Description and application of a 2D-axisymmetric model for entropy noise in nozzle flows

HAL Id: hal-02864423

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Submitted on 15 Jun 2020

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Description and application of a 2D-axisymmetric model for entropy noise in nozzle flows

Ariane Emmanuelli, Jun Zheng, Maxime Huet, Alexis Giauque, Thomas Le Garrec, Sebastien Ducruix

To cite this version:

Ariane Emmanuelli, Jun Zheng, Maxime Huet, Alexis Giauque, Thomas Le Garrec, et al.. Description

and application of a 2D-axisymmetric model for entropy noise in nozzle flows. Journal of Sound and

Vibration, Elsevier, 2020, 472, pp.115163. �10.1016/j.jsv.2019.115163�. �hal-02864423�

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❢♦* ❜♦"❤ ✉❜❝*✐"✐❝❛❧ ❛♥❞ ❝❤♦❝❦❡❞ ♥♦③③❧❡ ❬✸✼✕✹✶❪✳ ▼♦*❡ *❡❝❡♥"❧②✱ "❤❡ ❝♦♠♣❛❝"

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♥♦✐ ❡ ✇❤✐❝❤ ✇❛ ❝♦♠♣❛*❡❞ "♦ ❡①♣❡*✐♠❡♥"❛❧ *❡ ✉❧" ❬✹✷❪ ❛♥❞ ✇❤✐❝❤ ❤❛ ❜❡❡♥ ❡①✲

"❡♥❞❡❞ "♦ ♥♦♥✲✐ ❡♥"*♦♣✐❝ ♥♦③③❧❡ ✢♦✇ ❬✹✸❪✳ ❚❤❡ ♣*❡ ❡♥❝❡ ♦❢ ❝✐*❝✉♠❢❡*❡♥"✐❛❧ ✇❛✈❡

❤❛ ❛❧ ♦ ❜❡❡♥ ✐♥❝❧✉❞❡❞❬✶✱ ✹✹❪✳ ❍♦✇❡✈❡*✱ ❧✐♠✐"❛"✐♦♥ *❡♠❛✐♥ ❛♥❞ ✐" ❡❡♠ *❛❞✐❛❧

✈❛*✐❛"✐♦♥ ♥❡❡❞ "♦ ❜❡ "❛❦❡♥ ✐♥"♦ ❛❝❝♦✉♥" "♦ ✐♥❝*❡❛ ❡ "❤❡ ❛❝❝✉*❛❝② ♦❢ ❡ "✐♠❛"❡❞

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❙✉❝❤ "*❛♥ ✈❡* ❡ ✈❛*✐❛"✐♦♥ ♦❢ "❤❡ ✢♦✇ ✇❡*❡ ✜* " ❝♦♥ ✐❞❡*❡❞ ✐♥ "✉❞✐❡ ❢♦❝✉ ✐♥❣

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"②♣✐❝❛❧❧② ❛✐♠ ❛" ❡✈❛❧✉❛"✐♥❣ ❡♥"*♦♣② ✇❛✈❡ ❛""❡♥✉❛"✐♦♥ ❜❡"✇❡❡♥ "❤❡ ❝♦♠❜✉ "♦* ❛♥❞

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❢♦✉♥❞ "♦ ❜❡ "*♦♥❣❧② ❛✛❡❝"❡❞ ❜② ❤❡❛* ❞✐ ♣❡* ✐♦♥ ♦❢ "❤❡ ❡♥"*♦♣② ♣❡*"✉*❜❛"✐♦♥ ✱

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✸

σ1 σ2

P1⁻ P2⁺

✭❛✮

P1⁻ P₂⁺

P1⁺

✭❜✮

P1⁻ P2⁺

P2⁻

✭❝✮

❋✐❣✉)❡ ✶✿ ❉✐❛❣)❛♠/ ♦❢ 2❤❡ ✇❛✈❡/ ♣)❡/❡♥2 ❢♦) ❡❛❝❤ ❢♦)❝✐♥❣ 2②♣❡ ✐♥ 2❤❡ /✉❜/♦♥✐❝ ❝❛/❡✳ ✭❛✮

❡♥2)♦♣✐❝❀ ✭❜✮ ✉♣/2)❡❛♠ ❛❝♦✉/2✐❝❀ ✭❝✮ ❞♦✇♥/2)❡❛♠ ❛❝♦✉/2✐❝ ❢♦)❝✐♥❣✳

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$❤❡ ❛$$❡♥✉❛$✐♦♥ ♦❢ $❤❡ ❡♥$,♦♣② ✇❛✈❡✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ $❤❡♥ ❜❡ $❛❦❡♥ ✐♥$♦ ❛❝❝♦✉♥$ ❛/

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❞✐//♦❝✐❛$❡❞ ❢,♦♠ ❡♥$,♦♣② ♥♦✐/❡ ❣❡♥❡,❛$✐♦♥✱ ❢♦, ✇❤✐❝❤ ❝♦♠♣❛❝$ ♦, ✶❉ ♠♦❞❡❧/

♥❡❣❧❡❝$✐♥❣ ,❛❞✐❛❧ ✈❛,✐❛$✐♦♥/ ❛,❡ ✉/❡❞✳

■♥ $❤✐/ ♣❛♣❡,✱ ❛ ✷❉✲❛①✐/②♠♠❡$,✐❝ /❡♠✐✲❛♥❛❧②$✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧ ✐/ ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ $♦ ♣,♦✲

✈✐❞❡ ❛ ❢❛/$ ❛♥❞ ❛❝❝✉,❛$❡ ❡✈❛❧✉❛$✐♦♥ ♦❢ ❡♥$,♦♣② ♥♦✐/❡ ✐♥ ♥♦③③❧❡ ✢♦✇✳ ❚❤✐/ ♠♦❞❡❧✱

♥❛♠❡❞ ❈❍❊❖K❙✲◆♦③③❧❡ ✭♥♦♥✲❝♦♠♣❛❝' ❤❛)♠♦♥✐❝ ❡♥')♦♣② ♥♦✐-❡ ♣)❡❞✐❝'✐♦♥-✮✱ ✐♠✲

♣,♦✈❡/ ❡①✐/$✐♥❣ ♠♦❞❡❧/ ❜② $❛❦✐♥❣ ✐♥$♦ ❛❝❝♦✉♥$ $❤❡ ,❛❞✐❛❧ ✈❛,✐❛$✐♦♥ ♦❢ ❜♦$❤ $❤❡

♠❡❛♥ ✢♦✇ ❛♥❞ ❡♥$,♦♣② ✢✉❝$✉❛$✐♦♥/ ❞✐,❡❝$❧② ✐♥ $❤❡ ♥♦✐/❡ ❣❡♥❡,❛$✐♦♥ ♣,♦❝❡//✳

❚❤❡ ♣❛♣❡, ✐/ ♦,❣❛♥✐/❡❞ ❛/ ❢♦❧❧♦✇/✳ ❚❤❡ ❛♥❛❧②$✐❝❛❧ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥$/ ❛♥❞ ♣,♦❝❡❞✉,❡

❢♦, ♥✉♠❡,✐❝❛❧ ,❡/♦❧✉$✐♦♥ ❛,❡ ♣,♦✈✐❞❡❞ ✐♥ /❡❝$✐♦♥ ✷✳ ❚❤❡ ❛❝❝✉,❛❝② ♦❢ $❤❡ ♠♦❞❡❧

✐/ ❡✈❛❧✉❛$❡❞ ✐♥ /❡❝$✐♦♥ ✸✱ ✐♥ ✇❤✐❝❤ $❤❡ ♥♦✐/❡ ❣❡♥❡,❛$❡❞ ❛♥❞ /❝❛$$❡,❡❞ $❤,♦✉❣❤

/✉❜/♦♥✐❝ ♥♦③③❧❡ ✢♦✇ ✐/ ❝♦♠♣❛,❡❞ $♦ ,❡❢❡,❡♥❝❡ ❈❆❆ ❞❛$❛✳ ❚❤❡ ❢❛✐❧✉,❡ ♦❢ $❤❡ ✶❉

♠♦❞❡❧/ $♦ ,❡❝♦✈❡, ♥✉♠❡,✐❝❛❧ ,❡/✉❧$/ ✐/ ❞❡♠♦♥/$,❛$❡❞✳ ❚♦ ❡♥❞✱ ❝♦♥❝❧✉/✐♦♥/ ❛♥❞

♣,♦/♣❡❝$/ ❛,❡ ❞,❛✇♥ ✐♥ /❡❝$✐♦♥ ✹✳

✷✳ "#❡%❡♥'❛'✐♦♥ ♦❢ '❤❡ ✷❉ ♠♦❞❡❧

❚❤❡ ✷❉✲❛①✐/②♠♠❡$,✐❝ /❡♠✐✲❛♥❛❧②$✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧ ❈❍❊❖K❙✲◆♦③③❧❡ ❢♦, ❡♥$,♦♣②

♥♦✐/❡ ✐♥ ♥♦③③❧❡ ✢♦✇ ✐/ ♣,❡/❡♥$❡❞ ✐♥ $❤✐/ /❡❝$✐♦♥✳ ❋✐❣✉,❡ ✶ ❣✐✈❡/ $❤❡ ❞✐✛❡,❡♥$ ✇❛✈❡/

✐♥✈♦❧✈❡❞ ✐♥ $❤❡ /✉❜/♦♥✐❝ ❝❛/❡✳ ■♥ ❞✐❛❣,❛♠ ✭❛✮✱ ♥♦,♠❛❧✐/❡❞ ❡♥$,♦♣② ✢✉❝$✉❛$✐♦♥/

❛,❡ ♥♦$❡❞σ=s^′/cp✳ ❆/ $❤❡② ❛,❡ ❛❝❝❡❧❡,❛$❡❞ ❢,♦♠ ♣♦/✐$✐♦♥ ✶ ❛$ $❤❡ ✐♥❧❡$ $♦ $❤❡

♦✉$❧❡$ ♥♦$❡❞ ✷✱ ❡♥$,♦♣② ♥♦✐/❡ ✐/ ❣❡♥❡,❛$❡❞ ✐♥ $❤❡ ❢♦,♠ ♦❢ ❛❝♦✉/$✐❝ ♣❡,$✉,❜❛$✐♦♥/

♣,♦♣❛❣❛$✐♥❣ ✉♣/$,❡❛♠ ❛♥❞ ❞♦✇♥/$,❡❛♠ ,❡/♣❡❝$✐✈❡❧②✱ ❛♥❞ ✇❤✐❝❤ ❛,❡ ♥♦$❡❞ P1⁻

❛♥❞P2⁺ ♦♥❝❡ ♥♦,♠❛❧✐/❡❞✳ ❚❤❡ $,❛♥/❢❡, ❢✉♥❝$✐♦♥/[P1⁻/σ1]❛♥❞[P2⁺/σ1]❛,❡ ✉/❡❞

$♦ ❞❡/❝,✐❜❡ $❤❡/❡ ✇❛✈❡/✱ ❣❡♥❡,❛$❡❞ ❜② $❤❡ ❛❝❝❡❧❡,❛$✐♦♥ ♦❢σ1$❤,♦✉❣❤ $❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳

■$ ❝❛♥ ❛❧/♦ ❜❡ ✐♥$❡,❡/$✐♥❣ $♦ ❢♦,❝❡ $❤❡ /②/$❡♠ ❛❝♦✉/$✐❝❛❧❧② $♦ ✐♥✈❡/$✐❣❛$❡ $❤❡

♣,♦♣❛❣❛$✐♦♥ ❛♥❞ /❝❛$$❡,✐♥❣ ♦❢ ❛❝♦✉/$✐❝ ✇❛✈❡/ $❤,♦✉❣❤ $❤❡ ♥♦③③❧❡✱ ✐♥ ♣❛,$✐❝✉❧❛,

❛/ ♥♦✐/❡ /♦✉,❝❡/ ♦$❤❡, $❤❛♥ ❡♥$,♦♣② ♥♦✐/❡ ❛,❡ ♣,❡/❡♥$ ✐♥ ❡♥❣✐♥❡/✳ ❋✐❣✉,❡ ✶ ✭❜✮

✹

✐❧❧✉#$%❛$❡# $❤❡ ❝❛#❡ ✐♥ ✇❤✐❝❤ $❤❡ ✇❛✈❡P₁⁺✐# ✐♥❥❡❝$❡❞ ✉♣#$%❡❛♠ ❛♥❞ ❋✐❣✳ ✶ ✭❝✮ $❤❡

❝♦♥✜❣✉%❛$✐♦♥ ✐♥ ✇❤✐❝❤ $❤❡ ✢♦✇ ✐# ❡①❝✐$❡❞ ✇✐$❤P₂⁻✱ ♣%♦♣❛❣❛$✐♥❣ ❢%♦♠ $❤❡ ♦✉$❧❡$

♦❢ $❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳ ❇♦$❤ ❝❛#❡# %❡#✉❧$ ✐♥ ✇❛✈❡# P1⁻ ❛♥❞P2⁺ ♣%♦♣❛❣❛$✐♥❣ ✉♣#$%❡❛♠

❛♥❞ ❞♦✇♥#$%❡❛♠ %❡#♣❡❝$✐✈❡❧②✱ ❛# ✇✐$❤ ❡♥$%♦♣✐❝ ❢♦%❝✐♥❣✳ ❚❤❡#❡ ✇❛✈❡# ❝❛♥ ❛❧#♦

❜❡ ❝❤❛%❛❝$❡%✐#❡❞ ✉#✐♥❣ $%❛♥#❢❡% ❢✉♥❝$✐♦♥#✿ [P1⁻/P1⁺] ❛♥❞ [P2⁺/P1⁺] ✐♥ $❤❡ ❝❛#❡

♦❢ ✉♣#$%❡❛♠ ❛❝♦✉#$✐❝ ❡①❝✐$❛$✐♦♥✱ ❛♥❞ [P1⁻/P2⁻] ❛♥❞ [P2⁺/P2⁻] ❢♦% ❢♦%❝✐♥❣ ❢%♦♠

❞♦✇♥#$%❡❛♠✳

■♥ ❛ ✜%#$ ✐♥#$❛♥❝❡✱ $❤❡ ♦❜❥❡❝$✐✈❡ ♦❢ ❈❍❊❖G❙✲◆♦③③❧❡ ✐# $♦ ❡#$✐♠❛$❡ $❤❡ ♣%❡#✲

#✉%❡ ❛♥❞ ✈❡❧♦❝✐$② ✢✉❝$✉❛$✐♦♥# ✐♥ ♦%❞❡% $♦ ❝♦♠♣✉$❡ $❤❡#❡ $%❛♥#❢❡% ❢✉♥❝$✐♦♥# ❢♦%

❡♥$%♦♣✐❝✱ ✉♣#$%❡❛♠ ❛❝♦✉#$✐❝ ♦% ❞♦✇♥#$%❡❛♠ ❛❝♦✉#$✐❝ ❢♦%❝✐♥❣✳ ❚❤✐# ♠♦❞❡❧ ✐#

❛❞❛♣$❡❞ ❢%♦♠ ❩❤❡♥❣✬# ✇♦%❦❬✺✹✱ ✺✺❪✐♥ ❝✉%✈✐❧✐♥❡❛% ❝♦♦%❞✐♥❛$❡# $♦ ❝②❧✐♥❞%✐❝❛❧ ❝♦✲

♦%❞✐♥❛$❡# ✇❤✐❝❤ ❛%❡ ✇❡❧❧ #✉✐$❡❞ $♦ ❛①✐#②♠♠❡$%✐❝ ♥♦③③❧❡ ✢♦✇✳ ❚❤❡ ❣♦✈❡%♥✐♥❣

❡S✉❛$✐♦♥# ♦❢ $❤❡ ♠♦❞❡❧ ❛%❡ ❞❡$❛✐❧❡❞ ✐♥ #❡❝$✐♦♥ ✷✳✶ ❛♥❞ $❤❡ %❡#♦❧✉$✐♦♥ ♣%♦❝❡## ✐#

❣✐✈❡♥ ✐♥ #❡❝$✐♦♥ ✷✳✷✳

✷✳✶✳ ❋✉♥❞❛♠❡♥*❛❧ ❛,,✉♠♣*✐♦♥, ❛♥❞ ❡0✉❛*✐♦♥,

❈❍❊❖G❙✲◆♦③③❧❡ ✐# ❜❛#❡❞ ♦♥ $❤❡ ❊✉❧❡% ❡S✉❛$✐♦♥# ❛♥❞ ♦❜❡②# $❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣

❛##✉♠♣$✐♦♥#✿

✶✳ ❛❧❧ ✈✐#❝♦✉# $❡%♠# ❛%❡ ♥❡❣❧❡❝$❡❞✱ ✈❡%✐❢②✐♥❣ $❤❡ ❊✉❧❡% ❡S✉❛$✐♦♥#✱

✷✳ ♣%❡##✉%❡ ❛♥❞ ✈❡❧♦❝✐$② ✢✉❝$✉❛$✐♦♥# ❛%❡ #♦❧❡❧② ❞✉❡ $♦ ❛❝♦✉#$✐❝#✱ $❤❡%❡❜② ♥❡✲

❣❧❡❝$✐♥❣ ✈♦%$✐❝✐$② ✢✉❝$✉❛$✐♦♥#✱

✸✳ $❤❡ ♠❡❛♥ ✢♦✇ ✐# ❝♦♥#✐❞❡%❡❞ ✷❉✲❛①✐#②♠♠❡$%✐❝✱ ✇✐$❤ ✈❛%✐❛$✐♦♥# ✐♥ $❤❡ ❛①✐❛❧

❛♥❞ %❛❞✐❛❧ ❞✐%❡❝$✐♦♥#✱

✹✳ ❛❝♦✉#$✐❝ ✇❛✈❡# ❛%❡ ❝♦♥#✐❞❡%❡❞ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥#✐♦♥❛❧ $❤%♦✉❣❤♦✉$ $❤❡ ❞♦♠❛✐♥✱ ❛#

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❛##✉♠✐♥❣ ❛❧❧ ✜❡❧❞# ❛%❡ ✷❉✲❛①✐#②♠♠❡$%✐❝✱

✺✳ ♣❡%$✉%❜❛$✐♦♥# ❛%❡ #♠❛❧❧✱ ❛❧❧♦✇✐♥❣ $❤❡ ❧✐♥❡❛%✐#❛$✐♦♥ ♦❢ ❡S✉❛$✐♦♥#✳

■♥ ♦%❞❡% $♦ ❡#$✐♠❛$❡ ❡♥$%♦♣② ♥♦✐#❡✱ $❤❡ ❡♥$%♦♣② ✢✉❝$✉❛$✐♦♥# s^′ ♥❡❡❞ $♦ ❜❡ ❝♦♠✲

♣✉$❡❞ $❤%♦✉❣❤♦✉$ $❤❡ ❞♦♠❛✐♥✱ ❛# ✇❡❧❧ ❛# $❤❡ ♣%❡##✉%❡ ❛♥❞ ✈❡❧♦❝✐$② ✢✉❝$✉❛$✐♦♥#

p^′ ❛♥❞ u^′ ✇❤✐❝❤ ❝❤❛%❛❝$❡%✐#❡ $❤❡ %❡#✉❧$✐♥❣ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥#✐♦♥❛❧ ❛❝♦✉#$✐❝ ✇❛✈❡#✳ ❆#

❡♥$%♦♣② ✐# ♣✉%❡❧② ❝♦♥✈❡❝$❡❞✱ ✐$ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉$❡❞ ♥✉♠❡%✐❝❛❧❧② ❢%♦♠ ♠❡❛♥ ✢♦✇

S✉❛♥$✐$✐❡# ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛ ♣%♦❝❡❞✉%❡ ❞❡#❝%✐❜❡❞ ✐♥ $❤❡ ♥❡①$ #❡❝$✐♦♥✳ ❚❤✐# ❧❡❛✈❡# $✇♦

✉♥❦♥♦✇♥#✱ #♦ $❤❛$ $✇♦ ❡S✉❛$✐♦♥# ❛%❡ ♥❡❡❞❡❞✳ ▼❛## ❝♦♥#❡%✈❛$✐♦♥ ❛♥❞ ♠♦♠❡♥$✉♠

✐♥ $❤❡ ❛①✐❛❧ ❞✐%❡❝$✐♦♥ ❛%❡ ❝❤♦#❡♥✱ ❛# ✐$ ✐# $❤❡ ♠❛✐♥ ❞✐%❡❝$✐♦♥ ♦❢ $❤❡ ✢♦✇ ❛♥❞ $❤❡

❞✐%❡❝$✐♦♥ ♦❢ ❛❝♦✉#$✐❝ ✇❛✈❡ ♣%♦♣❛❣❛$✐♦♥✳

■♥ ✐$# ✐♥$❡❣%❛❧ ❢♦%♠✱ $❤❡ ❝♦♥$✐♥✉✐$② ❡S✉❛$✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ✇%✐$$❡♥✿

∂

∂t Z

V

ρdV = Z

A

[ρux](x)dA− Z

A

[ρux](x+ dx)dA ✭✶✮

❚❤❡ %❛❞✐❛❧❧② ❞❡♣❡♥❞❡♥$ ✢♦✇ ✈❛%✐❛❜❧❡# ❛%❡ %❡❞✉❝❡❞ $♦ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥#✐♦♥❛❧ S✉❛♥$✐$✐❡#

❜② ❛✈❡%❛❣✐♥❣ ♦✈❡% ❡❛❝❤ #❡❝$✐♦♥ ♦❢ ❛%❡❛ ❆ ✉#✐♥❣ $❤❡ ❢♦%♠✉❧❛✿

z= 1 A

Z

A

zdA ✭✷✮

✺

❛♥❞ ❛❢$❡& '♦♠❡ '✐♠♣❧✐✜❝❛$✐♦♥'✱ ❊1✳ ✭✶✮ &❡❞✉❝❡' $♦✿

∂ρ

∂t +∂ρux

∂x =−1 Aρux

dA

dx ✭✸✮

❙❡❝$✐♦♥❛❧ ❛✈❡&❛❣✐♥❣ ✐' ❛❧'♦ ❛♣♣❧✐❡❞ $♦ $❤❡ ❛①✐❛❧✲♠♦♠❡♥$✉♠ ❡1✉❛$✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤

✇&✐$❡'✿

∂ux

∂t +ux

∂ux

∂x +ur

∂ux

∂r =−1 ρ

∂p

∂x ✭✹✮

❇♦$❤ $❤❡'❡ ❡1✉❛$✐♦♥' ❛&❡ ❧✐♥❡❛&✐'❡❞ ✉'✐♥❣ ✢♦✇ ✈❛&✐❛❜❧❡ ❞❡❝♦♠♣♦'✐$✐♦♥ ✐♥$♦ ♠❡❛♥

❛♥❞ ♣❡&$✉&❜❡❞ 1✉❛♥$✐$✐❡'✱ '✉❝❤ ❛' f =f0+f^′✳ ❇❡❝❛✉'❡ ♦❢ $❤❡ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥'✐♦♥❛❧

❛❝♦✉'$✐❝' ❛''✉♠♣$✐♦♥✱ $❤❡ &❛❞✐❛❧ ✈❡❧♦❝✐$② ✢✉❝$✉❛$✐♦♥ u^′_r= 0 ♠✴' ❛♥❞ '❡❝$✐♦♥❛❧

❛✈❡&❛❣✐♥❣ ♦❢ ❛❝♦✉'$✐❝ ✢✉❝$✉❛$✐♦♥' ❛♠♦✉♥$' $♦u^′x=u^′_x❛♥❞p^′=p^′✳ ■♥ ❛❞❞✐$✐♦♥✱

$❤❡ ❡1✉❛$✐♦♥' ❛&❡ ❣✐✈❡♥ ✐♥ $❡&♠' ♦❢ ❡♥$&♦♣② ❛♥❞ ♣&❡''✉&❡ ✢✉❝$✉❛$✐♦♥'✱ s^′ ❛♥❞p^′✱

&❛$❤❡& $❤❛♥ ❞❡♥'✐$② ♣❡&$✉&❜❛$✐♦♥' ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣&❡''❡❞ ❛'ρ^′ =p^′/c²0−ρ0s^′/cp✱

✇✐$❤c0$❤❡ ✈❡❧♦❝✐$② ♦❢ '♦✉♥❞ ❛♥❞cp$❤❡ ❤❡❛$ ❝❛♣❛❝✐$② ❛$ ❝♦♥'$❛♥$ ♣&❡''✉&❡✳ ❚❤❡

❝♦♥$✐♥✉✐$② ❛♥❞ ♠♦♠❡♥$✉♠ ❡1✉❛$✐♦♥' ✐♥ $❤❡ ❞✐&❡❝$✐♦♥ ♦❢ $❤❡ ✢♦✇ $❤❡♥ ✇&✐$❡✿

A 1

c²0

∂p^′

∂t + d dx

A

u0x

c²0

p^′+

A

u0x

c²0

∂p^′

∂x +dAρ0

dx u^′_x+Aρ0

∂u^′_x

∂x

= ∂

∂x

A(ρ0u0x)s^′ cp

+A∂

∂t

ρ0

s^′ cp

✭✺✮

∂u^′_x

∂t +u^′_x ∂u0x

∂x

+u0x

∂u^′_x

∂x + 1

ρ0

∂p^′

∂x + u0x

γp0

∂ux0

∂x + u0r

γp0

∂ux0

∂r

p^′

=

u0x

∂ux0

∂x +u0r

∂ux0

∂r s^′

cp

✭✻✮

◆♦$❡ &❛❞✐❛❧ ✈❛&✐❛$✐♦♥' ♦❢ $❤❡ ✢♦✇ ❛♣♣❡❛& ♦♥ $❤❡ &✐❣❤$ ❤❛♥❞ '✐❞❡ ❛♥❞ ✐♥ $❤❡ ❧❛'$

$❡&♠ ♦♥ $❤❡ ❧❡❢$ ❤❛♥❞ '✐❞❡ ♦❢ ❊1✳ ✻✱ ❛✛❡❝$✐♥❣ $❤❡ ❡♥$&♦♣② ♥♦✐'❡ '♦✉&❝❡ $❡&♠

❛♥❞ ❛❝♦✉'$✐❝ '❝❛$$❡&✐♥❣ &❡'♣❡❝$✐✈❡❧②✳ ◆❡①$✱ $❤❡ ❤❛&♠♦♥✐❝ &❡❣✐♠❡ ✐' ❝♦♥'✐❞❡&❡❞ ✐♥

♦&❞❡& $♦ ❡❧✐♠✐♥❛$❡ $❡&♠' ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ $❡♠♣♦&❛❧ ❞❡&✐✈❛$✐✈❡'✳ ❯♥❞❡& $❤✐' ❝♦♥❞✐$✐♦♥✱

✢✉❝$✉❛$✐♦♥' ❝❛♥ ❜❡ ✇&✐$$❡♥ ✐♥ $❤❡ ❢♦&♠✿

u^′_x(x, t) = ˆu(x)e^iωt ✭✼✮

p^′(x, t) = ˆp(x)e^iωt ✭✽✮

s^′ cp

(x, t) = ˆσ(x)e^iωt ✭✾✮

✇❤❡&❡u,ˆ pˆ❛♥❞σˆ ❛&❡ $❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ❛♠♣❧✐$✉❞❡' ♦❢ $❤❡ ✈❡❧♦❝✐$②✱ ♣&❡''✉&❡ ❛♥❞ ♥♦&✲

♠❛❧✐'❡❞ ❡♥$&♦♣② ✢✉❝$✉❛$✐♦♥'✳ ❚❤❡ ❛♥❣✉❧❛& ❢&❡1✉❡♥❝② ✐' ♥♦$❡❞ ω= 2πf✱ ✇✐$❤ f

$❤❡ ❢&❡1✉❡♥❝②✳ ❚❤❡ ♠❛'' ❝♦♥'❡&✈❛$✐♦♥ ❛♥❞ ♠♦♠❡♥$✉♠ ❡1✉❛$✐♦♥'✱ ❊1'✳ ✭✺✮✲✭✻✮✱

❝❛♥ ✉❧$✐♠❛$❡❧② ❜❡ ✇&✐$$❡♥✿

A

1 c²0

iω+ d

dx

A u0x

c²0

ˆ p+

A

u0x

c²0

∂pˆ

∂x+dAρ0

dx uˆ+Aρ0

∂uˆ

∂x

= d dx

hA(ρ0u0x) ˆσi

+Aiωρ0σˆ

✭✶✵✮

✻

✭✶✮ ▼❡❛♥ ✢♦✇

✐♥+❡,♣♦❧❛+✐♦♥ ✭✷✮ ❙+,❡❛♠+✉❜❡

❣❡♥❡,❛+✐♦♥

❙♣❛+✐❛❧ ❡♥+,♦♣②

✈❛,✐❛+✐♦♥

✭✹✮ ❆✈❡,❛❣✐♥❣

♦✈❡, , ✭✸✮ ❙♣❛+✐❛❧

❡♥+,♦♣② ✈❛,✐❛+✐♦♥

✭✻✮ ▲✐♥❡❛, <②<+❡♠

+♦ <♦❧✈❡

✭✺✮ ❙♣❛+✐❛❧

❞✐<❝,❡+✐<❛+✐♦♥

✭✼✮ ❆❝♦✉<+✐❝ ✇❛✈❡ ❝♦♥<+,✉❝+✐♦♥

+,❛♥<❢❡, ❢✉♥❝+✐♦♥<

❋✐❣✉$❡ ✷✿ ❘❡)♦❧✉,✐♦♥ ♣$♦❝❡)) ♦❢ ❈❍❊❖5❙✲◆♦③③❧❡✳

u0x

γp0

∂ux0

∂x +u0r

γp0

∂ux0

∂r

ˆ p+

1 ρ0

∂p^′

∂x +

iω+ ∂u0x

∂x

ˆ u+u0x

∂uˆ

∂x

=

u0x

∂ux0

∂x +u0r

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❊C✉❛+✐♦♥< ✭✶✵✮✲✭✶✶✮ ❢♦,♠ ❛ <②<+❡♠ ♦❢ +✇♦ ❡C✉❛+✐♦♥< ❛♥❞ +✇♦ ✉♥❦♥♦✇♥< uˆ ❛♥❞

p✳ ■+< ♥✉♠❡,✐❝❛❧ ,❡<♦❧✉+✐♦♥ ✐< ❞❡+❛✐❧❡❞ ✐♥ +❤❡ ♥❡①+ ♣❛,❛❣,❛♣❤✳ˆ

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❚❤❡ ,❡<♦❧✉+✐♦♥ ♣,♦❝❡<< ♦❢ ❈❍❊❖O❙✲◆♦③③❧❡ ✐< ♠❛❞❡ ♦❢ +❤❡ <+❡♣< ❣✐✈❡♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✷

❛♥❞ ❞❡<❝,✐❜❡❞ ✐♥ +❤✐< <❡❝+✐♦♥✳ ■♥ <+❡♣< ✶✲✸✱ +❤❡ ✐♥♣✉+ ✈❛,✐❛❜❧❡< ♦❢ ❊C<✳ ✭✶✵✮✲✭✶✶✮

❛,❡ ♣,♦❝❡<<❡❞✳ ❙+❡♣< ✹✲✻ +❤❡♥ ❡♥❛❜❧❡ +❤❡ <②<+❡♠ ♦❢ ❡C✉❛+✐♦♥< +♦ ❜❡ <♦❧✈❡❞

♥✉♠❡,✐❝❛❧❧②✱ ❜❡❢♦,❡ ♣♦<+✲♣,♦❝❡<<✐♥❣ <+❡♣ ✼✳

❙-❡♣ ✶✳ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ✉<❡< +✇♦✲❞✐♠❡♥<✐♦♥❛❧ ♠❡❛♥ ✢♦✇ ✜❡❧❞< ❛< ❛♥ ✐♥♣✉+✳ ❚❤❡② ❝❛♥

❜❡ ♦❜+❛✐♥❡❞ ❜② ❛♥② ♠❡+❤♦❞✱ +②♣✐❝❛❧❧② ❈♦♠♣✉+❛+✐♦♥❛❧ ❋❧✉✐❞ ❉②♥❛♠✐❝< ✭❈❋❉✮✿

❊✉❧❡, <✐♠✉❧❛+✐♦♥✱ ❘❆◆❙✱ ♦, ❡✈❡♥ ▲❊❙ ❢♦, ✐♥<+❛♥❝❡✳ ❚❤❡<❡ ✜❡❧❞< ♠✉<+ ❜❡ ✐♥✲

+❡,♣♦❧❛+❡❞ ❜② +❤❡ ✉<❡, ♦♥+♦ ❛ ✷❉✲❛①✐<②♠♠❡+,✐❝ <+,✉❝+✉,❡❞ ♠❡<❤✳ ◆♦+❡ +❤❡ ✉<❡

♦❢ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥<✐♦♥❛❧ ♠❡❛♥ ✢♦✇ ,❡<✉❧+❡❞ ✐♥ +❤❡ <❛♠❡ +,❛♥<❢❡, ❢✉♥❝+✐♦♥< ❛< +❤♦<❡

♣,❡❞✐❝+❡❞ ❜② ❛ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥<✐♦♥❛❧ ♠♦❞❡❧✳

❙-❡♣ ✷✳ ■♥ ♦,❞❡, +♦ ❝♦♠♣✉+❡ ❡♥+,♦♣② ✈❛,✐❛+✐♦♥< ✐♥ +❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ <+❡♣✱ +❤❡ ♠❡❛♥

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♠❛,❝❤✐♥❣ ♠❡+❤♦❞✳ ■♥ +❤❡ ❝❛<❡ ♦❢ +✉,❜✐♥❡ ✢♦✇✱ <+,❡❛♠❧✐♥❡< ✇❡,❡ ❛❧<♦ ✉<❡❞ ❜②

▲❡②❦♦ ❡+ ❛❧✳ ❬✺✷❪ +♦ +❛❦❡ +,❛♥<✈❡,<❡ ♠❡❛♥ ✢♦✇ ✈❛,✐❛+✐♦♥< ✐♥+♦ ❛❝❝♦✉♥+✳ ❚❤❡②

❝♦♠♣✉+❡❞ +❤❡ ❞❡❧❛② ❝♦♠♣❛,❡❞ +♦ ✶❉ ✢♦✇ ❛+ ❛ ♣♦✐♥+ ❞♦✇♥<+,❡❛♠ ♦❢ +❤❡ ❜❧❛❞❡ ,♦✇✱

✐♥ ♦,❞❡, +♦ ❡<+✐♠❛+❡ +❤❡ ,❡<✉❧+✐♥❣ ❛++❡♥✉❛+✐♦♥ ♦❢ ❡♥+,♦♣② ♣❡,+✉,❜❛+✐♦♥<✳ ■♥ +❤❡

♣,❡<❡♥+ <+✉❞②✱ +❤❡ ♠♦❞❡❧❢♦, ❡♥+,♦♣② ♥♦✐<❡✉<❡< ♠❡❛♥ ✢♦✇ ✈❛,✐❛❜❧❡< +❤,♦✉❣❤♦✉+

✼

✵✳✵✸ ▼❛❝❤ ✭✲✮✵✳✻✸

❋✐❣✉$❡ ✸✿ ❈♦♥+♦✉$ ♦❢ +❤❡ ▼❛❝❤ ♥✉♠❜❡$ ❛✈❡$❛❣❡❞ ❜② +❤❡ ♠♦❞❡❧ ✐♥ +❤$❡❡ 7+$❡❛♠+✉❜❡7 ❞❡❧✐♠✐+❡❞

❜② 7+$❡❛♠❧✐♥❡7 ✭❞❛7❤❡❞ ❧✐♥❡7✮ ✐♥ +❤❡ ❝♦♥✈❡$❣❡♥+ 7❡❝+✐♦♥ ♦❢ +❤❡ ♥♦③③❧❡✳

+❤❡ ❜❧❛❞❡ ♣❛11❛❣❡ ❞✐4❡❝+❧②✳ ❚❤❡② ❛4❡ 1❡❝+✐♦♥❛❧❧② ❛✈❡4❛❣❡❞ ✐♥ ❡❛❝❤ 1+4❡❛♠+✉❜❡✱

✇❤✐❝❤ ✐1 ✐❧❧✉1+4❛+❡❞ ❢♦4 ✸ 1+4❡❛♠+✉❜❡1 ✐♥ ❋✐❣✳ ✸✳

❙!❡♣ ✸✳ ❆1 ❡♥+4♦♣② ✐1 ❛ A✉❛♥+✐+② ❝♦♥✈❡❝+❡❞ ❜② +❤❡ ♠❡❛♥ ✢♦✇ ✇✐+❤♦✉+ ❛++❡♥✉❛✲

+✐♦♥ ♦4 ❞✐1+♦4+✐♦♥ ✐♥ 1✉❜1♦♥✐❝ ✢♦✇ ❣♦✈❡4♥❡❞ ❜② +❤❡ ❊✉❧❡4 ❡A✉❛+✐♦♥1✱ +❤❡ ❡♥+4♦♣②

✢✉❝+✉❛+✐♦♥1 ❛4❡ +❤❡♥ +4❛♥1♣♦4+❡❞ ♥✉♠❡4✐❝❛❧❧② ✉1✐♥❣ +❤❡ ♠❡❛♥ ✈❡❧♦❝✐+② ❜② ✐♥+❡✲

❣4❛+✐♦♥ ❛❧♦♥❣ ❡❛❝❤ 1+4❡❛♠+✉❜❡✿

s^′ cp

(l, t) = s^′ cp

l= 0, t− Z l

0

dζ ku(ζ)k

!

✭✶✷✮

❆ 1✉✣❝✐❡♥+ ♥✉♠❜❡4 ♦❢ 1+4❡❛♠+✉❜❡1 ✐1 4❡A✉✐4❡❞ +♦ ❛❝❝✉4❛+❡❧② ❝❛♣+✉4❡ +❤❡ 4❛✲

❞✐❛❧ ✈❛4✐❛+✐♦♥ ♦❢ +❤❡ ❡♥+4♦♣② ♣❡4+✉4❜❛+✐♦♥1✳ ❚❤❡ ♠❡1❤ ♠✉1+ ❛❧1♦ ❜❡ ❞✐1❝4❡+✐1❡❞

❡♥♦✉❣❤ ✐♥ +❤❡ ❛①✐❛❧ ❞✐4❡❝+✐♦♥ +♦ ♣4❡✈❡♥+ ❡♥+4♦♣② ✇❛✈❡ ❞✐1♣❡41✐♦♥ ❡44♦41✳ ❉✐❢✲

❢❡4❡♥+ ♣❤❛1❡1 ❝❛♥ ❜❡ ❝❤♦1❡♥ ✐♥ ❡❛❝❤ 1+4❡❛♠+✉❜❡✱ 1♦ +❤❛+ ❛♥② 4❛❞✐❛❧ ❞✐1+4✐❜✉+✐♦♥

♦❢ +❤❡ ❡♥+4♦♣② ✢✉❝+✉❛+✐♦♥1 ❝❛♥ ❜❡ 1❡+ ❛+ +❤❡ ✐♥❧❡+✳ ■♥ +❤✐1 ♣❛♣❡4✱ ♦♥❧② ♣❧❛♥❛4

❡♥+4♦♣② ✇❛✈❡1 ❛4❡ ❝♦♥1✐❞❡4❡❞✳

❙!❡♣ ✹✳ ❲✐+❤ ❜♦+❤ ♠❡❛♥ ✢♦✇ ✈❛4✐❛❜❧❡1 ❛♥❞ ❡♥+4♦♣② ✢✉❝+✉❛+✐♦♥1 ♦❜+❛✐♥❡❞ ✐♥ +✇♦

❞✐♠❡♥1✐♦♥1 +♦ +❛❦❡ 4❛❞✐❛❧ ✈❛4✐❛+✐♦♥1 ✐♥+♦ ❛❝❝♦✉♥+✱ +❤❡② ❝❛♥ ❜❡ 1❡❝+✐♦♥❛❧❧② ❛✈❡4✲

❛❣❡❞ ❛1 ❞❡1❝4✐❜❡❞ ✐♥ 1❡❝+✐♦♥ ✷✳✶✱ ❛1 ❛❝♦✉1+✐❝ ✇❛✈❡1 ❛4❡ ❛11✉♠❡❞ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥1✐♦♥❛❧✳

❚❤❡ 1②1+❡♠ ♠❛❞❡ ♦❢ ❊A1✳ ✭✶✵✮✲✭✶✶✮ ❝❛♥ +❤❡♥ ❜❡ 1♦❧✈❡❞✳

❙!❡♣ ✺✳ ❚♦ +❤✐1 ❡♥❞✱ 1❡❝♦♥❞ ♦4❞❡4 1♣❛+✐❛❧ ❞✐1❝4❡+✐1❛+✐♦♥ ✐1 ❛♣♣❧✐❡❞ ✐♥ +❤❡ ❛①✐❛❧

❞✐4❡❝+✐♦♥✳ ❚❤❡ ❡A✉❛+✐♦♥1 ❛4❡ ❡✈❛❧✉❛+❡❞ ❛+ +❤❡ ❝❡♥+4❡ ♦❢ ❡❛❝❤ ❡❧❡♠❡♥+ ♥♦+❡❞ ck✱

✇❤✐❧❡ +❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥1✱ +❤❛+ ✐1 +❤❡ ♣❡4+✉4❜❡❞ ✢♦✇ ✈❛4✐❛❜❧❡1 pˆ❛♥❞u✱ ❛4❡ 1♦✉❣❤+ ❛+ˆ

♥♦❞❡1k✳ ❚❤❡♥✱ ✉1✐♥❣ +❤❡ 4❡❧❛+✐♦♥1✿

fck = fk+1+fk

2 ✭✶✸✮

∂

∂xfck = fk+1−fk

∆xck

✭✶✹✮

✇❤❡4❡ ∆xck ✐1 +❤❡ 1✐③❡ ♦❢ ❡❧❡♠❡♥+ ck ✐♥ +❤❡ ❛①✐❛❧ ❞✐4❡❝+✐♦♥✱ +❤❡ ❝♦♥+✐♥✉✐+② ❛♥❞

♠♦♠❡♥+✉♠ ❡A✉❛+✐♦♥1 ✭✶✵✮✲✭✶✶✮ ❜❡❝♦♠❡✿

λ¹_ckpˆk+λ²_ckuˆk+λ³_ckpˆk+1+λ⁴_ckuˆk+1 = Sˆ_c^Ck ✭✶✺✮

φ¹_ckpˆk+φ²_ckuˆk+φ³_ckpˆk+1+φ⁴_ckuˆk+1 = Sˆ_c^M_k ✭✶✻✮

✽

✇❤❡#❡pˆk ❛♥❞uˆk ❛#❡ '❤❡ ♣#❡))✉#❡ ❛♥❞ ✈❡❧♦❝✐'② ✢✉❝'✉❛'✐♦♥ ❛♠♣❧✐'✉❞❡) ❡✈❛❧✉❛'❡❞

❛' ♥♦❞❡k✱λ^j_ck ❛♥❞φ^j_ck ❛#❡ ❝❡❧❧✲❝❡♥'❡#❡❞ ❝♦❡✣❝✐❡♥') ❛' ❡❧❡♠❡♥'ck ✇❤✐❝❤ ❞❡♣❡♥❞

♦♥ '❤❡ ♠❡❛♥ ✢♦✇ ✈❛#✐❛❜❧❡)✱ ❛♥❞ '❤❡ )♦✉#❝❡ '❡#♠)Sˆ_c^C_k ❛♥❞Sˆ_c^M_k ❛#❡ ❛❧)♦ ❡✈❛❧✉❛'❡❞

❛' '❤❡ ❝❡♥'❡# ♦❢ck✳ ❚❤❡)❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥') ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣#❡))❡❞ ❛)✿

λ¹_ck = 1 2

"

A 1

c²0

iω+ d

dx

"

A u0x

c²0

##

− A

∆x u0x

c²0

!

ck

✭✶✼✮

λ²_ck = 1

2 dAρ0

dx −Aρ0

∆x

ck

✭✶✽✮

λ³_ck = 1 2

"

A 1

c²0

iω+ d

dx

"

A u0x

c²0

##

+ A

∆x u0x

c²0

!

ck

✭✶✾✮

λ⁴_ck = 1

2 dAρ0

dx +Aρ0

∆x

ck

✭✷✵✮

φ¹_ck = 1 2

"

u0x

γp0

∂u0x

∂x

+ u0r

γp0

∂u0x

∂r #

− 1

∆x 1

ρ0

!

ck

✭✷✶✮

φ²_ck = 1 2

"

iω+ ∂u0x

∂x #

− 1

∆xu0x

!

ck

✭✷✷✮

φ³_ck = 1 2

"

u0x

γp0

∂u0x

∂x

+ u0r

γp0

∂u0x

∂r #

+ 1

∆x 1

ρ0

!

c^k

✭✷✸✮

φ⁴_ck = 1 2

"

iω+ ∂u0x

∂x #

+ 1

∆xu0x

!

ck

✭✷✹✮

Sˆ_c^Ck = d

dx

hA(ρ0u0xσ)ˆ i

+Aiω(ρ0σ)ˆ

ck

✭✷✺✮

Sˆ_c^Mk =

u0x

∂u0x

∂x

+

u0r

∂u0x

∂r

ˆ σ

!

ck

✭✷✻✮

◆♦'✐❝❡ '❤❡ ❛❝♦✉)'✐❝ )♦✉#❝❡ '❡#♠)Sˆ_c^Ck❛♥❞Sˆ_c^Mk ❣✐✈❡♥ ❜② ❊K)✳ ✭✷✺✮✲✭✷✻✮ ❝❛♥❝❡❧ ♦✉'

✐♥ '❤❡ ❝❛)❡ ♦❢ ✉♥✐❢♦#♠ ✢♦✇✳

❙!❡♣ ✻✳ ❇♦✉♥❞❛#② ❝♦♥❞✐'✐♦♥) ❛#❡ #❡K✉✐#❡❞ '♦ ❝❧♦)❡ '❤❡ )②)'❡♠ ♦❢ ❊K)✳ ✭✶✺✮✲

✭✶✻✮✳ M❤②)✐❝❛❧❧②✱ '❤❡② ❛#❡ '❤❡ ❛❝♦✉)'✐❝ ✇❛✈❡) ❡♥'❡#✐♥❣ '❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ❢#♦♠ '❤❡ ✐♥❧❡'

❛♥❞ '❤❡ ♦✉'❧❡'✳ ❚❤❡ #❡❧❛'✐♦♥) ❜❡'✇❡❡♥ '❤❡ ♣#❡))✉#❡ ❛♥❞ ✈❡❧♦❝✐'② ✢✉❝'✉❛'✐♦♥) pˆ

❛♥❞uˆ ❛♥❞ '❤❡ ♥♦#♠❛❧✐)❡❞ ✉♣)'#❡❛♠ ❛♥❞ ❞♦✇♥)'#❡❛♠ ♣#♦♣❛❣❛'✐♥❣ ❝♦♠♣♦♥❡♥')

♦❢ ❛❝♦✉)'✐❝ ✇❛✈❡) P⁻ ❛♥❞ P⁺ ❛#❡ ❣✐✈❡♥ ❜② '❤❡ ❘✐❡♠❛♥♥ ✐♥✈❛#✐❛♥')✱ ✉♥❞❡# '❤❡

❝♦♥❞✐'✐♦♥pˆ❛♥❞uˆ❛#❡ ♣✉#❡❧② ❛❝♦✉)'✐❝❛❧ ✇❤✐❝❤ ✐) ♦♥❡ ♦❢ '❤❡ ♠♦❞❡❧✬) ❛))✉♠♣'✐♦♥)✳

❚❤❡② ✇#✐'❡✿

P^±=1 2

pˆ γp0

±ρ0c0

γp0

ˆ u

✭✷✼✮

✾

❚❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ♥♦♥✲)❡✢❡❝+✐✈❡ ❜♦✉♥❞❛)✐❡1 ✐1 ♠❛❞❡✱ 1♦ +❤❛+ +❤❡ ❛❝♦✉1+✐❝ ✇❛✈❡1

❡♥+❡)✐♥❣ +❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ❢)♦♠ +❤❡ ✐♥❧❡+ ❛♥❞ +❤❡ ♦✉+❧❡+ ❛)❡ ✐♠♣♦1❡❞ ❜② +❤❡ ✉1❡)

❞✐)❡❝+❧②✳ ■+ ❛❧1♦ ❢♦❧❧♦✇1 +❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ✇)✐++❡♥ ❛1 ❛ ❢✉♥❝+✐♦♥ ♦❢ pˆ ❛♥❞ uˆ ✉1✐♥❣

❊<✳ ✭✷✼✮✿

P1⁺ = 1 2

pˆ γp0

+ρ0c0

γp0

ˆ u

1

✭✷✽✮

P_n⁻ = 1 2

pˆ γp0

−ρ0c0

γp0

ˆ u

n

✭✷✾✮

❚❤❡1❡ +✇♦ )❡❧❛+✐♦♥1 ❝♦♠❜✐♥❡❞ ✇✐+❤ ❊<1✳ ✭✶✺✮✲✭✶✻✮ )❡1✉❧+ ✐♥ ❛ ❧✐♥❡❛) 1②1+❡♠ ♦❢ 2n

❡<✉❛+✐♦♥1 ✇✐+❤ 2n ✉♥❦♥♦✇♥1 ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ 1♦❧✈❡❞ ♥✉♠❡)✐❝❛❧❧② ❢♦) +❤❡ ♣)❡11✉)❡

❛♥❞ ✈❡❧♦❝✐+② ✢✉❝+✉❛+✐♦♥1 pˆ❛♥❞u✳ ■+ ✐1 ✜♥❛❧❧② )❡❝❛1+ ✐♥ ♠❛+)✐① ❢♦)♠✿ˆ



































 1

2γp0

1

ρ0c0 2γp0

1

0 .. .. .. .. .. .. ..

λ¹_c1 λ²_c1 λ³_c1 λ⁴_c1 0 .. .. .. .. ..

φ¹c1 φ²c1 φ³c1 φ⁴c1 0 .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

.. .. 0 λ¹ck λ²ck λ³ck λ⁴ck 0 .. ..

.. .. 0 φ¹_ck φ²_ck φ³_ck φ⁴_ck 0 .. ..

.. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. 0 λ¹_cn

−1 λ²_cn

−1 λ³_cn

−1 λ⁴_cn

−1

.. .. .. .. .. 0 φ¹_cn

−1 φ²_cn

−1 φ³_cn

−1 φ⁴_cn

−1

.. .. .. .. .. .. .. 0

1 2γp0

n −

ρ0c0 2γp0

n



































































 pˆ1

uˆ1

..

pˆk

uˆk

pˆk+1

uˆk+1

..

pˆn

uˆn

































=

































 P₁⁺ Sˆc^C1

Sˆ_c^M₁ ..

Sˆ^C_ck Sˆ_c^M_k ..

Sˆ_c^Cn−1

Sˆc^Mn−1

P_n⁻



































✭✸✵✮

❙!❡♣ ✼✳ ❚❤❡ )❡1✉❧+✐♥❣ ✢✉❝+✉❛+✐♦♥1 ❝♦♥1+✐+✉+❡ ❛❝♦✉1+✐❝ ♣❡)+✉)❜❛+✐♦♥1 ✇❤✐❝❤ ❛)❡

1❡♣❛)❛+❡❞ ✐♥+♦ ✉♣1+)❡❛♠ ❛♥❞ ❞♦✇♥1+)❡❛♠ ♣)♦♣❛❣❛+✐♥❣ ❝♦♥+)✐❜✉+✐♦♥1✱ ❛♥❞ ✇❤✐❝❤✱

❛❣❛✐♥ ✉1✐♥❣ +❤❡ ❘✐❡♠❛♥♥ ✐♥✈❛)✐❛♥+1 ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❊<✳ ✭✷✼✮✱ ❛)❡ ❡①♣)❡11❡❞✿

P1⁻ = 1 2

pˆ γp0

−ρ0c0

γp0

ˆ u

✭✸✶✮

P2⁺ = 1 2

pˆ γp0

+ρ0c0

γp0

ˆ u

✭✸✷✮

■♥ +❤✐1 ♥♦)♠❛❧✐1❡❞ ❢♦)♠✱ ♥♦✐1❡ ❧❡✈❡❧1 ❝❛♥ )❡❛❞✐❧② ❜❡ ♣)❡1❡♥+❡❞ ✐♥ +❤❡ ❢♦)♠ ♦❢

+)❛♥1❢❡) ❢✉♥❝+✐♦♥1 ❛1 ❞❡1❝)✐❜❡❞ ✐♥ +❤❡ ✐♥+)♦❞✉❝+✐♦♥ ♦❢ +❤✐1 1❡❝+✐♦♥✳

✸✳ ◆✉♠❡&✐❝❛❧ ✈❛❧✐❞❛-✐♦♥

❋♦❧❧♦✇✐♥❣ +❤❡ ❞❡1❝)✐♣+✐♦♥ ♦❢ +❤❡ ♠♦❞❡❧ ✐♥ ❣❡♥❡)❛❧ +❡)♠1 ✐♥ +❤❡ ♣)❡✈✐♦✉1 1❡❝✲

+✐♦♥✱ ❈❍❊❖P❙✲◆♦③③❧❡ ✐1 ❛♣♣❧✐❡❞ ✐♥ +❤❡ ♥❡①+ ♣❛)❛❣)❛♣❤1 ❛♥❞ ✐+1 )❡1✉❧+1 ❛)❡ ✈❡)✲

✐✜❡❞ ❛♥❞ ❛♥❛❧②1❡❞ ✉1✐♥❣ ❈❆❆✳ ❚❤❡ ❉■❙❈❊❘◆ ♥♦③③❧❡ ✇❛1 ❝❤♦1❡♥ ❢♦) +❤✐1 1+✉❞②✳

■+ ✇❛1 ❞❡1✐❣♥❡❞ +♦ ✐♥✈❡1+✐❣❛+❡ ❡♥+)♦♣② ♥♦✐1❡ ✇✐+❤✐♥ +❤❡ ❊✉)♦♣❡❛♥✲❋P✼ ♣)♦❥❡❝+

❘❊❈❖❘❉✳ ❆ ❢♦)♠❡) ✈❡)1✐♦♥ ♦❢ +❤✐1 ♥♦③③❧❡ ❬✺✻❪ ✇❛1 1+✉❞✐❡❞ ❡①♣❡)✐♠❡♥+❛❧❧② ❛+

✶✵

✵✳✵✵ ✵✳✵✺ ✵✳✶✵ ✵✳✶✺ ✵✳✷✵ ✵✳✷✺ ✵✳✸✵ ✵✳✸✺

✵✳✵✶✺

✵✳✵✸✵

①✭♠✮

②✭♠✮ ✵✳✻✺▼❛❝❤ ✭✲✮✿ ✵✳✵✺

❋✐❣✉$❡ ✹✿ ❈♦♥+♦✉$ ♦❢ +❤❡ ▼❛❝❤ ♥✉♠❜❡$ ✐♥ +❤❡ ❉■❙❈❊❘◆ ♥♦③③❧❡✳

❈❡♥56❛❧❡❙✉♣;❧❡❝ ❬✷✵❪✳ ❯♥❢♦65✉♥❛5❡❧② ✐5 ❝♦✉❧❞ ♥♦5 ❜❡ ✉D❡❞ 5♦ ✐♥✈❡D5✐❣❛5❡ ❡♥56♦♣②

♥♦✐D❡ ♥✉♠❡6✐❝❛❧❧② ❜❡❝❛✉D❡ ♦❢ ♠❛DD✐✈❡ ✢♦✇ D❡♣❛6❛5✐♦♥✳ ❚♦ ❛✈♦✐❞ 5❤✐D✱5❤❡ ❣❡♦♠✲

❡56② ✇❛D ❛❞❛♣5❡❞ 5♦ 5❤❡ ✈❡6D✐♦♥ ✉D❡❞ ✐♥ 5❤✐D D5✉❞②✱ ❢♦6 ✇❤✐❝❤ ♥♦ ❡①♣❡6✐♠❡♥5❛❧

❞❛5❛ ✐D ❛✈❛✐❧❛❜❧❡✳ ■5 ✐D ❛♥ ❛①✐D②♠♠❡56✐❝ ♥♦③③❧❡✱6❡♣6❡D❡♥5❡❞ ✐♥ ❋✐❣✳ ✹✳

❚❤❡ ❈❆❆ ❛♣♣6♦❛❝❤ ❛❧❧♦✇D 5♦ ❜✉✐❧❞ ❛ 6❡❢❡6❡♥❝❡ ❝❛D❡ ✐♥ ❛ ❢6❛♠❡✇♦6❦ D✐♠✐❧❛6 5♦ 5❤❡ ♠♦❞❡❧✳ ■♥❞❡❡❞✱ 5❤❡ ❧✐♥❡❛6✐D❡❞ ❊✉❧❡6 ❡R✉❛5✐♦♥D ❛6❡ ❛♣♣❧✐❡❞ ✐♥ ❜♦5❤ ❝❛D❡D✱

✇❤✐❧❡ 5✇♦ ♦❢ 5❤❡ ♠♦❞❡❧✬D ♠❛✐♥ ❛DD✉♠♣5✐♦♥D ❛6❡ 6❡❧❛①❡❞ ❜② ❈❆❆✿

• 5❤❡ ❛❝♦✉D5✐❝ ✇❛✈❡D ❛6❡ ♥♦5 ❛DD✉♠❡❞ 5♦ ❜❡ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥D✐♦♥❛❧✱

• ✈♦65✐❝✐5② ✐D ♥♦5 ♥❡❣❧❡❝5❡❞✳

❆❢5❡6 ❛ ❜6✐❡❢ ❞❡D❝6✐♣5✐♦♥ ♦❢ 5❤❡ ❛♣♣❧✐❝❛5✐♦♥ ♦❢ ❈❍❊❖V❙✲◆♦③③❧❡ 5♦ 5❤❡ ❉■❙❈❊❘◆

❣❡♦♠❡56②✱ ❈❆❆ ♠❡5❤♦❞D ❛6❡ ♣6❡D❡♥5❡❞ ❛♥❞ ❛♥❛❧②5✐❝❛❧ ❛♥❞ ♥✉♠❡6✐❝❛❧ 6❡D✉❧5D ❛6❡

❞✐D❝✉DD❡❞ ✐♥ 5❤✐D D❡❝5✐♦♥✳

✸✳✶✳ ❆♣♣❧✐❝❛)✐♦♥ ♦❢ )❤❡ ✷❉ ♠♦❞❡❧

▼❡❛♥ ✢♦✇ ✜❡❧❞D ♦❜5❛✐♥❡❞ ✉D✐♥❣ ❛♥② ♠❡5❤♦❞ ❝❛♥ ❜❡ ✉D❡❞ ❛D ❛♥ ✐♥♣✉5 5♦ 5❤❡

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