e3a Maths 2 PSI 2016 — Énoncé
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Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d’y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.
CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH Épreuve de Mathématiques 2 PSI
Durée 3 h
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
L'usage de
L’usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
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e3a Maths 2 PSI 2016 — Énoncé
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n
θ∈[0,2π[ u= 1 + iθ
Pn C[X]
Pn(X) = 1 2i
(X+i)2n+1−(X−i)2n+1 n= 1 n= 2
P1 P2
P1∈R2[X] P2∈R4[X] R[X]
Pn∈C2n[X]
N∈N∗ N
Pn(i)
Pn a∈C
a Pn ⇐⇒ ∃k∈1,2n, a
2ikπ/(2n+1)−1
=i
2ikπ/(2n+1)+ 1
Pn
Pn Qn n
Pn(X) =Qn(X2) Qn
Q1 Q2
Qn Pn
Sn=
n
k=1
1 tan2
kπ
2n+ 1
Sn=n(2n−1) 3
∀x∈
0,π 2
, 0sin(x)xtan(x)
∀x∈ 0,π
2
, 1
tan2(x) 1
x21 + 1 tan2(x) 1
k2
+∞
k=1
1 k2
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x∈R H(x) =
1
0
txln(t) t−1 t
s >−1 Js= 1
0
tsln(t) t H
H DH= ]−1,+∞[
H DH
α >0 t→tα(ln(t))2 1−t [0,1]
H C1 DH
H
(xn) +∞ lim
n→+∞H(xn)
x→+∞lim H(x)
∀x >−1, H(x)−H(x+ 1) = 1 (x+ 1)2
H(x) x −1
x >−1
k1
1 (x+k)2
n H(x) =
n
k=1
1
(x+k)2+H(x+n)
H(x) =
+∞
k=1
1 (x+k)2 H(0) H(1)
x >−1 k
1 (x+k+ 1)2
k+1
k
t (x+t)2 1
(x+k)2
H(x) x +∞
n un=H(n)
n0
un
n0
(−1)nun
+∞
n=0
(−1)nun= 1
0
ln(v) v2−1 v
H
−1 2
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H
k2 Zk=
+∞
p=1
1 pk
(p, q) Ip,q= 1
0
tp[ ln(t) ]q t q1 Ip,q=− q
p+ 1Ip,q−1
Ip,q
n∈N Bn= 1
0
[ ln(t) ]n+1 t−1 t
Bn Ip,q tp
∀n∈N Bn= (−1)n(n+ 1)!Zn+2
∀x∈]−1,1[, H(x) =
+∞
k=0
(−1)k(k+ 1)Zk+2xk
