Institut Sup´ erieur de l’Education Session: Mars 2007

Institut Sup´ erieur de l’Education Session: Mars 2007

et de la Formation Continue. U.V. MA 110

Professeur: S. Snoussi. Dur´ ee: 3 heures

Nombre de pages: 2

Bar` eme: 6 - 3.5 - 3.5 - 3 - 4

Exercice 1

Soit P (X) le polynˆ ome donn´ e par

P (X) = 3X

− 2X

+ 12X

− 8X

+ 12X − 8.

1) D´ eterminer une racine rationnelle du polynˆ ome P (X).

2) D´ ecomposer en produit de facteurs irr´ eductibles dans R [X] puis dans C [X] le polynˆ ome P (X).

3) D´ ecomposer en ´ el´ ements simples dans R (X) la fraction rationnelle F (X) = 6X

− 4X

+ 24X

− 16X

+ 25X − 6

P (X) Exercice 2

Soient a un r´ eel, m et n deux entiers naturels non nuls. D´ eterminer, dans R [X], un pgcd des polynˆ omes X

− a

et X

− a

.

Exercice 3

Soit n un entier naturel non nul. D´ eterminer, en fonction de n, les r´ eels a et b pour que le polynˆ ome P (X) = aX

+ bX

+ 1 soit divisible par le polynˆ ome X

+ X + 1.

Exercice 4

Soient p et q deux nombres complexes. On consid` ere dans C [X] le polynˆ ome P (X) = X

+ pX + q.

1) Quelle relation doit lier p et q pour que le polynˆ ome P (X) ait une racine de multiplicit´ e deux?

2) Que vaut cette racine en fonction de p et q?

Exercice 5

1) D´ eterminer un pgcd des polynˆ omes X

+ X

+ 1 et X

+ 1.

2) Trouver, dans R [X], un polynˆ ome P tel que P soit divisible par X

+ 1 et P + 1

soit divisible par X

+ X

+ 1.

Institut Sup´ erieur de l’Education Session: Mars 2007

et de la Formation Continue. U.V. MA 110

Professeur: S. Snoussi.

Indications Exercice 1

Soit P (X) le polynˆ ome donn´ e par

P (X) = 3X

− 2X

+ 12X

− 8X

+ 12X − 8.

1) Soit r = p/q une racine rationnelle du polynˆ ome P (X), o` u p ∈ Z , q ∈ N et p ∧ q = 1. On aura p | (−8), q | 3, p − q | P (1) = 9 et p + q | P (−1) = −45. Ces conditions impliquent que p/q ∈ {−2, 2/3, 4}, mais comme P (−2) < 0 et P (4) > 0, il nous reste uniquement la valeur 2/3. En effet, la division euclidienne de P (X) par 3X − 2, nous donne:

P (X) = (3X − 2)(X

+ 4X

+ 4) = (3X − 2)(X

+ 2)

. 2) D´ ecomposition dans R [X]:

P (X) = (3X − 2)(X

+ 2)

, car 3X − 2 et X

+ 2 sont irr´ eductibles dans R [X].

D´ ecomposition dans C [X]:

P (X) = (3X − 2)(X + i √

2)

(X − i √ 2)

.

3) Le degr´ e de la fraction F (X) est ´ egal ` a 1. On effectue alors la division euclidienne du polynˆ ome 6X

− 4X

+ 24X

− 16X

+ 25X − 6 par P (X) pour d´ eterminer sa partie enti` ere.

On a:

6X

− 4X

+ 24X

− 16X

+ 25X − 6 = 2XP (X) − 24X

+ 41X − 6.

Ainsi

F (X) = 2X − 1 3

24X

− 41X + 6 (X −

)(X

+ 2)

. Posons

G(X) = 24X

− 41X + 6 (X −

)(X

+ 2)

. La d´ ecomposition en ´ el´ ements simples de G(X) est donn´ ee par:

G(X) = a

X −

+ bX + c

(X

+ 2)

+ dX + e X

+ 2 . a = h

(X − 2

3 )G(X) i

/X=²₃

= h 24X

− 41X + 6 (X

+ 2)

i

/X=²₃

= − 216 121 , a = −

.

ib √

2 + c = h

(X

+ 2)

G(X) i

√

= h 24X

− 41X + 6 i

√

= 312 i √

2 − 243

,

ce qui donne c = −

et b =

.

La valeur de d est obtenue en multipliant G(X) par X et en faisant tendre X vers +∞, on obtient d + a = 0, ou encore d = −a =

.

La valeur de e est obtenue en prenant une valeur arbitraire de X. Par exemple, X = 0, G(0) = − 9

4 = − 3a 2 + c

4 + e 2 , et il s’ensuit que e = 144/121.

Exercice 2

On utilise l’algorithme d’Euclide. On peut supposer que m ≥ n. D´ eterminons la division euclidienne de X

− a

par X

− a

. Soit m = nq + r, 0 ≤ r < n, la division euclidienne de m par n. On a :

X

− a

= X

− a

= (X

)

X

− a

a

= (X

− a

+ a

)

X

− a

a

. En d´ eveloppant (X

− a

+ a

)

, on obtient:

(X

− a

+ a

)

= (X

− a

)Q + a

, o` u Q est un polynˆ ome de degr´ e n(q − 1). Il s’ensuit alors que X

− a

= (X

− a

)QX

+ a

(X

− a

). Comme r < n, alors a

(X

− a

) est le reste de la division euclidienne de X

− a

par X

− a

. Ainsi,

pgcd(X

− a

, X

− a

) = pgcd(X

− a

, X

− a

).

On peut supposer que r 6= 0, sinon un pgcd est X

−a

. Soit r

le reste de la division euclidienne de n par r. On d´ eduit de ce qui pr´ ec` ede que

pgcd(X

− a

, X

− a

) = pgcd(X

− a

, X

− a

).

En effectuant les divisions euclidiennes successives de r par r

, avec un reste r

, puis de r

par r

, avec un reste r

, jusqu’` a arriver ` a un reste r

nul. Alors, un pgcd recherch´ e est

X

− a

, mais r

= pgcd(m, n), donc

pgcd(X

− a

, X

− a

) = X

− a

, o` u δ = pgcd(m, n).

Exercice 3

Les racines complexes du polynˆ ome X

+ X + 1, sont j et ¯ j, o` u j est la racine cubique de l’unit´ e, j = exp (2iπ/3). Une condition n´ ecessaire et suffisante pour que P (X) soit divisible par X

+ X + 1 est que P (j) = P (¯ j ) = 0. On aura ainsi

a(j

− ¯ j

) = b(¯ j

− j

).

Comme j

= 1, on effectue la division euclidienne de n par 3, n = 3q + r et on discute suivant les valeurs de 0, 1 ou 2 du reste r.

1er cas: r = 0

On obtient a(j − ¯ j) = 0, ce qui implique que a = 0, et P (X) devient bX

+ 1, sa valeur en j ou ¯ j est b + 1 = 0, d’o` u b = −1, et P (X) = −X

+ 1, avec a = 0 et b = −1.

2` eme cas: r = 1

On trouve a(j

− ¯ j

) = b(¯ j − j), ce qui implique, en tenant compte de j

= −j −1 et ¯ j

= − ¯ j − 1, que a = b. P (X) devient aX

+aX

+1, sa valeur en j est aj

+aj +1 = 0, d’o` u a = b = 1, et P (X) = X

+ X

+ 1, avec a = 1 et b = 1.

3` eme cas: r = 2

0 = b((¯ j

− j

), ou encore b = 0, et P (X) devient aX

+ 1, sa valeur en j est a + 1 = 0, d’o` u a = −1, et P (X) = −X

+ 1, avec a = −1 et b = 0.

Exercice 4

1) Condition n´ ecessaire: D´ esignons par α la racine double et β l’autre racine de P (X).

En ´ ecrivant P (X) = (X − α)

(X − β), puis en d´ eveloppant, on d´ eduit que β + 2α = 0, α

+ 2αβ = p et −βα

= q. Ces trois ´ egalit´ es impliquent que (E

) : β = −2α, (E

) : −3α

= p et (E

) : 2α

= q. On obtient de (E

) et (E

), p

= −27α

et q

= 4α

, ou encore (la condition recherch´ ee)

4p

+ 27q

= 0.

Si p ou q est nul, alors les deux sont nuls et P (X) = X

poss` ede une racine triple qui est 0. Si l’un des deux est non nul, alors les deux sont non nuls et la racine double α v´ erifie 2αα

= 2α(−p/3) = q, ou encore α = −

et la racine simple β = −2α =

.

Condition suffisante: Supposons que p et q v´ erifient la relation: 4p

+ 27q

= 0, avec pq 6= 0. Posons, α = −

et β =

.

Montrons que le polynˆ ome Q(X) = (X − α)

(X − β) co¨ıncide avec P (X). On a Q(X) = X

− (β + 2α)X

+ (2αβ + α

)X − βα

,

avec (β + 2α) =

−

= 0, (2αβ + α

) = −

= p et (−βα

) = −

= q. D’o` u Q(X) = X

+ pX + q = P (X), et le polynˆ ome P (X) poss` ede une racine double α et une racine simple β.

Conclusion P (X) poss` ede une racine double si et seulement si 4p

+ 27q

= 0.

A titre d’exemple, consid´ erons q = 2i et p = 3, le polynˆ ome P (X) = X

+ 3x + 2i poss` ede la racine −i qui est double et la racine 2i qui est simple.

2) D’apr` es la premi` ere question α = −

. Exercice 5

1) Les deux polynˆ omes X

+ X

+ 1 et X

+ 1 sont premiers entre eux. En effet, grˆ ace ` a l’algorithme d’Euclide on a :

X

+ X

+ 1 = X

+ X + X

+ 1 − X = (X + 1)(X

+ 1) − X et X

+ 1 = XX + 1, donc

un pgcd est 1 et de plus en remontant dans ces calculs, on obtient, 1 = (X

+ 1) − X

=

(X

+ 1) + X[(X

+ X

+ 1) − (X + 1)(X

+ 1)], ce qui donne

2) Par hypoth` ese, il existe Q et H deux polynˆ omes dans R [X] tels que P = Q(X

+ 1) et

P + 1 = H(X

+ X

+ 1), ce qui implique que Q(X

+ 1) = H(X

+ X

+ 1) − 1, ou encore

1 = H(X

+X

+1)−Q(X

+1). Il suffit alors de prendre, d’apr` es la premi` ere question H = X et

Q = X

+X −1 et on obtient P = (X

+X −1)(X

+1) = X(X

+X

+1)−1 = X

+X

+X −1,

qui r´ epond ` a la question.