HAL Id: hal-01492459
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01492459
Submitted on 20 Mar 2017
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Public Domain
Contact et adhésion cicatrisante
Mathieu Schryve, Michel Raous
To cite this version:
Mathieu Schryve, Michel Raous. Contact et adhésion cicatrisante. 8e Colloque national en calcul des
structures, CSMA, May 2007, Giens, France. �hal-01492459�
Mathieu Schryve — Michel Raous
Laboratoire de Mécanique et d’Acoustique LMA (CNRS ) 31, Chemin Joseph Aiguier
13402 Marseille Cedex 20
{schryve,raous}@lma.cnrs-mrs.fr
RÉSUMÉ.
Nous considérons ici le contact adhésif cicatrisant entre deux corps. L’adhésion est décrite par la variable d’état interne intersurfacique β introduite par M. Frémond (Frémond, 1987). Le modèle RCCM (Raous et al., 2002), (Raous et al., 1999) est étendu au cas de la cicatrisation des liens adhésifs. Le modèle thermodynamique considéré s’inscrit dans le cadre cinématique développé dans (Curnier et al., 1995), (Bretelle et al., 2001) et couple contact unilatéral et adhésion. La loi d’adhésion cicatrisante a été implémentée dans la plateforme LMGC90 (Dubois et al., 2003). Nous considérons l’étude du col d’adhésion lors du contact sous vide entre une bille de verre et un bloc élastomère (Barquins et al., 1986).
ABSTRACT.
We consider two bodies with a recoverable adhesive interaction. Adhesion is de- scribed by the internal state variable β introduced by M. Frémond (Frémond, 1987). The RCCM model (Raous et al., 2002), (Raous et al., 1999) is extended to the healing of adhesive bonds.
We consider a thermodynamic model using the contact kinematics developped in (Curnier et al., 1995), (Bretelle et al., 2001) involving unilateral contact and adhesion. The model has been implemented in the LMGC90 code (Dubois et al., 2003). We consider the study of the neck of adhesion for contact between a sphere of glass and a rubber block (Barquins et al., 1986).
MOTS-CLÉS :
Adhésion cicatrisante, contact unilatéral, élastomère.
KEYWORDS:
Recoverable adhesion, unilateral contact, rubber.
8
i`emeColloque national des structures 2007, pages 1 à 6
2 8
i`emeColloque national des structures 2007
1. Introduction
Le modèle d’adhésion cicatrisante présenté ici est une extension du modèle RCCM (Raous et al., 1999), (Raous et al., 2002). L’intérêt est maintenant porté à la restaura- tion des liens adhésifs lorsque les corps s’approchent. Dans ce cas, l’interaction adhé- sive se produit avant contact. Une nouvelle équation d’évolution de la variable d’état d’intensité d’adhésion β (Frémond, 1987) est introduite. Elle permet l’augmentation de β lors de l’approche des corps (cicatrisation) et sa diminution lors de leur sépara- tion (endommagement). L’évolution de β est contrôlée par une équation différentielle à seuil qui prend en compte un effet visqueux (paramètre b). Dans ce modèle d’adhé- sion cicatrisante, l’énergie dissipée est uniquement d’origine visqueuse. Le caractère non régulier de la loi d’interface nécessite l’écriture thermodynamique du modèle en terme d’inclusions différentielles, ce qui est présenté en section 2.
Le modèle a été implémenté dans la plateforme LMGC90 (http://www.lmgc.univ- montp2.fr/
∼dubois/LMGC90/), dédiée au traitement dynamique des problèmes de contact. L’intégration temporelle repose sur une θ-méthode. Dans notre cas, le sol- veur « Non Smooth Contact Dynamics » est placé au sein d’une boucle de point fixe sur la variable β (section 3). L’équation d’évolution de β est intégrée implicitement.
Lors du contact bille de verre/élastomère, le col d’adhésion est observé au bord du contact (Barquins et al., 1986). Ce phénomène est du à la présence d’interactions de type van der Waals. Le modéle d’adhésion cicatrisante permet une approximation du comportement de ces interactions. Dans la section 4, on simule la formation du col.
2. Le modèle d’adhésion cicatrisante et son cadre thermodynamique
La formulation du problème dynamique en grandes déformations est classique.
Nous présentons ici la formulation des équations du contact avec adhésion cicatri- sante. Le cadre est restreint aux faibles rayons de courbure et aux faibles rotations relatives des surfaces en interaction. Dans ce cas, le principe d’action réaction géné- ralisé (Curnier et al., 1995) se simplifie (j
p≈ 1 ) et la vitesse relative est objective (d n /dt ≈ 0 ). Γ
1t,Cet Γ
2t,Csont les zones potentielles d’interaction de normale uni- taire sortante n
1et n
2respectivement. A chaque instant t, on suppose que tout point candidat x
1de Γ
1t,Cse projette de façon unique en x
2p= φ
p(x
1) sur Γ
2t,Ctel que
∀ t, g = (x
1− x
2p)n
2, avec g ≥ 0 (condition de non pénétration).
La surface Γ
2t,Cest paramétrisée de manière à définir une base locale ou repère de contact ( τ
1, τ
2, n ) en x
2p, où n := n
2. La vitesse relative [v] et le principe d’action- réaction généralisé simplifié s’écrivent, en introduisant la contrainte interfaciale σn ,
[v] := ∂ x
1∂t − ∂ x
2p∂t , c’est à dire [v] = ˙ g n + ˙ ξ
Tiτ
i, σn :=
(σ
2n
2)
p= −σ
1n
1sur φ
p(Γ
1t,C)
(σ
2n
2)
p= 0 sur Γ
2t,C\ φ
p(Γ
1t,C) , on note
σ
N:= σn · n
σ
T:= σn − σ
Nn
L’intégration de la composante tangentielle de [v] sur l’intervalle de temps [0 , t ] per- met d’obtenir ξ
T( t ) , le déplacement relatif tangentiel à l’instant t. Les variables d’état sont le saut normal g, le déplacement relatif tangentiel ξ
Tet l’intensité d’adhésion β définis sur Γ
2t,C. Posons ( . )
ret ( . )
irrespectivement les parties réversible et irréver- sible. Soient σ
Nr, σ
rTles forces thermodynamiques associées respectivement à g, ξ
T, et G
βla force thermodynamique d’adhésion associée à β. Les parties irréversibles des forces de contact sont σ
Nir= σ
N− σ
Nret σ
Tir= σ
T− σ
Tr. Seuls l’adhésion et le frottement sont sources de dissipation intersurfacique, donc σ
Nir= 0 . Pour obtenir les lois complémentaires compatibles avec l’inégalité de Clausius Duhem, on choisit le pseudo-potentiel surfacique de dissipation Φ = Φ( ˙ ξ
T, β ˙ ; χ ) , avec χ = (σ , g, β ) , positif, convexe en ( ˙ ξ
T, β ˙ ) et nul en (0 , 0) , ce qui correspond à une extension du cadre des matériaux standard généralisés. Les formes suivantes sont choisies pour l’énergie libre surfacique Ψ et le potentiel de dissipation surfacique Φ
Ψ( g, ξ
T, β ) = C
N2 g
2β
2+ C
T2 ξ
T2β
2− wβ + I
K˜( g ) + I
P( β ) , Φ( ˙ ξ
T, β ˙ ; χ ) = μ (1 − β ) |σ
N− C
Ngβ
2| ξ ˙
T+ b
2 β ˙
2,
où K ˜ = { v ; v ≥ 0} et P = { γ ; 0 < γ ≤ 1} . Les coefficients C
Net C
Tsont les rigidités interfaciales initiales normale et tangentielle, w l’énergie d’adhésion, μ le coefficient de frottement de Coulomb, et b le coefficient de viscosité. Les lois d’état et les lois complémentaires s’écrivent
σ
rN∈ ∂
gΨ , σ
Tr∈ ∂
ξTΨ , et − G
β∈ ∂
βΨ , σ
irN= 0 , σ
irT∈ ∂
ξ˙T
Φ( ˙ ξ
T, β ˙ ; χ ) , et G
β∈ ∂
β˙Φ( ˙ ξ
T, β ˙ ; χ ) ,
où ∂
z( . ) est le sous-gradient de ( . ) selon la variable z . Si β = 0 le comportement de la loi d’adhésion cicatrisante correspond à un comportement de contact de type Signorini Coulomb classique. La figure 1 décrit le comportement normal de la loi d’adhésion cicatrisante. Pour b = 0 , les processus d’endommagement et de cicatrisation des liens sont identiques. Pour b = 0 , ils diffèrent, c’est l’hystérésis d’adhésion.
Figure 1. Comportement normal du modèle d’adhésion cicatrisante lors d’une solli-
citation séparation/approche/séparation (pointillé : cas b = 0 / plein : cas b = 0 ).
4 8
i`emeColloque national des structures 2007
3. Résolution numérique
La plateforme LMGC90 (Dubois et al., 2003) permet le traitement des problèmes de dynamique en présence de conditions de contact avec frottement ou de modèle de zone cohésive (méthode Non Linear Gauss Seidel avec solveur Non Smooth Contact Dynamics). Ces méthodes numériques (Jean, 1999), (Acary et al., 2001) sont étendues pour résoudre le problème de contact avec adhésion cicatrisante (tableau 1). Actuelle- ment, le traitement est valable pour les cas 2 D uniquement.
Les équations de la dynamique sont condensées en chaque point de contact α dans le repère local ( τ
α, n
α). Les relations de passage des variables globales ( X ˙
i+1, Δ T R
i+1) aux variables locales de contact, vitesses relatives et impulsions de contact ( [˜ v]
α, Δ T r ˜
α), sont obtenues lors de la projection, réalisée à un temps inter- médiaire ˜ t
i, avec t ˜
i= t
i+ Δ T (1 − θ ) . L’indice ˜ représente la valeur des inconnues à l’instant intermédiaire ˜ t
i+1. Ces relations conduisent aux systèmes d’inconnues prin- cipales ([˜ v]
α, Δ T r ˜
α) suivants
⎧ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎨
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎩
[˜ v]
α= v
freeα+
Ncδ=α
w
αδΔ T r ˜
δ+ w
ααΔ T r ˜
α,
éq. du contact en g ˜
αn, ξ ˜
Tαet ξ ˜
Tα/ Δ T dans le repère local ( τ
(˜αti)
, n
α(˜ti)
) , β ˜
α= f ( β
(˜αti)