HAL Id: hal-01493702
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Submitted on 22 Mar 2017
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Public Domain
Utilisation de l’algorithme de Monte Carlo pour
l’analyse probabiliste du problème de contact mécanique
Hatem Mrad, Mohamed Rachik, Daniel Marceau, Mario Fafard
To cite this version:
Hatem Mrad, Mohamed Rachik, Daniel Marceau, Mario Fafard. Utilisation de l’algorithme de Monte Carlo pour l’analyse probabiliste du problème de contact mécanique. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. �hal-01493702�
SRXUO¶DQDO\VHSUREDELOLVWHGXSUREOqPHGH FRQWDFWPpFDQLTXH
+DWHP 0UDG
² 0RKDPHG 5DFKLN
² 'DQLHO 0DUFHDX
² 0DULR)DIDUG
*Université du Québec à Chicoutimi, Chicoutimi, Québec, Canada, G7H 2B1 Hatem_Mrad@uqac.ca
Daniel_Marceau@uqac.ca
**UTC, Laboratoire Roberval, BP 20529, 60200 Compiègne, France mohamed.rachik@utc.fr
***Université Laval, Québec, Canada, G1K 7P4 mario.fafard@gci.ulaval.ca
RÉSUMÉ
. On présente dans ce papier les résultats d’une étude probabiliste du problème de contact mécanique en exploitant les avantages de la méthode de Monte Carlo. On s’attarde ici plus particulièrement sur les aspects liés à la défaillance, au domaine de sûreté et de défaillance ainsi qu’à la fonction d’état limite. Le modèle est appliqué à l’étude de fiabilité du problème de contact de Hertz entre deux cylindres déformables ainsi qu’au phénomène de retour élastique dans un problème de mise en forme.
ABSTRACT
. This paper presents a probabilistic study of the mechanical contact problem. The main reliability concept and functions will be described. This study mainly exploits the advantages offered by the Monte Carlo method. This simulation technique remains one of the most used and reliable methods. It is characterized by its easy programming approach in spite of the computing time which it requires. Tow applications are chosen, the first one is dedicated to the classical Hertz contact and the second one is devoted to the probabilistic evaluation of spring back during the sheet metal forming process procedure.
MOTS-CLÉS
: contact de Hertz, retour élastique, Monte Carlo, Fiabilité.
KEY WORDS
:.Hertz contact, Spring back, Monte Carlo, Reliability
qPH
(4)FROORTXHQDWLRQDOGHFDOFXOGHVVWUXFWXUHV
,QWURGXFWLRQ
/HSUREOqPHGHFRQWDFWPpFDQLTXHHVWHQFRUHDXMRXUG¶KXLFRQVLGpUpFRPPHO¶XQ GHV SUREOqPHV OHV SOXV FRPSOH[H HW FH HQ UDLVRQ GH OD QDWXUH SDUWLFXOLqUH GHV SKpQRPqQHV SK\VLTXHV ORFDOLVpV j O¶LQWHUIDFH 8QH PRGpOLVDWLRQ DGpTXDWH GHV PpFDQLVPHVDVVRFLpVjO¶pYROXWLRQDLQVLTX¶DXWUDQVIHUWGHVHIIRUWVHQWUHOHVVROLGHV FDQGLGDWV DX FRQWDFW SDVVH QpFHVVDLUHPHQW SDU XQH UHSUpVHQWDWLRQ DGpTXDWH GHV FDUDFWpULVWLTXHV JpRPpWULTXHV HW PpFDQLTXHV GHV IURQWLqUHV FRPSRVDQW OD GLWH LQWHUIDFH'DQVFHFRQWH[WHRQSURSRVHLFLG¶pWXGLHUOHFDUDFWqUHSUREDELOLVWHGHFH SUREOqPH j O¶DLGH GH OD PpWKRGH GH Monte Carlo HW FH DILQ GH FHUQHU G¶DYDQWDJH O¶LQIOXHQFH GH OD YDULDELOLWp GHV SURSULpWpV GH O¶LQWHUIDFH HW GX PpFDQLVPH GH VROOLFLWDWLRQGXSUREOqPHGHFRQWDFWPpFDQLTXHVXUODVROXWLRQQXPpULTXH'DQVXQ SUHPLHUWHPSVRQSUpVHQWHXQHpWXGHSUREDELOLVWHGXSUREOqPHGHFRQWDFWGH+HUW]
SRXUOHTXHORQFRQQDvWXQHVROXWLRQDQDO\WLTXH&HSUREOqPHDpWpODUJHPHQWpWXGLp GDQVODOLWWpUDWXUHGDQVXQFDGUHGpWHUPLQLVWHHWFHHQWDQWTXHWHVWGHYDOLGDWLRQGH PRGqOHV QXPpULTXHVGXSUREOqPH GH FRQWDFW XQLODWpUDO7LPRVKHQNR et al +HUW]3DUODVXLWHRQV¶DWWDUGHVXUOHSKpQRPqQHGHUHWRXUpODVWLTXHGDQVOH FDGUH G¶XQ SUREOqPH GH PLVH HQ IRUPH G¶XQH W{OH HQ 8 %HQ (OHFKL %HQ
$\HG 2Q SURSRVH LFL GH SUHQGUH HQ FRPSWH OH FDUDFWqUH VWRFKDVWLTXH G¶XQ FHUWDLQ QRPEUH GH SDUDPqWUHV GDQV O¶pWXGH GH FHV SUREOqPHV /HV SDUDPqWUHV TXH QRXVFRQVLGpURQVVRQWFHX[GHVPDWpULDX[HWLQWHUIDFHVWHOVTXHOHPRGXOHGH<RXQJ O¶H[SRVDQWG¶pFURXLVVDJHOHFRHIILFLHQWGHIURWWHPHQWDLQVLTXHFHOXLOLpDXSURFpGp WHO TXH OD IRUFH GH VHUUDJH /¶DQDO\VH ILDELOLVWH SUpVHQWpH D SRXU REMHFWLI OD GpILQLWLRQDYHFXQLQWHUYDOOHGHFRQILDQFHGRQQpG¶XQGRPDLQHGHYDULDWLRQGHFHV SDUDPqWUHVTXLDVVXUHODIDLVDELOLWpG¶XQHSLqFHMXJpHDFFHSWDEOH
'HVFULSWLRQGHODGpPDUFKHXWLOLVpH
/DPpWKRGHXWLOLVpHFRQVLVWHjJpQpUHUjO¶DLGHGXFRGHMATLABXQWLUDJHGH
YDULDEOHV DOpDWRLUHV JDXVVLHQQHV SHUPHWWDQW XQH UHSUpVHQWDWLRQ VWRFKDVWLTXH GHV
SDUDPqWUHV PDWpULDX[ HW GH SURFpGpV /H Tableau 1 UpVXPH OHV SULQFLSDOHV
FDUDFWpULVWLTXHVVWDWLVWLTXHVGHVGLIIpUHQWHVYDULDEOHVDOpDWRLUHV3DUODVXLWHFKDFXQH
GHV FRPELQDLVRQV GH SDUDPqWUHV D IDLW O¶REMHW G¶XQH DQDO\VH j O¶DLGH GX ORJLFLHO
ABAQUS Explicit/Standard SDU O¶LQWHUPpGLDLUH G¶XQH VRXVURXWLQH HQ FORTRAN
(Q UDLVRQ GH OD TXDQWLWp LPSRUWDQWH GH UpVROXWLRQV QpFHVVDLUHV XQH SURFpGXUH
G¶DQDO\VHHWGHUpFXSpUDWLRQGHVUpVXOWDWVSHUWLQHQWVDpWppODERUpH/HVUpVXOWDWVGHV
VLPXODWLRQV VRQW HQVXLWH DQDO\VpV HQ IRQFWLRQ GHV FULWqUHV GH TXDOLWp WUDGXLVDQW OH
VXFFqVGHSURFpGpRXODIDLVDELOLWpGHODSLqFH
)RQFWLRQG¶pWDWOLPLWHHWVFpQDULRGHVXFFqV
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2 ω UHSUpVHQWH XQ DOpD GRQQp /D IRQFWLRQ F DSSHOpH IRQFWLRQ G¶pWDW OLPLWH SHUPHWGHUHOLHUFHVGLIIpUHQWVSDUDPqWUHVHWHVWIRUPXOpHGHPDQLqUHjREWHQLUXQH pTXDWLRQGHODIRUPH
F ( ω , F
i, A
j, U
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¬FKDTXHUpDOLVDWLRQGHVRUWLHDVVRFLpHjO¶LQGLFH k FRUUHVSRQGXQpYpQHPHQW DSSHOpVFpQDULR&HWpYpQHPHQWVHUDFDUDFWpULVpSDUXQHIRQFWLRQGHSHUIRUPDQFH G TXLSHUPHWGHUHOLHUOHVYDULDEOHVGHVRUWLHHWG¶HQWUpH/HVFpQDULRGHVXFFqVG¶XQH FRQILJXUDWLRQVHUDWUDGXLWSDUODYpULILFDWLRQG¶XQHLQpJDOLWpGHW\SH
G
k( F
i( ω ), A
j( ω ), U
k( ω )) ² 0 , ∀ ω >@
&RHIILFLHQWGHIURWWHPHQW
([SRVHQW G¶pFURXLVVDJH
)RUFHGH VHUUDJH>1@
0RGXOHGH
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0R\HQQHWKpRULTXH
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(FDUWW\SHWKpRULTXH
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7DEOHDXCaractéristiques statistiques des variables aléatoires d’entrées
eWXGHGHFDV
/¶DQDO\VHILDELOLVWHPHQpHVHOLPLWHjGHX[YDULDEOHVDOpDWRLUHVSDUDSSOLFDWLRQ 2QGLVWLQJXHOHVXFFqVG¶XQWLUDJHGRQQpSDUVRQDSSDUWHQDQFHjXQLQWHUYDOOH>P VPV@ &HSHQGDQW OD GpILQLWLRQ GH OD IRQFWLRQ G¶pWDW OLPLWH HVW UHOLpH j O¶DSSDUWHQDQFHG¶XQHVRUWLHjXQLQWHUYDOOHMXJpDGPLVVLEOH
4.1. Problème de contact de Hertz
qPH
(6)FROORTXHQDWLRQDOGHFDOFXOGHVVWUXFWXUHV
3RXU OH SUREOqPH GX FRQWDFW GH +HUW] GDQV VD YHUVLRQGHX[ F\OLQGUHV GpIRUPDEOHVFigure 1aVHXOVOHPRGXOHGH<RXQJHWOHFRHIILFLHQWGHIURWWHPHQW FRQGLWLRQQHQWOHVFpQDULRGHVXFFqV&HVFpQDULRVHWUDGXLWSDUO¶DSSDUWHQDQFHGHOD SUHVVLRQGHFRQWDFWCPRESSGHO¶RULJLQH x = 0 jXQLQWHUYDOOHGHFRQILDQFHGRQQp HQ UDLVRQ GH OD V\PpWULH OH SUREOqPH VH UpGXLW j O¶pWXGH G¶XQ F\OLQGUH HQ FRQWDFW DYHF XQ SODQ ULJLGH /H PDLOODJH XWLOLVp HVW FRPSRVp G¶pOpPHQWV WULDQJXODLUHV TXDGUDWLTXHVHQGpIRUPDWLRQSODQHFigure 1b/D Figure 2PRQWUHTXHO¶HIIHWGX FRHIILFLHQW GH IURWWHPHQW VXU OD WDLOOH HW OD IRUPH GH OD IHQrWUH GH IDLVDELOLWp HVW PLQLPH3DUFRQWUHOHPRGXOHGH<RXQJFRQGLWLRQQHSULQFLSDOHPHQWOHVXFFqVG¶XQ pYpQHPHQWGRQQp
)LJXUHContact de Hertz, cas cylindre/cylindre (a) Géométrie ; (b) Modèle éléments finis
)HQrWUHGHVSDUDPqWUHVDGPLVVLEOHVSRXUOHFDV F\OLQGUHF\OLQGUH
( ( ( ( (
0RGXOHG<RXQJ>03D@
&RHIGHIURWWHPHQW
)LJXUHCas cylindre/cylindre, CPRESS =[47000; 47400 MPa]
4.2. Problème de retour élastique
D E
3RXU OH SUREOqPH GX UHWRXU pODVWLTXH Figure 3 RQ UHWLHQW O¶H[SRVDQW G¶pFURXLVVDJH HW OD IRUFH GH VHUUDJH HQ WDQW TXH YDULDEOHV DOpDWRLUHV TXL FRQGLWLRQQHQW OH VFpQDULR GH VXFFqV &H GHUQLHU VHUD DORUV GpILQL HQ IRQFWLRQ GH O¶DSSDUWHQDQFHRXQRQGXUD\RQR)GXFHUFOHSDVVDQWSDUACHWBFigure 4jXQ LQWHUYDOOHGHFRQILDQFHGRQQp
)LJXUHEmboutissage d’une tôle en U, retour élastique
θ
θ
θ
θ
)LJXUHDescription du problème de retour élastique
3RXU XQ LQWHUYDOOH GH FRQILDQFH FRQVWUXLW j SDUWLU GX SDUDPqWUH JpRPpWULTXH
5 > PP@ OD )LJXUH SUpVHQWH SDU OH QXDJH GH EXOOHV EODQFKHV OHV
pYpQHPHQWV GX VXFFqV (Q HIIHW SRXU FHW LQWHUYDOOH XQ JUDQG QRPEUH GH
FRPELQDLVRQV GHV GHX[ YDULDEOHV SHUPHW OH VXFFqV GH O¶pYpQHPHQW &HV
FRPELQDLVRQV DGPHWWHQW GHV YDOHXUV TXL EDOD\HQW XQH ODUJH EDQGH GH YDOHXUV
DWWHLJQDQW OHV GH OD YDOHXU PR\HQQH /¶H[SRVHQW G¶pFURXLVVDJH pWDQW
GLUHFWHPHQW OLp j OD GXFWLOLWp GX PDWpULDX VHV IOXFWXDWLRQV LQIOXHQFHQW GH PDQLqUH
VLJQLILFDWLYHOHUHWRXUpODVWLTXHHWHQSDUWLFXOLHUOHUD\RQ5
qPH
FROORTXHQDWLRQDOGHFDOFXOGHVVWUXFWXUHV
)HQrWUHGHVSDUDPqWUHVDGPLVVLEOHVSRXUXQLQWHUYDOOH 5 >@
)RUFHGHVHUUDJH>1@
([SRVHQWGpFURXLVVDJH
