SYMÉTRIE ET STRUCTURE ATOMIQUESUR L'UTILISATION DE LA SYMÉTRIE DE RÉFLEXION DANS LA THÉORIE DES ATOMES

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SYMÉTRIE ET STRUCTURE ATOMIQUESUR L’UTILISATION DE LA SYMÉTRIE DE RÉFLEXION

DANS LA THÉORIE DES ATOMES

A. Jucys

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A. Jucys. SYMÉTRIE ET STRUCTURE ATOMIQUESUR L’UTILISATION DE LA SYMÉTRIE DE RÉFLEXION DANS LA THÉORIE DES ATOMES. Journal de Physique Colloques, 1970, 31 (C4), pp.C4-3-C4-7. �10.1051/jphyscol:1970401�. �jpa-00213856�

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SYMÉTRIE ET STRUCTURE ATOMIQUE

SUR L'UTILISATION DE LA SYMÉTRIE DE RÉFLEXION DANS LA THÉORIE DES ATOMES

par A. P. JUCYS

Institut de Physique et Mathématique de l'Académie des Sciences de RSS de Lithuanie, Vilnius, RSS de Lithuanie, U. R. S. S.

Résumé. — Les relations de symétrie des coefficients de Clebsch-Gordan de la théorie des moments angulaires, et des éléments de matrices des opérateurs tensoriels irréductibles comportant les transpositions aussi bien que les réflexions dans un miroir sont présentées. L'opérateur annihilation a été interprété comme celui de création complètement réfléchi, c'est-à-dire transformé par la réflexion dans un miroir du système de coordonnées et de l'espace par rapport au plan xy.

Il a été rappelé que le nombre quantique de séniorité de Racah v doit être remplacé par v = 41 + 4 — v pour la couche des électrons équivalents presque remplie.

Abstract. — The symmetry relations for the Clebsch-Gordan coefficients of the angular momen- tum theory and those for the matrix elements of the irreducible tensor operators containing the transpositions as well as the mirror reflections are presented. The annihilation operator of an electron has been interpreted as that of creation completely reflected. This reflection consists of mirror reflection of the coordinate system and of the space with respect to xy-plane. It is reminded that the seniority quantum number v of Racah must be replaced by v = 41 H- 4 — v for the almost closed shell of electrons.

1. Introduction. — A chaque représentation cova- riante d'un certain groupe correspond une représen- tation contravariante ou duale. On appelle parfois les fonctions de base de la première représentation des fonctions « ket » et celles de la deuxième des fonctions « bra », d'après Dirac. La transformation entre ces deux ensembles de fonctions est, habituelle- ment, effectuée à l'aide d'un certain remplacement des paramètres numérotant les fonctions de base de la représentation donnée, ainsi que par un facteur de phase. Celui-ci dépend du système de phase utilisé.

Dans la théorie du moment angulaire (ou de la repré- sentation du groupe SU2) le remplacement mentionné consiste en la substitution m -> — m. Le facteur de phase dans le cas du système de phases standardisé de Fano et Racah [1] a la forme (— 1)J~'". Ainsi dans ce système de phases on aura

(1) j(j + 1) et 777 étant les valeurs propres des opérateurs 'f et jz. La présence du facteur de phase en (1) entraîne l'apparition des facteurs de phase dès le début même de tout calcul et, rend donc malaisées les opérations mathématiques nécessaires.

Il y a quelques années nous avons proposé [2] une modification de la méthode de la théorie du moment angulaire permettant de simplifier les opérations mathématiques en ce qui concerne les phases. Le point de départ de cette modification consiste en l'utilisation de la relation

(2) au lieu de (1), où / = — j — 1. 11 est évident que la transformation de contravariance y est effectuée à l'aide des substitutions

(3«) (3b) dont la première correspond [3] à la réflexion du sys- tème des coordonnées, et la seconde à la réflexion d'espace par rapport au plan xy. Ces réflexions ont été appelées les réflexions dans un miroir.

Quand on n'applique que (3a), m conservant le même signe, on écrit

(4) Les relations (1) et (4) sont complémentaires Tune de l'autre parce que chacune d'elles donne le même facteur de phase, qui disparaît dans (2) quand les deux substitutions sont appliquées simultanément.

Il convient de noter que la substitution (3a) doit être remplacée par

(3c) si j est dans le facteur de phase. Comme exemple appliquons (3a) aux deux membres de l'équation (4).

Ceci donne

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Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1970401

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C4-4 A. P. JUCYS

Dans la représentation grapliiq~ie d'El-Baz [4] le paramètre .j doit être représeiité par une ligne à Linc seule flCche sortante e t , par une ligne à deux flè- chcs reiitrnntcs. Le trait :\LI-clessus du paramètre de rnonieiit cinétiqiie j est I'iiidication même de la contra- vriri;iiice parce qiie ,; est totijours négatif, taridis que

12 v a l e ~ ~ r propre d u nombre qiiantique inagnétiq~ie peut être positive aussi bien que ~iégative indépen- damnient du caractère co(contra)vari;i~lt.

Noiis allons donner ici quelques exemples de I'iisage de cette méthode daiis la théorie des atomes. Après la préseiitation cies relations de symétrie des coefficients de Clebsch-Gordan et des éléments de matrices des opérateurs tensoriels irréductibles, nous considé- rerons les formalismes de la seconde quantification, et du quasi-spin. Nous nous bornerons à appliquer

ces formalismes aux coefficients de parenté fractionnelle pour une couche d'électrons équivalents.

2. Les propriétés de symétrie de coefficients de Clebsch-Gordan. ^-Le théorème d'addition de deux moments angulaires a la forme

I j l . i 2 .in1 > =

1

I . i l l l z l j 2 1112 > x

111 ,1112

x < j l n i i j , nl, I j l j 2 j m > . (6) Le coefficient de Clebsch-Gordan, intervenant ici, est réel, et nous le désignons par :

Il satisfait aux conditions de symétrie :

2 " 1 j

7

j,

]

⁼^{[ l l}_- _i

i 2 ] = [ i

^-^{i l} ² ^,^,⁽

\ [ i n l m Z, in, i n in, nj in1 m ,

II possède également les propriétés suivantes :

= (- l)j1+j2-j

1

i n , l n m, nz, j1 m

1 )

^, ^(9.1

-

- (- I ) ~ I - ~ I ^{i 2} il = [ 2 j + l ] " [ i ~

lnl in, m 2 j 2 + 1 l n , m m ,

j l j ] = [ 2 i + 1 1 ^?4[ j ,

n i , l n , nr 2 j 1 + 1 H I , m ^in,

Toutes ces relations peuvent être démontrées à l'aide de matrices. - Les opérateurs tensoriels irréductibles des expressions de ces coefficients qui sont données, satisfont aux mêmes conditions de symétrie que entre autres, dans les formules (13.1) de [3]. les fonctions de base c'est-à-dire :

Les propriétés des coefficients de Clebsch-Gordan

à l'égard de la substitution (3a) sont d'une grande uti- ^{( k ) t}- ( k )

f q - fG ' ( l i a )

Iité. Par exemple, la première des conditions (9a), ^{k - q} ^{( k )}

peut s'écrire sous la forme : = ( - - O fq. , ( l l b )

f = (- O-'

111, l n

(10) La condition d'hermiticité est

II est alors clair que, ayant le coefficient de Clebsch- < 4inl i f ; & ) 1 ^a'j'

,

⁼^< ^jl

^If;" ,

^uj,,l ^>^*^,

Gordan avec j = jl - k, pour lequel j = j ,

+

^k ^{i I}^-1

peut être obtenu par le remplacement j, + - j , - 1. ^{( 1 L I}

ix et a' étant des nombres quantiques supplémentaires.

3. Les propriétés des opérateurs et de leurs éléments Le théorème de Wigner-Eckart peut alors s'écrire :

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SUR L'UTLLISATLON DE LA SYMETRIE DE RCFLEYIQN C4-5

Pour l'élément de matrice réduit, notre notation est reliée à celle de Racah [5] par l'équation :

<

^ujII ^f(" 11 a ' j '

>

⁼

= (2 j

+

^1)-" (uj Il f ( k ) II a' jt) . ₍₁₄₎

Les équations (1 1-13) et (8-9) permettent d'obtenir, pour les éléments de matrices réduits, les propriétés suivantes :

< ^ujII f(k) II Co j' > ⁼

Dans les calculs algébriques (15d) est particulièrement utile. On peut l'écrire sous la forme

(- j < ^b< j). Cette relation est à utiliser de la même façon que l'équation (10) dans le cas du coefficient de Clebsch-Gordan.

Pour le produit tensoriel irréductible de deux opé- rateurs tensoriels irréductibles nous avons les pro- priétés :

- -

[ f ( k i ) f(kz)lq)t = Cf(kl) f ( k z ) lq ^(k)⁹ (1 70)

(k2) (k)

= (- l)"-" [f'"" x f I q , (17b)

[f(kl) r(iz)l;) = (- i)k-q c f C ~ ) ^f(k2)1f) . ( 1 8 ~ )

(18) peut être obtenu - à partir de (17) à l'aide du rem- pIacement k, ⁺k,. Le même procédé peut être adopté à l'égard de k , dans (17), ainsi que pour les deux para- mètres simultanément.

Pour les opérateurs commutatifs, on a cette pro- priété de la transposition :

4. Opérateurs de création et d'annihilation. - Dans notre notation. l'opérateur de création d'un électron dans I'état 1 Ism, m,

>

à partir de I'état vide covariant

/ O

>

et celui d'annihilation de cet électron sont,

- -

respectivement, ut:;, et a::;,. Cependant, le second est I'opérateur de création du même électron à partir de I'état vide contravariant

<

O 1 et, par conséquent, le premier est I'opérateur d'annihilation de cet électron.

Ces opérateurs satisfont aux mêmes conditions que les fonctions de base et les opérateurs tensoriels irré- ductibles, c'est-à-dire

tandis que les relations de commutation ont la forme

- - - -

I I (15) (1 s)

( l S ) (IS) = d(m, m,, ml m,) - ami,: a,,,, . (21c)

a~lïiïs amiml

L'opérateur de création de N électrons dans un état aLSM, Ms à partir de l'état vide covariant est { "(Is)N

>Es

⁼^{[N !1}^-IL[ a ( l ' ) N ~ ~ ~ M , (22a) et celui d'annihilation

- -

Les opérateurs a('') dans (22a) et a(' dans (22b) sont couplés de la même façon que les spins-orbitales dans le cas d'un même nombre d'électrons équivalents,

LY représentant les nombres quantiques supplémentaires distinguant les termes de même nom.

En généralisant le procédé de la Section 6 . 3 de [6]

on obtient l'expression suivante pour le coefficient de parenté fractionnelle à N' électrons détachés :

D'autre part, en utilisant (15), on obtient

Les équations (17-19) peuvent être généralisées à un nombre quelconque de facteurs.

(5)

C4-6 A . P. JUCYS

Ces équations représentent la généralisation des équa- où N est le nombre d'électrons. II faut noter que nous tions correspondantes de [6] et 171. avons obtenu le signe plus au second membre de (30) En écrivant au lieu de moins comme c'est le cas dans la méthode

[ I ~ ( I ~ J ~ - J ( Z L S ) = sans utilisation du concept de réflexion.

011 vérifie, très facilement, la relation

et en utilisant la formule (18.18) de [ I l ou (38.10) de [3] on exprime le coefficient de parenté fractionnelle à N = N,

+

N2 électrons détachés comme une somme de produits de ceux à N I et N2 électrons déta- chés. Cette expression, obtenue en généralisant la méthode de Racah [SI, a été donnée par la formule (3) de 191.

5. L'opérateur nombre d'électrons. - Prenons le produit tensoriel

+

¹⁾^{(2 k2}

+

^l)]

"

^x

(2 1

+

1) ( 2 s

+

^-1)

Ici nous avons utilisé la dernière des conditions (9a) et la seconde de (Sa). L'application de (13) donne

- -

C ~ ( I S ) ',(i S ) I ~ I ~ z ) - ( - l)ki ^{+ k 2}[ ( 2 k ,

+

^{1) (2}^{k 2}

+

^l)]

"

1,142 - ( 2 l + 1 ) ( 2 s + l )

- -

( 1 2 )

amlms < Ism, m, 1 w:$' 1 ~ s m i m: > a$& ,

m~rn,m,m;

(26) où l'opérateur tensoriel double w a la définition :

< 1s II w'"~" II 1s > ⁼1 . (27) On peut maintenant écrire

avec

~ ( k i k z ) =

C dkikz' . (29) Dans le cas particulier k , = k 2 = O on a

- - - -

r f l I I 5 ) a ( I ~ ) ] ( k ~ k z ) + ( - l)ki+k? ~ ~ ( 1 s ) a ( I ~ ) ( k i k 2 ) =

1

= h ( k , k2,00)[(21

+

1 ) ( 2 s

+

^l)]", (31) qui diffère dans le facteur de phase de l'équation (29) de [6], cette différence étant comprise dans le second terme du premier membre. De (30) et (31) on déduit cette expression :

- -

'

₁^{( 0 0 )}⁼

=[(21+1)(2s+l)]"-~[(21+1)(2s+1)]-%, (32) qui sera utile par la suite.

6. Le formalisme du quasi-spin. - Avec notre notation la définition du quasi-spin (38) de [6] prend la forme

Q + = 3[(2 1 + 1) (2 s

+

l)]" [a"" x a(") 1 ^{( O 0 )} ( 3 3 ~ )

- - - -

Q- = - + [ ( 2 1 + 1 ) ( 2 ~ + l ) ] " [ a ( ~ " x a ' ~ ~ ' ] ' ~ ~ ' (33b)

Ceci satisfait aux mêmes conditions de commutation que les composantes J + et J, dans la théorie du moment angulaire. En utilisant (31) et (32) on obtient

Q = +(21

+

1 - v ) , (34fl) Q, = - + ( 2 1 + 1 - N ) . (34b) Ensuite, en utilisant (21), on déduit les conditions de commutation :

- - - - -

[Q *, a$,%,] =[(q

+

m,) (? $: Zq

+

^1))'^,^:^:^a ^, (360)

On voit alors que l'opérateur de création est I'opéra- teur tensoriel irréductible de rang q = 4 de compo- sante m , = +, tandis que l'opérateur d'annihilation est obtenu à partir du précédent par la réflexion (q + q, m, -+ n?,) du système de coordonnées et de l'espace de quasi-spin.

Prenons le produit tensoriel

(6)

S U R L'UTILISATION DI- L.4 S Y M ~ T K I E DE R E I - L E S I O N C-l-7

Le coefficient de Clebsch-Gordan généralisé est égal Afin d'obtenir l'opérateur d'annihilation des mêmes à 1, par conséquent a u second membre de (37), électrons il faut appliquer les substitutions (3) aux il ne reste que le même facteur qu'en (22a). Maintenant nombres quantiques dans les formules (37) et (38).

l'opérateur d e création d e N électrons peut être écrit Comme exemple d'utilisation d e ces opérateurs pre-

( z L S N I 2 ) nons le rapport

M L M S = CN !l-' XM,-M,NIZ . ⁽³⁸⁾

- - -

- - - ( P z v z L z S r N ' l 2 ) -- ---

< Pi L i S I Q I Q i z I Xi'12 I B L S Q Q z > -

< Pl L i S l QI Qlz

1 X $ 7 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ " ~ )

I B L S Q Q z >

E n vertu des équations (23), il s'ensuit la relation généralisée entre les coefficients d e parenté fractionnelle des couches d'électrons complémentaires (une d'elles étant presque remplie et la seconde partiellement remplie). Cette relation, obtenue à l'aide de la méthode de Racah, a été donnée dans l'équation (37) d e [10].

Il n'y a aucune ambiguïté [IO], si nous imposons la condition

1 141+2-N / ~ U L S M ~ M~ > ⁼

[ ( A ' + v ) / î ] + l 4 1 + 2 - N

= (- 1) I l fioLSML M s > , (40)

découlant d e la relation (4) pour le quasi-spin. Les substitutions (3) dans ce cas prennent la forme

- -

V + V = 4 1 + 4 - v , ( Q + Q - Q - 1) (410)

-

N + N = 4 1 + 2 - N , ( Q , + Q z = ^-Q,). (41b) D'après (40) les substitutions u ⁺O et pu ⁺fi6 doiinent le même fac:eur d e phase (la substitution

fi ⁺fi ne donnant aucune phase supplém=ntaire).

Pour cette raison dans (39) nous avons écrit fl dans le cas où il y a v .

Si p représente les paramètres caractérisant la représentation irréductible (u, u2) d u groupe G Z , comme c'est le cas dans la théorie des électrons, 1;

la substitution fi ⁺ a la forme [ I l ] :

sans aucun facteur de phase, puisque cette représen- tation irréductible est orthogonale. De même que l'utilisation de et s permet d'éviter l'apparition de L et d e S dans les facteurs d e phase, comine c'est évident à partir de l'équation (39), de même, lorsqii'on utilise o pour disting~ier les termes de la couche d'élec- trons presque remplie et u pour la couche partiellement remplie, les relations entre des quantités relatives aux co~iches complémentaires ne comportent pas c

dans les facteurs de phases. Par conséq~ient tou:es les opérations mathématiques deviennent plus simples.

D e plus, l'interprétation géométriq~ie évidente est permise.

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