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Devoir surveillé n°4

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Academic year: 2022

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(1)

Nom : Vendredi 14 décembre 2012 – 1h00

Devoir surveillé n°4

Équations cartésiennes

E

XERCICE

4.1 (10 points).

Dans un repère orthonormé, on considère les points A (1; 0), B (2; 3), C ( − 1; 2) et D (1; 6).

On pourra s’aider du repère ci-contre trouver l’inspiration ou pour vérifier ses résultats mais ceux-ci sont à obtenir al- gébriquement.

1. (a) Déterminer une équation cartésienne de la droite ( AC).

(b) Déterminer une équation cartésienne de la droite D , parallèle à la droite (AC) et passant par B.

2. La droite ∆ est d’équation cartésienne − x + 3y − 7 = 0.

(a) Donner un vecteur directeur de ∆.

(b) Les droites ∆ et D sont-elles parallèles ? 3. Soit C le cercle de centre B et passant par D .

(a) Déterminer une équation cartésienne du cer- cle C .

(b) Déterminer les coordonnées des points d’in- tersection de C avec l’axe des abscisses.

4. Soit E l’ensemble des points M (x ; y ) tels que x

2

+ y

2

− 2x − 7 = 0.

(a) Montrer que E est un cercle dont on précisera les caractéristiques (centre et rayon).

(b) Le point C appartient-il à E ?

1 2 3 4 5 6 7 8

− 1

− 2

1 2 3 4 5

− 1

− 2

x y

E

XERCICE

4.2 (6 points).

ABCD est un parallélogramme. E est le milieu du segment [CD], F est le symétrique de A par rapport à D et G est le symétrique de A par rapport à B.

Par la méthode de votre choix :

1. Déterminer si les points B, E et F sont alignés.

2. Déterminer si les points F, C et G sont alignés.

3. On appelle H l’intersection des droites (AC) et (DG). Déterminer si les points H, E et B sont alignés.

E

XERCICE

4.3 (4 points).

Le plan est muni d’un repère orthonormé.

A et B sont les points de coordonnées respectives A (1; − 2) et B (4; − 1).

D est la droite d’équation cartésienne 4x + 3y − 13 = 0.

1. On appelle ∆ la médiatrice du segment [AB].

Montrer qu’une équation cartésienne de ∆ est 3x + y − 6 = 0.

2. Déterminer les coordonnées de C , intersection de D et de ∆.

3. Déduire de ce qui précède une équation cartésienne du cercle C passant par A et B et tel que son centre appar-

tient à la droite D .

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