CONDENSATION DES EXCITONS DANS LES SEMI-CONDUCTEURS

HAL Id: jpa-00215469

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00215469

Submitted on 1 Jan 1973

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

CONDENSATION DES EXCITONS DANS LES SEMI-CONDUCTEURS

C. Benoit a La Guillaume

To cite this version:

C. Benoit a La Guillaume. CONDENSATION DES EXCITONS DANS LES SEMI-CONDUCTEURS.

Journal de Physique Colloques, 1973, 34 (C10), pp.C10-45-C10-50. �10.1051/jphyscol:19731005�. �jpa- 00215469�

JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque CIO, supplément au no 11-12, Toine 34. Novembre-Décembre 1973, page CIO-45

CONDENSATION DES EXCITONS DANS LES SEMI-CONDUCTEURS

C. BENOIT A LA G U I L L A U M E

Groupe de Physique des Solides de I'Ecole Normale Supérieure (*), Université de Paris VII, 2, place Jussieu, 75005 Paris, France

RCsumé. - Dans les semi-conducteurs, le gaz d'excitons peut présenter à basse température des phases condensées, qui, suivant la structure des bandes peut être du type moléculaire, ou métallique. On pose plus particulièrement le cas des gouttelettes métalliques observées dans Ge.

Abstract. - In semi-conductors, the exciton gas can undergo at low temperature a transition to condensed phase, which, dependinç upon the particular band structure, can be a molecular or a metallic one. Properties of metallic droplets in Ge are reviewed.

1 . Introduction. - Si on considère un semi- conducteur pur à température nulle, l'excitation élec- tronique de plus basse énergie est la paire électron- trou. Ces deux particules sont bien décrites dans l'approximation de la masse effective (m, pour I'élec- tron, m, pour le trou) et interagissent par l'interaction coulombienne modifiée par la constante diélectrique statique K du milieu ; l'état lié qu'elles peuvent former est I'exciton. Remarquons que le temps de vie fini z

de I'exciton est cependant assez long pour être traité comme une très petite perturbation. II y a donc une analogie évidente entre I'exciton et l ' a ~ o n ~ e d'hydro- gène ou le positronium. Nous considérons ici l'inter- action entre plusieurs excitons et l'existence éventuelle de phase condensée. En se référant à l'analogie avec l'hydrogène on peut poser le problème ainsi : la phase liquide (ou solide) moléculaire est-elle plus stable que la phase métallique ? Il s'agit là d'un vieux problème qui trouve un regain d'intérêt grâce au caractère

« exotique ⁾⁾ de I'exciton. II faut donc considérer quelles sont les différences entre I'exciton et l'atome d'hydrogène. Il existe d'abord une différence dans l'échelle des énergies d e liaison

et des rayons d e Bohr

K - 1

A , , = - A H ( P - ' = ^in,

+

mais cette différence disparaît, pourvu qu'on mesure

(*) Laboratoire associé au CNRS.

l'énergie et k T en unité Re, et les longueurs en unité A,,. La seconde différence, qui est fondamentale, est que I'on peut trouver dans les semi-conducteurs pour les électrons ou les trous des forines de surface d'énergie E(k) très différentes de la forme sphérique propre à l'électron libre. O n peut trouver par exemple des surfaces ellipsoïdales, qui peuvent être multiples, situées en des points équivalents de la zone de Brilloüin, ou des bandes dégénérées de forme plus complexe.

De plus, ces surfaces peuvent être modifiées par l'action d'une contrainte uniaxiale, appliquée a u cristal. On peut ainsi réaliser des situations assez différentes pour que la condensation des excitons se fasse sous forme moléculaire, de Bose-Einstein, ou métallique.

2. Position du problème et aspects théoriques. -

Dans la niesure oii I'on considère des effets assez gros- siers (à l'échelle de 1 0 - ~ à 10-' R,,), on va comparer l'énergie par paire électron-trou dans trois cas : l'exciton, la molécule excitoiiique, et le liquide métal- lique à température nulle. Ceci est justifié dans la mesure où l'énergie gagnée en passant de la molécule isolée ou liquide (ou solide) moléculaire est très faible ( < RH pour l'hydrogène) ; de même, on néglige la différence entre liquide et solide métallique, le problème ne se posant que lorsqu'une des particules est assez lourde. Rappelons que c'est M. Larnpert [Il qui a proposé de considérer l'existence de n~olécule excitonique, et L. V. Keldysh [2] l'existence de goutte- lettes métalliques dans les sen-ii-conducteurs.

Le calcul de R,,, énergie de liaison de l'c..\-c,iton dans l'approximation de Wannier-Mott ne présente des dificultés que pour des structures de bande

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19731005

compliquées. Dans ce cas, des méthodes variation- nelles [3] sont utilisées ou plus récemment Balde- reschi [4] a décomposé le Hamiltonien en harmoniques sphériques. La partie sphérique se résout exactement et les termes suivants sont traités en perturbation.

Cette méthode, d'application générale, donne de bons résultats, pourvu que l'écart à la sphéricité ne soit pas trop grand, et que les constantes définissant la structure des bandes du semi-conducteur soient connues avec une précision suffisante.

Le calcul de l'énergie de liaison de la molécule EM a été effectué seulement pour des bandes sphériques simples de dégénérescence 2. Le seul paramètre restant est le rapport des masses de l'électron et du trou a = m,/m,. Dans l'état de base, les deux électrons (ou trous) ont leurs spins anti-parallèles et la fonction d'onde orbitale est symétrique par rapport à l'échange de deux électrons (ou trous). La méthode de calcul variationnelle est assez analogue à celle utilisée pour la molécule d'hydrogène ou la molécule positro- nium [5]. Les calculs les plus récents [6], [7] donnent des résultats très voisins : la liaison existe pour toute valeur de a et décroît de façon monotone d'environ 0,3 Re, (a = 0) à 0,03 Re, (a = 1). En même temps la distance moyenne trou-trou augmente de 1,44 A,, (a = 0) à 3,47 A,, (a = 1). Ces résultats sont direc- tement applicables à des semi-conducteurs cubiques tels que CuCl et CuBr. Pour traiter ceux de structure Wurtzite, tels que CdS et CdSe, il faudrait tenir compte d'une forte anisotropie de la surface d'énergie des trous. Les tentatives théoriques dans cette direction paraissent encore peu convaincantes [7]-[a]. En ce qui concerne des structures de bande plus complexe, telles que celle du germanium, aucun calcul explicite n'a été tenté. Remarquons cependant, en suivant une remarque de C . Kittel [9], que si les dégénérescences des bandes de valence et de conduction sont respec- tivement 2p et 2q (p < q) le principe de Pauli permet la formation d'une molécule comportant 2p excitons (2p = 4 pour Ge ou Si).

Le calcul de l'énergie du Iiguicle tnétalliqrre dans son état de base a été effectué indépendamment par W. F. Brinkman et T. M. Rice [IO] d'une part Mme Combescot et P. Nozières [Il] d'autre part. Le problème est analogue au calcul de l'énergie de cohésion d'un métal tel que le sodium, avec cette différence que le trou est beaucoup plus simple que l'ion Na'. Il y a donc là pour les théoriciens une occasion de tester dans de bonnes conditions les méthodes de calcul du problème à tz corps. L'énergie par paire électron-trou apparaît comme dans le cas d'un métal sous la forme : E(i,) = Ecin

+

+

Eech. Ce sont les termes Etc,, et Eco,,, tous deux négatifs qui contribuent à la liaison du métal. Les deux pre- miers termes peuvent être calculés exactement pour toute structure de bande. Le problème principal est l'évaluation de Eco,,, par des variantes de I'approxi- mation de la phase aléatoire (RPA). La méthode de Brinkman et Rice, dérivée de celle de Hubbard est en principe plus exacte, mais elle ne s'applique qu'à des bandes sphériques (qui peuvent être multiples).

La méthode de Mme Combescot et Nozières reprend celle de Pines et Nozières où intervient une interpo- lation entre des contributions à grand ou petit trans- fert de moment. Elle a le mérite de s'appliquer à des structures de bande plus compliquée (comme celle de Ge) et donne en fait des résultats pratiquement équivalents à ceux de Brinkman et Rice pour les cas plus simples.

Plus récemment, M. Inoue et E. Hanamura [12]

ont proposé une méthode très différente : il s'agit d'une méthode variationnelle où la fonction d'onde d'essai de la forme :

est le produit d'un déterminant de Slater pour les électrons, par un déterminant de Slater pour les trous et où les coriélatiotls sont introduites explicitement par les fonctions f,,, corrélations électron-électron, f,, corrélation trou-trou et f,, corrélation électron- trou. Le travail considérable de minimisation de I'énergie vis-à-vis de ces trois fonctions a pu être mené à bien dans une approximation qui va au-delà de la RPA, pour le cas de deux bandes sphériques de masses égales ^(a = 1). La valeur de E(r3, qui a un minimum pour i,

-

Rappelons enfin que pour a O (cas de l'hydrogène) Wigner et Huntington 1131 ont fait le calcul de l'éner- gie de cohésion du solirie métallique. Dans son prin- cipe, ce calcul tient compte exactement des corréla- tions. Le résultat, valable pour ^a petit est :

3. Présentation et discussion des résultats théoriques.

- 3.1 BANDES SIMPLES SPHERIQUES. - On donne, sur la figure 1, en fonction du rapport des masses ^a et en unité Re,, l'énergie de I'exciton (- l), I'énergie par paire de la molécule et l'énergie par paire de la phase métallique liquide [7] et solide [13]. On a placé aussi le point calculé par Hanamura [12] à a = 1. Malgré la prudence qu'il faut garder vis-à-vis de résultats qui peuvent être modifiés par une amélio- ration des techniques de calcul surtout pour a > 0,1, on peut considérer la différence, de l'ordre de 0,l R,, entre la molécule et l'état métallique comme signi- ficative. L'état moléculaire serait donc le plus stable

CONDENSATION DES EXCITONS DANS LES SEMI-CONDUCTEURS C 10-47

FIG. ^{1. -} Semi-conducteurs à bandes sphériques simples : en fonction du rapport des masses 0, on a porté l'énergie par paire, en unité Rex, de l'exciton (Ex), d e la molécule excitonique (MEx), [7] du liquide métallique (LM) [IO], du solide métallique (SM) [13]. Le point O donne le résultat de la référence [12]

pour le liquide métallique.

pour toute valeur de a, comme dans le cas de l'hy- drogène. Ce point parait confirmé en partie, par I'observation de la molécule excitonique dans plu- sieurs semi-conducteurs ayant cette structure de bande : CuCl [14], CuBr [15], CdS, CdSe [8].

II faut à ce propos discuter qualitativement le caractère boson des particules composites que nous avons rencontrées et envisager la possibilité d'une condensation du type Bose-Eii~steitl. L'électron et le trou étant des fermions, toute combinaison de ces particules en nombre pair constituera un boson : c'est le cas de l'exciton et de la molécule excitonique.

Ce sont en fait des bosons imparfaits, et il apparaît un écart au caractère boson qui est proportionnel à la densité d'excitons (où de molécules). Si on considère l'état le plus stable du système à densité assez faible, il est clair qu'il faut d'abord former des molécules.

Dans l'interaction entre deux moIécuIes, le terme répulsif de Pauli l'emporte sur les termes attractifs d'échange et de van der Waals. C'est là une situation favorable pour observer la condensation de Bose- Einstein [16]. Hanamura et Inoue [17] ont effectué un calcul explicite pour a = 1, dont les résultats sont schématisés sur la figure 2. Les courbes relatives aux

fluides métallique et moléculaire ont une tangente commune AB. Pour r , au-delà de A (faible concen- tration) la phase stable est un superfluide moléculaire.

Pour ^r, en deçà de B (forte concentration) la phase métallique est stable. Pour r, entre A et B, il y a coexis- tence des deux phases dont les compositions sont celles des points A et B.

Signalons simplement que l'observation de la condensation de molécules excitoniques dans CdSe a été annoncée [18]. On doit considérer que cette observation (et son interprétation) demande confir- mation.

Enfin, on ne peut terminer ce chapitre sans se poser la question : pourquoi la molécule d'hydrogène ne donne pas une phase superfluide ? D'une part, une masse M plus lourde favorise une phase condensée solide, et défavorise une phase superfluide, puisque la température de transition du gaz de Bosons par- faits est : k T , = 3,31 h 2 M - ' N ~ ' ~ , où N est ladensité.

Cet argument est insuffisant si l'on considère le cas de 4He. D'autre part, le boson molécule d'hydrogène a un spectre d'états excités très proches : ce sont les niveaux de rotation séparés d'environ R,,/2 000 cou- plés à l'état de spin des protons ; par contre dès que a n'est plus petit, la molécule excitonique n'a pas d'états excités proches, car l'effet d'échange habituel entre trous agit. On conçoit donc que si l'on peut former une phase liquide (ou solide) avec un gain d'énergie par molécule du même ordre que la sépa- ration entre niveaux de base et excités, i l faudra faire intervenir ces états excités et un état de base de nature différente peut en résulter.

3 . 2 BANDES ^COMPLEXES : CAS ANALOGUES A Ge. -

Pour les semi-conducteurs à structure de bandes analogues à celle du germanium (bande de valence dégénérée et bande de conduction multivallée), le calcul [19] montre que l'énergie du liquide métallique est bien en dessous de l'énergie de I'exciton libre.

La figure 3 donne les résultats pour Ge et Si. La différence entre Ge et Si s'explique par une plus grande anisotropie de la structure de bande de Ge.

On ne peut placer avec précision l'énergie de la phase

. -

FIG. 2. - Energie par paire Eo en fonction de la distance entre des millidegrés. Ce problème, encore plus complcxe

particules r, pour un semi-conducteur g bandes sphériques que pour 3 ~ e , paraît purement académique, dans la

-

moléculaire, mais elle ne devrait pas descendre en

2 5 ^IS dessous de - 1,l. On peut donc conclure que la

(O = 1) 1121. mesure où les processus de recombinaison Auger

-

-

E o

- 0.9 - -1 -

-1,l-

1 1 1 I 1 1 1

phase métallique est la plus stable. A température nulle, pour une concentration inférieure à celle du liquide métallique, le système se sépare en deux phases : un gaz à densité nulle et le liquide métallique ;

S F . MOL. le système est alors à pression nulle. Pour une concen-

' i ,

liquide comprimé. A température non nulle, on aura une transition du premier ordre du type gaz-liquide.

Remarquons enfin que ce liquide, composé de deux types de fermions, pourrait par analogie avec 3He, présenter des transitions de phase dans la zone

CI 0-4s C . BENOIT A LA GUILLAUME

FIG. 3. - Energie par paire Eo en fonction de la distance inter- particule rs pour le liquide métallique dans G e et Si [19].

imposent une température effective pour les fermions qui est supérieure à 1 K.

4. Résultats expérimentaux. ^- 4.1 C O N S ~ D ~ R A T I O N S

EXPÉRIMENTALES GÉNÉRALES. - Comme on ne dispose pas de ⁽⁽ récipient » pour nos particules, on doit opérer en espace libre : sous l'effet d'un éclairement (hv > E,) où d'électrons rapides, des paires électrons- trous sont créés dans le semi-conducteur refroidi.

Elles perdent leur énergie cinétique et forment des excitons en un temps court par rapport à leur temps de vie. Leur diffusion est limitée par collisions avec les impuretés résiduelles ou les phonons. Si localement la concentration d'excitons excède un certain seuil, dépendant de la température, la transition de phase pourra apparaître. Un paramètre important est le temps de vie z des excitons : en effet, l'intensité d'exci- tation nécessaire pour créer une densité d'excitons donnée varie comme ^7-'. Les expériences de conden- sation d'excitons sur les semi-conducteurs de type Ge, o ù les temps de vie sont longs, seront donc beaucoup plus faciles.

D'autre part, de sévères limitations à la température effective du système électron-trou ou du réseau pro- viennent du procédé d'excitation lui-même et des recombinaisons non radiatives. 11 est donc illusoire d'essayer de travailler à des températures inférieures à 1,5 K dans les cas les plus favorables.

4 . 2 PROPR~ÉTÉS DES GOUTTES MÉTALLIQUES. - Ce sont les études de fluorescence A basse température qui ont révélé l'existence d'une nouvelle phase exci- tonique dans Si [20] et Ge [21], [22], mais cette nouvelle raie fut d'abord attribuée à la recombinaison de la inolécule excitonique à J'aide d'arguments pure- ment qualitatifs. En fait, l'existence de gouttes dans le germanium a été démontrée par deux expériences qui prouvent de façon qualitative leur caractère macroscopique.

La première est une expérience de détection photo- voltaïque [23] ^: si on éclaire une jonction pn à 2 K en lumière continue, i l apparaît au-dessus d'un certain seuil d'éclairement des impulsions dans le courant photovoltaïque, qui correspondent à 106 électrons par impulsion en moyenne [24] : lorsqu'une goutte arrive dans le champ électrique de la jonction, elle est détruite et 106 représente le nombre moyen de paires dans une goutte.

L'autre expérience est l'observation de la diffusion Rayleigh de la raie à 3,39 pm du laser HeNe par les gouttes [25]. Elle donne une mesure du rayon moyen de la goutte, qui est de quelques Pm.

Les données expérimentales qui permettent une comparaison qira~ititatiue avec la théorie du liquide métallique proviennent surtout de l'étude de la fluorescence. Le mécanisme de recombinaison radiative dans la goutte est du second ordre avec émission d'un phonon /?W. La forme de raie I(l1v) s'obtient sim- plement par intégration sur les répartitions dégénérées d'électrons et de trous :

I ( b v ) =

j", _j /

l2

13c

x 6(hv - AE,,

+

L'élément de matrice H(k,, k,) peut être pris constant (phonon LA dans Ge) [26] ou dépendant de k (pho- non TA dans Ge) [27]. On obtient de la forme de raie une mesure de la deusité 17, dans la goutte. D'autre part, comme le liquide métallique correspond à l'énergie minimum par paire ( E , - E,) cette énergie, est égale au potentiel chimique, donc à (F, - F,),

PHOTON ENERGY (rnrV)

FIG. 4. - Forme de raies de recombinaison des gouttes dans G e (raie B) dans le cas d'émission ou d'un phonon LA permis,

ou TA interdit au bas de bande (raie A).

CONDENSATION DES EXCITONS DANS LES SEMI-CONDUCïEURS

Comparaison des valeurs expéritnentales et théoriques de la densité n, et de I'énergie E, par paire dans la goutte métallique pour G e et Si

(E, théorie - (E9 Eex) n ,

- EeX expérimental) experimental théorie expérimental ^"c

meV meV cm-3

- - - -

G e 2,05 [19] 2,o [371 2 x 10" [19] 2,2 x IOi7 [27]

1,s P l 1 1,8 x 1017 [27]

2,O x IOi7 [28]

différence des niveaux d e Fermi pour les électrons 5. Problèmes d'actualité. - En ce qui concerne et les trous. O n obtient sa valeur par la limite haute les gouttes métalliques, les études en cours sont les énergie de la raie de fluorescence. Le tableau 1 résume suivantes :

les valeurs obtenues pour la densité n, et l'énergie du

Les calculs d.énergie libre à température non liulle, liquide métallique dans G e et Si : on voit que l'accord

en vue d.évaluer la température et la densité a u point avec la théorie RPA est très bon. critique restent approximatifs. M m e Combescot [19]

La mesure du rendement radiatif de la fluoresceiice en tenant de la de

sommer-

et du tenips de vie radiatif rH qui peut être comparé fe]d donne une évaluation de Tc en accord avec les à celui de I'excitoii

TE

rp,(r) est la fonction d'onde « enveloppe » de l'exciton.

On atteint ainsi le paramètre i l qui est le coefficient de corrélation électron-trou dans la goutte : Y] est voisin de 10 [27].

Le mécanisme de recombinaison non radiatif prépondérant est I'effet Auger qui contribue au temps de vie comme r,

-

Le caractère t~~étulliq~re des gouttes a été dérnontré par l'absorption infrarouge corresporidant aux plas- mons sur une surface sphérique [28]. Les mesures directes de !a conductivité élec~rique [29], [30], qui montre une forte augmentation pour une densité moyenne de 2 x 10" c ~ I I - ~ , peuvent être interprétées comme un effet de percolation entre gouttes ; mais ces mesures à haut niveau d'excitation restent contro- versées. Par contre, Hensel [31] a réalisé une ktude détaillée de la conductivité de la phase gazeuse qui entoure les gouttes après une impulsion d'excitation.

L'interprétation de ces mesures démontre que la recombinaison Auger dans la goutte est la source principale de porteurs dans le ga7, et fournit de plus une valeur du travail de sortie d'un exciton hors de la goutte (voir Tableau 1).

Rappelons d'autre part que l'étude de l'effet des pressions uniaxiales sur les gouttes [32], [33] démontre bien I'effet d'un changenient de structure de bande

;Ur I'énergie et la densité du liquide inCtaIliq~ie, en m o r d avec les calciils thkoriques [l 11.

pour Ge, 20-30 K pour Si).

II n'existe pas pour le moment d'évaluation théorique sûre de I'énergie de surface, paramètre iniportaiit pour préciser les conditions de nucléation, c'est-à-dire de formation de la goutte à partir de la vapeur saturée.

Quelques faits expérimentaux semblent indiquer que la iiucléation est inhoinogène, et que les gouttes se formeraient sur des défauts ou anias d'impuretés.

Un autre problènîe intéressant est celui d'une impureté isolée, dont on peut espérer étudier les modifications (niveau d'énergie, section de capture) lorsqu'elle est plongée dans une goutte métallique.

Une première étude sur les donneurs peu profonds [34]

montre que ces impuretés dans la goutte se coinpor- tent comme un niveau lié virtuel très élargi, en réso- nance avec la mer de Fermi des électrons.

La recherche de gouttes dans des matériaux autres que Ge et Si, niais de structure de bandes convenable, permet de tester plus complètement le modèle : par exemple l'alliage Ge,,,,5-Si,,,

,

En fait, l'étude expérimentale la plus intéressante qui a juste été abordée [18] est celle des phases conden- sées moléculaires dans les semi-conducteurs à struc- ture de bandes simples. N'oublions pas de plus, que de noinbreux cas de figure n'ont pas été envisagés jusqu'i présent et pourraient conduire à des situa- tions nouvelles.

En guise de conclusion, je voudrais rappeler les

CIO-50 C. BENOIT A LA GUILLAUME

noms d e ceux q u i o n t a p p o r t é leur c o n t r i b u t i o n à métallique a é t é a d o p t é à l a suite d e l'expérience de c e travail d a n s n o t r e laboratoire. A l'origine, se détection p h o t o v o l t a ï q u e ( n o v e m b r e 1970). P. Nozières t r o u v e l a mise e n évidence p a r J. M. Debever des e t M. Combescot o n t a l o r s effectué le calcul t h é o r i q u e interactions exciton-électron et exciton-exciton d a n s de l'énergie d e l a p h a s e métallique. Enfin, nous a v o n s C d S (1967). Puis F. Salvan e t M. V o o s o n t é t u d i é tous bénéficié d e n o m b r e u s e s discussions avec P. Ai- la phase condensée de Ge e t Si ; le m o d è l e d e la g o u t t e grain.

Bibliographie

[ l ] LAMPERT, M. A., Phys. Rev. Lett. 1 (1958) 450.

[2] KELDYSH, L. V., Proceedings of the 9th International Conference on the Physics of Semi-conductors, Mos- cou 1968. (Nanka-Leningrad, 1968) p. 1303.

[3] MCLEAN, T. P. et LOUDON, R., J. Plrys. Cllein. Solids 13 (1960) 1.

[4] LIPARI, N. O. et BALDERESCHI, A., P I I ~ s . Rev. B 3 (1971) 2497.

[SI HYLLERAAS, E. A. et ORE, A., Pllys. Rev. 71 (1947) 493.

[6] AKIMOTO, O. et HANAMURA, E., J. Pllys. Soc. Japan 33 (1972) 1537.

[7] BRINKMAN, W. F., RICE, T. M. et BELL, B., Phys. Rev.

B 8 (1973) 1570.

[8] SHIONOYA, S., SAITO, H., HANAMURA, E. et AKIMOTO, O., Solid. Stafe Comnzrin. 12 (1973) 223.

[9] SHY-YIH WANG, J. et KITTEL, C., Plzys. Lett. 42A (1972) 189.

[IO] BRINKMAN, W. F. et RICE, T. M., PI'I's. Rev. B 7 (1973) 1508.

[ I l ] COMBESCOT, M. et NOZIÈRES, Ph., J. Pllys. C 5 (1972) 2369.

[12] INOUE, M. et HANAMURA, E., Tech. Rep. of ISSP (Tokyo), Ser A, 1972, no 561.

[13] WIGNER, E. et HUNTINGTON, H. B., J. Chern. Phys. 3 (1935) 764.

1141 MYSYROWICZ, A., GRUN, J. B., LÉvY, R., BIVAS, A. et NIKITINE, S., Phys. Lett. 26A (1968) 615.

[15] SOUMA, H., KOIKE, H., SUZUKI, K. et UETA, M., J. Phys.

Soc. Japon 31 (1971) 1285.

1161 BELYAEV, S. T., Zh. Eksp. Teor. Fiz. 34 (1958) 417 ; Sov.

Phys. JETP 7 (1958) 289.

[17] HANAMURA, E. et INOUE, M., Proceedings of the 11th International Conference on the Physics of Semi- conductors, Varsovie (1972) (P. W. N. Polish Scientific publishers, Warszawa, 1972) p. 71 1.

[18] KURODA, H., SHIONOYA, S., SAITO, H. et HANAMURA, E., Solid. State Commuiz. 12 (1973) 533.

[19] COMBESCOT, M., Thèse, Paris VI1 (1973).

[20] HAYNES, J. R., Phys. Rev. Lett. 17 (1966) 860.

[21] POKROVSKY, Y. E. et SVISTUNOVA, K. I., Zh. Eksp. Teor.

Fiz. Pis'ma V Red 9 (1969) 435 ; Sov. Phys. JETP Letters 9 (1969) 261.

[22] BENOIT A LA GUILLAUME, C., SALVAN, F. et Voos, M., J. L~rinir~esceiice 112 (1970) 315.

[23] ASNIN, V. M., ROGACHEV, A. A. et SABLINA, N. I., Zh.

Eksp. Teor. Fiz. Pis'ma Y Red. 11 (1970) 162 ; Sov.

Phys. JETP Letters 11 (1970) 99.

[24] BENOIT A LA GUILLAUME, C., VOOS, M., SALVAN, F., LAURANT, J. M. et BONNOT, A., Compt. Rerzd. 272B (1971) 236.

[25] POKROVSKY, Y. E. et SVISTUNOVA, K. 1.; Zh. Eksp. Teor.

Fiz Pis'ina V Red. 13 (1971) 297 ; Sov. Phys. JETP Letters 13 (1971) 212.

[26] POKROVSKY, Y. E., KAMINSKY, A. et SVISTUNOVA, K. I., Proceedings of the 10th international Conference on the Physics of Semi-conductors, Cambridge, Mass. (1970) (US AEC, Division of Technical Infor- mation, Springfield, Va. 1970) p. 504.

[27] BENOIT A LA GUILLAUME, C. et Voos, M., Phys. Rev. B 7 (1973) 1723.

[28] VAVILOV, V. S., ZAYATS, V. A. et MURZIN, V. N., voir référence [26] p. 509.

[29] ASNIN, V. M. et ROGACHEV, A. A., Zh. Eksp. Teor. Fiz.

Pis'rna V Red. 14 (1971) 494 ; Sov. Phys. JETP Letters 14 (1971) 338.

[30] GURNEE, M. N., GLICKSMAN, M. et WONYU, P., Solid State Cornmrrrr. 11 (1972) 11.

[31] HENSEL, J. C., PHILLIPS, T. G. et RICE, T. M., Phys. Rev.

Lett. 30 (1973) 227.

[32] BAGAEV, V. S., GALKINA, T. 1. et GOGOLIN, O. V., voir référence [26] p. 500.

[33] BENOIT A LA GUILLAUME, C., VOOS, M. et SALVAN, F., Phys. Rev. B 5 (1972) 3079.

[34] BENOIT A LA GUILLAUME, C. et Voos, M., Solid State Corninun. 11 (1972) 1585.

[35] POKROVSK, Y. E., Proceedings of the 11th International Conference on the Physics of Semi-conductors, Var- sovie (1972). (P. W. N. Polish Scientific Publishers, Warszawa 1972) p. 69.

[36] BENOIT A LA GUILLAUME, C., VOOS, M. et PETROFF, Y., à paraître.

[37] BENOIT A LA GUILLAUME, C. et Voos, M., à paraître dans Solid State Comtnutz.