés sur la formation des quasicristaux, chacune via une approche propre inspirée par des procédés expérimentaux diérents (recuit simulé vs croissance incré- mentale). L'axe 4 est à cheval entre structure (quasicristaux imparfaits) et formation (inspiré par le procédé expérimental historique - le quenching). La question des propriétés des quasicristaux concerne plus le domaine de la phy- sique mais soulève néanmoins des problèmes théoriques, notamment celui de la localisation qui constitute l'axe 7. Enn, l'axe 8 se propose de confronter la théorie à la pratique en essayant de fabriquer de nouveaux quasicristaux.
Plusieurs de ces axes de recherche sont déjà présents dans le projet ANR- JCJC QuasiCool que j'ai porté jusqu'à janvier 2018. Certains sont directe- ment dans la continuité, comme les axes 1, 2, et il s'agit d'aller plus loin dans les résultats déjà obtenus. D'autres n'ont été nalement que peu abor- dés durant le temps imparti au projet QuasiCool, que ce soit à cause de leur diculté (je pense notamment aux axes 4 et 5 qui ont mobilisé un post- doctorant et un doctorant jusqu'à n 2016) ou plutôt par manque de temps (je pense à l'axe 6, qui n'a été sérieusement abordé qu'avec l'encadrement d'une thèse sur le sujet depuis octobre 2016). L'axe 3 est un projet dormant depuis ma thèse, pour lequel j'ai eu récemment un regain de motivation (en- cadrement d'un stagiaire de M2 et bientôt d'une thèse) car il pourrait orir des outils très utiles dans les autres axes dédiés à la structure des quasicris- taux. Les axes 7, et 8, mûris ces dernières années, débordent largement le projet QuasiCool.
Table des matières
1 Règles locales 3
2 Géométries 4
3 Substitutions 5
4 Pavages aléatoires 6
5 Flips stochastiques 7
6 Auto-assemblage 9
7 Localisation 10
8 Réalisation pratique 11
1 Règles locales
Un pavage est un recouvrement d'une région (possiblement innie) par des compacts appelés tuiles dont les intérieurs sont disjoints. La problématique générale posée par les pavages est de comprendre comment les contraintes locales dues à la rigidité des tuiles se propagent à travers la région.
Dans le cadre d'une modélisation des quasicristaux, les tuiles jouent le rôle de constituants élémentaires de la matière, et la façon dont elles peuvent localement s'agencer renvoie aux interactions énergétiques inter-atomiques qui stabilisent le matériau (stabilisation qui reste l'un des problèmes ma- jeurs de la quasicristallographie actuelle). Les quasicristaux eux-mêmes cor- respondent alors aux pavages apériodiques, i.e., sans invariance par transla- tion, mais néanmoins ordonnés, i.e., leur spectre est discret1.
Une classe particulièrement étudiée de pavages apériodiques ordonnés sont ceux obtenus par la méthode de coupe et projection, introduite par De Bruijn [DB81], qui revient à discrétiser un k-plan (appelé pente du pavage) d'un espace de dimension d > k (pour une présentation générale, voir, par exemple, [BG13], Chap. 7 ou [Sen95], Chap. 2). L'ordre vient dans ce cas de la planarité, tandis que l'apériodicité correspond aux pentes irrationnelles.
Modéliser les quasicritaux pose alors le problème de déterminer lesquels de ces pavages admettent des règles locales, c'est-à-dire sont décrits simplement par la façon dont leurs tuiles peuvent localement s'arranger2.
Les premiers résultats allant au-delà d'exemples isolés remontent aux an- nées 90 ([Lev88, Soc90, LPS92, LP95, Le95, Le97]), sans qu'une caractérisa- tion complète ne soit obtenue. C'est ce projet que j'ai repris il y a quelques années avec Nicolas Bédaride et Mathieu Sablik. Nous avons obtenus plu- sieurs résultats publiés (décrits par ailleurs dans la description de mes tra- vaux) et je pense pouvoir, grâce à l'expertise acquise, arriver enn à une caractérisation complète dans les prochaines années.
Une telle caractérisation n'aurait pas seulement un intérêt dans le contexte de la modélisation des quasicristaux mais aussi plus généralement en dyna- mique symbolique, où elle apporterait une pierre à la classication des espaces de pavages de type ni (problème ouvert 32 dans le chapitre open problems in symbolic dynamics écrit par Mike Boyle dans [BDP08]).
1. Le spectre d'un pavage est, en gros, la transformée de Fourier de la mesure concentrée sur les centres des tuiles - pour une dénition plus rigoureuse voir, par exemple, [BG13]
Chap. 9 ou [Sen95] Chap. 3.
2. Plus formellement, ces règles locales sont la donné d'un ensemble ni de congura- tions nies que ces pavages ne doivent pas contenir - on parle de motifs interdits
2 Géométries
Avec Nicolas Bédaride, nous nous sommes aperçus qu'il était naturel de décomposer le problème de l'existence de règles locales (axe de recherche pré- cédent) en deux sous-problèmes, pente et planarité, qui créent naturellement des liens vers la géométrie algébrique et la géométrie discrète. L'objectif de cet axe de recherche est, au-delà de la caractérisation recherchée dans l'axe précédent, de mieux comprendre ces liens.
Le problème de la pente consiste à trouver des règles locales qui forcent une discrétisation de plan à avoir une pente donnée (sans exclure a priori que des pavages autres que des discrétisations de plan puissent satisfaire ces règles locales). Nous avons montré (travaux encore non tous publiés) qu'il y a une correspondance entre les motifs interdits par de telles règles locales et des équations algébriques sur les coordonnées grassmanniennes des pentes dont les discrétisations satisfont ces règles locales. Je voudrais approfondir les liens surprenants que ces coordonnées grassmanniennes font entre combi- natoire des pavages et géométrie algébrique3. Il ne s'agit pas d'apporter une contribution fondamentale en géométrie algébrique, mais plutôt d'utiliser et illustrer certaines notions ou méthodes classiques. En particulier, le fait que les coordonnnées grassmanniennes d'un plan correspondent aux fréquences des diérentes tuiles dans sa discrétisation jette sur cette notion un nouvel éclairage sans doute plus intuitif. Je voudrais également mieux comprendre les variétés algébriques dénies par les équations associées à des règles locales (leur forme assez particulière semble entraîner un faible degré algébrique des solutions). C'est une question que j'ai commencé à aborder avec Julien Gri- vaux (CNRS & Univ. Marseille, géomètre algébriste) en cherchant des trans- formations birationnelles permettant de simplier ces systèmes d'équations, ainsi qu'avec Amir Hashemi (Univ. Ispahan, Iran, qui fait de la géométrie algébrique eective4) en utilisant les algorithmes de résolution pour essayer de trouver des exemples de degré algébrique le plus élevé possible.
Le problème de la planarité, complémentaire, consiste à déterminer quand des règles locales forcent un pavage à être une discrétisation de plan (donc ordonné) et non une discrétisation d'une surface moins régulière. Nos travaux ont montré que la notion de sous-période d'un pavage (une sorte de périodi- cité plus faible qui se voit non sur la pavage mais sur certaines projections particulières) jouait un rôle clef. Or cette notion se traduit assez naturelle- ment dans le monde du continu (celui de la surface discrétisée), où elle est
3. Qui s'ajoutent aux récents liens entre ces domaines pour prouver la conjecture de Nivat, voir [KS15].
4. Computational algebraic geometry.
plus facile à étudier grâce aux outils classiques de géométrie diérentielle.
L'essentiel du problème se ramène donc à faire le lien entre ce monde continu et celui, discret, du pavage : c'est typiquement une question de géométrie discrète, un domaine très étudié en informatique (manipulation du continu par un ordinateur). Notre conjecture principale5 illustre bien ce lien : Conjecture 1 Des règles locales caractérisent des pavages qui sont tous des discrétisations de plans si et seulement si les seules surfaces diérentiables dont les plans tangents, discrétisés, vérient ces règles locales sont des plans.
Soulignons que ce problème de la planarité concerne également la mo- délisation des quasicristaux : des règles locales décrivant un continuum de discrétisations de plans, contenant à la fois des plans irrationnels et ration- nels, pourraient expliquer pourquoi certaines expériences ratent et donnent un matériau ordonné mais périodique, i.e., pas avec la bonne pente (on parle d'approximants périodiques).
3 Substitutions
Historiquement, la première méthode pour dénir des pavages apério- diques ordonnées est celle par substitution. Une substitution est dénie sur un ensemble de tuiles donné : c'est une application qui associe à chacune de ces tuiles un motif constitué d'un nombre ni de ces tuiles. Elle est étendue pour agir sur les motifs ou les pavages grâce à une règle déterminant com- ment les images de tuiles voisines doivent être positionnées l'une par rapport à l'autre (une généralisation en dimension supérieure à1de la concaténation des mots). Ceci permet, en itérant la substitution (si tout se passe bien), de dénir des pavages qui ont naturellement une structure hiérarchique, chaque tuile étant repérée par sa position dans la meta-tuile image par la substi- tution d'une tuile parente. Cette structure facilite l'étude des pavages ainsi générés, ce qui explique sans doute que c'est pour ce type de pavages qu'on a le plus de résultats (voir, par exemple, [BG13], Chap. 6).
Le problème qui m'intéresse plus particulièrement est de comprendre les liens avec les autres méthodes connues pour dénir des pavages apériodiques ordonnées : la méthode de coupe et projection et les règles locales abor- dées dans l'axe 1 ou les codages de systèmes dynamiques [Kar96, JR15] (par exemple des échanges d'intervalles ou des rotations irrationnelles sur le tore).
Le résultat le plus abouti dans cette direction est sans doute que tout pavage substitutif peut être décrit par règles locales (modulo certaines conditions sur
5. Que nous savons prouver quand les pentes sont des hyperplans, mais qui devient plus dicile en codimension supérieure.
la substitution, voir [Moz89, GS98, FO10]). Les autres liens sont moins bien connus. Il existe quelques résultats sur les codages de systèmes dynamiques (notamment ceux, encore non publiés, de Sébastien Labbé et Thierry Mon- teil), et on connait les pavages substitutifs pouvant être obtenus par coupe et projection canonique (un type particulier de discrétisation, voir [Har04]).
C'est principalement sur ce dernier point, au-delà du cas canonique, que j'aimerais travailler. Au printemps 2017, j'ai encadré Victor Lutfalla (stage de M2 informatique de l'Ens de Lyon) qui a travaillé sur une famille de pa- vages substitutifs introduite par Jarkko Kari et Markus Rissanen pour leurs propriétés de symétrie [KR16]. Il a montré que ces pavages ne pouvaient pas être obtenus par coupe et projection, puis construit une famille substitutives avec les mêmes propriétés de symétrie mais qui pouvait, elle, être obtenue par coupe et projection. Il s'agit ici d'une famille particulière de pavages, et le projet de thèse de Victor Lutfalla, que je dois diriger à partir de sep- tembre 2018, serait de caractériser plus généralement les pentes des pavages qui peuvent être obtenus à la fois par coupe et projection (pas forcément canonique) et par substitution (il y a plusieurs types de substitutions en- visageables, un type qui me semble particulièrement prometteur étant les substitutions généralisées introduites dans [AIS01] et sur lesquelles peu de propriétés sont encore connues). L'objectif serait notamment de prouver la conjecture suivante (prouvée en 2007 dans ma thèse en codimension 1, i.e., pour k=d−1) :
Conjecture 2 Un k-plan de Rdpeut être discrétisé par un pavage substitutif si et seulement si c'est l'espace propre expansif6 d'une matrice de MCk
d(Z). Ce type de résultat a aussi des liens avec la théorie des nombres (du moins en codimension 1, et il s'agit de voir ce qu'il en est en codimensions supérieures). En eet, la génération par substitutions d'un pavage discrétisant un espace linéaire peut être vue comme un algorithme de fractions continues multidimensionnelles qui approxime une base de cet espace linéaire (la vitesse de convergence étant alors relié à la qualité de la discrétisation).
4 Pavages aléatoires
On place des rois sur un échiquier8×8de sorte à ce qu'aucun n'attaque un autre. Si on choisit uniformément au hasard parmi toutes les façons de procéder, alors on montre que le nombre de rois le plus probable est10[Slo].
6. C'est-à-dire l'espace propre associé aux valeurs propres de module strictement supé- rieur à 1.
De manière équivalente, en voyant chaque roi comme le coin supérieur gauche d'une tuile carrée de côté 2, ce résultat nous dit que parmi les pa- vages d'une grille 9×9 par des tuiles carrées de côté 1 ou 2, le nombre de grandes tuiles le plus probable est 10. Qu'en est-il, asymptotiquement, sur une grille n×n? Le post-doctorat de Johan Nilsson (20142016) et la thèse d'Alexandra Ugolnikova (20132016), que j'ai encadrés, ont porté notamment sur ce sujet (voir [Nil17], qui a permis d'étoer la référence [Slo], et [RU16]).
Cet exemple illustre la problématique de cet axe de recherche : dans un ensemble de pavages vériant une propriété commune, que peut-on dire (avec une probabilité qui tend vers 1 quand la taille du système tend vers l'inn) d'un pavage typique, c'est-à-dire tiré aléatoirement ? Dans le contexte de la modélisation des quasicristaux, cela revient à se demander à quoi peut ressembler un matériau obtenu par quenching - une méthode de refroidisse- ment très rapide qui, en quelques sortes, ge un pavage aléatoire (l'idée est qu'avant refoidissement, le matériau évolue rapidement et aléatoirement entre les diérents états possibles). En particulier, quand peut-on obtenir ainsi des quasicristaux (les premiers ont été obtenus ainsi) et avec quelle qualité de structure ?
Le cas de loin le mieux connu est celui des pavages par dimères (par exemple, les pavages par dominos sur une grille carrée), où des outils puis- sants (formules combinatoires déterminantales) ont été développés et les pa- vages typiques sont bien caractérisés (voir, notamment, [CKP01, KOS06]).
Il semble cependant très dicile d'aller au-delà de ce cas, du moins avec le même degré de rigueur, car il n'existe pas - ou très peu - d'outils. L'objectif de cet axe est plutôt de formuler des conjectures grâce à des simulations in- formatiques (tirage aléatoire de pavages - voir axe 5) ou d'obtenir grâce à des calculs intensifs des encadrements (par exemple sur la proportion typique de tuiles 2×2 dans l'exemple initial).
5 Flips stochastiques
Un ip est une opération élémentaire sur les pavages qui consiste à échan- ger localement quelques tuiles. Par exemple, un ip sur un pavages par domi- nos consiste à remplacer un carré2×2pavé par deux dominos horizontaux en un carré2×2pavé par deux dominos verticaux (ou inversement). Cette opé- ration permet donc de se déplacer dans l'ensemble des pavages, et l'objectif de cet axe de recherche est d'étudier les propriétés des marches aléatoires qu'on peut réaliser un faisant des ips au hasard. Plus précisément, la question centrale est la convergence de telles marches aléatoires vers leur distribution stationnaire (quand elle existe et est unique).
La motivation dans le contexte des quasicristaux vient de ce que ces ips semblent véritablement correspondre à des modications locales du matériau lors de sa formation (voir, par exemple [LCCG96, EMH+14]). Connaître la distribution stationnaire donne alors une idée de la structure du matériau qu'on peut in ne obtenir, tandis la vitesse de convergence donne une idée de la réalisabilité pratique du matériau (il faut une convergence rapide).
Les résultats connus dans ce domaine concernent principalement les di- mères (pavages par dominos sur la grille carrée ou par losanges sur la grille triangulaire), dans le cas où les ips sont faits au hasard sans dépendre de leur environnement local [Wil04, LRS01, CMT12, LT15]. On peut aussi citer les résultats, obtenus par Alexandra Ugolnikova pendant sa thèse, sur les pavages par carrés de côté1ou2et les pavages du réseau trihexagonal (deux articles soumis).
Le cas que je voudrais plus spéciquement étudier dans cet axe de re- cherche est celui des pavages par coupe et projection avec règles locales (Axe 1), les ips étant tirés au hasard avec une pondération dépendant de leur environnement local ainsi que d'un paramètre température. L'idée est de partir d'un pavage qui ne vérie pas les règles locales puis de le corri- ger par ces ips pondérés, le paramètre température jouant sur la tolérance à la violation des règles locales. Il s'agit en fait d'un algorithme de recuit simulé, l'intérêt ici n'étant pas tant l'ecacité de l'algorithme que sa capa- cité à modéliser un processus réaliste (qui correspondrait à la méthode de Bridgman-Stockbarger, réellement utilisée en laboratoire). De manière sur- prenante, il semble que si les règles locales peuvent être corrigées par ips (i.e., il existe au moins une séquence de ips qui le fait), alors le plus simple des recuits simulés - une bête descente de gradient - sut en fait à faire cette correction. Aussi un objectif concret serait de prouver la conjecture suivante (prouvée dans un des plus simples cas particulier dans [FR10]) :
Conjecture 3 Si un pavage peut être transformé par ips en un pavage par coupe et projection qui admet des règles locales, alors il le sera aussi en faisant des ips aléatoires qui n'augmentent jamais le nombre de règles locales violées.
Je conjecture de plus que le temps moyen de correction (nombre de ips faits) est logarithmique en la taille du pavage initial (convergence rapide). Le cas de pavages innis est aussi à étudier (on peut par exemple imaginer des horloges en chaque site qui déclenchent un ip à cet endroit).
6 Auto-assemblage
Cet axe est complémentaire du précédent, au sens où il correspond à la deuxième grande méthode pour produire des quasicristaux : une croissance par accrétion progressive sur une graine ou germe (méthode de Czochralski).
En termes de pavages, il s'agit de trouver un algorithme déterministe et local (chaque tuile est ajoutée - ou pas - sur la base d'une inspection locale du pavage) qui, à partir d'un motif initial ni (la graine), produise un pavage inni déni par des règles locales - on dit que la graine engendre le pavage.
Il est a priori dicile d'obtenir des pavages apériodiques de cette façon, puisqu'on sait qu'il existe toujours des motifs arbitrairement grands qui, bien que respectant les règles locales, ne peuvent pas être étendus en pavages in- nis respectant les règles locales (ce sont les déceptions mise en évidence dans [DS95]). De plus, pour tout pavage par coupe et projection qui admet des règles locales et toute motif ni de ce pavage, il existe un autre pavage vériant les mêmes règles locales, contenant le même motif, et pourtant dif- férent (au-delà de ce motif). On ne peut donc pas espérer engendrer de façon déterministe un tel pavage, ce qui laisse penser qu'il faut nécessairement un processus non-local [Pen89].
Cependant, [Soc99] donne l'exemple d'une graine défectueuse (ne véri- ant pas les règles locales) qui génère un pavage du plan qui respecte par- tout ailleurs ces règles locales. Ce pavage ne vérie donc pas stricto sensu les règles locales, mais il ressemble beaucoup à un pavage qui vérie partout ces règles locales (dans ce cas il s'agit d'un pavage de Penrose). En particu- lier, tout motif ni de ce pavage défectueux qui ne contient pas la graine (ni ne l'entoure) est aussi un motif du pavage non défectueux, ce qui le rend tout aussi apériodique et ordonné que ce dernier. En d'autres termes, on obtient essentiellement le même pavage. . .
L'objectif de cet axe est d'aller au-delà de cet exemple isolé. J'encadre depuis novembre 2016 la thèse d'Ilya Galanov sur ce sujet, et les résultats pour l'instant obtenus supportent l'hypothèse de l'existence générale de telles mauvaises graines aux bonnes propriétés. Plus précisément, le travail en cours conduit à conjecturer :
Conjecture 4 Pour tout pavage par coupe et projection qui admet des règles locales, il existe une graine qui engendre essentiellement le même pavage.
Un tel résultat serait intéressant car il montrerait que, contrairement à ce qu'on a pu penser jusqu'à aujourd'hui, il n'est pas si dicile de construire par accrétion des pavages apériodiques ordonnées. Cet axe pourrait de plus
aussi être combiné avec l'approche par ips stochastique de l'axe précédent, puisque les récentes expériences en laboratoire suggèrent une croissance hy- bride, qui combine accrétion à partir d'une graine et réordonnancement local par des sortes de ips [NINE15].
Il conviendra aussi de comparer cette approche au modèle d'assemblage introduit par Winfree et assez largement étudié depuis (abstract Tile Assem- bly Model, [Win98]), dans lequel les tuiles ne sont plus simplement ajoutées si elles vérient les contraintes locales mais si elles vérient un nombre susant de telles contraintes - ce qui permet de jouer sur l'ordre dans lequel les tuiles sont ajoutées (on parle aussi d'assemblage à température 2, voir par exemple [BRS08] ou [KKM+17]).
7 Localisation
Les quasicristaux sont remarquables par leurs propriétés électroniques et thermiques paradoxales : solides comme les autres alliages métalliques, leur conduction électrique et thermique est a contrario très faible, ce qui en fait un composant idéal à la réalisation de barrières isolantes ([DJ98]). Derrière ces propriétés de conduction électronique ou thermique se cache le rôle de la structure particulière des quasicristaux dans le déplacement des électrons ou des phonons. Alors que le caratère périodique des cristaux métalliques en fait en quelque sortes des autoroutes à électrons, l'apériodicité des quasicristaux semble perturber fortement le transport et donne lieu à un phénomène ap- pelé localisation : la fonction d'onde d'un électron de conduction (qui associe à chaque position du matériau la probabilité qu'un électron soit en cet en- droit) n'est pas homogène (comme dans un cristal) mais semble au contraire se concentrer en certains points.
Plus formellement, étant donné un pavage apériodique et un réel positifλ, une fonctions d'ondes d'énergie λest une fonction Ψdénie sur les sommets du pavage qui vérie l'équation
X
i∼j
Ψ(i) =λΨ(j),
où la somme est prise sur les sommetsi voisins du sommetj. Si le cas unidi- mensionel (chaines apériodiques) est à peu près compris (voir, par exemple, [MJK+17] ou le gap labelling theorem [BIST89]), le cas des pavages apé- riodiques du plan ou de l'espace résiste depuis longtemps aux physiciens.
Cependant, les premières fonctions d'ondes vraisembables ont récemment été obtenues (simulations numériques et arguments heuristiques) pour des pa-
vages du plan, les pavages d'Ammann-Beenker et de Penrose [KK14, MJK+17].
Or ce sont des pavages par coupe et projection canonique qui admettent des règles locales (cf Axe 1) et, de manière surprenante, ces règles locales s'avèrent jouer un rôle important dans la dénition de ces fonctions d'ondes. C'est ce qui me fait penser que ce lien entre règles locales et fonction d'onde pourrait être étudié de façon plus générale et plus en détail, mettant à prot les résul- tats rigoureux obtenus pour les pavages par coupe et projection. L'objectif étant à terme de caractériser les fonctions d'ondes de tous les pavages par coupe et projection admettant des règles locales (niveau d'énergie possible, quantication du phénomène de localisation etc), ce qui sera un pas impor- tant vers la compréhension des propriétés électroniques et thermiques des quasicristaux.
Cet axe de recherche est délicat car il faut interagir avec les physiciens, qui peuvent avoir des approches ou méthodes de fonctionnement diérentes.
Ce dialogue interdisciplinaire fait partie de cet axe et s'inscrit dans la conti- nuité de mon travail - je pense par exemple à ma participation régulière à la conférence aperiodic (qui réunit expérimentalistes, physiciens théoriciens et mathématiciens) ou à l'école de 4semaines que j'ai organisée en juin 2016 à Oléron qui a permis de faire venir plusieurs physiciens (dont 4 des 5 au- teurs de l'article [MJK+17], par exemple) et de confronter les approches avec mathématiciens et informaticiens.
8 Réalisation pratique
Ce dernier axe de recherche, plus aventureux, nécessitera d'acquérir plu- sieurs nouvelles compétences. Je voudrais en eet à moyen terme m'investir dans la réalisation pratique de matériaux apériodiques. Ceci veut dire aller vers les physiciens de la matière condensé, plus loin qu'un simple pas pour justier des recherches théoriques. Je suis conscient des dicultés, notam- ment après avoir participé à des conférences très majoritairement orientés vers la physique (Aperiodic 2009 et Aperiodic 2012) et organisé une semaine physique pour un public mélant mathématiciens, informaticiens et physi- ciens en juin 2016 à Oléron, où j'ai pu constater des approches parfois très éloignées entre les diérentes communautés. Néanmoins, ces rencontres m'ont aussi montré que des choses qui étaient maintenant bien comprises par cer- taines communautés ne l'était guère par d'autres, ce qui motive ma volonté d'essayer d'améliorer les liens entre elles (liens qui semblaient plus forts dans les premières années après la découverte des quasicristaux).
L'approche que je veux développer irait de la théorie vers la pratique : essayer de construire un matériau réel en partant d'un modèle (typiquement
un pavage apériodique ordonné avec règles locales). C'est en eet l'approche contraire (de la pratique à la théorie) qui prédomine très largement aujour- d'hui : fabrication du matériau réel puis analyse de sa structure (avec appel au spécialiste du laboratoire si ça ressemble plus à un quasicristal qu'à un cristal). Cette dernière approche a sans doute l'avantage d'être moins ha- sardeuse : quelque soit le matériau produit, son analyse ne sera pas ininté- ressante, alors que la première approche peut fort bien conduire à ne rien produire du tout. Pourtant, il existe de nombreux pavages apériodiques or- données admettant des règles locales, donc avec une certaine prétention à modéliser un matériau réel, sans qu'un tel matériau n'ait encore jamais été synthétisé. Un exemple emblématique sont les pavages par coupe et projec- tion invariants par rotation d'angle 2π7 ([Soc90]), qui pourraient constituer un dé motivant :
Dé 1 Synthétiser un quasicristal avec une symétrie rotationnelle d'ordre 7. À défaut d'y parvenir, il serait intéressant d'identier les dicultés et comprendre si elles sont purement expérimentales ou bien révèlent une obs- truction théorique insoupçonnée.
Peut-être moins dicile que les quasicristaux à synthétiser (notamment pour des raisons d'échelle), les nanoparticules molles (soft nanoparticles) pourraient orir un terrain favorable à de telles expériences7. Ces nanoparti- cules molles sont des sphères dures avec potentiel annulaire qui permet plus ou moins l'interpénétration de ces anneaux mous. Dans ce cadre, on peut essayer d'émettre selon diérentes directions des ondes planes dont les in- terférences créeraient - comme la formulation en terme de multigrille de la méthode de coupe et projection [GR86] - un potentiel apériodique ordonné qui répartirait les nanoparticules. Des simulations montrent que cette tech- nique semble prometteuse [BEL14]. Si elle résout à peu près le problème de la formation, elle ne résout cependant pas celui de la stabilisation (que se passe-t-il lorsqu'on arrête d'émettre ces ondes qui ordonnent les particules ?).
Il s'agit donc d'un projet ambitieux qui, outre une collaboration avec des physiciens expérimentalistes (et sans doutes des physiciens théoriques pour faire le lien), pourrait mobiliser plusieurs doctorants ou post-doctorants. Le cadre d'un projet ERC est envisagé.
7. Discussions avec Anu Jagannathan, du Laboratoire de Physique des Solides de l'uni- versité Paris Sud, que j'avais invitée à parler lors de la conférence physique à Oléron déjà mentionnée.
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