6mai2010 MihaiGradinaru,YoannOret Propriétésasymptotiquesdediusionsinhomogènes

Introduction Résultats Ouvertures...

Quelques références Idées de preuves

Propriétés asymptotiques de diusions inhomogènes

Mihai Gradinaru, Yoann Oret

IRMAR, Université de Rennes 1

6 mai 2010

Introduction Résultats Ouvertures...

Quelques références Idées de preuves

Présentation et Objectifs Cas discret

Transition de phase Recuit simulé Dicultés

On considère l'équation diérentielle stochastique suivante : dX _t = dB _t + ρ sgn ( X _t ) |X _t |

t

dt , X _t

= x ₀ . (E) i) B mouvement Brownien unidimensionnel

ii) sgn ( x ) =

1 x ≥ 0

−1 x < 0

iii) ρ, α, β, x 0 ∈ R, t 0 ∈ ( 0, ∞ )

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Quelques références Idées de preuves

Présentation et Objectifs Cas discret

Transition de phase Recuit simulé Dicultés

dX t = dB t + ρ sgn ( X t ) |X t | ^α / t ^β dt , (E)

Décrire en fonction de ρ, α, β les propriétés asymptotiques de X Exemple β = 0, α = 1

X processus d'Ornstein-Ulhenbeck.

i) Si ρ < 0 alors X est récurrent et satisfait :

t lim

X _t =

N 0, (2|ρ|)

¹

, lim sup

t

X _t

√ ln t

p.s = |ρ|

ii) Si ρ > 0 alors X est transient et satisfait :

t lim

X _t e

^t

p

s

= G , G ∼ N x ₀ e

^t

, ( 2ρ )

¹ e

²

^t

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Présentation et Objectifs Cas discret

Transition de phase Recuit simulé Dicultés

dX t = dB t + ρ sgn ( X t ) |X t | ^α / t ^β dt , (E)

(E) est un analogue en temps continue du model étudié par M.

Menshikov et S. Volkov (2008) en lien avec le problème d'urne de Friedmann pour α = β = 1. Ils considèrent ( X n ) une marche aléatoire sur R

dont la dérive satisfait :

E X _n

1 − X _n X _n = x

= ρ x

n

Pour ρ > 0, β ≥ 0 la récurrence ou la transience de X est établie

en étudiant certaines martingales associées.

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Quelques références Idées de preuves

Présentation et Objectifs Cas discret

Transition de phase Recuit simulé Dicultés

α β

1 1

−1

β =

Recurrence

Transience

Zone Interdite

Recurrence pour ρ ≤

Transience pour ρ >

Question ouverte

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Présentation et Objectifs Cas discret

Transition de phase Recuit simulé Dicultés

dX t = dB t + ρ sgn ( X t ) |X t | ^α / t ^β dt , (E)

Pour ρ, β < 0 et α > −1 on pose : Y _s := X

s

, φ ( s ) = s

dY s = σ ( s ) dW s + ρ sgn ( Y s ) |Y s |

ds (E') W un mouvement Brownien, σ ( s ) = s

−→

s

0 (E') équation de recuit simulé. On peut montrer que

s lim

Y s =

p

s

0, minimum du potentiel V ( x ) = |ρ|

α + 1 |x |

¹

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Présentation et Objectifs Cas discret

Transition de phase Recuit simulé Dicultés

dX t = dB t + ρ sgn ( X t ) |X t | ^α / t ^β dt , (E)

(E) Equation inhomogène β 6 = 0.

i) Existence/unicité/temps d'explosion pour α < 0,α > 1 ? ii) Récurrence/Transience ? Mesure invariante ?

iii) Loi du type logarithme itéré ?

Equation homogène β = 0 : Les réponses sont données par la fonction d'échelle et la mesure de vitesse

i) Classication des points singuliers (A.S. Cherny H.J. Engelbert, 2004) / Test de Feller

ii) Théorème ergodique

iii) Théorème de Motoo (1959)

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Présentation et Objectifs Cas discret

Transition de phase Recuit simulé Dicultés

dX t = dB t + ρ sgn ( X t ) |X t | ^α / t ^β dt , (E)

(E) Equation inhomogène β 6 = 0.

i) Existence/unicité/temps d'explosion pour α < 0,α > 1 ? ii) Récurrence/Transience ? Mesure invariante ?

iii) Loi du type logarithme itéré ?

Equation homogène β = 0 : Les réponses sont données par la fonction d'échelle et la mesure de vitesse

i) Classication des points singuliers (A.S. Cherny H.J.

Engelbert, 2004) / Test de Feller ii) Théorème ergodique

iii) Théorème de Motoo (1959)

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Présentation et Objectifs Cas discret

Transition de phase Recuit simulé Dicultés

dX t = dB t + ρ sgn ( X t ) |X t | ^α / t ^β dt , (E)

Idée :

Se ramener au cas homogène par un changement de temps en utilisant la propriété d'invariance par changement d'échelle du mouvement Brownien B et l'homogénité spatiale et temporelle de la dérive

b ( µt, λx ) = λ

µ

b ( t, x )

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Cas répulsif :ρ >0 Cas attractifρ <0

dX t = dB t + ρ sgn ( X t ) |X t | ^α / t ^β dt , (E)

α β

1 1

−1

Recurrence

Transience

β =

Recurrence

Recurrence pour ρ ≤

Transience pour ρ >

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Cas répulsif :ρ >0 Cas attractifρ <0

dX t = dB t + ρ sgn ( X t ) |X t | ^α / t ^β dt , (E)

β=^α+1₂

α β

1 1

−1 1

2

3

1

x0∈(0,∞)⇒X∈(0,∞), ^√Xt_tt→∞≈ O^r_lnt,dO_t^r=dwt−¹₂O_t^rdt,O_t^r≥0 x0=0 =⇒ ∃!X ∀t>t0Xt∈(0,∞), ^√Xt_tt→∞≈ O^r_lnt

SE={λP⁺+ (1−λ)P⁻}, P^±∼ ±X 2 X∈R, ^√Xt_tt→∞≈ Olnt, dOt=dwt−¹₂Otdt

3 X∈R, P(τe=∞)∈(0,1), ^√Xt_tt→∞≈ Olnt, underP(· |τe=∞)

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Quelques références Idées de preuves

Cas répulsif :ρ >0 Cas attractifρ <0

dX t = dB t + ρ sgn ( X t ) |X t | ^α / t ^β dt , (E)

Théorème

Au dessus de la droite critique β >

₂ ¹ la diusion X est récurrent et a un comportement asymptotique type mouvement Brownien (ou mouvement Brownien rééchie) dans le sens ou :

t lim

X _t

√ t

=

N ( 0, 1 ) ( ou |N ( 0, 1 ) | ) , lim sup

t

X _t

√ 2t ln ln t

p

s

= 1

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Cas répulsif :ρ >0 Cas attractifρ <0

dX t = dB t + ρ sgn ( X t ) |X t | ^α / t ^β dt , (E)

β=^α+1₂

α β

1 1

−1 1

2

3

1

x0∈(0,∞)⇒X∈(0,∞), (T) :Xt_t→∞p.s.∼ c t^1−β1−α, c=_ρ(1−α) 1−β

_1−α¹ x0=0 =⇒ ∃!X ∀t>t0Xt∈(0,∞), (T)

SE={λP⁺+ (1−λ)P⁻}, P^±∼ ±X 2 X∈R, |Xt|_t→∞^p.s.∼ c t^1−α1−β

3 X∈R, P(τe=∞) =0

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Cas répulsif :ρ >0 Cas attractifρ <0

dX t = dB t + ρ sgn ( X t ) |X t | ^α / t ^β dt , (E)

Théorème

En dessous de la droite critique β <

₂ ¹ la diusion X est transiente et a le comportement asymptotique de la solution du systeme déterministe :

dx t = ρ sgn ( x t ) |x t |

t

dt

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Cas répulsif :ρ >0 Cas attractifρ <0

dX t = dB t + ρ sgn ( X t ) |X t | ^α / t ^β dt , (E)

α β

1 1

−1 Racine d’un processus

de Bessel d’indice2ρ+1 Processus

Gaussien

Xt

√t≡ζlnt, dζt=dwt+ (ρsgn(ζt)|ζt|^α−¹₂ζt)dt

x0∈[0,∞)⇒ ∃!X∈[0,∞)

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Cas répulsif :ρ >0 Cas attractifρ <0

dX t = dB t + ρ sgn ( X t ) |X t | ^α / t ^β dt , (E)

Théorème

Sur la droite critique β =

₂ ¹ la diusion X est recurrente et

t lim

X t

√ t

=

µ, lim sup

t

X t

√ 2t ln ln t

p

s

= 1

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Cas répulsif :ρ >0 Cas attractifρ <0

dX t = dB t + ρ sgn ( X t ) |X t | ^α / t ^β dt , (E)

Recurrence

Convergence vers 0 ^α

β

1 1

−1

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Cas répulsif :ρ >0 Cas attractifρ <0

dX t = dB t + ρ sgn ( X t ) |X t | ^α / t ^β dt , (E)

α β

β =

2 3

1 ^√Xtt_t→∞≈ Olnt, O≡O.U 2 t^Xγ/2t _t→∞≈ yt1−γ

1−γ, dyt=dwt+ρsgn(yt)|yt|^αdt, γ=_α+1^2β 3 ^√Xtt_t→∞≈ ζlnt, dζt=dwt+ (ρsgn(ζt)|ζt|^α−¹₂ζt)dt

1 1

−1

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Cas répulsif :ρ >0 Cas attractifρ <0

Théorème

Pour β ≥ 0 la diusion X est recurrente et

i) Au dessus de la droite critique X est recurrent et a un comportement asymptotique type mouvement Brownien.

ii) Sur la droite critique

t lim

X _t

√ t

=

µ, lim sup

t

X _t ( 2t ln ln t )

p

s

= c iii) Au dessous de la droite critique

t lim

X _t t

=

ν, lim sup

t

X _t t

(ln t)

p

s

= c

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Cas répulsif :ρ >0 Cas attractifρ <0

dX t = dB t + ρ sgn ( X t ) |X t | ^α / t ^β dt , (E)

α β

β =

1

1 t^Xγ/2t _t→∞≈ yt1−γ

1−γ, dyt=dwt+ρsgn(yt)|yt|^αdt, γ=_α+1^2β 1

1

−1

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Cas répulsif :ρ >0 Cas attractifρ <0

Théorème

Pour β < 0 la diusion X converge vers 0 et

t lim

X _t t

=

ν, lim sup

t

X _t t

( ln t )

p.s. = c

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Quelques références Idées de preuves

dX t = dB t + ρ sgn ( X t ) |X t | ^α / t ^β dt , (E)

i) Terme de dérive b ( t, x ) = g ( t ) f ( x ) , f ( t ) ∼ρt

et f ( x ) ∼x

ii) Terme diusion ε ≤ σ ≤ K

iii) En dimension supérieures.

iv) Equation dirigé par un processus h-stable B.

v) Diusion en environement aléatoire avec potentiel : V ( t, x ) = W ( x )

t

, {W ( x ) |x ∈ R} α + 1 − stable

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Quelques références Idées de preuves

A.S. Cherny, H.-J. Engelbert Singular Stochastic Dierential Equations, LNM 1858, Springer Verlag, 2004.

D.A. Freedman, Bernard Friedman's urn, Ann. Math. Statist.

36 (1965), 956-970.

M. Menshikov, S. Volkov Urn-related random walk with drift ρ x

/ t

, Elec. J. Probab. 13 (2008), p. 944-960.

M. Motoo, Proof of the law of iterated logarithm through diusion equation, Ann. Inst. Statist. Math. 10 (1959), 21-28.

K. Narita, Remarks on non-explosion theorem for stochastic

dierential equations, Kodai Math. J. 5 (1982), 395-401.

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Quelques références Idées de preuves

Merci

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Equations associées

dX t = dB t + ρ sgn ( X t ) |X t | ^α / t ^β dt , (E)

Soit ϕ un changement de temps et posons Y s := √ ^X

ϕ⁰(

s

dY s = dW s + ρ ϕ

( s )

ϕ ( s )

sgn ( Y s ) |Y s |

ds − 1 2

ϕ

( s )

ϕ

( s ) Y s ds (E")

Idée : Bien choisir ϕ dans le but d'étudier (E") et de se ramener au cas homogène

Exemples intéressants : ϕ ( s ) = e

et ϕ

( s ) = ϕ ( s )

, γ =

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Equations associées

dX t = dB t + ρ sgn ( X t ) |X t | ^α / t ^β dt , (E)

Soit ϕ un changement de temps et posons Y s := √ ^X

ϕ⁰(

s

dY s = dW s + ρ ϕ

( s )

ϕ ( s )

sgn ( Y s ) |Y s |

ds − 1 2

ϕ

( s )

ϕ

( s ) Y s ds (E") Idée : Bien choisir ϕ dans le but d'étudier (E") et de se ramener au cas homogène

Exemples intéressants : ϕ ( s ) = e

et ϕ

( s ) = ϕ ( s )

, γ =

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Equations associées

dY s = dW s + ρ ^ϕ

^{( s )}

α+1 2

ϕ ( s )

sgn ( Y s ) |Y s | ^α ds − ¹ ₂ ^ϕ _ϕ

₍ ⁽ _s ^s ₎ ⁾ Y s ds

β =

, ϕ ( s ) = e

dY _s = dW _s + ρ sgn ( Y _s ) |Y _s |

ds − 1

2 Y _s ds (E")

= ⇒ Description des solutions, du temps d'explosion et du

comportement asymptotique (recurrence, transience, convergence

en loi, loi du type logarithme itéré...)

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Equations associées

dY s = dW s + ρ ^ϕ

^{( s )}

α+1 2

ϕ ( s )

sgn ( Y s ) |Y s | ^α ds − ¹ ₂ ^ϕ _ϕ

₍ ⁽ _s ^s ₎ ⁾ Y s ds

ϕ

( s ) = ϕ ( s )

, γ =

dY _s = dW _s + ρ sgn ( Y _s ) |Y _s |

ds

| {z }

(

E

− γ 2

Y

1 + ( 1 − γ ) s ds (E") Etude de (E")

Girsanov

Description

= ⇒

 



Ensemble des solutions pour α < 0

Temps d'explosion τ _e pour α > 1

Asymptotiques pour ρ < 0, β <

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Equations associées

dY s = dW s + ρ ^ϕ

^{( s )}

α+1 2

ϕ ( s )

sgn ( Y s ) |Y s | ^α ds − ¹ ₂ ^ϕ _ϕ

₍ ⁽ _s ^s ₎ ⁾ Y s ds

ϕ(s ) = e

dY s = dW s − 1

2 Y s ds

| {z }

(

E

+ ρ e (

) sgn ( Y

) |Y

|

ds (E")

Etude de (E")

= ⇒ Asymptotiques pour β >

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Equations associées

dX t = dB t + ρ sgn ( X t ) |X t | ^α / t ^β dt , (E)

Pour la transience ρ > 0, β <

, l'idée est de considérer S _t :=

X _t c t

₂

, c =

ρ ( 1 − β ) 1 − α

1−α

de remarquer que ( S t ) est une surmartingale ( une sous martingale) pour {S _t > 1} ({S _t < 1}) et de montrer que

t lim

S _t ^p =

^s 1, α < 1