I.Circuitenrégimetransitoire ÉLECTROCINÉTIQUE

ÉLECTROCINÉTIQUE

Le devoir comporte trois problèmes totalement indépendants pouvant être traités dans l’ordre de votre choix (à indiquer clairement !).

CALCULATRICES AUTORISÉES

I. Circuit en régime transitoire

On considère le circuit ci-dessous. Les condensateurs C₁ et C₂ ont même capacité C : C₁ = C₂ = C; leur numérotation permet juste de les distinguer pour savoir de quel condensateur il est question dans le sujet.

Le circuit est alimenté par un échelon de tensione(t), d’amplitudeE constante : e(t) =







0 si t <0 E si t >0

On suppose que lorsqueebascule de 0 àE le régime permanent stationnaire était atteint.

1. Faire les schémas équivalents du montage en régime permanent stationnaire. On exprimera u1∞ et u2∞, respectivement les tensions u1 etu2 pour le régime permanent à t >0, ainsi queu1,0 etu2,0

respectivement les tensions u₁ etu₂ en régime permanent àt <0.

Étude énergétique de t= 0⁺ jusqu’à t→ ∞.

2. Déterminer les énergiesW₁ etW₂ reçues respectivement par les condensateurs de capacitéC₁ puis C₂, depuist= 0⁺ jusqu’à t→ ∞.

3. Quelle est l’énergieWG fournie par le générateur det= 0⁺ jusqu’à t→ ∞?

4. En déduire, à l’aide d’un bilan d’énergie soigneusement effectué, l’énergie W_J reçue par l’ensemble des deux résistancesR de t= 0⁺ jusqu’à t→ ∞.

Évolution deu₁(t) pour t >0.

5. Déterminer, en fonction des données du problème, les expressions deu1(0⁺) et ^du_dt¹(0⁺).

6. En utilisant les lois de Kirchhoff, déterminer l’équation différentielle vérifiée par u₁(t) pourt > 0.

La mettre sous la forme :

d²u1

dt² +ω0

Q du1

dt +ω₀²u1= 0

et exprimer la pulsation propre ω0 et facteur de qualitéQ en fonction des données du problème.

7. On se place dans le cas où C₁ = C₂ = C. Simplifier les expressions de ω₀ et Q en conséquence.

Puis établir l’expression exacte de u1(t) pourt >0.

II. Mesure d’une impédance complexe par détection synchrone

Certaines méthodes de contrôle non destructif utilisent l’induction de courants induit dans les maté- riaux conducteurs, appeléscourants de Foucault. Dans le cas de la sonde dite « à fonction double », une bobine génère un champ magnétique qui induit les courants de Foucault dans le matériau à contrôler. En retour, la proximité des courants de Foucault induit une modification de l’impédance de cette bobine.

Alors, la mesure de son impédance permet d’analyser les courants de Foucault, et donc de détecter des défauts dans le matériau conducteur. Pour ce type de sonde, il est préférable d’analyser séparément la partie réelle et la partie imaginaire de cette impédance plutôt que de travailler sur son module. Ce traitement se fait généralement à l’aide d’une détection synchrone (cf figure ci-dessous).

Principe de la mesure

La bobine d’impédance complexe Z est alimentée par la tension sinusoïdale u_e(t) =U_ecos(ωt). Elle est alors traversée par un courant sinusoïdali(t).

La détermination de la partie réelle de Z, notée Re(Z) = |Z|cos(ϕ) s’obtient en mesurant la valeur moyenne du signal résultant de la multiplication de la tension u_e(t) et d’une tension proportionnelle à i(t) obtenue à l’aide d’un convertisseur courant-tension.

La détermination de la partie imaginaire de Z, notée Im(Z) =|Z|sin(ϕ), s’obtient de façon similaire, en déphasant au préalable la tension de sortie du convertisseur de±^π₂ à l’aide d’un circuit déphaseur.

II.1. Étude du convertisseur courant-tension

Le convertisseur courant-tension (cf figure ci-contre) se compose d’une résistance R₁ et d’un ampli- ficateur linéaire intégré (A.L.I).

L’ALI est d’impédance d’entrée supposée infinie et mo- délisé par la fonction de transfert complexe

K(jω) = u_A(t)

ε(t) = K₀ 1 +j_ω^ω

0

, où ε(t) =V₊(t)−V₋(t), avecV₊le potentiel à l’entrée non inverseuse (+) de l’ALI etV−le potentiel à l’entrée inverseuse (-).On rappelle, ici et pour toute la suite, que les courantsi+ eti−

entrant respectivement dans ces bornes peuvent être considérés nuls.

1. a) Exprimer une relation entreu_A,i,R1 etε.

b) À l’aide de la fonction de transfert de l’ALI, en déduire que la transmittance complexe T =

u_A(t)

i(t) peut se mettre sous la forme T = _1+j^G0ω ωc

. On précisera les expressions de G₀ et deωc en fonction deR1,K0, etω0.

Comment se simplifie cette transmittance dans le cas où K0 = 10⁶,ω0= 200 rad.s⁻¹ et où la fréquence d’alimentation de la bobine n’excède pas 200 kHz ?

2. a) Que deviendrait la transmittance complexeT non simplifiée, si on inversait les entrées (+) et (−) de l’ALI ?

b) En déduire l’équation différentielle liant les fonctions réellesu_A(t) eti(t) dans cette situation.

Le système serait-il stable ? Pourquoi ?

3. On revient au montage de la figure ci-dessus. Le générateur fournit un signal de tension d’entrée u_e(t) =U_ecos(ωt), et on note l’impédance à mesurer sous forme polaireZ =|Z|e^jϕ. En considérant toujours queK₀ 1, établir l’expression de la tensionu_A(t) en fonction deZet des caractéristiques de la tension d’entrée.

II.2. Etude du circuit déphaseur

Le circuit déphaseur (figure ci- contre) se compose de deux résis- tancesR₂, d’une résistance variable Ra, d’un condensateur de capacité C et d’un ALI. supposé idéal qui fonctionne en régime linéaire, c’est-à-dire que l’on peut supposer que

ε= 0 ⇔ V+=V−.

4. On se place en régime sinusoïdal forcé de pulsation ω. En utilisant la loi des nœuds en termes de potentiel sur les deux entrées (+) et (−), montrer que ce filtre a pour fonction de transfert

H_d= u_D(t)

u_A(t) = 1−jRaCω 1 +jR_aCω. 5. a) Pourquoi parle-t-on ici de filtre déphaseur ?

b) On donnef = 2 kHz,C = 2,2 nF. À quelle valeur faut-il ajuster R_a pour queu_D etu_Asoient en quadrature de phase ?

On considérera que cette condition est respectée dans la suite de l’énoncé.

c) Pour une entrée de la forme uA(t) = −R₁I0cos(ωt−ϕ), comment s’exprime la tension de sortie u_D(t) en fonction du temps ?

II.3. Mesure de Z par détection synchrone

6. Le multiplieur produit un signal um(t) = K ue(t)uD(t) en présence du déphaseur, ou um(t) = K u_e(t)u_A(t) en l’absence du déphaseur, avecK= 0,10V⁻¹.

Décomposer ce signal en série de Fourier, dans le cas de l’absence du déphaseur, puis représenter son spectre en amplitude.

7. Pour mesurer Z = Xr +jXi, on cherche sa partie réelle Xr = |Z|cosϕ et sa partie imaginaire Xi =|Z|sinϕ. Pour cela on utilise un filtre passe-bas tel que la tension de sortieUs est constante.

a) Proposer un montage simple à l’aide des composantsR,Let/ou C qui réalise cette fonction.

On justifiera sa nature par l’analyse des comportements asymptotiques.

Proposer des valeurs numériques argumentées pour les composants choisis.

b) Donner l’expression de Us en fonction des données du problème. Expliquer de façon précise comment on peut en déduireXr etXi.

III. Étude d’un wattmètre électronique

On se propose d’étudier le fonctionnement d’un wattmètre électronique, c’est-à-dire un appareil capable de mesurer directement la puissance moyenne consommée par un dipôle en régime sinusoïdal.

Le wattmètre comprend :

• un capteur de tension ;

• un capteur de courant (sonde à effet Hall) ;

• un multiplieur ;

• un filtre passe-bas.

III.1. Puissance moyenne

On considère un dipôle d’impédance complexeZ =R+jX alimenté par une tension sinusoïdale

v(t) =V_mcos(ωt). On exprime le couranti(t) de la façon suivante :

i(t) =Imcos(ωt−ϕ).

1. Établir les expressions de l’amplitudeIm et du déphasageϕen fonction de Vm,R etX.

Quel est le signe de ϕlorsque le dipôle est inductif ?

2. Montrer que la puissance moyenneP reçue par le dipôle s’écritP = ¹₂V_mI_mcosϕ.

3. Calculer les valeurs numériques deI_m,ϕetP dans le cas oùR= 5,0 Ω,X = 10 Ω etV_m = 320 V.

III.2. Principe du wattmètre électronique

Pour mesurer la puissance moyenne absorbée par la charge, on utilise un wattmètre électronique réalisé selon le schéma fonctionnel suivant :

• Le capteur de tension fournit une tension image dev(t) : va(t) =kav(t).

• Le capteur de courant fournit une tension image de i(t) : v_b(t) =k_bi(t).

• Le multiplieur est un circuit électronique qui produit la tension v1(t) =K va(t)v_b(t).

• Le moyenneur (cf III.3) permet d’obtenir une tension « lissée », telle que : < v2>=−< v1>.

4. Établir l’expression de la valeur moyenne < v₂>de v₂(t), et montrer qu’elle est proportionnelle à P. On notera< v₂>=k_w.P, et on explicitera la constante k_w.

5. On a mesuré une tension < v₂>=−1,5 V à la sortie du wattmètre.

Sachant que ka = 0,020, kb = 10 mV/A et K = 2,0 V⁻¹, en déduire la valeur de la puissance moyenne P mesurée par le wattmètre.

III.3. Étude du moyenneur (filtre passe-bas)

Pour obtenir la valeur moyenne du signalv1(t), on utilise un filtre passe-bas représenté ci-dessous.

Le schéma correspond à une structure dite « de Rauch », utilisant un Amplificateur Linéaire Intégré (ALI) que l’on supposera idéal et fonctionnant en régime linéaire :

• les potentiels des entrées (+) et (−) sont considérés égaux : V₊=V− ;

• les courants entrant dans les entrées (+) et (−) sont considérés nuls : i₊=i−= 0 .

6. En utilisant au point A puis au point B la loi des nœuds en termes de potentiel, établir deux relations entre V_A,V_B,v₁ etv₂.

7. En déduire la fonction de transfert H(jω) = ^v_v²

1.

On rappelle que la masse correspond à un potentiel nul.

8. On souhaite mettre H sous la forme canonique suivante :

H= H0

1 +_Q^j _ω^ω

0 −^ω2

ω₀²

.

Déterminer les expressions deH0, la pulsation propreω0 et le facteur de qualitéQen fonction des éléments composant le circuit.

9. On souhaite obtenir une fréquence propre f₀ = 5,0 Hz et un coefficient de qualité Q= ^√1

2. Quel est l’intérêt de choisir cette valeur de Q?

On choisit R= 470kΩ. Calculer les valeurs des capacitésC₁ etC₂.

10. Après avoir établi les comportements asymptotiques du gain en décibels et de la phase du filtre, tracer le diagramme de Bode asymptotique (gain et phase) ainsi que l’allure de la courbe réellesur le document-réponse fourni sur le feuillet mobile en annexe, qui devra être rendu avec la copie. On superposera le gain et la phase sur le même graphe, en indiquant les axes verticaux correspondant. On indiquera les valeurs choisies en abscisse.

11. Établir l’équation différentielle reliant les tensions v₁ etv₂.

12. On applique à l’entrée du filtre passe-bas le signal de sortie du multiplieur v₁(t).

À l’entrée du wattmètre on a pour la tension et le courant :

v(t) =Vm cos(ωt) et i(t) =Im cos(ωt−ϕ), avec Vm= 320 V, la fréquence f = 50 Hz,Im= 20 A etϕ= 1,0 rad.

a) Donner l’expression du gain G(f) et du déphasageψ(f) du filtre en fonction de la fréquence f et des paramètres du filtre.

b) Après avoir décomposév₁(t) en série de Fourier, montrer que la tension de sortie du filtre est l’opposé, en régime forcé, de la valeur moyenne dev1(t) à laquelle se superpose une composante alternative sinusoïdale.

c) Déterminer l’amplitude A_m de cette composante et calculer sa valeur numérique.

d) En déduire la précision relative de la mesure de la puissance moyenne P.

* * * Fin de l’épreuve * * *

(pensez à détacher et rendre votre annexe avec votre NOM et Prénom)

ANNEXE - NOM Prénom :

Diagramme de Bode (gain et phase) du filtre de Rauch (III.)